概述定积分的发展及应用

概述定积分的发展与应用

摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.

关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用

微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.

定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.

1准备阶段

主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.

2 创立阶段

主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.

牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来

表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的x

y dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人理解到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把?dy 表示为所有这些差的和,?=dy y 明确指出："?"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.

3 完成阶段

19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"?"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=n k k k k n x x x

f s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小

时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数?=x

x dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、

可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,所以,他把不定积分写成：C dt t f dx x f x

x +=??0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f x

x -=?.

至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.

二定积分在不同学科中的应用

1 定积分在分析中的应用

例1 求极限n

n n n ?++++∞→ 321lim .

解：因为∑=?=?++++n i n n i n n n 1

1321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b i a i +=-+=1ξ,n

n a b x i 1=-=?. 故：原式3

21lim 101==?=?∑=∞→dx x n n i n i n . 例2 求极限???? ??++-+-∞→2222312411

41lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(x x f -=

在区间[]1,0上的一个和式的极限.

解：???

? ??++-+-∞→222231241141lim n n n n n n n n n n 1)(41)2(41)1(41lim 222??????? ?

?-++-+-=∞→ ?∑==-=?-==∞→1010212

6|2arcsin 411)(41

lim πx dx x n n i n i n . 2 定积分在几何中的应用

(1) 用定积分求平面图形的面积

例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积.

分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,

确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较

两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面

积.

解：解方程组?

??-==422x y x y 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--???? ??-+=???? ??-+=?y y y dy y y s .

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义基本积分表不定积分的性质小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节五、

定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分关于原函数的说明: (1) (2) 证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分

经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义：在区间/内，函数/（兀）的带有任意常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋心& =皿2 被积函数『积分号积分变量寒积表达式 F(x)

定积分在几何学上的应用(比赛课教案)

教学题目：选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用教学目标：一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。课型、课时：新课，一课时教学工具：常用教具，多媒体，PPT课件教学方法：引导法，探究法，启示法教学过程

积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间，小区间的长度在每个小区间上任取一点作乘积，求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取，做求和取极限：则路程取极限定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和，记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即，（*）其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有性质4 性质5 如果在区间上，，则推论性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，使成立

定积分的概念和性质公式

1.曲边梯形的面积设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积求和取极限：则面积取极限

J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做求和取极限：则路程一取极限将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ，记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点

其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.

定积分知识点总结

定积分知识点总结航空航天大学权州一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性

如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分一．课标要求： 1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

定积分知识点总结.doc

定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到

《定积分在几何中的应用》教学教案

1.7.1定积分在几何中的应用学习目标： 1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。学习方法：情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？问题2：需要用到哪些知识？（定积分）问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？问题4：定积分的几何意义是什么？问题5：微积分基本定理是什么？情境二：利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来）（如右图）问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）解：解方程组?????==2 2x y x y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x y O A B C D 2 x y =x y =2 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2

∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ? = 1 dx x ?-1 2 1031 0233132x x -=313132=-= 情境三学生探究：例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分）问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定）问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.）规范的解题过程此处略去思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.

(完整版)定积分知识点汇总.doc

定积分一．定积分的几何意义 ① b f ( x) 0 时， f (x)dx S a b f ( x) 0 时， f (x)dx S a f(x) 有正有负时， b c d a f ( x)dx S1, f ( x)dx S2 , f ( x)dx S3 b c d b c d f ( x)dx a 面积和 S1 二．定积分基本性质 ①当 a b 时，b f ( x)dx 0. a b b ② kf ( x) dx k f (x)dx a a b b f (x)dx f ( x)dx f (x)dx S1 S2 S3. a b c b c d S2 S3 a f (x)dx f (x)dx f (x)dx b c b [ f ( x) g(x)] dx S a b b ③[ f1 ( x) f 2 ( x) f n (x)]dx f1 ( x)dx f 2 (x)dx f n (x)dx a a a a b c1 c2 b f ( x)dx ④ f (x)dx f ( x)dx f (x)dx a a c1 c n a ⑤若奇函数 ⑥若偶函数y f ( x) 在 [a, a] y f ( x) 在 [a, a] 上连续不断，则 f (x)dx 0 a a f (x)dx a 上连续不断，则 2 f ( x)dx a 0

微分基本定理：如果 f ( x) 是区间 [ a, b] 上的连续函数，且 F '( x) f ( x) ，则 b a b F (b) F (a) （牛顿—莱布尼兹公式） f ( x)dx F ( x) a 1. 直线 x 0, x , y 0 与曲线 y sin x 所围成图形的面积用定积分表示为 2. 用定积分表示抛物线 y x 2 2x 3 与直线 y x 3 所围成图形的面积为 3. 曲线 y x 2 1, x 2, x 0, y 0 围成的阴影部分的面积用定积分表示为 4. 由曲线 y x 2 4, x 4, x 0, y 0 和 x 轴围成的封闭图形的面积是（） 4 4) dx 4 (x 2 4)dx | A. ( x 2 B.| 0 4 4 | dx 2 4 4) dx C. | x 2 D . (x 2 4) dx( x 2 0 2 5. 计算下列定积分 3 1 2 dx （1）9 x 2 dx （ 2）4 4x 3 1

导数及定积分知识点的总结及练习(经典)

导数的应用及定积分（一）导数及其应用 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。 5．常见函数的导数 (x n )′＝__________.(1 x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________. (a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则： (f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________．（2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，?? ?? f (x ) g (x )′＝___________________. （3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导， (1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________． (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________． 7．函数的极值

高中数学定积分知识点

高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020

数学选修2-2知识点总结一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表 f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大格，检查/() 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下： (x a,上的极值； ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

定积分的概念与性质练习

第一节定积分的概念与性质一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ，（2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?，（3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ，（4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、解由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.

5.1 定积分的概念与性质-习题

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+，（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=，取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+，（1,2,,k n =），第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。

不定积分知识点总结

三一文库（https://www.360docs.net/doc/3b9978241.html,）/总结〔不定积分知识点总结〕引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一

考研高等数学重要知识点解析定积分的应用

考研高等数学重要知识点解析:定积分的应用考研在即，已剩不到50天，考研复习将进入冲刺阶段。考生基本已经对高数的总体有了了解，也许对很多考点还只是大致的复习，没有深入，这个不要紧，太奇考研辅导老师在此帮助考生分析一下定积分的应用命题规律，针对定积分的应用进行一下深度解析。定积分的应用主要是以微元法为基础，而微元法又是以定积分的定义为基础。所以，分割、近似、求和、取极限是计算一些几何量和物理量的指导思想。定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，可以以客观题的形式出现，也可以在解答题中出现，并且经常与其它知识点综合起来考察，比如与极限、导数、微分中值定理、极值等知识点综合在一起出题。在这部分需要重点掌握用微元法计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等。。而对于数三只要求会计算平面图形的面积和旋转体的体积就可以了。其中求旋转体的体积以及微积分的几何应用与最值问题相结合构成的应用题是重点常考题型，广大考生应该予以充分的重视。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研[微博]真题中，有大量的题是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一;但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：

2.薄饼型

通过以上三个例子谈了一下了对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！

定积分证明题方法总结六

定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限

1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上

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