定积分几何意义
定积分的几何意义 (1)讲解
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.
定积分的定义性质和几何意义
b
f ( x)dx
b g( x)dx 。
a
a
15
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解：∵ x2在[0, 1]上 连续，∴ x2在[0, 1]上 可积。
将[ 0,1]
n等分，分点为 xi
i ，(i 1,2, n
,n)
小区间
[ xi1 , xi ]
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x) 在区间[a,b]
上的定积分： A b f ( x)dx 。 a
变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数
v v(t) 在时间区间[a,b]上的定积分： s
b
v(t )dt
。
a
13
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2．定积分定义的剖析
b f ( x)dx 0 。 a
性质 5 若 f R[a,b]，则| f | R[a,b]，且
b
f ( x)dx
b f ( x) dx 。
a
a
26
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2 比较下列各对积分值的大小.
（1）
13 xdx 与
1 x3dx ；（2）
1 xdx 与
161n12n1,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上 连续，∴ e x在[0, 1]上 可积。
定积分知识点总结等价
定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。
1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。
则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。
我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。
1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。
例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。
1.5定积分的几何意义
1、求曲边梯形面积 、 分割-----近似代替 近似代替-----求和 求和-----取极限 分割 近似代替 求和 取极限 2、定积分定义 、 3、定积分几何意义 、 4、定积分计算性质 、
1.求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法 求由连续曲线y= 求由连续曲线 对应的
n
O
a
b
x
积分
式
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
b ∫a
f ( x) d x
的实质
b （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，a 在区间［ 大于0 ∫
f ( x) d x 表示
直线x ),y 和曲线y 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义. 这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，b f ( x ) d x 表示 在区间［ 小于0 ∫ a 由直线x ),y 和曲线y 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数.
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方， 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
O
a
c
b
x
1.∫ f ( x)dx =
b a
S
f ( x) ≥ 0
-S f ( x ) < 0 表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积 S表示以 为曲边的曲边梯形面积 y
1.5.3定积分的几何意义3.14
a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义 说明等式 成立。
2
2
sin xdx 0
y
解： 在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[
， ]上连续，且在 ，]上 [ 0 2 2 2
2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,
b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x
b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5
A1
-1
A2
2
x
2
2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
教你学会定积分：定积分知识点总结及简单应用
定积分知识点总结及简单应用知识点1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃb a f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0.5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．252．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( )A.π－24B.π2－1C.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．ʃ421x d x 等于 ( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰； (2)2sin 2cos )x x dx π-⎰（；(3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ； (4)ʃ20|x 2－1|d x .变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二 求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．总结；1．定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x 2d x ＝π (半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－24－x 2d x ＝2π.2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F ′(x )＝f (x )的F (x )；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．检测题 一、选择题1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d xD ．ʃ101d x2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13 B.176 C ．6D ．173．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0B ．4C ．8D ．164．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 二、填空题6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________.三、解答题9．计算以下定积分： (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积． 答案1．x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x ) 面积2．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )3.微积分基本定理 F (x )|b a4.(1)ʃb a f (x )d x (2)－ʃb a f (x )d x (3)ʃba [f (x )－g (x )]d x 5.(1)s ＝ʃb a v (t )d t (2)ʃb a F (x )d x自我检测1．A 2.A 3.C 4.D 5．±3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋k 2，y ＝2kx .得(x －k )2＝0， 即x ＝k ，所以直线与曲线相切，如图所示，当k >0时，S ＝ʃk 0(x 2＋k 2－2kx )d x＝ʃk 0(x －k )2d x ＝13(x －k )3|k 0＝0－13(－k )3＝k 33，由题意知k 33＝9，∴k ＝3.由图象的对称性可知k ＝－3也满足题意，故k ＝±3. 课堂活动区例1 分析 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数． ①分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f (x )是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a ，a ]上连续，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e 1－1x |e 1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32.(2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0 ＝－1.(3)ʃπ0(2sin x －3e x＋2)d x ＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x ＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0) ＝7－3e π＋2π. (4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 解 (1)∵(－cos x )′＝sin x ，∴ʃ2π0|sin x |d x ＝ʃπ0|sin x |d x ＋ʃ2ππ|sin x |d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃ2ππsin x d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4. (2)ʃπ0sin 2x d x ＝ʃπ0⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝ʃπ012d x －12ʃπ0cos 2x d x＝12x |π0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2x |π0 ＝⎝⎛⎭⎫π2－0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2π－12sin 0＝π2. 例2 分析： 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解 作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)． 所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23 ＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827 ＝42027. 变式迁移2 解如图， 设f (x )＝x ＋3， g (x )＝x 2－2x ＋3，两函数图象的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.∴曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积 S ＝ʃ30[f (x )－g (x )]d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)d x ] ＝ʃ30(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 分析： 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s (t )求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解 方法一 由速度—时间曲线易知． v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)． 答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 解 (1)设v (t )＝1.2t ，令v (t )＝24，∴t ＝20.∴A 、C 间距离|AC |＝ʃ2001.2t d t＝(0.6t 2)|200＝0.6×202＝240 (m)．(2)由D 到B 时段的速度公式为v (t )＝(24－1.2t ) m/s ，可知|BD |＝|AC |＝240 (m)．(3)∵|AC |＝|BD |＝240 (m)，∴|CD |＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C 、D 段用时6 72024＝280 (s)．又A 、C 段与B 、D 段用时均为20 s ，∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．课后练习1．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0.36解析 设力F 与弹簧伸长的长度x 的关系式为F ＝kx ，则1＝k ×0.02，∴k ＝50，∴F ＝50x ，伸长12 cm 时克服弹力做的功W ＝ʃ0.12050x d x ＝502x 2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)．7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2k ＋1x k ＋1＋x 10＝2k ＋1＋1＝2，∴k ＝1.8．－18解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴ʃ30f (x )d x ＝13×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解 (1)函数y ＝2x 2－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，所以ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21＝163－ln 2－23＝143－ln 2(2) ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x 32＝⎝⎛⎭⎫92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.(3)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos 2x ，所以ʃπ30(sin x －sin 2x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14.322(4)3232322311232(32)(23)2312x dx x dx x dxx dx x dx=-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰＝(3x －x 2)|321＋(x 2－3x )|232＝12.10．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积S ＝ʃ10(x 2－2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋x |10＝13.11．解 画出直线x ＝－ln 2，y ＝e －1及曲线y ＝e x －1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e －1，y ＝e x －1，解得B (1，e －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－ln 2，y ＝e x －1，解得A ⎝⎛⎭⎫－ln 2，－12.此时，C (－ln 2，e －1)，D (－ln 2,0)．所以S ＝S 曲边梯形BCDO ＋S 曲边三角形OAD＝ʃ1－ln 2(e －1)d x －ʃ10(e x －1)d x ＋||0－ln 2(e x －1)d x＝(e －1)x |1－ln 2－(e x －x )|10＋|(e x －x )|0－ln 2|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －1－e 0)＋|e 0－(e －ln 2＋ln 2)|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －2)＋ln 2－12＝eln 2＋12。
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形的面积。
y
解 如图所示，阴影部分面积
1
2
S 0 xdx 1 (x 2)dx
1
1
xdx
2
(x 2)dx
60
1
y x 2 yx
y x
1 1 1 11 622
7 6
0
1
2x
（3）用定积分的几何意义求定积分的值的方法 步骤： ①画图形； ②求交点定区间； ③由图像查找“一边恒在一边上”：i全 部就直接作差ii部分就分段。
n(n
1)(2n
1)
1 31
1 0
(2 6
x2dx lim n
n n2
Sn
lim
n
)
1 6
(2
3 n
1 n2
)
0
1x
1（以直代曲、逼近）
3
二、探究新知
探究1：你能通过观察图形得到定积分的 几何意义吗？
y
y f (x)
oa
bx
定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
一 、旧知回顾
练习：计算 1 x2dx
n
[提示：
i2
1 n(n 1)(2n 1)]
0
i 1
6
分析：分割 近似替代 作和 求极限
1 0
x2dx
Sn
n i 1
f
i
x
n i 1
f ( i )x n
y
n ( i )2 • 1 i1 n n
1 n3
n
i2
i 1
y x2
1 n3
•
1 6
计算定积分
5
(2x 4)dx
0
5
0 (2x 4)dx
94 5
y 6
A
OB -4
x 5
例1 用定积分表示下列阴影部分面积。
y y x2
y
1 x2 y2 1
（1）
（2）
-1
0
1x
01 2x
解（1）由图可知 （2）由图可知
S 2 x2dx 1
S 1 1 x2 dx 1
例2：计算 1 xdx的值 解：由定积0 分几何意义 可知
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
y y=x
1 xdx 1 11
0
2
1 2
0
1
x
2 4 x2 dx
变式练习：计算 2
的值。
解：由几何意义可得
2 4 x2 dx 2
1 22
2
-2
2
y 2
x2 y2 4
0
2x
探究2：根据定积分的几何意义，你能用定积分表 示图中阴影部分的面积吗？
y
y f1(x)
b
b
S a f1(x)dx a f2 (x)dxຫໍສະໝຸດ S 1xdx
1 x2dx
0
0
1 1 23
1 6
y y x2 yx
01 x
变式练习
计算
1
(
x x2)dx
0
解 由函数的性质与定积分的几何意义可知
1 (
x x2)dx
0
y
y x2 yx
2 1 x x2 dx 0
y x
21 6
0
1
x
1 3
四、能力提升
计算由曲线y x,直线y x 2和x轴围成的平面
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx
b f (x)dx ．， a
Oa
b
f
(x)dx Sc
f
b
(x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
b
f
(x)dx Sc
f
b
(x)dx
f (x
a
a
c
yf (x)
定积分的几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数 和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).
y f2(x)
0a
b
x
思考：b a
f1(x)dx
b a
f2 (x)dx的几何意义是什么？
例3 计算由曲线y x2,直线y x 2和x轴围
成的平面图形的面积。
分析：如图所示
y
y x2
S
1 x2dx
2
(x 2)dx
0
1
1 1 11
32
5
0
6
y x2
1
2x
例4 求下图阴影部分的面积。 解：由定积分几何意义知
（4）数学思想方法： 数形结合、转化思想
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 的面积?
yf (x) y
b
S1
ya
fg((
b
x))dx
S2
g ( x)dx
a
O aa
bb x
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a