可微性的几何意义及应用
可微性与偏导数
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例2 求函数 f ( x, y) x3 2x2 y y3 在点 (1,3) 处关
于 x 和关于 y 的偏导数.
解 先求 x 的偏导数. 令y = 3, 得 f ( x,3) x3 6x2 27,
求它在 x = 1 的导数, 则得
fx (1,3)
d f ( x,3) dx
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§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
由 (1), (2) 可见, 当 | x |, | y | 充分小时, 全微分 dz
可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式:
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ). (3)
y0 x x0 y x y.
由于 | x y | | x | | y | 0 ( 0),
因此 xy o( ). 从而 f 在 ( x0 , y0 ) 可微, 且
d f y0 x x0 y.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性与全微分
可微性的几何意义及应用
定义1
设函数 z f ( x, y) 在某邻域 U(P0) 内有定义.
对于P( x, y) ( x0 x, y0 y) U (P0 ), 若 f 在
P0 的全增量 z 可表示为
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
偏导数
可微性条件
多元函数的可微性
x0
x
2022年9月1日10时41分
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9
类似地可定义关于 y 的偏导数
f y
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
lim
y y0
f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ) y y0
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
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22
例6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
z
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x (x0, y0 )
x0
x
作平面 y =y0 , 得曲线 L ,
z f (x, y)
y
y0
在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0 , y0 ))处
作曲线L的切线 Tx
由一元函数导数的几何意义：
z = tan
x ( x0 , y0 )
A( x x0 ) B( y y0 )
dz
从而
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 )
2022年9月1日10时41分
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5
在使用上，⑴式常写成下列形式：
其中
z Ax By x y
lim lim 0
二元函数可微的几何意义
二元函数可微的几何意义二元函数可微的几何意义二元函数是指输入有两个自变量的函数，常见的二元函数有二元多项式、二元三角函数等等。
而可微是指这个函数的某个点处存在一个切平面，这个平面可以近似地代替函数在该点的局部变化情况。
而函数的可微性说明了该函数在某个点处对应的切平面存在，这个切平面的几何意义是什么呢？本文将深入探讨二元函数可微的几何意义。
切平面首先，我们需要知道什么是切平面。
对于一条曲线或一个曲面上某一点，其切线或切平面提供了该点处的一个局部近似。
切平面是在曲面上与该点处于相同位置并与切线垂直的平面。
它是对应于一个点处局部导数的集合，可以用来描述该点处的局部变换情况。
二元函数可微的几何意义当我们将可微函数定义在平面上时，函数在某一点处的可微性表示了该点处的切平面存在，切平面与函数图形在该点处相切。
对于在平面上定义的二元函数f(x,y)，在点(x,y)处的切平面依然存在，切平面的法向量是函数梯度的方向。
因此，函数在某一点处可微就意味着该点处的函数在与之切平面相切的方向上的导数存在。
图形通过图形来理解切平面是二元函数可微的几何意义，可以更加形象、具体。
以二元函数f(x,y)=x^2+2y^2为例，该函数的图形在三维坐标上是一个椭球面，如果我们要在点(1,1)处求切平面，那么我们需要计算该点处的偏导数，即fx=2x=2，fy=4y=4，因此该点的梯度是(2,4)。
接着，使用该点的梯度作为法向量，我们可以得到如下的切平面方程：2(x-1)+4(y-1)=0，即2x+4y=6，这是一个通过点(1,1)且垂直于梯度向量的平面，该平面与该点处函数图形有很好的拟合关系。
可以看出，该切平面与函数图形相切。
总结二元函数可微的几何意义是切平面的存在，切平面与函数图形在该点处相切，切平面的法向量是函数的梯度方向。
切平面可以近似代替函数在该点的局部变化情况，从而更好地描述函数的局部性质和行为。
掌握二元函数可微的几何意义对于数学建模和数学分析都具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。
1 可微性
故函数 z f ( x, y )在点( x, y )处连续.
例 1 考察函数 f x , y xy 在点 x 0, y 0 处的可 微性. 解 在点 x0 , y0 处函数 f 的全增量为
f x 0, y 0 x0 x y0 y x0 y0
x
z
说明：
求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
xy , x 2 y 2 0, x2 y2 例6 设 f ( x , y ) 0, 2 2 x y 0
求 f x ( x, y ),
解 (1)
ห้องสมุดไป่ตู้
f y ( x, y ).
先求 f x ( x, y ). 当 x 2 y 2 0时 , 即 x 0 且 y 0 时 xy y ( x 2 y 2 ) 2 x xy f x ( x, y ) 2 2 2 2 2 ( x y ) x y
记作
f x ( x 0 , y0 )
或
f x x 0 , y0
u 注意 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
定义中, f 在点 x 0, y 0 存在关于 x 的偏导 数 , f 至少在
x , y y y , x x
0
0
上
必须有定义.对于 y 同理
估计误差
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的某邻域内有 定义,设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的任意一点， 则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y)
为函数在点 P 对应于自变量增量 x, y 的全增量， 记为 z ，即 z f ( x x , y y ) f ( x , y ).
3.5-1微分的定义和几何意义
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
谢谢
THANK YOU
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
T
N
o(x)
P
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
“在一定的条件下，直线与曲线应当是一 回事”。这里的条件就是自变量的变化很 微小乃至于趋近于零。
从数量关系方面看，曲线反映非均匀变化； 直线反映均匀变化，曲线向直线转化为我 们用均匀变化过程来近似非均匀变化提供 了理论根据。既然曲线与切线有如此密切 的关系，因此，我们常用切线来研究曲线。
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量 y.
y ( x0 x)3 x03
3
x
2 0
x
3x0
(x)2
(x)3
.
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
高等数学第17章第1节可微性
第十七章 多元函数微分学§1可微性一 可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解 在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆= □二 偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微，则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A ．同样，由上一段已知，若二元函数f 在点),(00y x 可微，则f 在点),(00y x 处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此，在（4）式中令()00≠∆=∆x y ，这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆，且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ，由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出，（5）式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数．类似地，令()00≠∆=∆y x ，由（4）式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数．二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下： 定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但又有差别．注意2 在上述定义中，f 在点),(00y x 关于x （或y ）的偏导数，f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义． 若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y 的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或， 也可简单地写作x f ，x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或 在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。
多元函数可微的充分条件
多元函数可微的充分条件多元函数可微是微积分中的一个重要概念。
我们知道，在一元函数的情况下，函数可微的充分条件是其在这一点处的导数存在。
而对于多元函数，则需要更加严谨的定义和判定方法。
下面，我们来分步骤探讨多元函数可微的充分条件。
1.多元函数定义在介绍多元函数的可微性之前，我们先来定义一下多元函数。
多元函数是n个自变量x1,x2,...,xn所组成的函数f(x1,x2,...,xn)，其取值为实数。
例如，三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2就是一个多元函数，其中，x,y,z是自变量，f(x,y,z)是其函数值。
2.偏导数的定义在讨论多元函数的可微性之前，我们先来介绍一下偏导数的概念，因为它是判断多元函数可微的基础。
对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点(x1,x2,...,xn)处，对第i个自变量xi求偏导数的定义为：∂f/∂xi = lim Δxi→0 [f(x1,x2,...,xi+Δxi,...,xn) -f(x1,x2,...,xi,...,xn)]/Δxi其中，Δxi表示xi的增量，即Δxi=xi-xi0，xi0为xi的一个近似值，Δxi→0表示极限。
偏导数代表了函数在某一点处沿着此方向的变化率。
3.全微分的定义在讨论多元函数可微性时，还需要引入全微分的概念。
对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点(x1,x2,...,xn)处的全微分df 定义为：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中，dx1,dx2,...,dxn是自变量的增量。
全微分可以理解为函数在某一点处的微小变化量。
4.多元函数可微的充分条件有了偏导数和全微分的概念，我们就可以来讨论多元函数可微的充分条件了。
多元函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处可微的充分条件是：存在n个偏导数∂f/∂xi(i=1,2,...,n)，使得全微分df=∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn在该点处存在，并且满足：Δf = f(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn) - f(x1,x2,...,xn) = df + o(√Δx1^2+Δx2^2+...+Δxn^2)其中，o(√Δx1^2+Δx2^2+...+Δxn^2)表示高阶无穷小，即当Δx1,Δx2,...,Δxn趋近于0时，o(√Δx1^2+Δx2^2+...+Δxn^2)趋近于0。
可导和可微的几何意义
可导和可微的几何意义摘要：一、引言二、可导和可微的定义1.函数在某点可导的条件2.函数在某点可微的条件三、可导和可微的几何意义1.切线斜率2.变化率3.曲率四、实例分析1.线性函数的可导和可微2.多项式函数的可导和可微3.指数函数的可导和可微五、结论与展望正文：一、引言在微积分中，可导和可微是两个非常重要的概念。
它们在描述函数在某一点的性质以及函数在某一点的局部变化方面具有重要作用。
本文将详细介绍可导和可微的定义以及它们的几何意义，并通过实例进行分析。
二、可导和可微的定义1.函数在某点可导的条件函数f(x)在点a可导，当且仅当存在一个极限：lim_(h->0) (f(a + h) - f(a)) / h这个极限存在且有限，即可导。
2.函数在某点可微的条件函数f(x)在点a可微，当且仅当它的导数f"(a)存在。
即：f"(a) = lim_(h->0) (f(a + h) - f(a)) / h三、可导和可微的几何意义1.切线斜率可导性反映了函数在某一点的切线斜率。
如果函数在某点可导，那么这个点的切线斜率就是该点的导数。
这意味着，函数在某一点的切线可以用导数来表示。
2.变化率可导性还可以表示函数在某一点的变化率。
当函数在某一区间内可导时，该区间内各点的导数表示了函数在各点的变化率。
变化率越大，函数的增长或减少速度就越快。
3.曲率对于二阶可导的函数，可导性还可以表示为曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要参数，它反映了曲线在某一点的弯曲程度。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越明显。
四、实例分析1.线性函数的可导和可微线性函数如f(x) = 2x + 3，在任意点都可导，且导数为2。
这意味着，线性函数在任何一点的切线斜率都是2。
2.多项式函数的可导和可微多项式函数如f(x) = x^3，在任意点都可导，且导数为3x^2。
这意味着，多项式函数在任何一点的切线斜率都是3x^2。
3.指数函数的可导和可微指数函数如f(x) = e^x，在任意点都可导，且导数为e^x。
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又因 z0 a x02 b y02 , 所以它可化简为
2a x0 x 2b y0 y z z0 0.
由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . 2a x0 2b y0 1
§1 可微性与偏导数
一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用
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四、可微性的几何意义及应用
若一元函数 y f ( x) 可微， 我们把平面曲线 S
在其上某一点 P( x0 , y0 ) 的切线 PT 定义为
S
过点 P 的割线 PQ，
当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置
近似计算和误差估计：
例7 求 1. 08 3. 96 的近似值. 解 设 f (x, y) x y,
并令 x0 1, y0 4, x 0.08, y 0.04. 由公式 (3)，有
1. 08 3. 96 f ( x0 x, y0 y) f (1,4) fx (1,4)x f y(1,4)y 1 4 0.08 14 ln1(0.04) 1. 32.
z
S •Q •Q2
则是切平面 PM1MM2 上
Q1•
M1•
•P
•M •M 2 • N2
相应的那一段增量 NM.
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
z
S •Q •Q2
Q1•
M1•
•P
•M •M 2 • N2
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
| S | 0. 13.
又因
S 1 absinC 1 12.50 8.30 1 25. 94,
2
2
2
所以 S 的相对误差限为
S 0.13 0. 5 %. S 25.94
Q• T
• P
PQ 与 PT 的夹角 也将随 Q →P 而趋于 0
用 h 表示点 Q 到直线 PT 的距离 ，
用d 表示点 Q 到点 P 的距离，
由于
sin
h ,
d
因此当 Q 沿 S 趋于 P 时,
0 等同于 h 0.
d
S
Q
h
d
T
•
P
图 17 - 2
我们引进曲面 S 在点 P 的 切平面的定义.
z
定义 3 设曲面 S 上一点P,
P•
Π 为通过点 P 的一个平面,
S 上的动点 Q 到定点 P
O
dh Q•
S
和到平面Π 的距离
x
y
分别记为 d 和 h.
图 17 - 3
若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有 h 0, d
则称Π为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点.
定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面 的充要条件是
例8 应用公式 S 1 ab sinC 计算某三角形的面积, 2
现测得 a 12.50, b 8.30, C 30o. 若测量 a, b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1o, 试求用此公式
计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
解 依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为 | a | 0.01 , | b | 0.01 , | C | 0.1o . 1800
过切点 P 与切平面垂直的直线 称为曲面在点 P 的法线. 由切平面方程知道，法向量为
r n ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0, y0 ), 1 ),
于是过切点 P 的法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
二元函数全微分的几何意义: 当自
当自变量由 ( x0 , y0 ) 变为 ( x0 x, y0 y) 时, 函
数 z f ( x, y ) 的增量 z 是 z 轴方向上的一段 NQ;
而在点( x0 , y0 ) 的全微分 dz
dz fx ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y,
由于 | S | | dS | S a S b S C a b C
S | a | S | b | S | C |
a
b
C
1 | bsinC | | a | 1 | a sinC | | b |
2
2
1 | abcosC | | C |, 2
因此将各数据代入上式, 即得 S 的绝对误差限为
于是, z 与 dz 之差是 MQ 那一段，它的长度将随着
0 而趋于 0, 而且是较 高阶的无穷小量.
例6 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
解：fx ( x0, y0 ) 2a x0 , f y ( x0, y0 ) 2b y0, 由公式 (13), 在点 P 处的切平面方程为
函数 f 在点P0( x0 , y0 ) 可微.
定理 17.4 说明: 函数在点 P0( x0, y0 ) 可微, 则曲面
z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, z0 ) 处的切平面方程为 z z0 fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ).