三角函数线及其应用课件PPT

【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.
解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z

.

图示
MP OM
AT
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
互动探究
探究点1 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确 定的？
提示 有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为正 ，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相同时 符号为正，反向时符号为负．
R
y＝cos α
R
y＝tan α
α∈Rα≠2π＋kπ，k∈Z

温馨提示：当 α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上
任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义．
2．三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方 向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角 函数值的绝对值．
[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
【活学活用1】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小 ．解 先把两角化成 0°～360°间的角的三角函数．
sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在单位圆中，分别作出 sin 75°和 sin 146° 的正弦线 M2P2，M1P1(如图)． ∵M1P1<M2P2， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型二 利用三角函数线解不等式 【例 2】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值 范围．
(1)sin θ≥ 23；(2)－12≤cos θ< 23.
[思路探索] 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角
在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范
围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】
分别作出2π和4π的正弦线、余弦线和正切线， 35
并比较
sin
2π和 3
sin45π，cos
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终 边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度 和正负．
第2课时 三角函数线及其应用
【课标要求】 1．了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点) 3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)
1．三角函数的定义域
新知导学
函数
定义域
y＝sin α
θ2kπ＋π3≤θ≤2kπ＋23π，k∈Z


.

(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
θ2kπ－23π≤θ<2kπ－π6或2kπ＋π6<θ≤2kπ＋23π，k∈Z

.

[规律方法] 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角 不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的 范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．
解 如图，sin23π＝MP，cos23π＝OM， tan23π＝AT，sin45π＝M′P′，cos45π＝ OM′，tan45π＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， ∴sin23π>sin45π； |OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos23π>cos45π； |AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan23π<tan45π.
方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
【示例】 求证：当α∈ 0，π2 时，sin α<α<tan α. [思路分析] 本题主要考查单位圆中的三角函数线、扇形 面积公式及数形结合的思想．利用单位圆中角 α 的正弦线及所 对弧长，正切线所在等腰三角形、扇形及直角三角形的面积大 小来解决． 证明 如图，设角 α 的终边与单位圆相交 于点 P，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A， 过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于点 T， 过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，连接 AP，则 有：
例．已知点 P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α
的取值范围．
解 ∵点 P 在第一象限内，
∴sin tan
α－cos α>0，
α>0，
∴sin α>cos α， tan α>0.
在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 的长度为 α·OP＝α. 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 即12OA·MP<12α·OA<12OA·AT， 即 sin α<α<tan α. [题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
探究点2 如何作三角函数线？
提示 三角函数线的作法：①作正弦线、余弦 线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.