1.5定积分的几何意义
1、求曲边梯形面积 、 分割-----近似代替 近似代替-----求和 求和-----取极限 分割 近似代替 求和 取极限 2、定积分定义 、 3、定积分几何意义 、 4、定积分计算性质 、
1.求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法 求由连续曲线y= 求由连续曲线 对应的
n
O
a
b
x
积分
式
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
b ∫a
f ( x) d x
的实质
b （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，a 在区间［ 大于0 ∫
f ( x) d x 表示
直线x ),y 和曲线y 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义. 这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，b f ( x ) d x 表示 在区间［ 小于0 ∫ a 由直线x ),y 和曲线y 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数.
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方， 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
O
a
c
b
x
1.∫ f ( x)dx =
b a
S
f ( x) ≥ 0
-S f ( x ) < 0 表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积 S表示以 为曲边的曲边梯形面积 y
∫
b a
y = f ( x) < 0 f ( x ) dx 的值都可用区边梯形面 积
S a 0 ------几何意义 S b x
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴 根据定积分的几何意义 如何用定积分表示图中阴 影部分的面积? 影部分的面积
y y=f (x)
S 1 = y = fg( x ) d x ∫a (x
O a
b
b
b x
b
S = S1 − S2 = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx
a a
4.定积分的基本性质 4.定积分的基本性质
曲线 y = 1 − x 2 , x 轴， x = 0及 x = 1所围
1 4
的面积（见下图） 的面积（见下图）
y
面积值为圆的面积的
所以 ∫
1
0
1 − x dx =
2
π
4
1 x
例5. 计算由曲线y = x 2 , 直线y = − x + 2和x轴围
成的平面图形的面积。
y
分析： 分析：如图所示
y = x2
(2)近似代替 任取ξi∈[xi−1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 近似代替:任取 ， 个小曲边梯形的面积用高 近似代替 − y 而宽为∆ 为f(ξi)而宽为∆x的小矩形面积 而宽为 的小矩形面积 y=f(x) f(ξi)∆x近似之。 近似之。 ∆ 近似之 (3)求和:取n个小矩形面积的和 求和: 求和 个小矩形面积的和 作为曲边梯形面积S的近似值： 作为曲边梯形面积 的近似值： 的近似值
b
f(u)du。
b−a 即 ⋅ f (ξi ) 定积分的定义： ∫a f (x)dx = lim∑ 定积分的定义： n→∞ n i=1
b n
积分上限
y
y = f (x)
积分
∫
积分 限
b
a
f ( x)dx
被 积 函 数
b−a f (ξi ) = lim ∑ n →0 n i =1 积 被 分 [a, b]— 积 表 变 达 量
利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 例3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 1）
2π
π
∫
π
2 0
sin xdx
2）
∫
2
−1
x 2 dx
例4.计算 ∫ xdx的值
0
1
变式1. 变式1.计算定积分 变式2. 变式2. 计算积分
∫
1
∫
5
0
(2 x − 4)dx
0
1 − x 2 dx
S = ∫ −1x dx
（2） ）
2 -1 0
S =∫ 1 dx
x2 +y2 =1
2
S = ∫ [(x −1) −1]dx − ∫ [(x −1) −1]dx 0 1 x
2
0 1 2 x
S = ∫ x dx
2 1
2
S = ∫ 1− x dx
2 −1
1
例2. 利用定积分的几何意义说明等式∫ 2π sin xdx = 0成立。 − 2 在右图中，被积函数 f ( x ) = sin x 解：
b
说明:定积分是一个数值, 说明:定积分是一个数值,
b b
b−a 即 f (x)dx = lim∑ ⋅ f (ξi ) ∫a n→∞ n i=1
它只与被积函数及积分区间有关， 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关， 而与积分变量的记法无关，即
∫a f(x)dx =∫a f (t)dt =∫a
c
a c1 c2
(a＜c＜b) (a＜
∫
b
a
f ( x )dxy=∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
y=f(x)
∫a ∫a
c b
定积分关于积分区间具有可加性 c c b 定积分关于积分区间具有可加性
f (x )d x
f (x )d x
∫c
b
f (x )d x
S ≈ ∑ f (ξi )∆x
(4)取极限 所求曲边梯形的面 取极限:所求曲边 取极限 所求曲边梯形的面 积S为 为
i =1
n
S = lim ∑ f (ξi )∆x
n→∞ i =1
n
O
a
xi ξi xi+1
∆ x
{
b
x
2.定积分的定义 2.定积分的定义
分割----近似代替-----求和-----取极限 分割----近似代替-----求和-----取极限 ----近似代替-----求和-----
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
当 f(x)≥0 时，积分 ∫ f ( x )dx 在几何上表示由 y=f (x)、
b
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 = 、 = 与 轴所围成的曲边梯形的面积 轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
a
∫a
O a
b
f (x)dx
b x
b
0
1
x
例6.用定积分表示由曲线y = x, 直线y = -x + 2和x轴围成的 平面 图形的面积。
y
解
如图所示，阴影部分面积
S = ∫ xdx + ∫ (−x + 2)dx
0 1 1 2
y = −x + 2
y= x
0
1
2 x
四、能力提升
计算由曲线 y = x , 直线y = − x + 2和x轴围成的平面 图形的面积。
2
1
( x − x2)dx ∫
0
1
y
y = x2
y=x
y= x
= 2∫ x − x 2 dx
0
1
(
)
1 = 2× 6 1 = 3
0
1
x
n个小区间 [ a, x1 ] , [ x1 , x2 ] ,L[ xi −1 , xi ] ,L , [ xn−1 , b ] , 个小区间: 个小区间 每个小区间宽度⊿ 每个小区间宽度⊿x =
b−a n
(1)分割 在区间 分割:在区间 上等间隔地插入n-1个点 分割 在区间[a,b]上等间隔地插入 个点 将它等分成 上等间隔地插入 个点,将它等分成
y
y = f ( x) ≥ 0
0 a 的代数和表示 x b y
2.如果 上时正， 2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图 如果 在 上时正 时负，
y=f(x)
S1
0a S2
S3 b x
∫
b a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
用定积分表示图中四个阴影部分面积 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 用定积分表示图中四个
S = ∫ x dx+ ∫ (−x + 2)dx
2 0 1
1
2
1 1 = + ×1×1 3 2 5 = 6
y = −x + 2
0
1
2 x
变式. 变式 求下图阴影部分的面积。 解：由定积分几何意义知
S = ∫ xdx− ∫ x dx
2 0 0
1
1
y = x2 y
y=x
1 1 = − 2 3 1 = 6
解 如图所示， 如图所示，阴影部分面积
S = ∫ xdx + ∫ (−x + 2)dx
0 1
2 1 1 = + ∫ xdx + ∫ (− x + 2)dx 1 6 0
y
y = −x + 2
y=x
y= x
1
2
1 1 1 = + + ×1×1 6 2 2 7 = 6
0
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
1.5定积分的概念(4课时)ppt课件
作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1
1.5定积分的概念
1.5 定积分的概念三维目标：知识与技能：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江 省的国土面积。
此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。
方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。
方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P 足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A ，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
二．合作探究问题一 曲边梯形的面积如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
1.5定积分的概念(1)
3 面积为 8
O
1
x
特例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成 的图形（曲边三角形）面积S是多少？
曲 边 梯 形 的 面 积
1 面积为 2 3 面积为 8 19 面积为 54
y
y＝x２
O
1
x
特例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成 的图形（曲边三角形）面积S是多少？
曲 边 梯 形 的 面 积
S 1 3
1
O
x
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)定积分的基本性质
补充规定： 1
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
a f x dx 0
上，可认为函数f（x）＝x２的值变化很小， 近似的等于一个常数，不妨认为它近似地等于
左端点的函数值
近似的代替 S i ，则有：
S i S i'
i 1 f( ) ，用小矩形的面积 n
S i'
i 1 i 1 2 1 f( )x ( ) n n n
（3）求和
曲 边 梯 形 的 面 积
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成 的折线
曲线？
圆的面积
曲 边 梯 形 的 面 积
r
特例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成 的图形（曲边三角形）面积S是多少？
1.5.3.2定积分的定义及几何意义相关题型
为12×1Leabharlann ×2＝1,所
以
∫
0 －1
(－2x)dx＝1.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
题型三 利用定积分的性质求定积分 例3 求解以下各题: (1)若∫10[f(x)＋g(x)]dx＝3,∫10[f(x)－g(x)]dx＝ －5,则∫10f(x)dx＝________; (2)若∫ba2f(x)dx＝5,则∫baf(x)dx＝________.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
方法感悟 方法技巧 1.定积分∫baf(x)dx 是一个数值(极限值).它的 值仅取决于被积函数与积分上、下限.另外∫ba f(x)dx 与积分区间[a,b] 息息相关,不同的积分 区间,所得值也不同.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
n
2.
定
积
分
就
是
和
的
极
限
lim
n→∞
栏目 导引
第一章 导数及其应用
想一想
2.当 f(x)<0 时,∫baf(x)dx 是否有几何意义？
提示:有.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
3.定积分的性质 (1)∫bakf（x）dx＝_k_∫_ba_f（ __x_） __d__x__ (k 为常数); (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx ＝_∫ba_f_1_(x_)_d_x____±_∫_baf_2_(x_)_d_x_____; (3)∫baf(x)dx＝_∫ca_f_(x_)_d_x__＋∫_bc_f(_x_)_d_x (其中 a<c<b).
n
n
所以 Sn＝i∑＝1ΔSi＝∑i＝1
2ni·1n＝n22(1＋2＋3＋…
1.5定积分概念
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a 定理1 若函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续，
则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
0
i 1 n
2．被积函数,积分区间,积分变量； 3．介于曲线 y f ( x ) , x 轴 ,直线 x a , x b 之间 各部分面积的代数和； 4． dx .
a b
1 二、 (b 3 a 3 ) b a . 3 1 三、 (b 2 a 2 ) . 2
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示， 在区间 [a, b] 内插入若干
个分点， a x 0 < x1 < x 2 < L < x n 1 < x n b,
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
如果不论对[a , b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi 1 , xi ] 上
点 i 怎样的取法， 和 S 总趋于 确定的极限I ， 如果当n∞时，
我们称这个极限 I 为函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分， 记为
即
b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。
这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。
根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。
这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。
通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。
同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。
除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。
如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。
这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。
通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。
它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。
总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
1.5.3定积分的几何意义3.14
a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义 说明等式 成立。
2
2
sin xdx 0
y
解： 在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[
， ]上连续，且在 ，]上 [ 0 2 2 2
2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,
b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x
b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5
A1
-1
A2
2
x
2
2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
定积分的几何意义与性质
第7章 定积分第二节定积分的几何意义与性质1.定积分的几何意义2. 定积分的性质3. 小结、作业,0)(≥x f ⎰=b a A dx x f )(为曲边梯形的面积；如图：1. 定积分的几何意义()dx x f A ba ⎰=,0)(<x f ⎰-=b a A dx x f )(为曲边梯形的面积的负值。
如图：()dx x f A ba ⎰-=一般地。
数和，即之间的各部分面积的代及直线轴、曲线为介于面积有向b x a x x f y x dx x f ba===⎰,)( )( ()321A A A dx x f b a +-=⎰例1 用定积分表示下图中阴影部分的面积.解：如图被积函数 在 上连续,且 .由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为21x y =[]2,10>y ⎰=2121dx xA例2 用定积分的几何意义计算定积分 的值.解：如下图被积函数 在 上连续,且 .由定积分的几何意义可知,计算定积分 就是计算由直线 , , 以及 轴所围成的梯形的面积.所以0>y ⎰31xdx x y =[]3,1⎰31xdx x y =1=x 3=x x ()()[]()413312131=-+==⎰f f xdx A2. 定积分的性质补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．性质1性质2性质1,可推广到有限个函数代数和的情况,即()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++b a n b a b a b a n x f dx x f dx x f dx x f x f x f 2121][性质3（关于积分区间的可加性）若函数 在区间 与 上可积,则 在上也可积,且()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=(1)当 在区间 内时,由定积分的几何意义可知,c []b a ,()()()dx x f dx x f dx x f b c c a b a ⎰⎰⎰+=()x f []c a ,[]b c ,()x f []b a ,(2)当在区间 外时,不妨设 ,由定积分的几何意义可知,c []b a ,c b a <<()()()dx x f dx x f dx x f cb b ac a ⎰⎰⎰+=移项,得()()()dx x f dx x f dx x f cb c a b a ⎰⎰⎰-=而()()dx x f dx x f cb bc ⎰⎰-=所以()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=类似地,若时,也可以得出相同的结果.b a c <<dx b a ⋅⎰1dx b a ⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f b a . 性质4如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，性质6则dx x f b a ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，性质5（保号性）（证明略）解],0,2[ ,-∈∀>x x e xdx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰-≥dx e x ⎰-∴20.20dx x ⎰-≤设M 及m 分别是f 在[a ,b ]上的最大值及最小值，（证明略）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰. 性质7 （估值不等式）解, ],0[时当π∈x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰≤+≤⇒πππ.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x解 记,sin )(x x x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos xx x x -=有则对 , ]2 ,4[ ππ∈x ,0<∴)(x f 在]2,4[ππ上单调下降. ,22)4( ππ=∴f 最大值.2)2( ππ=f 最小值.22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x证.)(1M dx x f a b m b a ≤-≤∴⎰,],[上连续在区间b a f 由介值定理知，性质8（积分中值定理）积分中值公式).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰于是，有.],[ m M b a f 和别记为有最大值和最小值，分在∴存在ξ∈[a ,b ]，使,)(1)(⎰-=ξb adx x f a b f dx x f b a⎰)())((a b f -=ξ即证毕 .在],[b a 上至少存在一点ξ，几何解释：x y o a b 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
课件11：1.5.3 定积分的概念
跟踪练习 4 利用定积分的几何意义求2
4－x2dx.
－2
解：如图，定积分2
4－x2dx 表示由直线 x＝－2，x＝2，
－2
y＝0 与曲线 y＝ 4－x2所围成的图形的面积，计算可得 面积为π×222＝2π，
所以2
4－x2dx＝2π.
－2
课堂验收
1．设 f(x)是[a，b]上的连续函数，则bf(x)dx－bf(t)dt 的值
___23_π_－__2_3____.
1
【解析】 由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影
部分的面积．
易知 AB＝ 3，∠AOB＝π3，
∴S＝16×4π－12×1×
3＝23π－
3 2.
4．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积.
(1)－ －32x2dx＋－ 1 2x2dx；
(2)1(1－x)dx＋2(x－1)dx.
命题方向2 ⇨定积分的几何意义
例2
求1
(x3＋3x)dx.
－1
解：∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对
称，∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分
面积相等，由积分的几何意义知1
(x3＋3x)dx＝0.
－1
规律总结 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方 法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
a
a
( B)
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．不能确定
【解析】 bf(x)dx 和bf(t)dt 都表示曲线 y＝f(x)与 x＝a，
a
a
x＝b 及 y＝0 围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母