积分的几何意义
定积分的几何意义
2
在[- ， ]上连续，且在[- ，0]上
22
2
y f(x)=sinx
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
2
A1 = A2 ,所以
2 -
f
(x)dx
=
A2
-
A1
=
0
2
1
-2
A2
A1
x
-1 2
变式:
1）
2
sin xdx = 0
2） sin xdx = 2
2 sin xdx
3、定积分的几何意义：
b a
f (x)d x
的实质
（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，ba f (x) d x 表示
由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲
边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义.
（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，ba f (x) d x 表示
上述曲边梯形面积的负值。
y=-f (x)
b
S = a[- f (x)]dx
b
S = a[- f (x)]dx
=- b f (x)dx ．， a
Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx ==-aS f (x)dxc f (x
b
c
b
f (x)dx ==-S f (x)dx
a
a
c
f (x)dyx=f。(x)
ba1dx
=1
S = 0-1[(x -1)2 -1]dx - -102[(x -0 1)2 -1 1x]dx 01 2x
S = 2 x2dx 1
S = 1 1- x2 dx -1
定积分的几何意义1
义，可得阴影部分的面积为 A
b a
dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（①4）在图④中②，被积函数f
(x)
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：
利用定积分的几何意义说明等式
2
sin
xdx
0
2
成立。 y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
22
2
1
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
积分的几何意义与应用
积分的几何意义与应用积分作为微积分的基本概念之一，具有广泛的几何意义和应用。
在几何意义上，积分可以用来求解曲线的面积、曲线的弧长以及曲线围成的曲边梯形的体积等问题。
在实际应用中，积分也可以用来描述物体的质量分布、力的大小和矩阵的变化率等。
一、积分与曲线的面积在欧几里得几何中，我们知道直线的面积是很容易计算的，但当曲线出现时，面积的计算变得复杂起来。
然而，通过积分，我们可以轻松地计算出曲线所围成的面积。
考虑一个函数f(x)在区间[a, b]上的图像，我们可以将其分成无数个微小的矩形，并计算这些矩形的面积之和。
当我们让这些矩形的宽度趋近于零时，面积的近似值会越来越接近真实的面积。
通过积分，我们可以将这个过程表示为以下的数学形式：∫[a, b] f(x)dx = lim(Δx→0) Σf(x_i) Δx其中，Δx表示微小矩形的宽度，Σf(x_i) Δx表示这些矩形的面积之和。
通过对Δx取极限，我们可以得到曲线所围成的面积。
二、积分与曲线的弧长除了计算面积，积分还可以用来求解曲线的弧长。
考虑一个光滑曲线C，用参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a, b]。
我们可以将曲线C分成无数个微小的弧段，每个弧段的长度可以通过勾股定理计算得出。
将这些弧段的长度之和表示为曲线的弧长L，可以通过积分来计算：L = ∫[a, b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y对t的导数。
通过求解这个积分，我们可以得到曲线的弧长。
三、积分与曲边梯形的体积在立体几何中，曲边梯形是一种由曲线所围成的空间图形，通常具有不规则的形状。
我们可以使用积分来计算曲边梯形的体积。
考虑一个曲线C在平面上围成的曲边梯形，梯形的高度为h，底边为曲线C，顶边为平行于底边的一条直线。
我们可以将曲边梯形分成无数个微小的截面，每个截面的积分即为对应截面的面积。
将这些截面的面积之和表示为曲边梯形的体积V，可以通过积分来计算：V = ∫[a, b] A(x) dx其中，A(x)表示曲线C在x处的截面面积。
积分的物理意义和几何意义
积分的物理意义和几何意义积分作为数学中的一个重要概念，在物理学中也有着广泛的应用。
它既有物理意义，又有几何意义。
我们来看一下积分的物理意义。
在物理学中，积分可以表示物理量的累积效应。
例如，速度的积分可以得到位移，加速度的积分可以得到速度。
这是因为积分可以看作是微分的逆运算，将微小的变化累加起来得到总的变化。
物理量的积分可以帮助我们理解物理过程中的变化规律，从而揭示出物理现象的本质。
举个例子来说明积分的物理意义。
考虑一个物体在平面上沿着一条曲线运动的情况。
我们可以用积分来计算物体在运动过程中所经过的路径长度。
具体地，将曲线分成许多微小的线段，计算每个微小线段的长度，然后将这些长度累加起来，就得到了整条曲线的长度。
这个累加的过程就是积分运算。
通过这种方式，我们可以得到物体在运动过程中所经过的路径长度，从而更好地理解物体的运动轨迹。
除了物理意义，积分还有着重要的几何意义。
在几何学中，积分可以表示曲线、曲面或者空间中的面积、体积。
我们可以将曲线、曲面或者空间划分成许多微小的元素，计算每个微小元素的面积或者体积，然后将这些面积或者体积累加起来，就得到了整个曲线、曲面或者空间的面积或者体积。
这个累加的过程同样是积分运算。
通过这种方式，我们可以计算各种复杂形状的几何体的面积或者体积，从而更好地理解几何学中的各种概念和性质。
举个例子来说明积分的几何意义。
考虑一个平面上的曲线，我们可以用积分来计算曲线所包围的面积。
具体地，将曲线分成许多微小的线段，然后将每个微小线段的长度乘以该线段与x轴之间的夹角的正弦值，再将这些乘积累加起来，就得到了曲线所包围的面积。
这个累加的过程就是积分运算。
通过这种方式，我们可以计算出各种复杂形状的曲线所包围的面积，从而更好地理解曲线的几何特性。
总结起来，积分在物理学中有着累积效应的物理意义，可以帮助我们理解物理过程中的变化规律；在几何学中有着表示面积、体积的几何意义，可以帮助我们计算各种复杂形状的几何体的面积或者体积。
定积分几何意义求圆面积
定积分几何意义求圆面积
圆面积的积分几何意义：
一、定义：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小。
2. 它是指圆的周长除以2π的值。
二、概念：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小，它可以理解为圆形表面上组成这个圆形表面的基本细胞（即每个细胞的单位长度乘以其宽度）的总和。
2. 积分几何意义：圆面积等于圆的周长除以2π的值，即A=2πR / 2π，其中A表示圆面积，R表示圆的半径。
三、计算圆面积的方法：
1. 直接计算法：直接计算圆面积的方法是一种最简单、普遍适用的方法，即A=πr²，其中r表示圆的半径。
2. 差商计算法：差商计算法是指把圆分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积，然后把所有矩形的面积总合就得到圆的面积。
3. 积分计算法：积分计算法是根据“积分几何意义”圆面积等于圆的周长除以2π的值来计算的，即A=2πR / 2π=R，其中R表示圆的半径。
四、圆面积积分几何意义的应用：
1. 圆面积积分几何意义可以用来计算圆形物体的面积，比如圆形池塘、圆形地面等。
2. 圆面积积分几何意义可以用来估计椭圆、圆弧等物体的面积。
3. 圆面积积分几何意义可以用来计算不规则多边形物体的周长和面积，比如计算一个多边形的周长除以2π的值即可得到面积。
4. 圆面积积分几何意义可以用来分析空间物体的几何关系，比如分析
边角关系等。
定积分的几何意义是什么
定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。
定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx 在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。
定积分的几何意义
定积分定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；假设只有有限个连续点，那么定积分存在；假设有跳跃连续点，那么原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
1.5.3定积分的几何意义3.14
a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义 说明等式 成立。
2
2
sin xdx 0
y
解： 在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[
， ]上连续，且在 ，]上 [ 0 2 2 2
2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,
b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x
b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5
A1
-1
A2
2
x
2
2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
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4
课堂新授
A
1.
b a
f(x)dx
-A
f (x)0
f (x)0
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y
y=f(x)>0
A
0a
bx
y
a
b
0
A
x
5
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a0
c
A2
A3
d bx
则
b a
f
(x)dx
A1
A2
A3
3.结论：
b a
f
(x)dx的值都可用区边梯形 积面
成立：
1）．
2
sinxdx0
0
2）. sinxdx2 2sinxdx
0
0
12
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
13
课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
14
根据定积分的几何 可意 得义 阴影部分的面积
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x ( 1 ) 2 1 ] d10 x
例：
利用定积分的 说几 明何 等2意 式 sin义 xdx0 2
成立。 y
解：在右图中，被积函数 f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在 [ ，0]上
的代数和表示 几何意义
6
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函 f (x数 ) x2在[0，a]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的 积面 为A 0ax2dx
7
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（2）在图②中，被积函 f (x数 ) x2在[1，2]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意
1 2
22
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
-1
2
A1 A2 ,所以
2
f(x)d
xA2A10
2
f(x)=sinx
A2
x
2
11
巩固练习
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2 dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
定积分的几何意义
1
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
2
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
3
定积分表达式：
积分上限
被积式
Hale Waihona Puke bnaf(x )d x I l i0i m 1f(i) x i.
积分下限
被积函数
义，可得阴影部分的 积面 为 A badx
9
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（ ①4）在图④②中，被积 f (x函 )③(数 x1)2
④
1在[1， 2]
上连续，且 [1， 在 0]上f (x)0,在[0， 2]上f (x)0，
义，可得阴影部分的 积面 为A 21x2dx
8
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函 f (x数 ) 1在[a，b]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意