最新苏北四市一模数学试卷

苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B =U ．

2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．

3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．

4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．

5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．

6、若抛物线2

8y x =的焦点恰好是双曲线22

21(0)3

x y a a -

=>的右焦点，则实数a 的值为 ．

7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x π

ωπω=->的最小正周期为15，则1

()3

f 的值为 ．

9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．

10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x

f x =-，则不等式

()5f x -≤ 的解集为 ．

11、若实数,x y 满足1

33(0)2

xy x x +=<<

，则313x y +

-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b r r 满足a b a b ==+r r r r

，则a r 与2a b -r r 夹角的余弦值为 ．

13、已知,A B 是圆22

1:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=

上的动点，则PA PB +u u u r u u u r

的取值范围为 ．

14、已知函数32

sin ,

1()925,1

x x f x x x x a x <⎧=⎨

-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）

15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3

cos 5

B =，求sin()B

C -的值．

16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，

EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．

求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．

17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的

正西方向1km 处，3tan ,44

BAN BCN π

∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、 4万元∕km ．

（1）求,A B 两镇间的距离；

（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

2

2

，且右焦点F到左准线的距离为62．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．

（ⅰ）当直线的PA斜率为1

2

时，求FMN

∆的外接圆的方程；

（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ

∆的面积的最大值．

19、已知函数2

(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e

=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；

（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．

20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若对于N n *

∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；

（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．

徐州市2017届高三期末调研测试 数学试题参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．31

6．1 7 8．12-

9．2 10．(,3]-∞- 11．8 12

13．[7,13] 14．{20,16}--

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分

即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1

cos 2

A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π

3

A =． ……………………………………………………6分

（2）因为3cos 5B =

，(0,π)B ∈，所以4

sin 5

B =，…………………8分 所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27

cos212sin 25B B =-=-， ……………10分

所以2π2π

sin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-

2π2π

sin 2cos cos2sin

33

B B =-………………………………12分

2417()2252=-⨯--⨯

24

50

=

．…………………………………………………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，

又M 是AE 的中点，所以1

2

MF AB =∥，

又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，

所以1

2

NC AB =∥，所以MF NC =∥

， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，