专题三 导数及其应用 第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理试题及答案

导数的概念及其几何意义教案

§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，

∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时　导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是　. 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点　 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点　 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线　 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

定积分的定义及几何意义

精品文档 定 积 分 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明： （1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、

膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）. 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 （一）本章教学目标

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -

偏导数的几何意义教学内容

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做

, , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为 记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或

由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在 变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求 时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求的偏导数 解= , = 二偏导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

1 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =， 得1 2 a =， 所以1 2()f x x = ()f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即22 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 1 1,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2

高中数学知识点总结-导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。 注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近 于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是 曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点 都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应 着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分： 求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/=x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2?k x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/= x a x x C x a x C x a x C a x n n n n n n n n n x ?--?++?-+?-+---→?)()()()()()(lim 222110 =

偏导数的几何意义

偏导数得几何意义 ?实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件?背景知识: 一偏导数得定义 在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量 - ， 如果（1) 存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做 , ，,或 例如，极限(1)可以表为 = 类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为 记做，，或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做 , ，,或 类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做 ，，，或 由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、

至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、 偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为= 其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题 例求得偏导数 解= ， = 二偏导数得几何意义 二元函数= 在点得偏导数得几何意义 设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率 三偏导数得几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数 = =｛ 在点（０，0）对得偏导数为 同样有 但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续 四二阶混合偏导数 设函数= 在区域D内具有偏导数 =, =

导数的概念与几何意义

导数的概念与几何意义、导数的运算 小题基础练⑧ 一、选择题 1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0⑧(a ，b )，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h h 的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 3．[2019·河南濮阳第一高级中学检测(二)]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′? ?? ??π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34 D ．1 4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29

C．212D．215 6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是() A．y＝3ln x－x B．y＝e x＋x C．y＝3x＋2D．y＝x3－x2＋2x 7. 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是() A．0

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Ax 偏导数的儿何意义 实验目的:通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二 阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一无函数吐我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论 它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变最的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一-个自变量的变化率，以二元函数z= /(了疗)为例， 如果只有自变量工变化，而自变量y 固定(即看作常量)，这时它就是X 的一元函数,这函数 对X 的导数，就称为二元函数Z 对于才的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= *')在点的某一?邻域内有定义，当y 固定在V 。，而工在工。 处有增量? A*时，相应的函数有增量 /(x 0 4-Ax,^) _ /(x 0,^0) f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) lim --------------------------------- 如果 Ax (1) 存在，则称此极限为函数z=在点”°疗°)处对汗的偏导数，记做 例如，极限(1)可以表为 f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) hgy°)蚣。 类似的，函数z= ,(兀、)在点(冲疗°)处对歹的偏导数定义为 尚 栈尚九(％必) dz

lim 敏T O Rxo，Vo +Ay）?地， dz 记做分5 X■命 如果函数2= 了3疗）在区域D内每一点（&'）处对工的偏导数都存在,那么这个偏导数就是工溜的函数,它就称为函数Z = /（工1）对自变量式的偏导函数，记做 & 堂 凯瓦，气或九（"）类似的，可以定义函数z= /（兀力对自变量W的偏导函数，记做dz 山偏导数的概念可知，/3'力在点（如儿）处对工的偏导数九成。/）显然就是偏导函数九3',）在点成°疗°）处的函数值,就像-?元函数的导函数-?样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求z=的偏导数,并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外 dz 一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题，求欲时,只要把*暂时看 作常最而对工求导;求莎时，则只要把式智时看作是常量，而对V求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数，例如三元函数〃 = /（兀MZ）在点（、,yz）处对式的偏导数定义为 岫Rx +Ax, y ,z）?Rx ,y ,z） 九（X'V’z） = A XT O A X 其中（X'W'Z）是函数〃 = /3，V，z）的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求z = / sin 2y的偏导数 dz

导数的概念及导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义 一．知识梳理 1、导数的概念及意义 求函数()y f x =在0x 处的导数的步骤： （1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?= +?-； （2）求平均变化率=??x y ； （3）取极限，得导数y '= . 特别提醒：)(0/x f 的定义式并不唯一，=')(0x f 0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00，也可以写成0 0000)()(lim ,)()(lim 0x x x f x f x x x f x f x x x --??--→→?等形式. 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别与联系 曲线)(:x f y C =在点（x 0，y 0）处的导数的几何意义是)(x f 在该点处的切线的 ，即=k .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是),(t s s =则 表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度；设)(t v v =是速度函数，则 表示物体在t =t 0时刻的加速度. 2.常用导数公式 3.导数的运算法则 . 例1.用导数的定义求函数2 231y x x =+-在3x =处的导数. 例2.求下列函数的导数： （1）3311sin 3y x x x =+- ； （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan = ； （4）x e y x ln = （5）1x e y x =+ 例3. 已知曲线y=.3 4313+x （1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 巩固练习 1.知,)(2 x x f -=则x f x f x ?-?+→?)3()3(lim 0的值是________． 2.函数3x y =在1=x 处的导数为_______; 3.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a ________． 4.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则直线l 的方程为________． 5.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π?????? ，，则点P 横坐标的取值范围为________． 6.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是22 1+=x y ,)1()1(/f f += . 7. 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ．

导数的概念及其几何意义同步练习题

导数的概念及其几何意义 一、选择题 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．9 6t t +?+ ? C ．3t +? D ．9t +? 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） (x 0+⊿x ) (x 0)+⊿x C. f (x 0)?⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0) 4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ） +2⊿x +2(⊿x )2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000 ()() lim h f x h f x h ?+-的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关 7. 函数y ＝x ＋1 x 在x ＝1处的导数是（ ） B.1 8.设函数f (x )=，则()() lim x a f x f a x a ?--等于( ) A.1a - B.2a C.2 1a - D.2 1a 9. 下列各式中正确的是( )

A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)Δx B. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0) Δx C. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx D. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx ) Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 1 3f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定 12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2 ＋3 t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时 的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 134 13.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） =-4x -1 =-7 C=4x -1 =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） =2x -1 =2x +1 C.y =2x +4 =2x -4 15. 下面四个命题： ①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在； ③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

高中数学完整讲义导数及其应用导数的概念与几何意义

1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近 于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是 知识内容 板块一.导数的概念 与几何意义 x 0x y x O D C B A