导数的几何意义及应用优秀课件
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第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
导数的概念及几何意义 教学PPT课件
t1
t2
t
l2
三.典型例题
例2 归纳小结
h l0
(1)以直代曲：
大多数函数就一小段范围看，大致
l1
可以看作直线，某点附近的曲线可
以用过该点的切线近似代替；
o t3 t4 t0 t1 t2
t
l2
(2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ；
(3)曲线的变化快慢及切线的斜率的内在联系 .
三.典型例题
变式：根据跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t) = -4.9t 2+6.5t+10图象，估计t=0.4，0.7，1.0 时，运动员的瞬时速度（精确到0.1）将数据填到表格中。
求导数的一般步骤：
(1)求△y=f(x0+ △x)-f(x0) (2)求 y
x y
(3) lim x0 x
y=f(x) y
B
△y
A △x o
M x
二.新知探究
(一)切线定义
y
当点 B 沿着曲线趋近于
点A，即 x 0时，割线AB
趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线AT 称为点A处的切线。
A o
导数的几何意义
一.复习引入
导数知多少？
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二.新知探究
y=f(x)
B1 B2 B3 B4
导数的概念及几何意义 PPT课件
思考？
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
的切线的斜率
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
导数的几何意义ppt课件
∴y0＝4，∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
1．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线间的位置关系，因此要善于综合应用所学知识解题．
2．与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某 点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点 的坐标是常设的未知量．
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
求切线的解题步骤
1．已知切点（x0,f（x0））
①求斜率，求出曲线在点（x0,f（x0））处的切线斜率 f′(x0)
②写方程，y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），化为一般式。
2．经过（x1,y1），切点未知
①设切点（x0,f（x0）） ②求斜率，k= f′(x0) ③写出含参 x0 的切线方程，得到 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0） ④将已知点代入得 y1- f（x0）=f′(x0)（x1-x0）解出切点坐标 ⑤将切点坐标代入 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），并化为一般式
课堂小结
布置作业
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0， 可得(x－1)2(x＋2)＝0， 解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2， －8).
问题导入
知识探究
【易错题解析】
巩固练习
课堂小结
布置作业
已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，
导数的几何意义 课件
x0
x
＝lim［(x)2＋3x x＋3x2］＝3x2. x0
令3x2＝3，得x＝±1，
所以点P的坐标为(1,1)或(－1，－1).
答案:(1,1)或(－1，－1)
2.(1)设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为 y＝lim (x＋x)3－(x＋x)2＋1－(x3－x2＋1)＝3x2－2x，
x0
3
lim
x0
1 3
(
x
0
x)3 x
1 3
x
3 0
x 0 2，
所以切线方程为
y
1 3
x
3 0
x
2 0
(x
x0 )，
又因为切线过点A(1,0),所以
0
1 3
x
3 0
x
2 0
(1
x0 ),
化简得
2 3
x
3 0
x0解2 得0,x0=0或
x0
3 2
.
①当x0=0时，所求的切线方程为：y=0;
②当x0
时3 ，
【解题探究】1.曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么 关系? 2.切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？ 探究提示： 1.曲线上一点切线的斜率就是该点的导数. 2.切点的坐标既满足切线方程，同时也满足曲线的方程.
【解析】1.因为y＝x3，所以 y＝lim (x＋x)3－x3
x0
x
＝lim (x)3＋3x (x)2＋3x2 x
3 27
将切点坐标 (－1，2代3入) 直线y＝x＋a，
3 27
得 a＝ 23＋1故＝32， a＝32 .
27 3 27
27
(2)由(1)知切点坐标是 (－1，23).
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
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切点的横坐标
（4）数学思想：数形结合、转换化归、函数与方程思想。
（1）求切线方程的核心是找切点的横坐标；
（2）“在点”：说明切点确定，切线只有一条； （3）“过点”：说明切点是不确定的，那么切 线也可能不止一条；
变式 探究
y 例2.已知函数yf x x3 x ，若过点P1,m 可作曲线y f x
的三条切线，求实数 m 的取值范围。
1 P0. C
B
A
l1
0
例题 讲解 例1 已知函数 f (x) x3 x （1）求曲线y f (x)在点（-1,0）处的切线方程；
分析：“在点”说明该点为切点，而且切点一 定既在曲线上又在切线上；利用切点的横坐标求切 线的斜率，再用点斜式求切线方程；
2x y 2 0
例题 讲解 例1 已知函数 f (x) x3 x （2）求曲线y f (x)过点（-1,0）的切线方程；
x
l3 l2
x.
1
..
h(x) m h(x) m h(x) m
h(x) m
巩固 练习
(1) (2014.广东)求曲线y 5ex 3在点(0,-2) 处的切线方程；
(2) (2014.江西)若曲线y x ln x上点p处的切线 平行于直线2x y 1 0,求点p的坐标？
(3) (2015?全国卷Ⅰ)已知函数f x＝ax3＋x＋1的图 象在点(1，f 1)处的切线过点(2，7)，则a的值．
复习 回顾
(1) 导数的几何意义
k
导数 f x0 表示曲线 y f x 在点 P x0, f x0
处的切线的斜率.即：
切线方程为: y f x0 f x0 x x0
注意:对于给定的函数 y f x，在其切线方程中,
只有一个参数 ,因此只要有一个关于切线的条件,就
能求出参数 x0 ,从而得到切线方程.
答案： (1)5x y 2 0 (2) p(e, e)
(3)a 1
课堂 小结
这堂课你学到了什么？ （1）利用导数的几何意义得到切线斜率 f x0 ,再利用点 斜式表示切线方程 y f x0 f x0 x x0 ；
（2）“在点”与“过点”两种类型的切线方程的求法；
（3） 切线问题
切线方程
x 切线x0方程的核心就是切点横坐标 0
复习 回顾
(2) 基本初等函数的求导公式
练习：求出下列函数的导函数？
① y 3xex
y 3ex 3xex
② y x2 1 x
③ y ln x x
y' 2x 1 x2
y'
1 ln x2
x
④ y 3x 4ex 2 y' 3x ln 3 4ex
分析：“过点”说明该点不一定是切点，而且该 点不一定在曲线上，这种情况下，需把切点坐标先设 出来，再回到“在”某点处求切线方程的方法；
设切点x0 , f (x0 )
列出切线方程 y f x0 f x0 x x0
得到 x0的方程
解出 x0 的值，求出切点坐标
求出切线方程
ห้องสมุดไป่ตู้
例题 讲解
随堂小结：