高一数学必修4课件：1.2.1.2三角函数线
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苏教版高中数学必修四课件1.2.1三角函数线
怎样用有向线段表示正弦 函数值？
sin y r=1 sin y 几何表示 sin MP
r cos x r=1 cos x 几何表示 cos OM
r
三角函数线
y
Ｔ 有向线段MP叫做角 的正弦线.
任
P
有向线段OM叫做角 的余弦线.
意 角
O Ｍ Ａ有x 向线有段向M线P段能角,OA不MT,的能叫AT正用做都切有角称呢向为的？线三正段角切表函线示数. 线.
P(x,y) sin y tan y
函
r
r
x
数
O
M x
cos x
r
议一议：是否可以在角的终边上取一
个特殊点 P，使得三角函数值的表达式更
为简单？ y
能不能用线段表示纵坐标？
怎样才能做到这一点？
Ｍ
O
角 的终边 . r=1
P(x,y)
共识 为了用线段来表示负数，
x 我们需要对线段重新定义.
函
3
O
x
数
数学应用
思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：
任 （１）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
意 （２）正弦、余弦函数在区间[0,2 ]上的单调性；
角 的 三
（３）正切函数在区间 ( , )上的单调性.
22
解：根据单位圆中的三角函数线，得：
角 （１）正弦、余弦、正切函数的值域分别 函 为[1,1]，[1,1] ，(,)； 数
本节课到此结束，感谢各位的光临！
课堂小结：
１．三角函数线的作法；
任 ２．利用三角函数线的直观性解决三角函数的
意 角 的
有关性质.
布置作业：
sin y r=1 sin y 几何表示 sin MP
r cos x r=1 cos x 几何表示 cos OM
r
三角函数线
y
Ｔ 有向线段MP叫做角 的正弦线.
任
P
有向线段OM叫做角 的余弦线.
意 角
O Ｍ Ａ有x 向线有段向M线P段能角,OA不MT,的能叫AT正用做都切有角称呢向为的？线三正段角切表函线示数. 线.
P(x,y) sin y tan y
函
r
r
x
数
O
M x
cos x
r
议一议：是否可以在角的终边上取一
个特殊点 P，使得三角函数值的表达式更
为简单？ y
能不能用线段表示纵坐标？
怎样才能做到这一点？
Ｍ
O
角 的终边 . r=1
P(x,y)
共识 为了用线段来表示负数，
x 我们需要对线段重新定义.
函
3
O
x
数
数学应用
思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：
任 （１）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
意 （２）正弦、余弦函数在区间[0,2 ]上的单调性；
角 的 三
（３）正切函数在区间 ( , )上的单调性.
22
解：根据单位圆中的三角函数线，得：
角 （１）正弦、余弦、正切函数的值域分别 函 为[1,1]，[1,1] ，(,)； 数
本节课到此结束，感谢各位的光临！
课堂小结：
１．三角函数线的作法；
任 ２．利用三角函数线的直观性解决三角函数的
意 角 的
有关性质.
布置作业：
2019-2020学年人教A版必修4 1.2.1 三角函数线及应用(2) 课件(19张)
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(4)过点 A 作 x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于 点 T.
(5)有向线段 MP，OM，AT 即分别为角的正弦线，余弦线 和正切线．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．把握 4 个要点 理解三角函数线应注意以下四点 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位 圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点；余 弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与 α 的终边(或其 延长线)的交点；
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数线及应用(2)
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
数学 必修4 A
第一章 三角函数
1．掌握 1 个作法 三角函数线的作法 (1)作平面直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，与角的终边的交点为 P，与 x 轴正半轴的交 点为 A. (3)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M.
图①
图②
(2)作出34π 的正切线 AT 如图②所示．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
知识点二 利用三角函数线比较三角函数值大小 3．下列关系式中正确的是( ) A．sin 10°<cos 10°<sin 160° B．sin 160°<sin 10°<cos 10° C．sin 10°<sin 160°<cos 10° D．sin 160°<cos 10°<sin 10° 解析：选 C 在同一单位圆中画出 10°和 160°的三角函数 线，易得 sin 10°<sin 160°<cos 10°.故选 C.
第一章 三角函数
(4)过点 A 作 x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于 点 T.
(5)有向线段 MP，OM，AT 即分别为角的正弦线，余弦线 和正切线．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．把握 4 个要点 理解三角函数线应注意以下四点 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位 圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点；余 弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与 α 的终边(或其 延长线)的交点；
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数线及应用(2)
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
数学 必修4 A
第一章 三角函数
1．掌握 1 个作法 三角函数线的作法 (1)作平面直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，与角的终边的交点为 P，与 x 轴正半轴的交 点为 A. (3)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M.
图①
图②
(2)作出34π 的正切线 AT 如图②所示．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
知识点二 利用三角函数线比较三角函数值大小 3．下列关系式中正确的是( ) A．sin 10°<cos 10°<sin 160° B．sin 160°<sin 10°<cos 10° C．sin 10°<sin 160°<cos 10° D．sin 160°<cos 10°<sin 10° 解析：选 C 在同一单位圆中画出 10°和 160°的三角函数 线，易得 sin 10°<sin 160°<cos 10°.故选 C.
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
2021版高中数学人教A必修4课件：1.2.1.2 三角函数线
M 第2课时 三角函数线
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做1】 如图,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于
M,AT和A'T'均是单位圆的切线,则角α的( )
A.正弦线是PM,正切线是A'T' B.正弦线是MP,正切线是A'T' C.正弦线是MP,正切线是AT D.正弦线是PM,正切线是AT 答案:C
-7-
M 第2课时 三角函数线
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
三角函数线的应用 剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线
的方向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出 三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程 和不等式、证明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时 它也是以后画三角函数图象的基础.
-13-
M 第2课时 三角函数线
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-14-
M 第2课时 三角函数线
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
高中数学(福建)人教A版必修4课件：1.2.1.2 三角函数线
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 已知 cos α≥ , 试求出角������的集合 . 解:
如图 ,在平面直角坐标系内作直线 x= 2������π +
π ,������∈Z 3 1 2
1 交单位圆于A,B 2
两点 ,当 α 的
π 3
终边落在阴影部分时 ,cos α≥ , 所以角α 的集合为 ������ 2������π明目标、知重点
π 6
+ 2������π 或������ =
5π 6
+ 2������π,������∈Z .
反思形如sin α=m,cos α=n,tan α=t的等式,可借助三角函数线写出 α组成的集合.其步骤是:(1)在单位圆中画出α的终边;(2)在[0,2π)内 找出满足条件的角 ;(3)用终边相同的角的集合写出角. 明目标、知重点
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
三角函数线的应用 剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线 的方向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出 三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程 和不等式、证明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时 它也是以后画三角函数图象的基础.
明目标、知重点
M 目标导航
题型一 题型二 题型三
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
反思解简单的三角不等式时,常借助于三角函数线,转化为求终边 在某区域内的角的范围.
必修四1-2-1-2三角函数线及其应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )．
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 解 如图(1)作直线 y＝2交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法
作三角函数线关键是依据三角函数线的定义，三角
函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、正切线．同时 也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画 出 MP、OM、AT.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
正切线 终边的反向延长线于T，有向线段 正切线 即为 AT
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
高中数学(人教A版必修4)课件1.2.1.2三角函数线及其应用
并由此写出角α的集合． 3 (1)sinα≥ 2 ； 1 (2)cosα≤－2.
分析
3 1 先作出sinα＝ 和cosα＝－ 时角α的终 2 2
边，然后结合图形解不等式．
解
3 (1)作直线y＝ 交单位圆于A，B，连接OA，OB， 2
则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为
于是有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝ ________.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 ________，________，________，统称为________.
1.方向 自我校对 2.MP 线 OM AT 正弦
余弦线
正切线
三角函数线
名师讲解
要求找到与所要研究的问题相应的几何解释，再由图形的相 关性质来解决问题.
变式训练3
利用三角函数线证明：
π 若0<α<2，则sinα＋cosα>1.
证明 如下图，设∠POM＝α.
则sinα＝MP，cosα＝OM， 在Rt△POM中，有MP＋OM>OP. 即sinα＋cosα>1.
易错探究
例4
有下列命题：
(4)当角α的终边落在x轴上时，M与P重合，A与T重合， 此时正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上 时，O与M重合，余弦线变成一个点，过A的切线平行于y 轴，不能与角α的终边相交，所以，此时正切线不存在． 2．三角函数线主要作用 三角函数线主要用于解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时也是以后学习三角函数的图像与性质的 基础.
第一章
三角函数
§1.2任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数 第二课时 三角函数线及其应用
高中数学 1.2.1.2 三角函数线及其应用课件 新人教A版必修4
[活学活用] 作出－94π的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，
－94π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
[例 2]
分别比较
sin23π与
sin45π；cos23π与
cos45π；tan23π与
4π tan 5
的大小．
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所
示．以 x 轴非负半轴为始边作23π的终边与单位
第二课时 三角函数线及其应用
[提出问题] 在平面直角坐标系中，任意角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，过 A(1,0)作 AT⊥x 轴，交终边或其反向延长线于点 T. 问题 1：根据上面的叙述画出 α 分别取 135°，30°，225°和－ 60°时的图形．
提示：
问题 2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到 sin α， cos α，tan α 与 MP，OM，AT 的关系吗？
[成功破障]
已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的
终边在
()
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上 D．x轴上或y轴上 答案：C
则 sin23π>sin45π；OM>OM′，符号相同，则 cos23π>cos45π；AT<AT′，
符号相同，则
2π 4π tan 3 <tan 5 .
[类题通法] 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三 步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．
故 α 的范围是α76π＋2kπ<α<116π＋2kπ，k∈Z .
(2)如图②，过点