高中数学-导数的几何意义及应用

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高中数学专题微专题4 导数的几何意义及函数的单调性

所以函数f(x)是增函数，
由 f(3x－2)<f(x2)可得x32x>－3x2－>02，，解得23<x<1 或 x>2，因此不等式 f(3x－2)<f(x2)的解集为23，1∪(2，＋∞).
跟踪训练3 (1)(2023·玉林模拟)设函数f(x)＝ex－e1x－2x，若f(a－3)＋ f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是
专题一函数与导数
微专题4
导数的几何意义及函数的单调性
考情分析
1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
则 f(x)的单调递增区间为12，－1a，单调递减区间为0，12，－1a，＋∞. 2x－12
当 a＝－2 时，f′(x)＝－ x ≤0 恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间. 当 a<－2 时，－1a<12，由 f′(x)>0，得－1a<x<12；
由 f′(x)<0，得 0<x<－1a或 x>12，
则直线 l 的方程为 y－(3＋ln x2)＝x12(x－x2)，即 y＝x12x＋ln x2＋2.
所以 ex1＝x12，且 x1ex1＋ex1＋1＝ln x2＋2，
消去x2得(x1－1)( ex1－1)＝0，
故x1＝1或x1＝0，
所以直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2.
跟踪训练1 (1)(2023·常德模拟)已知l为曲线y＝a＋xln x 在(1，a)处的切线，

高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件

第三章 §3.1 导数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16，解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直线 l 的倾斜角的取值范围.

高中数学导数公式

导数知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －fx 0Δx❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❶处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❶曲线y ＝fx 在点Px 0，y 0处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′x 0的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 fx ＋Δx －fxΔx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝x n (n ❶Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′xg x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .❶S ＝∫b a f (x )d x ；❶S ＝－∫b a f (x )d x ；❶S ＝∫c a f (x )d x －∫b c f (x )d x ； ❶S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.导数应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0❶f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0❶f x在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′a＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点❶a叫做函数y＝f x的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．❶(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“❶”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．。

高中数学第五章一元函数的导数及其应用5-1-2导数的概念及其几何意义新人教版选择性必修第二册

学以致用
3.函数y=f(x)的图象如图所示,根据图象
比较曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))附
近的变化情况.
解:当x=x1时,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线l1的斜率
f'(x1)>0,因此在点(x1,f(x1))附近曲线呈上升趋势,即函数y=f(x)
在x=x1附近单调递增.同理,函数y=f(x)在x=x2附近单调递增.但
= (6+3Δx)=6.
→
规律总结利用导数定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步
骤
(1)求函数值y的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

(2)求平均变化率

=
( +)-( )

(3)取极限,得到导数 f'(x0)=
;

.
→
学以致用
( +)-( )

.

→
微探究满足什么条件时,函数y=f(x)在x=x0处的导数存在?
提示:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数存在,是指当 Δx→0

极限,若不存在极限,则函数
y=f(x)在 x=x0 处不可导.

时,有
2.导数的几何意义
(1)切线的定义:如图,在曲线y=f(x)

=3
→
( +)-( )

=3f'(x0)=1,故 f'(x0)=.
3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则
(
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1

高中数学导数的定义与求解

高中数学导数的定义与求解在高中数学中，导数是一个重要的概念，它用于描述函数的变化率，并广泛应用于微积分和其他相关学科中。

本文将介绍导数的定义及其求解方法。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率。

设函数f(x)在点x=a处可导，那么它的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。

二、导数的几何意义函数的导数在几何上有直观的解释：它等于函数曲线在对应点处的切线斜率。

换句话说，导数给出了函数曲线在特定点上的“陡峭程度”。

三、导数的求解方法1. 基本导数公式对于一些基本的函数，我们可以利用导数的基本定义和一些特殊公式来求导。

以下是一些常见函数的导数:- 常数函数导数：f(x) = C (其中C为常数) 的导数为0。

- 幂函数导数：f(x) = x^a (其中a为实数) 的导数为 f'(x) = a * x^(a-1)。

- 指数函数导数：f(x) = e^x 的导数为 f'(x) = e^x。

- 对数函数导数：f(x) = ln(x) 的导数为 f'(x) = 1 / x。

2. 导数的四则运算法则利用导数的四则运算法则，我们可以更方便地求解复杂函数的导数。

下面是一些常见的四则运算法则：- 和差法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，则它们的和（差）的导数为：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)。

- 积法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，则它们的乘积的导数为：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 商法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，并且g(x) ≠ 0，则它们的商的导数为：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2。

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。

也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。

如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。

2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。

如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。

这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。

二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。

不过反之不成立。

2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。

新人教版高中数学选择性必修第二册第五章导数的几何意义

即4x－y－4＝0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x) 的图象大致是
√
解析由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
解 ∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝ lim Δx→0
132＋Δx3＋43－13×23＋43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋31Δx2
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角
为π 的是 4
A.(0,0)
√B.(1，－1)
√C.(－1,1)
D.(1,1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
例2 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
√B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

导数的几何意义及常用函数的导数

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数

= ;

解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′

=
;

′
=

′
=
−

()＝log.
解
′ = ′ =

;

=

;

跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：

= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于

∴ = = ,即 = ,
所以切点为

,

.

∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函数 () 在点处的导数 ” 是一个数值 , 不是变

《高中数学导数讲解》课件

积分
导数是积分的基础，通过求导可以推导出原函数的表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题中起到关键作用，如物理中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立发现，为微积分学奠定了基础。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家进一步发展了导数理论，将其应用于函数研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在物理、工程、经济等领域得到广泛应用，成为解决实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

高中数学导数自学讲义——认识导数

导数的简单自学讲义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率()()0000lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝()()0lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式（*）4．利用导数的定义求函数的导数（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限.（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.5．导数的运算法则1) ．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2) ．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3) ．()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g (x )≠0) 4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例题精析【例题1】求函数y =x=1处的导数. 【例题2】一质点运动的方程为.（1）求质点在t=1时的瞬时速度；（2）求质点在t=1时的瞬时加速度；【例题3】求下列函数的导数.【例题4】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；。

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高中数学
导数及其应用复习学案
类型一：利用导数研究函数的图像
例2、若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）
(A) (B) (C) (D)
练习1．如右图：是f （x ）的导函数，
)(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（）
（A ）（B ）（C ）（D ）
2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（）
B ．
C ．类型二：导数几何意义的应用
例3、（1）求曲线21x y x =
-在点()1,1处的切线方程。

（2）求抛物线y=2x 过点5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x
y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y
32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+
----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或
7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________．
类型三：利用导数研究函数的单调性
例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；
（II ）求函数f （x ）的单调区间；
例5、已知函数f(x)=
ax 1x 2
++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围.
练习：若函数y =3
1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围
类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x
=
例、求函数的极值。

()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。

练习1、已知f(x)=x 3+ax 2
+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )
（A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6
（C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6
2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。

类型五：导数与最值
例8、已知函数f(x)=(x-k)e x .
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值.
练习：已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，问是否存在实数a 、b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．
类型六：导数的综合应用
例9、设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切斜线率为2．
（I ）求a ，b 的值；
（II ）证明：f (x)2x 2≤-．
例10、已知函数f(x)=2ax x b
+在x=1处取得极值2. （1）求函数f(x)的表达式；
（2）当m 满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增？
例11、设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．
（Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；
（Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a
对任意x ＞0成立．
类型七：生活中的导数
例12、用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖)，问使矩形边长为多少时，其体积最大？。