天津市塘沽区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． •如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}0B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}2. 已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件3. 函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A. B.C. D.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A. 20B. 40C. 64D. 805. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π7. 若2510a b ==，则11a b+=（ ） A. 1−B. lg7C. 1D. 7log 108. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若2|CD AB =．则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 2 D. 39. 设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x aππ−<⎧=⎨−+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 11. 在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．12. y 轴交于点A ，与圆()2211x y +−=相切于点B ，则AB =____________．13. 若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16. 在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫−⎪⎝⎭的值．17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E −−的正弦值．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B 25，且5BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．19. 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =−=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈， （i ）证明{}22n n c c −是等比数列；（ii ）证明)*12222nk k kk k a n N c a c +=∈− 20. 已知0a >，函数()x f x ax xe =−．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． •如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}0 B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2. 已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <−，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A. B.C. D.【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x −−==−+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln ||0,10x x <+> ，所以()0f x <，排除D. 故选：B.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A. 20B. 40C. 64D. 80【答案】D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选：D.5. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】22log 0.3log 10<=，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=−=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ， 设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，3CD AD BD ∴=⋅= 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.7. 若2510a b ==，则11a b+=（ ） A. 1− B. lg7C. 1D. 7log 10【答案】C【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =−，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b −=，解得2by a =±，所以22b AB a=, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bc CD a=，所以2bc a =c =，所以222212a cbc =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.9. 设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ−<⎧=⎨−+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【分析】由()222150x a x a −+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ−=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】()222150x a x a −+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ−=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ−=+∈可得1,24k x a k Z =++∈，由1024k a a <++<可得11222a k −−<<−，（1）x a <时，当15242a −≤−−<−时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a −≤−−<−，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a −≤−−<−，()f x 有6个零点，即111344a <≤；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =−+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+−+=−，当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =−+++=−+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩， 则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 【答案】4i −【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+−+−===−++−. 故答案为：4i −.11. 在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr rr r T C x C x x −−−+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r −=，解得3r =， 所以6x 的系数是3362160C =. 故答案为：160.12. y 轴交于点A ，与圆()2211x y +−=相切于点B ，则AB =____________．【分析】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +−=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +−=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b −=，解得1b =−或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==13. 若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】 ①.23 ②. 2027【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：23；2027. 15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【答案】 ①. 1 ②.1120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====−，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x −的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+−⨯+−=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+−⨯−=−+=−+⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16. 在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =2b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫−⎪⎝⎭的值． 【答案】（I ）22（II ）34；（III ）321116【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c =，即可求出； （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =，2b =，22,2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos 242222a b c C ab +−===⨯⨯； （III ）3cos 4C =，27sin 1cos C C ∴=−=， 7337sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯⨯=，291cos 22cos 121168C C =−=⨯−=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭373113211828216=⨯−⨯=.17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E −−的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）39；（III ）13.【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ⊥，即可得证； （II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C θ=运算即可得解； （III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m⋅=⋅结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ， 所以()11,0,2D F =−,()112,2,0AC =,()12,1,2A E =−, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+−=⎩=⎪=，令12x =，则()2,2,1m =−，因为1220m D F =⋅−=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ； （II ）由（1）得，()12,2,2AC =， 设直线1AC 与平面11A EC 所成角为θ，则11123sin cos ,9323m A C AC m m C A θ⋅====⨯⋅；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =−， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E −−的正弦值为211cos,3DB m −=.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y −+=. 【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =−=，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x −+=，2200440x x ∆=−=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BFb kc =−=−，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =−，即点01,02P y ⎛⎫−⎪⎝⎭， 因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==−++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =−，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =，0x =， 所以，直线l的方程为166x y −+=，即0x y −=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 19. 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =−=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈， （i ）证明{}22n n c c −是等比数列；（ii）证明)*nk n N =∈【答案】（I ）21,n a n n N *=−∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅−，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<−⋅，进而可得112n n k k k k −==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+−=−∈； 设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==−=−−，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b −*==∈； （II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=， 所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+−+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−，所以220nn c c ≠−，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅−−， 所以数列{}22n n c c −是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a +−+−==<−⋅⋅⋅，12n n −==，所以112nn k k k k −==， 设10121112322222nn k n k k nT −−===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n nn T −⎛⎫⋅− ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+−=−=−−，所以1242n n n T −+=−，所以1112422nn k n k k k n −−==+⎫=−<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =可得证.20. 已知0a >，函数()x f x ax xe =−．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（I ）(1),(0)y a x a =−>；（II ）证明见解析；（III ）[),e −+∞【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)xa x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =−−>−，题目等价于存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =−+'，则(0)1f a '=−，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =−>；（II ）令()(1)0x f x a x e =−+='，则(1)xa x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)xg x x e =+'，当(,2)x ∈−∞−时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈−+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →−∞时，()0g x <，()10g −=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >−，且()()0f m a g m '=−=， 当(,)x m ∈−∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增， 当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,ma m e m +>−=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m −=−=−−>−， 令()2()1,(1)xh x x x e x =−−>−，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+−=+'−，1x >−，当(1,1)x ∈−时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以min ()(1)h x h e ==−，故b e ≥−， 所以实数b 的取值范围[),e −+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.。
2021年天津市部分区高考数学一模及答案
2021年天津市部分区高考数学一模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{0，2}，C ＝{﹣1，0，1}，则（A ∩C ）∪B ＝（ ）A ．{﹣1，0，1，2}B ．{0，2}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，2}2．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“x 2＜4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ＝0.72021，b ＝20210.7，c ＝log 0.72021，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a4．直线x ﹣y +2＝0与圆（x +1）2+y 2＝2相交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ）A ．21B ．22C ．23D ．65．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（ ）A ．180B ．240C ．280D ．3206．已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （x ﹣1），则f （2）＝（ ）A ．﹣6B ．6C ．﹣2D ．27．关于函数f （x ）＝sin （2x +6π）有下述三个结论：①f （x ）的最小正周期是2π；②f （x ）在区间（6π，2π）上单调递减；③将f （x ）图象上所有点向右平行移动12π个单位长度后，得到函数g （x ）＝sin2x 的图象． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．②B ．③C ．②③D ．①②③8．已知抛物线y 2＝16x 的焦点与双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点F 重合，C 的渐近线恰为矩形OAFB 的边OA ，OB 所在直线（O 为坐标原点），则C 的方程是（ ）A ．141222=-y x B ．1323222=-y x C ．112422=-y x D ．18822=-y x 9．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<++-001|2|213x x x x ，，，若存在实数a ，b ，c ，当a ＜b ＜c 时，满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则af （a ）+bf （b ）+cf （c ）的取值范围是（ ）A ．（﹣4，0）B ．（﹣3，0）C ．[﹣4，0）D ．[﹣3，0）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数i i -+21＝ ． 11．（x 2+x2）5的展开式中x 4的系数为 ． 12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为 ；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是 ．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为 ．14．设a ＞0，b ＞0，且5ab +b 2＝1，则a +b 的最小值为 ．15．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝3π，且12=⋅AC AD ，则AD = ，若M 是线段AB上的一个动点，则CM DM ⋅的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2b sin A ．（1）求角B 的大小；（2）若角B 为钝角，且b ＝27，a ＝3c ，求c 和sin2C 的值．D A C B17．已知{a n }为等差数列，{b n }为公比大于0的等比数列，且b 1＝1，b 2+b 3＝6，a 3＝3，a 4+2a 6＝b 5．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝（2a n ﹣1）•b n +1，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．18．如图，在多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ，AEFC 是平行四边形，且AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AD ＝AE ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求证：CD ⊥EF ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的余弦值；（3）若点P 在棱CF 上，直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为33，求线段CP 的长．19．已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的短半轴长为1，离心率为23． （1）求C 的方程；（2）设C 的上、下顶点分别为B ，D ，动点P （横坐标不为0）在直线y ＝2上，直线PB 交C 于点M ，记直线DM ，DP 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1•k 2的值．20．已知函数f （x ）＝x 2﹣alnx ，g （x ）＝（a ﹣2）x +b ，（a ，b ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直，求a 的值；（2）讨论f （x ）的单调性；（3）若关于x 的方程f （x ）＝g （x ）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 2＞a ．2021年天津市部分区高考数学一模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 5351+ 11．40 12．0.28，0.3024 13．8 14．54 15．4；]18445[， 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．解：（1）∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝21， 由B ∈（0，π），可得B ＝6π，或65π． （2）由（1），若角B 为钝角，可得B ＝65π， ∵b ＝27，a ＝3c ，∴由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，可得28＝3c 2+c 2﹣2×3c ×c ×（﹣23），整理解得c ＝2， 可得a ＝23， ∴cos C ＝1421372322428122222=⨯⨯-+=-+ab c b a ，可得sin C ＝147cos 12=-C ， 可得sin2C ＝2sin C cos C ＝2×143314213147=⨯． 17．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0），由题设可得：⎩⎨⎧=+++=+413321)3(26)(qb d a d a q q b ，即⎩⎨⎧=+++=+42)33(236q d d q q ，解得：⎩⎨⎧==12d q ， ∴b n ＝2n ﹣1，a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝3+n ﹣3＝n ； （2）由（1）可得：c n ＝（2n ﹣1）•2n ，∴S n ＝1×21+3×22+5×23+…+（2n ﹣1）•2n ，又2S n ＝1×22+3×23+…+（2n ﹣3）•2n +（2n ﹣1）•2n +1，两式相减得：﹣S n ＝2+2（22+23+…+2n ）﹣（2n ﹣1）•2n +1＝2+2×21)21(212---n ﹣（2n ﹣1）•2n +1， 整理得：S n ＝（2n ﹣3）•2n +1+6． 18．解：∵AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD 、AE ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，∴AD 、AB 、AE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），E （0，0，2），C （1，1，0），F （1，1，2），（1）证明：∵CD ＝（1，﹣1，0），EF ＝（1，1，0），所以EF CD ⋅＝1﹣1＝0，∴CD ⊥EF ；（2）∵平面ADE 的法向量为m ＝（0，1，0），平面BDE 的一个法向量为（21，1，21）， 取平面BDE 的法向量n ＝（1，2，1），又因为二面角A ﹣DE ﹣B 为锐角， ∴二面角A ﹣DE ﹣B36612=⋅=； （3）设PC ＝t ，则P （1，1，t ），PB ＝（﹣1，0，﹣t ），由（2）知平面BDE 的法向量n ＝（1，2，1），∴直线PB 与平面BDE336112=⋅++=t t ，解之得t ＝1， ∴CP 长为1．19．解：（1）∵短半轴长为1，离心率为23， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231cb a ac e b ， 解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的方程为42x +y 2＝1． （2）由题意可知直线PM 的斜率存在且不为0，设直线PM 的方程为y ＝kx +1， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得（1+4k 2）x 2+8kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝2418k k +-， ∴x M ＝2418k k +-，y M ＝kx M +1＝224141k k +-， 联立⎩⎨⎧=+=21y kx y ，解得 x ＝k 1， ∴P （k1，2）， ∴k 1＝k DM ＝kk k k x k x kx x y m m m m m 414142212-=+-=+=+=+， k 2＝k DP ＝k13＝3k ， ∴k 1k 2＝k 41-•3k ＝43-． 20．（1）解：f ′（x ）＝2x ﹣xa ，f ′（1）＝2﹣a ， ∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直，∴2﹣a ＝0，解得a ＝2．（2）解：f ′（x ）＝2x ﹣xa ＝x a x -22，x ＞0， 当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜22a ， 令f ′（x ）＞0，解得x ＞22a ， ∴f （x ）在（0，22a ）上单调递减，在（22a ，+∞）上单调递增． （3）证明：方程f （x ）＝g （x ），即x 2﹣（a ﹣2）x ﹣alnx ＝b 在（1，+∞）上有两个不相等的实数根x 1，x 2，设1＜x 1＜x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧=---=---bx a x a x b x a x a x 22221121ln )2(ln )2(，两式相减得x 12﹣x 22﹣（a ﹣2）（x 1﹣x 2）﹣a （lnx 1﹣lnx 2）＝0， ∴a ＝2121222121ln ln 22x x x x x x x x -+---+，要证x 1+x 2＞a ，只需证x 1+x 2＞2121222121ln ln 22x x x x x x x x -+---+， ∵1＜x 1＜x 2，所以x 1+lnx 1＜x 2+lnx 2， 即需证x 12+2x 1﹣x 22﹣2x 2＞（x 1+x 2）（x 1+lnx 1﹣x 2﹣lnx 2）， 整理得lnx 1﹣lnx 2＜2121)(2x x x x +-，即证ln 21x x ＜1)1(22121+-x x x x ， 令t ＝21x x ，t ∈（0，1），令h （t ）＝lnt ﹣1)1(2+-t t ，h ′（t ）＝22)1()1(+-t t t ＞0，∴h （t ）在（0，1）上单调递增，∴h （t ）＜h （1）＝0，∴x 1+x 2＞a ，得证．。
天津市滨海新区塘沽第一中学2020-2021学年度高一上学期第一次月考试题 数学【解析版】
4.已知 ， ，则下列命题中，正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过反例可得B、C、D错误，利用不等式的性质可证明A成立，故可得正确的选项.
【详解】因为 ， ，由同向不等式的可加性得 ，故A正确.
则命题“ ”是真命题，
则 ，解得
则Hale Waihona Puke 数 的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．
14.下列命题中：①若 ， ，则 ；②“ ”是“ ”的充分不必要条件；③若 ，则 ；④“ ”是“ ”的必要不充分条件，上述命题中正确命题的序号______.
又 恒成立，所以只需 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，考查由基本不等式求最值，以及一元二次不等式的解法，属于常考题型.
二.填空题（每小题5分，共30分）
11.满足关系式 的集合 的个数是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
列举出满足题意的集合A即得解.
【详解】（1）当 时， ，
所以 或 ，
又 ，所以 ， ；
（2）因为 ，所以 ，解得 ；
即实数 的取值范围是 ；
（3）因为 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 或 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查集合的并集、交集、以及补集运算，考查已知集合的包含关系求参数，考查由集合的交集结果求参数，属于基础题型.
取 ， ，则 ， 成立，
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。
B。
C。
D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。
20 B。
40 C。
64 D。
805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。
-1 B.lg7 C。
1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。
天津市塘沽区2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
天津市塘沽区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.2．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠， 若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立， 若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件，故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.3．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．4．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 5．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C 【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.6．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC + D ．3122DA DC +【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB ，BP OA 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC=+=++3122DA DC=+.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题8．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.9．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.10．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．⎤⎦D ．⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式求解即可. 【详解】22222()242a tb a tb a a bt t b t t +=+=+⋅+=++≥当1t =-时取等号，所以本题答案为B. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．C D ．【答案】C 【解析】 【分析】由//m n ，可得2()(6)(6)a b c c -=-+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c ab π+-==，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】 解：()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，2()(6)(6)a b c c ∴-=-+，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市塘沽区2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
天津市塘沽区2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．45【答案】C 【解析】【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C=，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C=，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C+=，∴6和28不在同一组的概率1043105 P-==.故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A．73斤B．72斤C．52斤D．3斤【答案】B 【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a=则52a=，由此利用等差数列性质求出结果．设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3 B ．C ．3D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF SAB F F =⋅⋅== 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得3r =，【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.4．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B．43C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥A BCD-，长度如上图所以111121,11222 MBD DEC BCNS S S∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯=所以3 222 BCD MBD DEC BCNS S S S∆∆∆∆=⨯---=所以113A BCD BCDV S AN -∆=⋅⋅=故选：A 【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题. 5．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 6．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111bba a -<-，()()211bba a -<-，所以A,B 两项均错； 又111ab <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错；对于D ，()()()111a b b a a b ->->-，所以()()11a ba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题新高考Ⅰ卷含解析
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【 详 解 】 A ： OP1 (cos ,sin ) ， OP2 (cos , sin ) ， 所 以 | OP1 | cos2 sin2 1 ，
| OP2 | (cos )2 ( sin )2 1，故 | OP1 || OP2 | ，正确；
sin2 cos2
1 tan2 1 4 5
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 tan 2 ，求出 sin , cos 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通
过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7. 若过点 a, b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则（ ）
A. eb a
B. ea b
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 有一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ， y2 ，…， yn ，其中 yi xi c ( i 1, 2,, n), c 为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】
OP2 OP3 cos cos( ) ( sin ) sin( )
cos
β
α
β
天津市滨海新区四校2021届高三数学联考试题(含解析).doc
天津市滨海新区四校2021届高三数学联考试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题(共45分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B 柱体的体积公式V Sh =.其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分. 1.设集合{|1},{1,3,5,7},{|5}U x x A B x x =≥-==>，则U A C B =（ ）A. {}1,3,5B. {}3,5C. {}1,3D.{}1,3,5,7【答案】A 【解析】 【分析】先求出B 的补集，再求交集． 【详解】由题意{|5}UB x x =≤，∴{1,3,5}UAB =，故选：A ．【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题关键．2.已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥”是“b α⊥”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理与性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可得到“a b ⊥”是“b α⊥”的必要不充分条件．【详解】由线面垂直的判定定理得：若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥”不能推出“b α⊥”， 由“b α⊥”，根据线面垂直的性质定理，可得“a b ⊥”， 即“a b ⊥”是“b α⊥”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为[70,80)组应抽取的人数为（ ）A. 60B. 50C. 40D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据6个矩形面积之和等于1求出0.04a =，再用样本容量乘以第4个矩形的面积即可得到答案.详解】依题意得(0.0050.0050.020.020.01)101a +++++⨯=，解得0.04a =， 所以成绩为[70,80)组应抽取的人数为1000.041040⨯⨯=， 故选：C【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，属于基础题.4.已知正方体1111ABCD A B C D -的表面积为24，若圆锥的底面圆周经过11A A C C ，，，四个顶点，圆锥的顶点在棱1BB 上，则该圆锥的体积为（ ）A. B.3D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面积求出2a =，再求出圆锥的底面积和高代入圆锥的体积公式即可得到结果.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则2624a =，所以2a =，所以圆锥的底面半径为11||2AC ==，所以底面积为23ππ⨯=，又圆锥的高为1||2BD =133π=.故选：C【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体，考查了正方体的表面积，考查了圆锥的体积公式，属于基础题.5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0+∞，单调递增，若15(log 2)a f =-，5(lo 12g )b f =，12(5)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c =<B. a b c <<C. c b a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】先得出()f x 在R 上为增函数，根据奇函数的性质将a 化为5(log 2)f ，根据对数函数的单调性和指数函数的性质得到1255151log 2log 2>>>，再根据()f x 的单调性即可得到答案. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0+∞，单调递增， 所以()()f x f x -=-，且()f x 在R 上为增函数，因为15(log 2)a f =-55(log 2)(log 2)f f =--=，5(lo 12g )b f =，12(5)c f =， 且1255151log 2log 2>>>， 所以12551(5)(log 2)(log )2f f f >>，即c a b >>. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了对数函数的单调性、指数函数的性质，属于基础题.6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线28y x =的准线于点B ，若三角形AOB （O为原点）的面积 ）A. 221124x y -=B. 221412x y -=C. 2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线l 与渐近线方程得出A 的坐标，联立直线与准线方程得出B的坐标，根据三角形的面积得出b =，再结合2c =，222c a b =+，可解得结果.详解】由28y x =得4p =，所以(2,0)F ，所以直线:(2)bl y x a=-，抛物线的准线为：2x =-， 联立(2)b y x a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得1x b y a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以(1,)b A a -，联立(2)2b y x a x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩可得24x b y a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以4(2,)b B a --，所以14141()(12)21222OABb b b b Sa a a a =+⋅+-⨯⨯-⨯⨯3ba=，所以3b a=，所以ba =b =， 又2c =，222c a b =+，所以2243a a =+，所以21a =，所以2233b a ==，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，考查了三角形的面积，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知函数()()21cos 202f x x x ωωω=+->的最小正周期为π，若将()y f x =的图象上所有的点向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得图象对应的函数()g x 为奇函数，则()fϕ=（ ）A.12B.2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，利用该函数的最小正周期可求得ω的值，利用平移变换求出函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数可求得ϕ的值，进而可求得()f ϕ的值.【详解】()211cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的最小正周期为π，则222Tπω==，1ω∴=，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位，所得图象对应的函数为()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 由于函数()y g x =为奇函数，则()26k k Z πϕπ-=∈，可得()122kk Z ππϕ=-∈， 02πϕ<<，所以，当0k =时，12πϕ=.因此，sin 2sin 121263f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查利用正弦型函数的周期性、奇偶性求参数，同时也考查了利用函数图象平移变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.8.已知b R ∈，数列{}n a 为等比数列，12311,4a a a =+=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222n bb S -≤对于*n N ∀∈恒成立，则b 的取值范围为（ ） A. 1[,1]2-B. [)112⎛⎤∞⋃+∞ ⎥⎝⎦-，-，C.D.【答案】A 【解析】 【分析】基本量法求出n a 的公比，由等比数列前n 项和公式得n S ，然后求出2n S 的最小值，再解相应的不等式可得．【详解】设数列{}n a 的公比是q ，又11a =，∴22314a a q q +=+=-，解得12q =-，∴11()212[1()]1321()2nn n S --==----， ∴2221[1()]32n n S =-，它是关于n 的增函数，∴2min 21()2n S S ==，由2122b b -≤，解得112b -≤≤．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查等比数列前n 项和公式，考查数列的最值，掌握等比数列基本时运算是解题关键．9.在平面四边形ABCD 中，6,2,2AB CD AD ===，P 为BC 中点，若103AC AD AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，15AC AB ⋅=，则AP AD ⋅=（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】在AB 上取点M ，使得13AM AB =，由103AC AD AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭得出AC DM ⊥，从而可得//CD AB ，N 是MD 和AC 的中点，从而由15AC AB ⋅=可求得AC 的长，再用,AC AB表示出,AP AD ，进行数量积的运算． 【详解】在AB 上取点M ，使得13AM AB =，连接DM 交AC 于N ，即13AM AB =，∴13MD AD AB =-， ∵103AC AD AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，∴0AC MD ⋅=，∴AC DM ⊥，又2AM AD DC ===，∴DAC BAC DCA ∠=∠=∠，AN NC =，∴//CD AB ， 设DAC BAC α∠=∠=，(0,)2πα∈，则2cos AN α=，24cos AC AN α==，∴4cos 6cos 15AC AB αα⋅=⨯⨯=，∴cos α=，AP =∵P是BC中点，∴1()2AP AC AB =+，又13AD AC CD AC AB=+=-，∴2211121()()()23233AP AD AC AB AC AB AC AC AB AB⋅=+⋅-=+⋅-2121(10156)4233=⨯+⨯-⨯=．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是作图，在AB上取点M，使得13AM AB=，由13AC AD AB⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭得出AC DM⊥，利用图形进行数量积的运算．第Ⅱ卷非选择题(共105分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.10.i为虚数单位，若12a ii--为纯虚数，则实数a的值为___________.【答案】2-【解析】【分析】由除法运算化复数为代数形式，再根据复数的分类求解．【详解】2()(12)2222112(12)(12)555a i a i i a ai i i a aii i i--++--+-===+--+为纯虚数，则25215aa+⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，∴2a=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的分类，掌握复数除法运算法则是解题关键．11.61x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为____________． 【答案】15 【解析】试题分析：由题意得61x ⎫⎪⎭的展开式中的通项为63213(1)r r r r T C x -+=-，令6302r -=，解得2r ，所以展开式的常数项为15．考点：二项式定理．12.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若43S =，54S =，则9a =_____________. 【答案】75【解析】 【分析】首先根据题意列出不等式组411511434463254551042S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=⎪⎩，解不等式可得到1a ，d ，再计算9a 即可.【详解】由题知：411511434463254551042S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=⎪⎩，解得：135a =，110d =. 91785a a d =+=.故答案为：75【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 13.已知直线21y x =+与圆22210x y ax y ++++=交于A 、B 两点，直线20mx y ++=垂直平分弦AB ，则m 的值为____________，弦AB 的长为____________. 【答案】 (1).12【解析】 【分析】由题意可知直线20mx y ++=与直线21y x =+垂直，可求得m 的值，并且直线20mx y ++=过圆心，可求得实数a 的值，然后将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，并计算出圆心到直线21y x =+的距离，利用勾股定理可求得弦AB 的长. 【详解】由题意可知，直线20mx y ++=与直线21y x =+垂直，()21m ∴⨯-=-，可得12m =， 由于方程22210x y ax y ++++=表示的曲线为圆，则222410a +-⨯>，解得0a ≠， 且圆22210x y ax y ++++=的圆心坐标为,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆心在直线240x y ++=上， 所以，()21402a-+⨯-+=，解得4a =， 所以，圆的方程为224210x y x y ++++=，即()()22214x y +++=， 圆心坐标为()2,1--，半径长为2，圆心到直线210x y -+=的距离为d ==因此，5AB ===.故答案为：12；5. 【点睛】本题考查利用两直线垂直求参数，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，解答的关键就是求出圆的方程，考查计算能力，属于中等题.14.设0b >，21a b -=，则218a a b+最小值为_____________.【答案】1 【解析】 分析】由题意结合基本不等式可得218a a b +≥再利用基本不等式，验证等号同时成立即可得解. 【详解】0b >，21a b -=，∴211a b =+>，∴2118a a b +≥=≥=， 当38a b =且1b =即2a =，1b =时，等号同时成立，∴218a a b+的最小值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，在连续使用基本不等式求最值时，要注意等号是否能同时成立，属于中档题. 15.已知m R ∈，函数2268,1(),1x m x f x x mx m x +-≥⎧=⎨-++<⎩（1）若()f x 在R 上单调递增，则m 的取值范围为______________；（2）若对于任意实数a ，方程()f x a =有且只有一个实数根，且(2)8f <，函数()y f x =的图象与函数y mx t =+的图象有三个不同的交点，则t 的取值范围为______________. 【答案】 (1). [2,3](2). 2,4) 【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出不等式组2121681m m m m⎧≥⎪⎨⎪+-≥-++⎩，解不等式组即可.（2）首先根据已知条件得到2m =，画出函数()y f x =的图象，利用数形结合的思想即可得到t 的取值范围.【详解】（1）由题知：2121681mm m m⎧≥⎪⎨⎪+-≥-++⎩，解得23m ≤≤.（2）因为对于任意实数a ，方程()f x a =有且只有一个实数根，且(2)8f <，所以21681(2)2688m m m f m ⎧+-=-++⎨=+-<⎩，解得2m =.所以24,1()24,1x x f x x x x +≥⎧=⎨-++<⎩， 函数|()|y f x =的图象如图所示：令2240x x -++=，解得15x =(15,0)A . 当函数2y x t =+过A 点时，252t =， 此时函数2y x t =+与()y f x =有两个交点.联立2224024y x t x t y x x =+⎧⇒+-=⎨=-++⎩， 当04(4)0t ∆=--=，即4t =时， 此时函数2y x t =+与()y f x =有两个交点.因为函数()y f x =的图象与函数2y x t =+的图象有三个不同的交点， 所以2524t <<.故答案为：[2,3]；(252,4)【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查了函数的零点问题，数形结合为解决本题的关键，属于难题.三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 3sin A B =，6cos a b C =，c =（1）求角C 和b 的值；（2）求sin 23B ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值.【答案】（1）60C =︒；1b =；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合正弦定理可得3a b =、1cos 2C =，求出60C =︒后，再利用余弦定理即可求得b ，即可得解；（2）由正弦定理可得sin B ，利用同角三角函数的平方关系、三角恒等变化可得sin 2B 、cos2B ，再利用正弦的差角公式即可得解.【详解】（1）由题意结合正弦定理得3a b =，则1cos 62a Cb ==， 又()0,180C ∈︒︒，所以60C =︒；由222222971cos 262a b c b b C ab b +-+-===，解得1b =或1b =-（舍去），所以1b =；（2）由正弦定理得sin sin b cB c==sin B =， 又因为sin 3sin A B =，所以A B >，B 为锐角，所以co 1s 4B ==，所以sin 22sin cos B B B ==211cos22cos 114B B =-=，因此111sin 2sin 2cos cos 2sin 14214214333B B B πππ⎛⎫-=-=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用与运算求解能力，属于中档题.17.全民参与是打赢新型冠状病毒防疫战的根本方法.在防控疫情的过程中，某小区的“卡口”工作人员由“社区工作者”“下沉干部”“志愿者”三种身份的人员构成，其中社区工作者3人，下沉干部2人，志愿者1人.某电视台某天上午随机抽取2人进行访谈，某报社在该天下午随机抽取1人进行访谈.（1）设X 表示上午抽到的社区工作者的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“全天抽到的3名工作人员的身份互不相同”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）15【解析】 【分析】（1）X 的可能值为012，，，分别求出每个值对应的概率，然后做出分布列，进而求出数学期望. （2）身份互不相同为：抽到一名社区工作者，一名下沉干部，一名志愿者.分类讨论逐一计算即可求出概率.【详解】解：（1）X 的可能值为012，，. 0233261133262033261(0);53(1);51(2).5C C P X C C C P X C C C P X C =========（每个）所以随机变量X 的分布列为131012 1.555EX =⨯+⨯+⨯=（2）身份互不相同为：抽到一名社区工作者，一名下沉干部，一名志愿者，上午同时抽取两个，情况为26C ，下午抽取一个，情况为16C ，所以1111113231212226661231().6665C C C C C C P M C C C ⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅= 所以事件M 发生的概率15. 【点睛】本题考查随机事件的分布列、期望和方差，考查求互斥事件的概率，考查概率的实际应用，属于中档题.18.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，//CD AB ，AD AB ⊥，2AD AB ==，1132CF CD ==，5PA PB ==，E N ，分别为AB PB ，的中点.（1）求证：//CN 平面PEF ； （2）求二面角N CD A --的余弦值；（3）在线段BC 上是否存在一点Q ，使NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为1414，若存在求出BQ 的长，若不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（225（3）存在；17BQ 【解析】 【分析】（1）取PE 中点G ，可证明GN CF ∥且GN CF =，从而证明CN FG ∥，进而可证明//CN 平面PEF ；（2）分别以,,EB EF EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法可求出二面角N CD A --的余弦值；（3）假设存在Q 点，利用向量法求NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为1414时Q点的坐标，判断是否在线段BC 上，进而求出BQ 的长.【详解】（1）证明：取PE 中点G ，连接GN FN ，，1122GN BE GN BE ∴==∥，，即,GN CF GN CF =∥， 所以GNCF 为平行四边形，,CN FG CN ⊄∥平面PEF ，FG ⊂平面PEF ，因此CN平面PEF .（2）解：因为PA PB =，E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，又因为侧面PAB ⊥底面ABCD 且交线为AB ，所以PE ⊥平面ABCD ，分别以,,EB EF EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.11(0,0,2),(,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(,0,1)22P C D A B N --，平面CDA 的法向量(0,0,1)m =，3(,0,0)2CD =-，(0,2,1)CN =-，设平面CDN 的法向量(,,)n x y z =，则30220x y z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，令1y =，得(0,1,2)n =. 所以25cos ,5m n <>==，因此二面角N CD A --25. （3）解：设1(,2,0)2BQ BC λλλ==-，1(1,2,0)2Q λλ-+，11(,2,1)22NQ λλ=-+-，平面PEF 的法向量(1,0,0)p =，所以2211||1422cos ,11()(2)122NQ p λλλ-+<>==-+++， 解得13λ=或9λ=-（舍），所以存在(,,0)Q 5263，所以BQ =【点睛】本题考查线面平行的判定定理，考查向量法求线面角，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查学生的运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点(2，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，且||2||OA OB =. （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线1l 与椭圆交于另一点M ，过点B 的直线2l 与椭圆交于另一点N ，直线1l 与2l 的斜率的乘积为14-，M N ，关于y 轴对称，求直线1l 的斜率. 【答案】（1）221369x y +=（2）12【解析】 【分析】（1）由||2||OA OB =可知2a b =，点(2代入方程即可求解； （2）设直线1l 的方程为(6)y k x =-，联立椭圆即可求M ，由1l 与2l 的斜率的乘积为14-可求2l 的斜率，联立2l 与椭圆可得N ，根据M 、N 关于y 轴对称即可求出k . 【详解】（1）因为||2||OA OB =，即2a b =，又椭圆过点2（，所以224814b b +=，解得6,3a b ==， 椭圆方程为221369x y +=.（2）设直线1l 的方程为(6)y k x =-，则221,369(6),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(14)48144360k x k x k +-+-=，解得16,x =22224614k x k -=+，所以22224612(,)1414k kM k k --++.因为直线12,l l 的斜率乘积为14-， 所以直线2l 的方程为134y x k=--， 同理可得22224312(,)1414k k N k k --++.因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k kk k--=++，即24410k k --=，解得12k =所以直线1l 的斜率为12【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，考查了运算能力，属于中档题.20.设函数()ln(1)f x x =+，()1xg x e =-.（1）求函数()g x 的图象在1x =处的切线方程； （2）求证：方程()()f x g x =有两个实数根； （3）求证：()()f x xx g x ≥. 【答案】（1）1y ex =-（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求导得到()xg x e '=，再求得(1)g '，(1)g ，写出切线方程.（2）令()()()ln(1)1xh x f x g x x e =-=+-+，求导11(1)()11x xx e h x e x x -+'=-=++，设()1(1)x p x x e =-+，则()(2)0x p x x e '=-+<，结合()00p =，得到()h x 在()1,0-上单调递增，()h x 在()0,∞+上单调递减，再利用零点存在定理求解.（3）设ln(1)()(1)x q x x x +=>-，，则(1)1x x xq e e -=-，将证明()()f x x x g x ≥，转化为证明()(1)x q x q e ≥-成立，易知1x x e ≤-恒成立，则要证()(1)x q x q e ≥-，只需证()q x 为单调递减函数，然后用导数法证明()0q x '≤即可. 【详解】（1）因为()1xg x e =-， 所以()xg x e '=，所以(1)k g e '==，(1)1g e =-，所以()g x 的图象在1x =处的切线方程为(1)(1)y e e x --=-，即1y ex =-. （2）设()()()ln(1)1x h x f x g x x e =-=+-+，定义域为()1,-+∞， 11(1)()11x xx e h x e x x -+'=-=++，设()1(1),()(2)x x p x x e p x x e '=-+=-+，因为()1,x ∈-+∞，所以()0p x '<，因此()p x 在()1,-+∞上单调递减， 又(0)0p =，所以()1,0x ∈-时，()0p x >，()h x 在()1,0-上单调递增，()0,x ∈+∞时，()0p x <，()h x 在()0,∞+上单调递减，因此max ()(0)10h x h ==>，而2(2)ln310h e =+-<， 所以()h x 在()0,∞+上有一个零点，而111(1)110e h e e--=-+-<，所以()h x 在()1,0-上有一个零点， 故方程()()10f x g x -+=有两个实数根.（3）设ln(1)()(1)x q x x x +=>-，，则(1)1x x xq e e -=-， 不等式()()f x xx g x ≥，即为()(1)x q x q e ≥-， 设()1xh x e x =--()1x h x e '=-当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()()00h x h ≥= 所以1x e x ≥+ 所以1x x e ≤-恒成立，所以要证()(1)x q x q e ≥-，只需证()q x 为单调递减函数. 222111ln(1)1ln(1)1ln1111()x x x x x x x q x x x x-+--+-+++++'===， 设()ln 1r x x x =-+()11r x x'=- 当01x <<时，()0r x '>，当1x >时，()0r x '<， 所以()()10r x r ≤= 所以ln 1x x ≤-恒成立， 则11ln111x x ≤-++ 即111ln 011x x -+≤++， 所以()0q x '≤，所以()q x 为单调递减函数， 故()()f x x xg x ≥. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与方程的根以及导数与不等式证明问题，零点存在定理，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。
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天津市塘沽区2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5CD 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】 () 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.2．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49- 【答案】C【解析】【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<； 指数函数2x y =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=；指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==.综上所述，b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.4．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i -- 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】 由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.6．()()52122x x--的展开式中8x 的项的系数为（ ） A ．120B ．80C ．60D ．40 【答案】A【解析】【分析】化简得到()()()()555212222222x xx x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案. 【详解】 ()()()()555212222222x x x x x =⋅----- 展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x x x x ---=⨯. 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）A ．25B ．1325C ．35D ．1925【答案】D【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A 种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P =-=. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.8．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A ．3B ．13C ．2D ．12 【答案】A【解析】【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为00(,2)x kx -， ∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =，故选A.该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A．96里B．72里C．48里D．24里【答案】B【解析】【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，计算1192a=，代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，则61112378112a⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a=，从而可得3241119296,1922422a a⎛⎫=⨯==⨯=⎪⎝⎭，故24962472a a-=-=.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC-==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC⊥112AA O=，则球的半径为( )AB．C．132D．【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R13，即R＝13211．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.12．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．【答案】3-【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值.【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815x ⨯+++++=，解得0x =；又乙班5名同学的中位数为73，则3y =； 033x y -=-=-.故答案为：3-.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________．【答案】-1【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x+2y ﹣1，得y 12=-x 122z ++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时， 直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y x x y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1）， 此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___________．【答案】13【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b 值为13.故答案为13.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．【答案】12【解析】【分析】由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。
【详解】由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a ，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==，又由三棱锥1A AEF -的体积为1111111123326A AEF F AA E V V S h ah b abh --===⨯⨯==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。