2019年高考试题汇编文科数学---数列

（2019全国文1）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33

4

S =，则4S = . 答案：

58

解析：

11a =，312334

S a a a =++=

设等比数列公比为q ∴2

11134

a a q a q ++=

∴12q =-

所以4S =5

8

（2019全国文1）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a S -=； （1）若43=a ，求{}n a 的通项公式；

（2）若01>a ，求使得n n a S ≥的n 的取值范围. 答案：

（1）102+-=n a n （2）{}

N n n n ∈≤≤,101 解答：

（1）由59a S -=结合591992

)

(9a a a S =+=

可得05=a ，联立43=a 得2-=d ，所以102)3(3+-=-+=n d n a a n

（2）由59a S -=可得d a 41-=，故d n a n )5(-=，2

)9(d

n n S n -=. 由01>a 知0

所以n 的取值范围是{

}N n n n ∈≤≤,101

(2019全国2文)18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：

(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和. 答案：（1）1

22-=n n a ；（2）2n

解答：

(1)已知162,2231+==a a a ，故16212

1+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则

12111242---=?==n n n n q a a .

(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22

)]12(1[n n

n =-+.

(2019全国3文)6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16 B. 8

C. 4

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．

【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142

11115,

34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2

a q =??=?，2

314a a q ∴==，故选C ．

【点睛】应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．

(2019全国3文)14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】 【分析】

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

【详解】详解： 317125,613a a d a a d =+=??=+=?得11

,2

a d =??

=? 101109109

101012100.22

S a d ??∴=+

=?+?= 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大．不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和．

（2019北京文）16.设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）212n a n =-；

（Ⅱ）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式； (Ⅱ)首先求得n S 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，

因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2

324(+8)(+10)(+6)a a a =，

即2

(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以221021211121

11()224

n n S n n n n -+-=

?=-=--；

当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

（2019天津文）18. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，

公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足2

1,

,

,n n n c b

n ??

=???为奇数为偶数求()*

112222n n

a c a c a c n N ++

+∈.

【答案】（I ）3n a n =，3n

n b =；

（II ）22(21)369()2

n n n n N +*-++∈

【解析】 【分析】

（I ）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得3

3d q =??=?

，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；

（II ）根据题中所给的n c 所满足的条件，将112222n n a c a c a c +++表示出来，之后应用分组求和法，结合等差

数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.

【详解】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，

依题意，得23323154q d q d =+??=+?，解得3

3d q =??=?

，

故33(1)3n a n n =+-=，1333n n

n b -=?=，

所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n

n b =；

（II ）112222n n a c a c a c +++

135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++

+++++

+

123(1)

[36](6312318363)2

n n n n n -=?+

?+?+?+?++?

21236(13233)n n n =+??+?+

+?，

记 12

13233n n T n =?+?++? ① 则 23

1

31

3233n n T n +=?+?++?

②

②-①得，23

1

233333

n

n n T n +=----

-+?11

3(13)(21)333132

n n n n n ++--+=-+?=

-， 所以12

2

112222(21)33

36332

n n n n n a c a c a c n T n +-+++

+=+=+?

22(21)369()2

n n n n N +*-++=∈.

【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.

（2019上海）18．已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；

（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．

【解答】解：（1），，

； （2），

存在，，

存在，且，， ，，或， 公比的取值范围为，，．

（2019上海）21．已知等差数列的公差，，数列满足，集合． （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；

（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．

当， 集合，0

． （2）

，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：

根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时， ②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时， 综上，或者．

（3）①当时，，集合，，，符合题意．

{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞

3422

n n n S n n n -∴=+

?=+3(1)

1n n q S q

-=-lim n n S →∞

11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3

lim lim 11n n n n q S q q →∞→∞-==

--∴

3121q <-34q ∴<10q ∴-<<3

04

q <<∴q (1-0)(0?3

)4

{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3

a d π

==S 12

a π

=

d S S n T n b b +=T T {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3

a d π

==

{S =12

a π

=

{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23

d π=

2

3

d π=d π=3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b

②当时，，，，或者，

等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，．

③当时，，，，或者，因为，，故，2． 当时，，1，满足题意． ④当时，，，

所以或者，，，故，2，3． 当时，，满足题意． ⑤当时，，，所以，或者，，

，故，2，3

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意． 综上，，4，5，6．

4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=

-{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2

k d π

=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin

10

S π

=sin

}10

π

-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k

=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227

d m n ππ

=

=

-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247

d m n ππ

==

-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ=

=-467

d m n ππ

==

-m n -3T =

(2019江苏)8.已知数列{a n }*

()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.

【答案】16 【解析】 【分析】

由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

【详解】由题意可得：()()()2581119147098

9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=?

??=+=?

?

， 解得：152

a d =-??

=?，则8187

840282162S a d ?=+=-+?=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. (2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:11

1221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *

)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的

最大值． 【答案】（1）见解析； （2）①b n =n ()*

n ∈N ；②5.

【解析】 【分析】

（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；

（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；

②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.

由245321440a a a a a a =??-+=?，得244112111440

a q a q a q a q a ?=?-+=?，解得112a q =??=?．

因此数列{}n a 为“M —数列”.

（2）①因为1

122

n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得2

122

1

1b =

-，则22b =. 由1

122

n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，

当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，

整理得112n n n b b b +-+=．

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (

)*

n N ∈.

②由①知，b k =k ，*k N ∈.

因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1

k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .

当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-． 设f （x ）=

ln (1)x x x >，则21ln ()x

f 'x x

-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3

f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，

ln ln k

q k

≤，即k k q ≤， 经检验知1

k q k -≤也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15

≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．

【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．

10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，2

1,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）

A. 当101

,102

b a =

> B. 当101

,104

b a =

> C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->

【答案】A 【解析】 【分析】

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.

【详解】选项B ：不动点满足2

2

11042x x x ??

-+=-= ???

时，如图，若1110,,22n a a a ??=∈< ???，

排除

如图，若a 为不动点

12

则1

2n a =

选项C ：不动点满足2

2

192024x x x ??--=--= ??

?，不动点为ax 12-，

令2a =，则210n a =<， 排除

选项D ：不动点满足2

2

1174024x x x ??--=--= ??

?

，不动点为12x =±

，令12a =±

，则

1

102

n a =

±<，排除. 选项A ：证明：当12b =

时，222

2132431113117,,12224216

a a a a a a =+≥=+≥=+≥

≥， 处理一：可依次迭代到10a ； 处理二：当4n ≥时，2

2

1112

n n n a a a +=+

≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>?>则

1

2117(4)16n n a n -+??

≥≥ ?

??

，则6

264

10217164646311114710161616216a ????

?≥=+=++?+??>++> ? ?????

.

故选A

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a

的可

能取值，利用“排除法”求解.

20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n

n S b S b S b *

++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n C n *=

∈N

证明：12+.n C C C n *++<∈N

【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.

【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=?

?

??+=+??

，解得：102a d =??

=?， 则数列{}n a 的通项公式为. 其前n 项和()()02212

n n n S n

n +-?=

=-.

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：

()()()()2

1112n n n n n b n n b n n b ++=-+?+++????????????，

据此有：

()()()()()()()()2

222

121112121n n n n n

n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()

()22112121(1)(1)(1)(2)

n n n n n n b n n n n n n n n n +--++=

=++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：

2

n

C==<=<=，

则()()()

12

210221212

n

C C C n n n

+++<-+-++--=

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.