定积分的概念,几何意义及其运算
定积分的概念,几何意义及其运算
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
极值的求法
一、形法： 顶点即是极值点 谷底极小峰极大
二、数法：
1.一导法求极值：
一求驻点二单调 三写极值靠图象 书写格式要简明 含参反用须验根
第四步：取极限
当n趋向于无穷大时，S
趋向于S
n
n
,即 S
lim
n
Sn
lim n
i 1
f
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：(四大步 参课本P：39～45)
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
积分下限
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
第一步：分割
y
将图中曲边梯形分割成n个小曲边梯形
记他们的面n积分别为：S1, S2, , Sn
显然有S Si
i 1
第二步：近似代替
O
用小矩形的面积近似的代替 小曲边梯形的面积
y= x 2
i-1 i 1 x nn
第三步：求和 求出图中小矩形的面积和 Sn
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
一、积分的概念：
定积分的概念和意义
定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。
假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。
为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。
当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。
定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。
二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。
下面将介绍定积分的几个主要意义。
1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。
这个面积可以用定积分来精确计算。
2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。
例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。
同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。
3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。
概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。
通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
1.5.3定积分的几何意义3.14
a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义 说明等式 成立。
2
2
sin xdx 0
y
解： 在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[
， ]上连续，且在 ，]上 [ 0 2 2 2
2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,
b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x
b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5
A1
-1
A2
2
x
2
2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种运算方式，通过计算函数在一个区间上的面积来求解。
它是反应函数变化的量的一种数值特征，同时也是分析函数性质和解决实际问题中的重要工具之一。
在本文中，我们将详细介绍定积分的含义、计算方法及其应用。
首先，我们来探讨定积分的含义。
定积分可以理解为函数曲线与坐标轴之间的有向面积。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以将其限定在一个区间$[a,b]$上，然后使用一根尺直角下压在曲线上，该尺的长度与曲线上相应点的纵坐标相关。
当我们将尺从$a$点移动到$b$点时，这根尺覆盖的面积就是定积分。
同时，定积分还可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积，即上减下。
为了更形象地理解定积分的含义，我们可以以一个例子进行说明。
假设有一个自由落体运动，其运动方程为$s(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，其中$v_0$是初始速度，$g$是重力加速度，$t$是时间。
现在我们想知道在给定的时间区间$[t_1,t_2]$内自由落体运动所覆盖的空间距离。
这时，我们可以使用定积分来解决这个问题。
根据定义，自由落体运动的空间距离可以表示为$s(t)$在区间$[t_1,t_2]$上的定积分：$$\int_{t_1}^{t_2}(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$$其中$\int$表示求和的符号，$(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$表示被积函数，$dt$表示积分变量。
这个定积分的结果就是自由落体运动在区间$[t_1,t_2]$内所覆盖的空间距离。
接下来，我们将介绍定积分的计算方法。
在实际计算中，定积分可以通过多种方式求解，例如几何法、牛顿-莱布尼茨公式和数值积分等。
几何法是一种直观易懂的计算方式，它利用几何图形的性质来求取定积分的值。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以通过绘制函数曲线与坐标轴之间的图形，然后根据几何图形的性质来计算面积。
定积分的定义及几何意义
定 积 分教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义．教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点:过程的理解．1。
定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆(b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式:11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞)时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间,b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ． (2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ; ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰; 积分的物理意义: 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的性质根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx b a -=⎰1 性质2⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） 性质31212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例题:求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割：将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n-∆=-= （2）近似代替:2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和: 1ni i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= (4）取极限：1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(210+⎰的值。
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预习：
定积分的应用
(2
x
3 2
3
x2 ) 4 2
1
7 16
⑤ 原式=
(3x2 cos x) 2
3 2
1
2
8
0
⑥ 原式= (ex 2ln x) 2 e2 e 2 ln 2 1
(6)课本P：55 B组 Ex1
①原式= e2x 1 e2 1
2 0
2
2x 3 ③原式= ln 2
1
6 ln 2
② 原式= sin 2x 4 2 3
积 被 被积
x
原
积
分 积 积分
的函
分
号 函 表变 数 达量 式
微数 分
常 数
常见的不定积分公式
① 0dx C
② dx x C
③
xndx
x n 1
n1
C(n
1)
⑤ exdx ex C
④
1 x
dx
ln
|
x
|
C
⑥ axdx ax C ln a
⑦ sin xdx cos x C
随着分割越来越细，即n→﹢∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
定积分的概念 第一步：分割 第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限
过剩近似值与不足近似值
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 不足近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时
过剩近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x)___
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
既然是“近似代替” 自然就有“过剩”与“不足” 近似之说 随着分割越来越细，即n→＋∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
过剩近似值
不足近似值
随着分割越来越细，即n→＋∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
过剩近似值与不足近似值
左点法 矩形法 中点法 梯形法 右点法 抛物线法
上述各种问题，归结到数学上是：
如何求不规则图形的面积或体积
高中阶段，只研究较简单的不规则图形的面积
上图纵向切割后,可归结成求“二直二曲”图形的面积
“二直二曲”可切割成——“三直一曲”的曲边梯形 如何求曲边梯形的面积呢？
例1.已知图中阴影部分是由抛物线 y x2 ,直线x=1以
及x轴所围成的平面图形,求阴影部分的面积S
y
y x2
x
O
1
析①：曲边梯形的一边是曲线段是难点 析②：先微分══＞以直代曲══＞后积分
第一步：分割
将图中曲边梯形分割成n个小曲边梯形 y
记他们的面n积分别为：S1, S2, , Sn
显然有S Si i 1
第二步：近似代替
O
用小矩形的面积近似的代替 小曲边梯形的面积
y=x 2
i-1 i 1 x nn
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
y y f (x)
①
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
y y f2(x)
②
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2( x) f1( x)]dx
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
③a
y bx
o
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
2
4
6
法3：(7)s求
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
解：原式
(4 y
1 2
y2
1 6
y3)
|04
4 4 1 42 1 43 40 26 3
(8)求1 1 1 11-xx22ddxx .
1-1
2
析：直接求原函数不易也
利用几何意义
另：实际上可结合对称性，以及换元法求解
设x sin t,则dx costdt
§225 定积分的概念、几何意义及其运算
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
导数概述
导
①求切线斜率 ②判定单调性
数 ③求极值 ④求最值
yb
⑥
x f2(y)
b
A6 a [ f2 ( y) f1( y)]dy
ya
x f1( y)
三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
②基本定理法：
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
2.运算性质：
b
b
① kf (x)dx k f (x)dx
第四步：取极限
当n趋向于无穷大时，S
趋向于S
n
n
,即 S
lim
n
Sn
lim n
i 1
f
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：(四大步 参课本P：39～45)
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
积分下限
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
y f1( x)
④
a y f2(x) b x
b
A4 a [ f1(x) f2 (x)]dx
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
y f1( x)
⑤
y f2(x)
xa xb
xc
xd
b
c
d
A5 a [ f1(x) f2(x)]dx b [ f1(x) f2(x)]dx a [ f1(x) f2(x)]dx
矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法
矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
练习1.定积分的概念 (1)课本P：42 探究
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：
物理学中好多问题： ①状态量的求和：如体积,质量,电量,能量…… ②过程量的累积：如做功,焓变,熵变,电势差…… ③广延量的求和：如质量,电量,能量,转动惯量…… ④强度量的累积：如电场强度,磁感应强度,温度压强……
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
y f前(x)
xa
y f后(x)
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S1 S2 S3
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
yb
x f后(y)
x f前(y)
ya
b
a [ f前( y) f后( y)]dy S
练习2.一重积分的几何意义
(16x 4x2
4
x3
1
2
x4)
40
3 2 03
② 原式=
2
3
(x 2 )dx
(1 x2 2x 3ln x) 2
1 3ln 2
1
x
2
12
③ 原式= 3 (x 2 1 )dx
2
x
(1 x2 2x ln x) 3 9 ln 3
2
22
2
④ 原式=