2020-2021九年级数学上期末模拟试题含答案(1)
（1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x ；
（2）若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有， 求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； 23．某童装店购进一批 20 元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间存在如图的一次函数关系． （1）求 y 与 x 之间的函数关系； （2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？
4．C
解析：C 【解析】 试题解析：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC 绕点 A 旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50°． 故选 C．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 直接把已知数据代入进而得出 c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】 ∵x＝﹣1 为方程 x2﹣8x﹣c＝0 的根， 1+8﹣c＝0，解得 c＝9， ∴原方程为 x2－8x＋9＝0，
பைடு நூலகம்
D． 3 5
x
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
﹣﹣﹣﹣
y
0.25 0.76
1.59 1.16 0.71 0.24
则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的一个解 x 满足条件( )
A．1.2＜x＜1.3
B．1.3＜x＜1.4
C．1.4＜x＜1.5
D．1.5＜x＜1.6
11．如图， AOB 中， B 30 ．将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 52 得到 △AOB ，边
C．向上，直线 x 3 ， 3, 2
D．向下，直线 x 3 ， 3, 2
9．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和 2 个绿球，随机从中摸出一 球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A． 3 10
B． 9 25
C． 9 20
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，y 与 x 的部分对应值如下：
AB 与边 OB 交于点 C （ A 不在 OB 上），则∠ACO 的度数为（ ）
A． 22
B． 52
C． 60
D． 82
12．一只布袋里装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 3 个红球，1 个白球，小敏和小丽依
次从中任意摸出 1 个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）
A． 1 4
B． 1 2
请根据所给信息解答以下问题 （1）请补全条形统计图； （2）若全校有 1000 名同学，请估计全校同学中最喜爱“笋干”的同学有多少人？ （3）在一个不透明的口袋中有 4 个元全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A，B，C，D，随机地把四个小球分成两组，每组两个球，请用列表或画树状图的方法，求 出 A，B 两球分在同一组的概率．
解析：D 【解析】 【分析】 ①根据抛物线开口方向、对称轴、与 y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断； ③根据抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（1，0），且对称轴为直线 x＝﹣1 可得抛物线与 x 轴的 另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断； ④根据 m＞n＞0，得出 m﹣1 和 n﹣1 的大小及其与﹣1 的关系，利用二次函数的性质即可 判断． 【详解】 解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①错误； ②∵对称轴为直线 x＝﹣1，
24．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知圆的半径 R=5，EF=3，求 DF 的长．
25．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行“舌尖上的宜兴﹣我最喜爱的 宜兴小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．
16．如图，在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆 心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点 C，以点 D 为顶点，作 90°的∠EDF，与半圆交 于点 E，F，则图中阴影部分的面积是____．
17．关于 x 的一元二次方程 ax2 x 1 0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是
使得 CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．55°
5．某同学在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0 时，只抄对了 a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是
x＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 是原方程的 c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
3．把抛物线 y＝﹣2x2 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到的抛物线是
（）
A．y＝﹣2（x+1）2+1
B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1
D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
4．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决 问题． 【详解】 ∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA 1 （180°﹣68°）=56°． 2
故选 D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型．
∵ b2 4ac ＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程
根的判别式，对于一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ，根的情况由 b2 4ac 来判
别，当 b2 4ac ＞0 时，方程有两个不相等的实数根，当 b2 4ac ＝0 时，方程有两个相等 的实数根，当 b2 4ac ＜0 时，方程没有实数根． 6．D
C．有一个根是 x＝1
D．不存在实数根
6．抛物线 y ax2 bx c 经过点(1，0)，且对称轴为直线 x 1 ，其部分图象如图所
示．对于此抛物线有如下四个结论：① abc ＜0； ② 2a b 0 ；③9a-3b+c=0；④若
m n 0 ，则 x m 1时的函数值小于 x n 1时的函数值．其中正确结论的序号是
（）
A．①③
B．②④
C．②③
D．③④
7．如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D＝34°，则∠OAC 等于( )
A．68°
B．58°
C．72°
D．56°
8．二次函数 y (x 3)2 2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为 ( )
A．向下，直线 x 3 ， 3, 2
B．向下，直线 x 3 ， 3, 2
即﹣ b ＝﹣1，解得 b＝2a，即 2a﹣b＝0， 2a
所以②错误； ③∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（1，0），且对称轴为直线 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣3，0）， 当 a＝﹣3 时，y＝0，即 9a﹣3b+c＝0， 所以③正确； ∵m＞n＞0， ∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1， 由 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小知 x＝m﹣1 时的函数值小于 x＝n﹣1 时的函数值，故④ 正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及 点的坐标特征．
C． 2 3
D． 3 4
二、填空题
13．如图，将二次函数 y＝ 1 (x－2)2＋1 的图像沿 y 轴向上平移得到一条新的二次函数图 2
像，其中 A(1，m)，B(4，n)平移后对应点分别是 A′、B′，若曲线 AB 所扫过的面积为 12(图 中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
时针旋转 90°得到 AO′，当 O′恰好落在抛物线上时，点 A 的坐标为______________．
20．若一元二次方程 x2+px﹣2＝0 的一个根为 2，则 p＝_____，另一个根是_____．
三、解答题
21．一个不透明的袋子中装有 3 个标号分别为 1、2、3 的完全相同的小球，随机地摸出一 个小球不放回，再随机地摸出一个小球． （1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果； （2）求摸出的两个小球号码之和等于 4 的概率． 22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为
∴ a2 b 2019 a2 3 b2 2019 a b2 2ab 2016 1 6 2016 2023；
故选 A． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入 是解题的关键．
2．D
解析：D 【解析】 x2−3x=0， x(x−3)=0， ∴x1=0，x2=3. 故选：D.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】 根据题意可知 b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为 a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）22ab+2016 即可求解. 【详解】
a ， b 是方程 x2 x 3 0 的两个实数根， ∴ b 3 b2 ， a b 1， ab -3，
2020-2021济南市九年级数学上期末第一次模拟试题(及答案)
11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
12．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2=6B．（x+1）2=6C．（x+2）2=9D．（x﹣2）2=9
（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为 ，请判断 是不是“差数”，若是，请求出 ；若不是，请说明理由．
24．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
【详解】
解： ，
故选：A．
【点ห้องสมุดไป่ตู้】
本题主要考查的是配方法，正确的掌握配方的步骤是解题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【详解】
∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
6．C
解析：C
【解析】
因为正八边形的每个内角为 ，不能整除360度，故选C.
7．A
解析：A
【解析】
把 向右平移3个单位长度变为： ，再向下平移5个单位长度变为： ．故选A．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．
江苏省徐州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列古钱币图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是（）A. 14B.13C.12D.23【答案】C【解析】【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，∴P(朝上的面不同)21 42 ==，故选：C．【点睛】本题考查树状图法或列表法求概率，准确根据题意列出相应的树状图或表格是解题关键．3. ⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】A【解析】【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，∴OP＜3cm．故选：A．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 若2为一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根，则m的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程得到关于m的一次方程，然后解关于m的一次方程即可．【详解】解：把x＝2代入方程x2﹣mx﹣6＝0，得：4﹣2m﹣6＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．5. 如图，点D、E、F分别是△ABC边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A. ADDB＝DEBCB.BFBC＝EFADC.AEEC＝BFFCD.EFAB＝DEBC【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB CE =， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE DE AB AC BC==，故A 错误； ∵EF ∥AB ，∴AE BF EC CF=，故C 正确； ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴CF EF C BC C B A E A ==， ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE ＝BF ，EF ＝BD ，∴E AD EF AE C =，F AF CE DE C =，AD AE BF AB AC BC ==，CF BD C BC C B A E A ==，故B 、D 错误； ∴AE EC ＝BF FC 正确， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．6. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，若∠D ＝65°，则∠BAC ＝（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝65°，然后利用直角三角形的性质计算出∠BAC的度数．【详解】解：连接BC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝65°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7. 某社团成员的年龄（单位：岁）如下：年龄12 13 14 15 16人数 1 2 2 3 1他们年龄的众数和中位数分别是（）A. 16，15B. 16，14C. 15，15D. 15，14【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】解：这组数据中15出现次数最多，所以这组数据的众数为15，第5个数据为14，所以中位数为14．故选：D．【点睛】本题考查了众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8. 如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF 的面积之比（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：8【答案】D【解析】【分析】连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF 的面积即可．【详解】解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，∵AP＝PB，FN＝NE，∴PN＝12（AF+BE）＝1.5a，同理可得PM＝MN＝1.5a，∴PN＝PM＝MN，∴△PMN是等边三角形，∴()2231.534836PMNABCDEFaSSa⨯==⨯⨯△正六边形，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）9. 方程（x+1）2＝4的解是_____．【答案】1231x x =-=，【解析】【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x ＝﹣3或x ＝1，故答案为：1231x x =-=，．【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握开平方法是解决本题的关键．10. 二次函数y ＝（x+2）2+1的图象的顶点坐标是_____．【答案】（﹣2，1）【解析】【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵二次函数y ＝（x+2）2+1，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11. 关于x 的方程2x +2x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝_____．【答案】-1．【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的方程2x +2x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4×1×（﹣m ）＝0，解得m ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．12. 若甲乙两个人6次数学测验的平均分相同，2 6.5=S，2 3.1S=，则成绩较为稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】根据方差的意义求解即可．【详解】解：∵2=6.5s甲，2=3.1S乙，∴22S乙甲＜S∴成绩较为稳定的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一-组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值为_____．【答案】4 5【解析】【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系得结论．【详解】解：如图所示，在Rt△AOB中，∵点A的坐标为（3，4），∴AB=3，OB=4，∴2222345 OA AB OB=+=+=．∴4 cos5OBOAα==．故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．14. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以A为圆心，AB为半径的弧与BE交于点F，则∠EFD ＝_____°．【答案】45【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，利用等边对等角得到两对角相等，由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270，利用等量代换得到∠ABF＋∠ADF＝135°，进而确定出∠1＋∠2＝45°，由∠EFD为三角形DEF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数．【详解】∵正方形ABCD，AF，AB，AD为圆A半径，∴AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABF＝∠AFB，∠AFD＝∠ADF，∵四边形ABFD内角和为360°，∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＋∠AFD＋∠ADF＝270°，∴∠ABF＋∠ADF＝135°，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，即∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝135°−90°＝45°，∵∠EFD为△DEF的外角，∴∠EFD＝∠1＋∠2＝45°．故答案为45【点睛】此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．15. 如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，弧ADB交AC于点E，若AB＝2，则弧DE的长为_____．【答案】3【解析】【分析】如图，连接AD，证明AB是弧的直径，取AB的中点O，连接OE，OD．计算∠DOE＝60°，利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，连接AD，∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，∴AD⊥BD,∴AB是弧ADB的直径，取AB 的中点O ，连接OE ，OD ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，∵OA ＝OE ＝OB ＝OD ，∴△AOE ，△BOD 都是等边三角形，∴∠AOE ＝∠BOD ＝60°，∴∠DOE ＝180°﹣2×60°＝60°，∴弧DE 的长＝601180π⨯⨯＝3π， 故答案为：3π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式和计算需要的条件是解题的关键． 16. 如图，在正方形ABCB 1中，AB ＝1，AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB 1交直线l 于点A 1，做正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，做正方形A 2B 2C 2B 3；延长C 2B 3交直线l 于点A 3，…，依次规律，则A 2021B 2021＝_____．【答案】（3）2021【解析】【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到A 1B 1313AA 1＝2AB 1＝2，再利用四边形A 1B 1C 1B 2为正方形得到A 1B 2＝A 1B 13，接着计算出A 2B 2323A 2018A 2019的长度．【详解】解：∵四边形ABCB 1为正方形，∴AB 1＝AB ＝1，∵A 1C ∥AB ，∴∠B 1A 1A ＝30°，∴A 1B 13AB 13AA 1＝2AB 1＝2，∵四边形A 1B 1C 1B 2为正方形，∴A 1B 2＝A 1B 1 ∵A 2C 1∥A 1B 1， ∴∠B 2A 2A 1＝30°，∴A 2B 2A 1B 2）2， ……∴A 2021B 20212021，故答案为：2021．【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类：探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．也考查了正方形的性质．三、解答题（本大题9个小题，共84分）17. （1）计算：020212cos30|2|︒++-； （2）解方程：x 2+x ﹣6＝0． 【答案】（1）3；（2）x 1＝﹣3，x 2＝2 【解析】【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算； （2）利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）原式＝1+2×2+2＝ ＝3；（2）（x +3）（x ﹣2）＝0， x +3＝0或x ﹣2＝0， 所以x 1＝﹣3，x 2＝2．【点睛】本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握实数混合运算的顺序和法则及因式分解法是关键．18. 骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，同时投掷两枚质地均匀的骰子，请用列表的方法，求两枚骰子朝上一面点数之和为9的概率． 【答案】19【解析】【分析】先列表展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子向上一面的数字之和为9的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子朝上一面点数之和为9的有4种结果，∴两枚骰子朝上一面点数之和为9的概率为41 369．【点睛】本题主要考查列表法求随机事件的概率，掌握列表法是解题的关键．19. 如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24m2，道路的宽应为多少？【答案】道路的宽应为1米【解析】【分析】设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据花坛的面积为24m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24，整理得：x2﹣12x+11＝0，解得：x 1＝1，x 2＝11（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键. 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别是A （2，4），B （﹣4，2），C （﹣2，﹣2）； （1）以原点O 为位似中心，画出一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比为1：2；（2）根据（1）的作图，△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1 ，B 1 ，C 1 ．【答案】（1）见解析；（2）A 1（1，2），B 1（﹣2，1），C 1（﹣1，﹣1） 【解析】【分析】（1）连接OA 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点即可画出△A 1B 1C 1； （2）根据图示得出坐标即可．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）A 1（1，2），B 1（﹣2，1），C 1（﹣1，﹣1）． 故答案为：A 1（1，2），B 1（﹣2，1），C 1（﹣1，﹣1）．【点睛】本题主要考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义和性质． 21. 画出函数y ＝x 2﹣4x+3的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 ．（2）当y＜0时，x的取值范围是．（3）该函数的图象可由y＝x2的图象先向平移个单位长度，再向平移个单位长度而得到．【答案】（1）﹣1≤y≤3；（2）1＜x＜3；（3）：右，2，下，1【解析】【分析】求出抛物线与坐标轴的交点坐标，顶点坐标，根据这些点可画出二次函数的图象；（1）根据函数图象可得到答案；（2）根据函数图象可得到答案；（3）根据“左加右减，上加下减”平移规律即可解决．【详解】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为：（2，﹣1），令y＝0，则x＝1或3，令x＝0，则y＝3，则函数图象如图所示：（1）由图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3；（2）由图象可知，y＜0时，1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3；（3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知：二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的图象y＝x2的图象先向右移2个单位长度，再向下平移个1单位长度而得到．故答案为：右，2，下，1．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，读懂函数图象提供的信息是解决问题的关键．22. 如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【答案】（1）2；（2）相似，理由见解析【解析】【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；（2）根据相似图形的判定解答即可．【详解】解：（1）如图1，设AB＝x，由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°∴∠BCF＝∠BDF=90°又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF∴∠ACB=∠ECF=45°∴BC=2x∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，∴(()222222121xDFAD x++===++故答案为：2．（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（2+1）x，A5纸短边长为（222+）x，∴对A5纸，长边：短边(212222xx+==⎛⎫+⎪⎝⎭∴A4纸与A5纸相似．故答案为：相似．【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．23. 如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接P A；（1）判断P A与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．【答案】（1）P A与⊙O相切，理由见解析；（2）AB＝2【解析】【分析】（1）连接OA，由OP是⊙M的直径，得到∠OAP＝90°，由圆的切线的判定定理可得P A是⊙O的切线；（2）连接AN，AM，BM，由线段垂直平分线的判定证得OP是线段AB的垂直平分线，可得到AB⊥OP，AE＝BE，由勾股定理求出AP，由三角形的面积公式求出AE，进而求得AB．【详解】解：（1）P A是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∴OP是⊙M的直径，点A是⊙M上一点，∴∠OAP＝90°，即OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）设⊙O与OP的交点为N，AB与OP的交点为E，连接AN，AM，BM，∵MA＝MB，OA＝OB，∴OP是线段AB的垂直平分线，∴AB⊥OP，AE＝BE，∵OP＝9，OA＝3，∴AP＝2262OP OA-=，∴S△OAP＝12OA•AP＝12AE•OP，∴OA•AP＝AE•OP，∴3×62＝9AE，∴AE＝22，∴AB＝22．【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，掌握相关定理，并根据已知条件添加辅助线是解题关键．24. 某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价60元销售，每月可售出300件，已知单价每上涨1元，该商品每月的销售就减少10件，设单价上涨x元时，每月销售该商品的利润为y；（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）当售价为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）y＝﹣10x2+100x+6000；（2）当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元【解析】【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量写出y与x之间的函数表达式并化简即可；（2）将（1）中所得的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）由题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝（20+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣10x2+100x+6000；（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∴当x＝5时，y取得最大值6250，此时单价为：60+5＝65（元）．∴当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25. 如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），则∠ABD＝75°，已知AC＝6cm，求sin75°的值．（结果保留根号）62【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，通过解直角三角形求出BC、CD、BD的长，再求出BE、DE的长，即可解决问题．【详解】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，如图所示：∴90CFE AEF ∠=∠=︒ ∵90CAB ∠=︒ ∴四边形AEFC 是矩形，∴AE ＝CF ，EF ＝AC ＝6cm ，DE ∥AC ， ∴∠CDF +∠ACD ＝180°，由题意得：∠A ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AC ＝6cm ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠CBD ＝30°， ∴∠ACD ＝45°+90°＝135°，BC 2AC ＝2cm ），CD 3BC ＝6cm ），BD ＝2CD ＝6（cm ），∴∠DCF ＝45°， ∵CF ⊥DE ，∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴AE ＝CF ＝DF ＝22CD ＝3cm ）， ∴BE ＝AB ﹣AE ＝（6﹣3cm ，∴DE 22BD BE -22(46)(623)--3cm ， ∴sin75°＝sin ∠ABD ＝DE BD 234662+． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、含39°角的直角三角形的性质是解题的关键．。
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或1C．1D．不存在2．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x 轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（）A．3.6B．4.8C．3D．33．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是87 4．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（）A．64.2%（1+x）2＝70.8%B．64.2%（1+2x）＝70.8%C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE＝∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（）A．①②④B．①③⑤C．②③④D．①④⑤7．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（）A．B．C．D．8．设max{m，n}表示m，n（m≠n）两个数中的最大值．例如max{﹣1，2}＝2，max{12，8}＝12，则max{2x，x2+2}的结果为（）A．2x﹣x2﹣2B．2x+x2+2C．2x D．x2+2二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．方程x2＝4的解为．10．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．11．若，则的值为．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0123y75713则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为．13．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2．14．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是．15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．16．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．18．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（1）计算：（π﹣2019）0+2sin60°﹣+|1﹣|（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝020．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan B＝，求∠CAD的正弦值．21．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O ″A″B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为．22．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A、B、C、D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．23．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”24．如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．25．已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．26．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC＝30°，求tan∠BCO的值．27．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则，解得：m＝﹣2．2．解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，∵GM⊥EF，∴EF＝2FM＝2＝2，当GM的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，∵A（6，0），B（0，8），∴AB＝10，∵sin∠OAB＝＝，∴OM＝4.8，∵CD＝6，∴OG＝3，∴GM＝1.8，∴FM＝2.4，∴EF＝4.8；故选：B．3．解：A、极差是15，故A正确；B、众数是88，故B正确；C、中位数是87，故C错误；D、平均数是87，故D正确．故选：C．4．解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．5．解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故选：A．6．解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB＝AC＝BC＝，CD＝DE＝CE；∠B＝∠ACB＝∠DEC＝∠DCE＝45°；①∵∠ACB＝∠DCE＝45°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE；即∠ECB＝∠DCA；故①正确；②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC 必为锐角；故②不完全正确；④∵，∴；由①知∠ECB＝∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC＝∠B＝45°；∴∠DAC＝∠BCA＝45°，即AD∥BC，故④正确；③由④知：∠DAC＝45°，则∠EAD＝135°；∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；⑤△A BC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC＝AC＝，AD＝1；故S＝（1+2）×1＝，故⑤正确；梯形ABCD因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．7．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．故选：C．8．解：∵x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2+2＞2x，∴max{2x，x2+2}的结果为：x2+2．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．解：开方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．10．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．11．解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．12．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∵x＝3时，y＝13，∴x＝﹣1时，y＝13，∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，故答案为91．13．解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．故答案为：400π．14．解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5，∴斜边为＝13，∴斜边上中线长为×13＝6.5．故答案为：6.5．15．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．16．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．17．解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，过D作DF⊥OA，∵S＝OD•DE＝OE•DF，△OED∴DF＝，OF＝＝，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）18．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．三．解答题（共10小题，满分96分）19．解：（1）原式＝1+2×﹣2+﹣1＝1+﹣2+﹣1＝0；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1．20．解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，∴BC＝2由勾股定理得，AB＝＝＝∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE＝∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE＝＝∴DE＝∴由勾股定理得AD＝＝＝∴cos∠CAD＝＝＝∴sin∠CAD＝＝＝则∠CAD的正弦值为21．解：（1）如图，△O′A′B即为所求；（2）如图，△O″A″B即为所求；（3）如图，∵点M是OA的中点，∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．22．解：根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，其中小明和小华查找同一位院士资料的有4种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为＝．23．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，x＝，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，12×5＝13CP，CP＝，同理得：△CDG∽△CAB，∴＝，∴＝，x＝＜，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步）．24．（1）证明：∵∠AOB＝120°，∴∠ATB＝＝60°，∵PT切⊙O于T，∴∠BTP＝∠TAP，∵PC平分∠APT，∴∠APC＝∠CPT，∵∠TCD＝∠TAP+∠APC，∠CDT＝∠BTP+∠CPT，∴∠TCD＝∠CDT＝＝60°，∴△CDT为等边三角形；（2）解：设CT＝DT＝x，∵∠TCD＝∠CDT＝∠BDP，∠BPD＝∠CPT，∴△PCT∽△PDB，∴，∵∠DTP＝∠PAC，∠APC＝∠DPT，∴△ACP∽△TDP，∴，∴，即，∴x2＝4，∴x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，∴，PC＝4．25．解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，∴点A不在抛物线上，把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，解得m＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．（2）①∵函数y1经过定点（2，3），对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．②∵m≤2，∴抛物线的对称轴x＝≤2，∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的左侧，由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴3m+3n≤﹣3，∴m+n≤﹣1．26．（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）过O作OE⊥BD，则BE＝ED．在Rt△BEO中，∠B＝30°，∴OE＝OB，BE＝OB．∵BD＝DC，BE＝ED，∴EC＝3BE＝OB．在Rt△OEC中，tan∠BCO＝．27．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，＝AB×FH＝×BF×AD，∵S△ABF∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．28．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），综上，m＝5或m＝4或或3．。
2020-2021学年第一学期人教版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定2．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．其中错误的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③3．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．拔苗助长B．守株待兔C．竹篮打水D．水涨船高6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（）A．（1+x）2＝242B．（2+x）2＝242C．2（1+x）2＝242D．（1+2x）2＝2427．二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12C．y＝2x2+12x+18D．y＝﹣2x2﹣6x+188．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个B．36个C．40个D．42个9．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图中所示的（）A．B．C．D．10．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为．12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm，则截面中有水部分弓形的面积为．（结果精确到1cm）14．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．16．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在边长为单位1的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；（2）绕点B顺时针旋转△ABC，使得A点在x正半轴上，旋转后的三角形为△A2BC2，画出旋转后的△A2BC2，其中A，C分别和A2，C2对应；（3）填空：在（2）的条件下，点A所经过的路线长是．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．某商场购进一批运动服，销售时标价为每件100元，若按七折销售则可获利40%．为尽快减少库存，现该商场决定对这批运动服开展降价促销活动，每件在七折的基础上再降价x元后，现在每天可销售（4x+10）件．（1）运动服的进价是每件元；（2）促销期间，每天若要获得500元的利润，则x的值为多少？18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；（2）若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝，∠ACB＝°；（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD 的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．20．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．若Rt△ABC和Rt △ECD是等腰直角三角形，（1）猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；（2）现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）23．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B．2．解：①反例：a＝0时，只有两个交点．故说法错误；②如a＝1，对称轴x＝，当x＞1时，先减后增；故说法错误；③当a＝0时，函数无最大值、最小值；当a≠0时，y＝＝﹣（4a+），最值∴当a＞0时，有最小值，最小值为负数；当a＜0时，有最大值，最大值为正数．故说法正确．故选：B．3．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C．属于中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．4．解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，∴∠AED＝∠ACD＝20°．故选：B．5．解：A、拔苗助长，是不可能事件；B、守株待兔，是随机事件；C、竹篮打水，是不可能事件；D、水涨船高，是必然事件；故选：B．6．解：依题意得：2（1+x）2＝242．故选：C．7．解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．故选：C．8．解：设盒子里有白球x个，根据＝得：＝解得：x＝32．经检验得x＝32是方程的解．答：盒中大约有白球32个．故选：A．9．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，过点（0，c），由直线可知，a＜0，过点（0，c），正确．故选：D．10．解：设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，则∠AOB＝＝36°，∴＝18°，AC＝AB＝，∴OA＝＝，故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．即方程的另一个根为﹣1．故答案为﹣1．12．解：∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l＝＝10，圆锥侧面展开图的面积为：S＝×2×6π×10＝60π，侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．故答案为：60πcm2；13．解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm，∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm，在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm，∴AE＝＝＝6，∴AB＝2AE＝12∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×12×6＝﹣36≈×3.14﹣36×1.73≈88cm2．故答案为：88cm2．14．解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，∴∠COB＝45°，CO＝BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，），将点C代入抛物线方程中得ac＝﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．解：x2﹣8x﹣1＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，x﹣4＝±，．16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2BC2即为所求；（3）根据弧长公式可知：点A所经过的路线长是：＝π．故答案为：．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．解：（1）设进价为a元，根据题意得：（1+40%）a＝100×0.7，解得：a＝50，则运动服的进价是每件50元；故答案为：50；（2）根据题意得：（70﹣x﹣50）（4x+10）＝500，（20﹣x）（2x+5）＝250，即2x2﹣35x+150＝0，分解因式得：（2x﹣15）（x﹣10）＝0，解得：x＝7.5（舍去）或x＝10，则x的值为10．18．解：（1）∵有汉字“美”、“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴球上汉字是“美”的概率为P＝；（2）列举如下：美丽龙岩美/（丽，美）（龙，美）（岩，美）丽（美，丽）/（龙，丽）（岩，丽）龙（美，龙）（丽，龙）/（岩，龙）岩（美，岩）（丽，岩）（龙，岩）/画树状图如图所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的情况有4种，则取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率为．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，∴AC＝OA，∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝1，∠ACO＝60°，∵PC⊥OA，∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，故答案为：1；30．（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，∵BC⊥OA，∴PB＝PC，∴AB＝AC，∵OB ＝CO ，OA ＝OA ， ∴△ABO ≌△ACO （SSS ）， ∴S △ABO ＝S △ACO ＝S 1， ∴S 1+S 2＝S 3， ∵，∴，∴S 12+S 1S 2﹣S 22＝0， ∴﹣1＝0．解得：，∴，∴， ∴，∵CE 为直径， ∴∠CBE ＝90°， ∴AO ∥BE ， ∴△AOD ∽△BED ， ∴，∵OE ＝OC ， ∴OP ＝BE ， ∴， ∴+1， ∴，∴．20．解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a＝﹣20＜0，＝8000元∴当x＝60时，P最大值即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．解：（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA，∴BC所在直线是小圆的切线．（2）AC+AD＝BC．理由如下：连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE＝CA；∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB＝AD；∵BC＝CE+EB，∴BC＝AC+AD．（3）∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AC＝6cm；∵BC＝AC+AD，∴AD＝BC﹣AC＝4cm，∵圆环的面积为：S＝π（OD）2﹣π（OA）2＝π（OD2﹣OA2），又∵OD2﹣OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π（cm2）．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．解：（1）BE＝AD，BE⊥AD；在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ADC＝90°，∴BE⊥AD．（2）BE＝AD，BE⊥AD仍然成立；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠AFG+∠CAD＝90°．∴∠AGF＝90°．∴BE⊥AD．八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3．∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，∴点A的坐标为（1，0），又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过G作GH∥y轴交BC于点H，设点G（m，m2﹣4m+3 ），则点H（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∴GH＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝m2+3m，∴＝，∵0＜m＜3，∴根据二次函数的图象及性质知，当时，△GBC的面积取最大值；（3）如图2，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，∴∠PBM＝45°，PB＝，由点B（3，0），C（0，3）知，OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，由勾股定理，得BC＝，假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．即，解得：BQ＝3，又∵BO＝3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）；②当，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．即，解得：QB＝，∵OB＝3，∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，∴Q2的坐标是（，0）；③当Q在B点右侧，则∠PBQ＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC，则点Q不可能在B点右侧的x轴上，综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级(上)期末数学模拟练习试卷 (1)
2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学模拟练习试卷1.（单选题，3分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上均有可能2.（单选题，3分）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A.AE=5B.∠BOE=∠BCEC.sin∠BOE=0.6D.CE⊥OB3.（单选题，3分）在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为BC边的三等分点，BM与AP，AQ分别交于D，E两点，若△ABC的面积为20，则△ADE面积为（）A.3B.4C.5D.64.（单选题，3分）若二次函数y=a2x2-bx-c的图象，过不同的六点A（-1，n）、B（5，n-1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（√2，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y35.（单选题，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A. 52B. 32C.2D.36.（单选题，3分）下列命题中：① 经过三个点一定可以作圆；② 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；③ 长度相等的弧是等弧；④ 平分弦的直径垂直于这条弦；⑤ 由三个圆组成的图形不可能是中心对称图形；⑥ 由四个圆组成的图形可能有无数条对称轴．其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7.（单选题，3分）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法错误的是（）A.当n-m=1时，b-a有最小值B.当n-m=1时，b-a有最大值C.当b-a=1时，n-m有最小值D.当b-a=1时，n-m无最大值8.（单选题，3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD= 12，线段PQ在边BA上运动，PQ= 12，有下列结论：① CP与QD一定不相等；② △AQD与△BCP可能相似；③ 四边形PCDQ面积的最大值为31√316；④ 四边形PCDQ周长的最小值为3+ √372．其中，正确结论的序号为（）A. ② ④B. ② ③C. ① ② ③D. ② ③ ④9.（填空题，3分）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为___ ．，当函数值y＜-1时，x的取值范围是___ ．10.（填空题，3分）对于函数y= 3x11.（填空题，3分）已知二次函数y=（x-a-1）（x-a+1）-2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜-2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是___ ．12.（填空题，3分）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=8，则S△ABC=___ ．13.（填空题，3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=13，AE=AF=12，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE=___ ．14.（填空题，3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则（sinθ+cosθ）2=___ ．15.（填空题，4分）已知正方形ABCD边长为8，点P为其所在平面内一点，PD=2 √5，∠BPD=90°，则点A到BP的距离等于 ___ ．16.（填空题，4分）如图1，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，PPD的值为a，如图2，⊙O是正方形为边CD上的一动点，设PB+ √32ABCD的内切圆，AB=4，点P是⊙O上一个动点，设AP+ √2DP的值为b，如图3，MN=4，2∠M=75°，MG=3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a 2+b 2+c 2的最小值为___ ．17.（填空题，4分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y= k x （x ＞0）的图象G 经过点A （4，1），直线l ：y= 14x +b 与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．若区域W 内恰有4个整点，则b 的取值范围___ ．18.（填空题，4分）抛物线y=-x 2+2x+m+1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．有下列结论： ① 关于x 的方程-x 2+2x+m+1（m 为常数）=0有两个不相等的实数根； ② m （am+b ）＜a+b （m≠1的实数）； ③ -3a=c ； ④ 将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=-（x+1）2+m ； ⑤ 点A 关于直线x=1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m=1时，四边形BCDE 周长的最小值为 √34 + √2 ．其中正确的是___ ．19.（问答题，11分）（1）计算：-12021+ sin30°sin60°−cos45° - √(1−tan60°)2 -（π-3）0+（ 14 ）-2× √12 ．（2）若a 、b 、c 分别是△ABC 中角∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于x 的一元二次方程a （1-x 2）+2bx+c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且3（c-b ）=a ，求sinA+sinB ．20.（问答题，5分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中△ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点A 的坐标为（-1，-2）．（1）把△ABC 以点O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A 1B 1C 1（△ABC 与△A 1B 1C 1在位似中心O 点的两侧，A ，B ，C 的对应点分别是A 1，B 1，C 1）．（2）利用本题方格纸标出△A 1B 1C 1外接圆的圆心P ，P 点坐标是 ___ ．（3）在（2）中的条件下，求⊙P 中劣弧A 1B 1的长度．21.（问答题，8分）（1）如图1，函数y=|x-1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数y=|6 x |的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数y=| 6x|，y=|x-1|的图象于D，E两点．求证：△ABE∽△CDE；（2）已知函数y=|-x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y=|-x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．22.（问答题，12分）（1）若一架无人机从塔顶部A处测得地面C、D两点的俯角分别为α°，β°，CD与塔底部共线，且CD=m，求塔高AB．（用含α、β、m的代数式表示）（2）在阳光下，小陶测得一根长为1米的竹竿的影长为0.6米，同时小钱测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，若此时落在地面上的影长为4米，求树高．23.（问答题，10分）如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD=4，AC=3，AB=a，在线段AB上是否存在一点E，使△BDE∽△ACE？24.（问答题，10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB=2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON=4∠CHN，求证：MP=AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME=2：3，BC= √2，求RG的长．25.（问答题，20分）（1）初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动．善于思考的小明对以下问题产生了疑惑：△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=2 √3．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．① 当30°＜α＜120°时，小明猜想∠DNM的大小为定值，他的猜想是否正确？请说出你的判断并证明你的结论；② 小明在此基础上进一步思考，若连接BN，在△AE F绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，△ADN的面积为___ ．（2）2020年，南通市在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平．如图1，AB、AC、弧BC是通州湾新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，弧BC所对的圆心角为60°，新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，则PE+EF+FP的最小值为___ ．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）（3）如图2，是通州金地街心花园的一角，金地考虑到了将西侧竖石河景观和南侧街心花园融于日常生活，把沿河风光带包装成金地繁茂里社区的公园．在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC=4米，D是OB的中点，出口E在弧AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．① 出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）② 已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．则在弧AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．26.（问答题，16分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”．（1）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ACB-∠CDB=∠ACD-∠CBD，当12≤OE≤ √22时，求AC2+BD2的取值范围；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，AC=4，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，求BM的长；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，-ac），记“正垂形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．则满足下列三个条件的抛物线的解析式为___ ．① √S = √S1 + √S2；② √S = √S3 + √S4；③ “正垂形”ABCD的周长为12 √10．。
内江市2020-2021学年度九年级第一学期期末考试数学试题(word版,有解答)
内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数 学第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 2. 下列计算正确的是( )A.2)2(-=-2 B. 532=+ C. 2332=⨯ D. 22223=-3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=44. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=265. 下列时间中是不可能事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) A. 27 B. 6 C. 8 D. 107. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定10.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+a a a a 的结果是( ) C A B A D B CD C A BEFGH OA. a 2-B. -2aC. 2aD. a2 11.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF=140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ；④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上， 且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 15. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3).18.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.A F DB EC F E O B E CF A DF CG E A B D D E A F B C P19.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 A C B 30% D E α A B F 30° M C D21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？22.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，垂足为D.(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB为轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系(如图2)，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.CA D B图1yCA OB x图2内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数学解析第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 解析：考查二次根式的化简及同类二次根式的定义. 难度：★A. 2318=；B. 7363=，7228=；C. 2215.0=，63132=；D. 3212=，2672=. 故选B . 2. 下列计算正确的是( ) A.2)2(-=-2 B. 532=+ C.2332=⨯ D. 22223=- 解析：考查二次根式的有关运算. 难度：★ A. 2)2(2=-；B. 2与3不是同类二次根式，不能加减；C. 632=⨯；故选D .3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=4解析：考查配方法解方程. 难度：★根据等式性质，得x 2+6x+9=5，(x+3)2=5. 故选C .4. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=26 解析：考查列一元二次方程解应用题. 难度：★★由题意，用平移的思路(如右图)得到长(80-2x )米、宽(36-x )米的矩形草坪，选A .5. 下列时间中是不可能事件的是( )A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K解析：考查“统计与概率”的事件分类. 难度：★A.“抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次”是随机事件；B.“从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球”是必然事件；D.“从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K ”是随机事件；质地均匀的普通正方体骰子点数最大是6，所以C.“抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，出现点数之和等于13”是不可能事件. 故选C .6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) AD B CA. 27B. 6C. 8D. 10 解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★ 如图，因为在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠A=43， 设BC=3k ，AC=4k ，则由勾股定理得AB=5k =10，解得k =2，则BC=3×2=6，故选B .7. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★由题意得在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠ABC=33，则∠ABC=30º. 而AB=12米，则AC=21AB=21×12=6米. 故选A . 8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 解析：主要考查“位似图形的面积比等于位似比的平方”. 难度：★由OE:EA=32，得OE:OA=52. 而四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， 则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =254)52(2=，故选B . 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定解析：主要考查等式性质、代数式的变形及一元二次方程根的判别式. 难度：★★由b -c =3变形得b =3+c ，代入Δ=(-b )2-8c=(3+c )2-8c=c 2-2c +9=(c -1)2+8.无论c 为何实数，(c -1)2≥0，则(c -1)2+8恒为正数，即Δ＞0. 故选A .10.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF =140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º解析：考查三角形的中位线性质、等边对等角及三角形内角和定理. 难度：★★由E 、F 、P 分别是AB 、CD 、BD 的中点，得PE 、PF 分别是BC 、AD 的中位线，则PE=0.5BC ，PF=0.5AD. 又AD=BC ，则PE=PF. 而∠EPF=140º，则∠EFP=(180º-140º)÷2=20º. 故选D .11.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+aa a a 的结果是( ) A. a 2- B. -2a C. 2a D. a2 B C A C A B D C A B E F G H O D EA FBC P解析：考查实数的比较、代数式的恒等变形及二次根式的化简. 难度：★★★由-1＜a ＜0，得-1＜a 1＜0且a 1＜a ，得a+a 1＜0，a -a 1＞0. 则.211)1()1(4)1(4)1(2222a a a a a a a a a a a a a =++-=+--=+---+故选C . 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ； ④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：考查图形综合应用，主要有相似三角形、全等三角形、 直角三角形、等腰三角形、正方形的有关知识. 难度：★★★由已知，依次可得Rt △ABE 中，BE:AB:AE=1:2:5；△DFA ∽△ABE ；AF:DF:AD=1:2:5；过点C 作CH ⊥DF 于点H ，易得△CHD ≌△DFA ，进而得DH=FH ，故①CF=CD 成立；又FG ⊥CF ，则∠CFH=∠GFA ，而∠CFH=∠CDH ，∠CDH=∠GAF ，所以∠GFA=∠GAF ，得GA=GF ，同理得GD=GF ，则GA=GD ，故②G 为AD 中点成立；得③△DCF ∽△AGF 成立；设正方形的边长为2，则AE=5，AF=55252=，EF=AE -AF=553， 故④AF:EF=2:3成立. 故选D .第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请讲最后答案直接填在题中的横线上.）13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 解析：考查二次根式的存在性. 难度：★.由21-x ≥0且x -2≠0，得x -2＞0，即x ＞2. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上，且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 解析：考查正方形的中心对称性及概率问题. 难度：★. 如图，米粒落在图中阴影部分的概率为25%.15.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 解析：主要考查相似多边形的性质及一元二次方程的求解. 难度：★★★.由题意得四边形ABEF 为正方形.设FD=x ，则AD=(1+x ).由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，得AD:AB=CD:DF ，即(1+x ):1=1:x ，整理得x 2+x -1=0，解得x =251±-(251--舍去)，则AD=2511251+=++-. A F D B E CF CG EA B DH F O16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 . 解析：考查阅读理解能力. 难度：★★★由“连根一元二次方程”的定义k 的值为-7-8=-15；一次项系数依次为：-1=-(1+0)；-3=-(2+1)；-5=-(3+2)；-7=-(4+3)；·······；常数项依次为：0=1×0；2=2×1；6=3×2；12=4×3；·······；所以第n 个方程为x 2-(n +n -1)x +n (n -1)=0，即x 2-(2n -1)x +n 2-n =0.三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3). 解：原式=33612133)22(2⨯+⨯+- 解：(x -3)2-2(x -3)=0 =32213321++- (x -3)(x -3-2)=0 =31- x -3=0，x -5=0x 1=3，x 2=518.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.解：（1）总人数是60÷30%=200人，E 选项对应的圆心角是360×40÷200=72度；（2）C(乘坐学校的定制公交车)有200-20-60-30-40=50人，如图；（3）画树状图如右图： 开始共有9个等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种 交通工具回家的结果有3个， 甲 A B C∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为93，即31. 乙 A B C A B C A B C A C B 30% D E 选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 5019.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥ED ，∴∠C=∠FED=90º. ∵BC ∥AD ，∴∠CED=∠EDF,∴△ECD ∽△DEF.(2)解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠C=90º，AD=BC=CD=4.∵E 为BC 的中点，∴CE=0.5BC=2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理得DE=.5242CD CE 2222=+=+∵△ECD ∽△DEF ，∴CE:DE=DE:DF ，∴DF :5252:2=，解得DF=10.∵AD=4，∴AF=DF -AD=10-4=6.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点B 作BN ⊥MD 于点N.由题意可知，∠ACM=α，∠BDM=30°，AB=MN=50. (1)在Rt △AMC 中，tan ∠ACM=tan α=2，MC=503，∴AM=2MC=1003，即BN=1003.答：无人机的飞行高度AM 为1003米.(2)在Rt △BND 中，∵tan ∠BDN=tan30°=DN BN ， ∴DN=1003÷33=300，∴DM=DN+MN=300+50=350， ∴CD=DM -MC=350-503≈264.答：河流的宽度CD 约为264米.21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.B E CF A D α A B F 30° M N C D(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？解：(1)设年平均增长率为x ，由题意得20(1+x )2=28.8，解得x 1=20%，x 2=-2.2(舍去).答：华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%.(2)设每杯售价定为a 元，由题意得(a -6)[300+30(25-a )]=6300，解得a 1=21，a 2=20∴为了让顾客获得最大优惠，a 应取20.答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.22.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D.(1)图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 ；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD 的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB 为轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒，是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)3；△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD .(2)∵在Rt △ACB 中，∠ACB=90º，AB=5，AC=4， ∴BC=.345AC AB 2222=-=-∵S △ABC =21AB·CD=21AC·BC ， ∴CD=512AB BC AC =⋅. (3)存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ 理由如下：在△BOC 中，∵∠COB=90º，BC=3，OC=2.4，∴OB=1.8 分两种情况：①当∠BQP=90º时，如图2①，此时△PQB ∽△，∴BC BQ AB BP =, ∴353t t =-， 解得t =89，即BQ=CP=89， ∴BP=BC -CP=3-89=815. A O B x 图2① C A D B 图1 C y P Q在△BPQ 中，由勾股定理得PQ=，23)89()815(BQ BP 2222=-=- OQ=OB -BQ=-5989=4027. ∴点P 的坐标为(4027，23)； ②当∠BPQ=90º时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ， ∴AB BQ BC BP =, ∴533t t =-， 解得t =815，即BQ=CP=815， ∴BP=BC -CP=3-815=89. 过点P 作PE ⊥x 轴于点E.∵△QPB ∽△ACB ，∴AB BQ CO PE =, 即PE:512=815:5，∴PE=109. 在△BPE 中，BE=，4027)109()89(PE PB 2222=-=- ∴OE=OB -BE=-594027=89, ∴点P 的坐标为(89，109), 综上可得，点P 的坐标为(4027，23)；(89，109). A O B x图2② C y P Q E。
天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析
九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。
上海市金山区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．【解答】解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．【分析】根据三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．【解答】解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK ＝AD＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△F AB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△F AB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。
2020-2021西安交通大学附属中学航天学校初三数学上期末模拟试题(含答案)
16．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．
17．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____．
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标是（1，﹣4），
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【详解】
∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
18．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
合计
A
59
151
166
124
500
九年级数学上册2020-2021学年度第一学期九年级期末学业水平质量检测含答案
2020—2021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=. 使△ADE与△ACB一定相似的是A．①②B．②③C．①③D．①②③2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为A．πB．2πC．3πD．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B．12C．14D．154．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点5. 如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是A．65°B．60°C．55°D．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是A．1802xx=+B．180xx=+C．802xx=+D．803xx=+cCBA7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是 A ．4 B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．10.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()214y x =--+的图象如图，将二次函数()214y x =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm.12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________. 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06x s ()y m ()182014O yx4O 1EDBCA二班一班成绩/分109876109876543201514. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接P A ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+--.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB=∠A ． （1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值． 图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B .（1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整； x /cm 0 1 2 3 4 5 61y /cm5.20 4.36 3.60 2.65 2.65 2y /cm5.204.564.224.244.775.606.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y ），（x ，y ），并画出函数y 的图象；y 2cm6543学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2. （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接 写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.图2图127. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点．（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P1（-1，0），P2（1，P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________．②点P在直线y b=+上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，．若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2020—202021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11+-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. …………………5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC =. ………………… 4分9=.∴5BF=. …………………5分∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB.∴CF DCBF BE=.∴45ABBE=. …………………6分20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ………………1分∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形.∴四边形DECO是矩形. ………………2分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO OC=.∵四边形DECO是矩形，∴DE OC=.∴2DE AO==. ………………3分∵DE∥AC，∴OAF DEF∠=∠.∵AFO EFD∠=∠，∴△AFO≌△EFD.∴OF DF=. ………………4分在Rt△ADO中，tanOAADBDO∠=.∴2DO=.∴DO=………………5分∴FO=∴AF===. ………………6分方法二：∴△AFO≌△EFD.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD=∴AE=∴AF =12AE. 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB =. ∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，y 2cm 65432∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分 （3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。