苏教版数学高二-【名师11】 选修1-1试题 1.3全称量词与存在量词
1.3 全称量词与存在量词
1．下列四个命题中的真命题为( )
A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3
B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0
C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0
D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0
答案 D
2．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx≤1，则( )
A ．綈p ：∃x ∈R ，sinx≥1
B ．綈p ：∀x ∈R ，sinx≥1
C ．綈p ：∃x ∈R ，sinx>1
D ．綈p ：∀x ∈R ，sinx>1
答案 C
3．下列命题为特称命题的是( )
A ．偶函数的图象关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行线
D ．存在大于等于3的实数
解析 选项A ，B ，C 都是全称命题，选项D 含有存在量词，是特称命题． 答案 D
4．命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( )
A ．对任意实数x ，都有x>1
B ．不存在实数x ，使x≤1
C ．对任意实数x ，都有x≤1
D ．存在实数x ，使x≤1
答案 C
5．若命题p ：∀x ∈R ，1x －2
<0，则綈p ：________. 解析 綈p ：∃x 0∈R ，使1x 0－2>0或x 0－2＝0.最易出现的错误答案是：∃x 0∈R ，1x 0－2
≥0.
答案 ∃x 0∈R ，使1x 0－2
>0或x 0－2＝0
6．已知命题：“存在x∈，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．答案[－8，＋∞)
7．下列命题是真命题的是________．
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0，则綈p为∀x∈R，x2＋x＋1≠0；
③全称命题“∀x∈R，x2是有理数”是真命题；
④∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋s inβ.
答案①②④
8．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3；
(2)q：∀x∈R，x2＋x－4>0.
解(1)綈p：∀x，y∈Z，2x＋y≠3，
当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，
因此綈p是假命题．
(2)綈q：∃x∈R，x2＋x－4≤0，
当x＝0时，x2＋x－4＝－4≤0，
因此綈q是真命题．
9．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，求实数a的取值范围．
解∵“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题．
∴它的否定“对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．
∴只要Δ＝9a2－4×2×9≤0即可．
解得－22≤a≤2 2.
故a的取值范围是．
10．已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立，记集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x||x－t|≤1}．
(1)当t＝1时，求(∁R A)∪B；
(2)设命题p：A∩B≠∅，若綈p为真命题，求实数t的取值范围．
解由题意(－1，－8)为二次函数的顶点，
∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
A＝{x|x<－3，或x>1}．
(1)B＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．
∴(∁R A)∪B＝{x|－3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}
＝{x|－3≤x≤2}．
(2)B＝{x|t－1≤x≤t＋1}．
⎩⎪⎨⎪⎧ t －1≥－3，t ＋1≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
t≥－2，t≤0. ∴实数t 的取值范围是．。
苏教版选修(1-1)1.3《全称量词与存在量词》word教案
1．4全称量词与存在量词（教案）印江二中高二数学课题研究组 试教人：吴顺宏[教学目标]1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容[教学重点、难点]重点：理解全称量词与存在量词的意义难点：全称命题、特称命题的真假判断[教学过程]问题1：请大家思考：下列语句是命题吗？你能发现这些语句之间的一些关系吗？（1）、3>x ； （2）、12+x 是整数； （3）、对所有的3,>∈x R x ；（4）、对任意一个12,+∈x Z x 是整数； （5）、所有有中国国籍的人都是黄种人。
学生：（1）、（2）不是命题，（3）、（4）、（5）是命题。
他们之间的关系是：后者比前者多了一些量词，通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题。
教师：观察，分析的很好。
短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题。
（3）、（4）、（5）是全称命题。
通常将含有变量x 的语句用)(x p ，)(x q ，)(x r ,…表示，变量x 的取植范围用M 表示，那么，全称命题“对M 中任意一个x ，有)(x p 成立”可用符号简记为“)(,x p M x ∈∀”，读作“对任意x 属于M ，有)(x p 成立”。
问题2：如何判断一个全称命题的真假呢？例1；判断下列全称命题的真假（1）、所有的素数都是奇数； （2）、01,2≥+∈∀x R x ； （3）、对每一个无理数x ，2x 也是无理数。
解析：（1）、2是素数，但是2不是奇数。
故此命题是假命题。
（2）、任取实数011,0,22>≥+≥x x x 则.故此命题是真命题。
（3）、2是无理数，但是()222=是有理数。
故此命题是假命题。
规律：全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合中每一个元素x,都使得 )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假课本23页练习1：（1）、每个指数函数都是单调函数（真）；（2）、任何实数都有算术平方根（假）（3）、}{是无理数x x x |∈∀，2x 是无理数 （假）问题3：请大家思考：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？ （1）、312=+x ； （2）、x 能被2和3整除；（3）、存在一个,0R x ∈使3120=+x 。
苏教版高中数学选修2-11.3 全称量词与存在量词.docx
1.3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定双基达标(限时15分钟)1．下列命题．①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有________个．解析②③都是全称命题，含有全称量词“任意”．答案 22．下列全称命题中假命题的个数是______．①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x>3③对任意一个x∈Z，2x2＋1为奇数解析①错，当x＝2时，22＋1不是整数；②中x＝0不成立．③为真命题．答案 23．下列全称命题中真命题的个数为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．解析①为真命题；②由角平分线的性质知是真命题；③是真命题．答案 34．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R使x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为______．解析①对x＝0不成立；②当α＝0时成立；③不存在a∈R，对∀x∈R有x2＋2x＋a<0.答案 15．命题“存在x∈R使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________________________．解析该命题的否定是“对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠06．用量词符号“∀”、“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x都能使x2＋x＋1<0；(2)对所有有理数x都能使x2＋1是有理数；(3)一定有实数α，β使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(4)存在实数a，b，使关于x的方程ax＋b＝0恰有一解．解(1)∀x∈R，x2＋x＋1<0；假命题．(2)∀x∈Q，x2＋1∈Q；真命题．(3)∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；真命题．(4)∃a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有一解；真命题．综合提高(限时30分钟)7．命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定为________．解析x≤1或x2>4的否定为x>1且x2≤4.答案∀x∈R，x>1且x2≤48．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．解析①②都是真命题，其否定为假命题．③④是假命题，其否定为真命题．答案③④9．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________．解析 由题知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1.答案 {a |a ≤－2或a ＝1}10．设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．解析 p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≤0或c ≥1，－12<c <12，得－12<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12<c ≤0. 答案 －12<c ≤0或12≤c <1 11．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀∈α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x ，y ∈Z ，3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．解 (1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．12．已知綈p ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，求实数m 的取值范围．解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题，由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]， 又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，∴Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，故m 的取值范围是－2≤m <2.13．(创新拓展)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 恒成立？ 解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．∵f (x )的图象过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0.又x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 恒成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧14－4a （12－a ）≤0，1－8a （1－2a ）≤0，0<a <12.∴a ＝14，c ＝14，从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14. ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。
高中数学选修1-11.3.1量词学案(苏教版)
高中数学选修1-11.3.1量词学案（苏教版）年级高二学科数学选修1-1/2-1总课题1.3全称量词与存在量词总课时分课题1.3全称量词与存在量词分课时主备人史志枫审核人孙雅婷上课时间预习导读阅读选修1-1第13--14页，然后做教学案，完成前三项。
阅读选修2-1第14--15页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标1.理解全称量词与存在量词的意义；能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和存在性命题的真假.一、问题情景观察以下命题：所有中国人民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；对任意实数x，都有；存在有理数x，都有；上述命题有何不同？对于下列命题：所有的人都喝水；存在有理数x，使；对所有实数a，都有。
对上述命题进行否定，能发现什么规律？二、建构数学“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号表示“对任意”。
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号表示“存在”。
含有全称量词的命题成为全称命题，含有存在量词的命题成为存在性命题。
它们的一般形式为：全称命题：存在性命题：其中，为给定的集合，是一个关于的命题。
⑴要判定全称命题“x∈,p”是真命题，需要对集合中每个元素x,证明p成立；如果在集合中找到一个元素,使得p不成立，那么这个全称命题就是假命题⑵要判定存在性命题“x∈,p”是真命题，只需在集合中找到一个元素,使p成立即可，如果在集合中，使p成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题对含有全称量词的命题进行否定，全称量词变为存在量词；对含有存在量词的命题进行否定，存在量词变为全称量词。
一般地，我们有：“”的否定为“”的否定为正面词语=><是都是至多有一个至少有一个至多有n个反面词语例1.判断下列命题的真假命题命题命题命题例2.写出下列命题的否定⑴所有人都晨练；⑵；⑶平行四边形的对边相等；⑶例3.已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围例4.已知命题“，”为真命题，求实数的范围例 5.⑴已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是________⑵已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______一、基础题命题“每一个等腰三角形的两个底角相等”，“过直线外一点存在惟一的一条直线与该直线平行”中，使用的全称量词是，存在量词是．下列全称命题或存在性命题中，真命题是：．至少存在一个锐角，使得；；；；至少有一个，能使；存在四个面都是直角三角形的四面体．指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：所有的素数都是奇数；有一个实数，使成立；；对每一个无理数，也是无理数；存在两个相交平面垂直同一条直线；有些整数只有两个正因数.下列命题中真命题的个数是．；至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；末位是0的整数，可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中两侧面的夹角相等．命题：存在实数，使方程有实数根，则“非”形式的命题是____________________________________________________________.已知：对恒成立，则的取值范围是．写出下列命题的否定：有些质数是奇数；若，则有实数根；可以被5整除的整数，末位是0；；二、提高题设函数的定义域为，则下列三个命题中，真命题是．若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．若函数的定义域为R，则已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是“”为假命题，则实数的取值范围是_______已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是三、能力题已知：对，方程有解，求的取值范围．若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围在平面直角坐标系中，已知圆和圆．设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．。
苏教版高中数学选修(2-1)课件：1.3全称量词与存在量词(一)》
1.4.1 全称
量词
想一想？？
是整数
是整数
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量 词．用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词 还有“一切” “每 一个” “任给”“所 有的”等.
• 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
练习：判断下列命题的真假：
(1)
(2)
1.4.2 存 在 量 词
想一想？？
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在 量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做存在性命 常见的存在量 题。 词还有“有些” “ 有一个” “对某 个” “有的”等.
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的 集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要 判断一个存在性命题为假，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
练习：判断下列命题的真假：
(1) (2)
例、判断下列命题是全称命题，还是存在性 命题？
• • • • • （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数； （3）方程2x2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数； （5）如果两直线不相交，则这两条直线平行 ； • （6）集合A∩B是集合A的子集；
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 它的否定
想一想？
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形; 3 )
从形式看,存在性命题的否定都变成了全称命 题 . 含有一个量词的存在性命题的否定 ,有下面的结 论
苏教版数学高二- 选修1-1试题 1.3全称量词与存在量词
1.3 全称量词与存在量词一、填空题1．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有________个．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②、③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题，故有2个．【答案】 22．有下列命题：①x∈R，x2＋x＋1＜0；②x∈R，x2＋x＋1＞0；③x∈Z，x2＝2；④x∈R，x2＝2.其中它的否定为假命题的是________．【解析】②④为真命题，故其否定为假命题．【答案】②④3．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2≤0”是________命题(用真或假填空)．【解析】∵Δ＝1－8＜0，∴x2＋x＋2＞0恒成立，∴不存在x∈R，使x2＋x＋2≤0.【答案】假4．关于x的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)有以下命题：①φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②ω∈R，f(x＋1)＝f(x)；③φ∈R，f(x)都不是偶函数；④φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是________．【解析】命题①显然错误；命题②当ω＝2π时，即合题意，所以该命题正确；命题③当φ＝kπ＋π2(k ∈Z )时，f(x)是偶函数，所以该命题为假命题；当φ＝kπ(k ∈Z )时，f(x)是奇函数，所以命题④是真命题．【答案】 ①③5．已知命题p ：n ∈N ，2n >1 000，则綈p 为________． 【解析】 命题为存在性命题，它的否定为全称命题．【答案】 n ∈N ，2n ≤1 0006．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．【解析】 命题是全称命题，它的否定是存在性命题．【答案】 存在一个能被2整除的整数不是偶数7．命题“x ∈R ，－x 2＋2x －a>0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 x ∈R ，使a<－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1.【答案】 a<18．已知命题p ：“任意x ∈，a≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题p 为真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ∈，∴a≥e ；又q 为假命题，∴Δ＝16－4a ＜0，即a ＞4.综上，当p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围是(4，＋∞)．【答案】 (4，＋∞)二、解答题9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：(1)若a ＞0，且a≠1，则对任意实数x ，a x ＞0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2；(3)T ∈R ，使sin(x ＋T)＝|sin x|； (4) x ∈R ，使x 2＋1＜0.【解】 (1)全称命题，真；(2)全称命题，假；(3)存在性命题，假；(4)存在性命题，假．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s：存在a∈R，使sin2α＋cos2α≠1.由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4.(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
苏教版数学高二-选修1-1 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词问题导学一、全称命题和特称命题的判定活动与探究1(1)下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)下列命题中特称命题的个数是( )①有的自然数是偶数；②存在α，β，使sin α＋sin β＝sin(α＋β)；③至少有一个函数f (x )既是偶函数又是奇函数；④圆内接四边形的对角互补．A ．1B ．2C ．3D ．4迁移与应用1．已知下列命题：①对任意a ，b ∈R ，若a ＞b ，则1a ＜1b； ②存在一个实数α，使tan α无意义；③所有的二次函数的图象都和x 轴相交；④整数中1最小；⑤存在直线l ，平面α，β，使α∥l ，β∥l ．其中是全称命题的为______，特称命题的为______．(填序号)2．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)存在一条直线其斜率不存在．(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？(3)圆外切四边形，其对角互补．判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．二、全称命题和特称命题真假的判断活动与探究2(1)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0(2)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③迁移与应用1．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数2．判断下列命题的真假：(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|；(4)∃x0∈R，x20＋1＜0．(1)全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．三、全称命题和特称命题的否定活动与探究3写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋8＜0．迁移与应用1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数2．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实根；(2)p ：存在实数a ，b ，使得|a －1|＋|b ＋2|＝0．(1)在含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题．(2)注意有些原命题无关键量词，但隐含着其含义，要注意辨析．如：实数的绝对值是正数，它的否定应是：存在一个实数，它的绝对值不是正数，而不能写成：实数的绝对值不是正数．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)对所有的 对任意一个 全称命题 (2)存在一个 至少有一个 ∃ 特称命题(3)∀x∈M，p(x)(4)∃x0∈M，p(x0)存在一个x0属于M，使p(x0)成立预习交流1(1)提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．例如：平行四边形的对角线互相平分，是省略全称量词的，实际应理解为：所有的平行四边形的对角线互相平分．(2)提示：①是全称命题，是假命题；②是特称命题，是真命题．2．∃x 0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)预习交流2(1)提示：因为全(特)称命题的否定，首先将其全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后把结论否定，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．(2)提示：①p：∃x 0∈R，x20＋2＜0，是假命题．这是因为对任意实数x，x2＋2＞0恒成立，即p为真命题，所以p是假命题．②q：∀x∈Z，x3＋1≠0，是假命题．这是因为x＝－1时，x3＋1＝0．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：分析命题中是否含有全称量词，从而判定是否是全称命题．D解析：①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故④是全称命题．(2)思路分析：分析命题中是否含有存在量词，从而判定是否是特称命题．C解析：①②③是特称命题，④可以叙述为“所有的圆内接四边形的对角互补”，是全称命题．迁移与应用1．①③④②⑤解析：①③含有全称量词，是全称命题；④可叙述为“所有的整数中，1最小”是全称命题；②⑤含有存在量词，是特称命题．2．解：(1)中含有存在量词，所以(1)是特称命题．(2)是疑问句，不是命题．(3)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．活动与探究2 (1)思路分析：首先判断命题中含有哪种量词，进而确定是哪种命题，然后正面推理证明或举反例说明命题的真假．C 解析：A 是特称命题，存在x ＝1时使lg x ＝0成立，所以A 为真命题；B 是特称命题，存在x ＝π4时，tan x ＝1成立，所以B 是真命题；C 是全称命题，存在x ＝－1，使x 3＝－1＜0，所以C 为假命题；D 是全称命题，当x ∈R 时，2x ＞0恒成立，所以D 为真命题．(2)思路分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断所给结论中命题的真假．B 解析：∵∀x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，∴不存在x ，使sin x ＝52＞1成立，∴p 为假命题． ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0对x ∈R 恒成立，∴q 为真命题． ∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧(q )”是假命题，“(p )∨q ”是真命题，“(p )∨(q )”是真命题．迁移与应用1．A 解析：∵m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，∴A 项为真命题．2．解：命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题；命题(2)是全称命题，存在x 1＝0，x 2＝π，虽然x 1＜x 2，但是tan x 1＝tan x 2，故该命题为假命题；命题(3)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题；命题(4)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1＞0，故该命题为假命题．活动与探究3 思路分析：先分清是全称命题还是特称命题，对命题进行否定时既要改变量词，又要否定结论．解：(1)p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，假命题． (2)q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋8≥0，真命题．迁移与应用 1．B 解析：该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．解：(1)p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故p为假命题．(2)p：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0，当a＝1，b＝－2时，|a－1|＋|b＋2|＝0．故p为假命题．当堂检测1．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案：D解析：D中含有存在量词，故是特称命题．2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定．．是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案：C解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．梯形的对角线不相等x xC．∃x∈R，2=D．对数函数在定义域上是单调函数答案：D解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．4．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______．答案：(1，＋∞)解析：∵p是假命题，∴p是真命题，即∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0是真命题，∴2>0,24<0,a a ⎧⎨-⎩解得a ＞1． 5．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0＞1”，用符号表示为______________；此命题的否定是______________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案：∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0＞1 ∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假。
苏教版数学高二- 选修1-1试题 1.3 全称量词与存在量词
1.3 全称量词与存在量词1.下列命题是全称命题并且是真命题的是________．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立．解析：∵c≤0，∴b＋c≤b.∵a≤b＋c，∴a≤b.答案：②2.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠03.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤34.已知命题：“∃x∈，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．解析：由已知知道：∃x∈，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.答案：a≥－85.不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________．解析：法一：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；结合二次函数图象得其ＴΔ<0，即4－4a<0，所以a>1.法二：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224×（－1）＝1，所以a>1. 答案：a>11.下列存在性命题中，是真命题的是________．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．解析：①真命题，如当x＝－1时，x≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x＝45，x2＝5为无理数．答案：①②③2.下列全称命题中是假命题的是________．①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意的x∈Z，2x2＋1为奇数．解析：①假命题，当x＝0.6时，2x＋1＝2.2，不是整数；②假命题，当x＝1时，x<3；③真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2＋1必为奇数．答案：①②3.已知命题p：∃n∈N，2n>1000，则綈p为________．解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N，2n≤1000.答案：∀n∈N，2n≤10004.命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是________．解析：命题中隐含全称量词“所有的”．答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称5.下列命题的否定为假命题的是________．①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；④∃x∈R，Ｔsin2x＋sinx＋1＝0.解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．答案：①6.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．7.判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，|x|>0；(2)∀a ∈R ，函数y ＝log a x 是单调函数；(3)∀x ∈R ，x 2>－1；(4)∃a Ｘ∈{向量}，使a·b ＝0；(5)∃x>0，y>0，使x 2＋y 2＝0.解：(1)由于0∈R ，当x ＝0时，|x|>0不成立，因此命题“∀x ∈R ，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R ，当a ＝1时，y ＝log a x 无意义，因此命题“∀a ∈R ，函数y ＝log a x 是单调函数”是假命题．(3)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2>－1.因此命题“∀x ∈R ，x 2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a ＝0时，能使a·b ＝0，因此命题“∃a ∈{向量}，使a·b ＝0”是真命题．(5)由于使x 2＋y 2＝0成立的只有x ＝y ＝0，而0不是正实数，因而没有正实数x ，y ，使x 2＋y 2＝0，因此命题“∃x>0，y>0，使x 2＋y 2＝0”是假命题．8.已知：对∀x>0，a≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________． 解析：∀x>0，x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)，⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2； 而对∀x>0，a≤x ＋1x恒成立，所以a≤2. 答案：a≤29.已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为命题綈p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就是不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时就有⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝4－12a<0，解得a>13，因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的取值范围是a≤13. 答案：a≤1310.已知p ：|3x －4|>2，q ：1x 2－x －2>0，求綈p 和綈q 对应的x 的值的集合．解：命题p 中的元素组成的集合为M ，那么对命题p 的否定綈p 组成的集合就是M 的补集．由p ：|3x －4|>2，得p ：x<23或x>2，所以綈p ：23≤x≤2，即綈p ：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|23≤x≤2； 由q ：1x 2－x －2>0，得q ：x<－1或x>2， 所以綈q ：－1≤x≤2，即綈q ：{x|－1≤x≤2}．11.(创新题)是否存在整数m ，使得命题“∀x ∈R ，m 2－m<x 2＋x ＋1”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在整数m ，使得命题是真命题．由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，因此只需m 2－m≤0，即0≤m≤1.故存在整数m ＝0或m ＝1，使得命题是真命题．。
苏教版高中数学选修1-1全称量词与存在量词教案
全称量词与存在量词教学目标（1）通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；（2）能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学内容．教学重点，难点（1）理解全称量词与存在量词的含义；（2）判断全称命题和存在性命题真假的方法．教学过程一．问题情境1．情境：在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．(2)对于任意实数x ，都有20x ≥．(3)存在有理数x ，使220x -=．2．问题：上述命题，有何不同？二．学生活动命题⑴表示——只要是“中国公民”，其合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．命题⑵表示——对每一个实数x ，必有“02≥x ”，即没有使“02≥x ”不成立的实数x 存在．命题⑶表示——至少可以找到一个有理数x ，使“022=-x ”成立．三．建构数学1．全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x ∀”表示“对任意x ”．2．存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x ∃”表示“存在x ”．3．全称命题与存在性命题：（1）定义含有全称量词的命题称为全称命题．含有存在量词的命题称为存在性命题．（2）全称命题与存在性命题的一般形式：全称命题：,()x M p x ∀∈存在性命题：,()x M p x ∃∈其中M 为给定的集合，()p x 是一个关于x 的命题．四．数学运用1．例题：例1．判断下列语句是否是全称命题或存在性命题．（1）有一个实数a ，a 不能取对数；（2）所有不等式的解集A ，都有A R ⊆；（3）三角函数都是周期函数吗？（4）有的向量方向不定；（5）自然数的平方是正数．解：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）不是命题；（4）存在性命题；（5）全称命题．说明：（1）判断一个语句是全称命题还是存在性命题，应先判断它是否为命题；（2）判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．例2．判断下列命题的真假：（1）2,x R x x ∃∈>； （2）2,x R x x ∀∈>； （3）2,80x Q x ∃∈-=； （4）2,20x R x ∀∈+>． 解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以，“2,x R x x ∃∈>”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以，“2,x R x x ∀∈>”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =x =-所以“2,80x Q x ∃∈-=”是假命题． （4）因为对于任意实数x ，都有220x +>成立，所以，“2,20x R x ∀∈+>”是真命题．说明：①要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x ，使命题()p x 为真；否则命题为假．②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x ，()p x 都为真；但要判字一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，0()p x 为假． 例3．用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：（1）实数都能写成小数形式；（2）凸n 边形的外角和等于2π；（3）任一个实数乘以1-都等于它的相反数；（4）对任意的实数x ，都有32x x >；（5）对任意角α，都有22sin cos 1αα+=．解：（1）,x R x ∀∈能写成小数形式；（2）{|},x x x x ∀∈是凸n边形的外角和等于2π；（3）,(1)x R x x ∀∈-=-；（4）32,x R x x ∀∈>；（5）α∀∈{角}，22sin cos 1αα+=．2．练习：五．回顾小结：1．全称命题和存在性命题的含义；2．判断全称命题和存在性命题的真假的方法．。
高中数学苏教版选修1-1学案第1章 3 全称量词与存在量词含解析
1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题阅读教材P13，完成下列问题.1.全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：∃x∈M，p(x).判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( )(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( )(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )【解析】(1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词.(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确.(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词.(4)√.命题p与其否定綈p真假性相反.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 全称命题与存在性命题的否定阅读教材P15例1以上部分，完成下列问题.1.全称命题的否定全称命题p 綈p 结论全称命题的否∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)定是存在性命题2.存在性命题的否定存在性命题p 綈p 结论存在性命题的∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)否定是全称命题(2014·安徽高考改编)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________. 【24830013】【解析】原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”.【答案】∃x0∈R，|x0|＋x20<0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]用量词表示命题判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示.并判断其真假.(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.【精彩点拨】判断全称命题还是存在性命题→用符号“∀”或“∃”表示【自主解答】(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题.(2)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题.(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题.1.有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义.2.用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“∃”，全称量词改为“∀”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义.[再练一题]1.用符号“∀”与“∃”表示下列命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac.【解】 (1)∀x ∈R ，|x|≥0.(2)∃(x ，y)∈R ，x 2＋y 2＜1.(3)∀a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac. 含有量词的命题的真假判断判断下列命题的真假：(1)若a ＞0且a ≠1，则∃x 0∈R ，ax 0＞0；(2)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12；(3)∃x 0，y 0∈N ，使2x 0＋y 0＝3.【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.【自主解答】 (1)∵a>0，∴当x ＝1时，a x ＝a>0，成立，∴(1)为真命题.(2)∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋34≥34>12，∴x 2－x ＋1>12恒成立，∴(2)是真命题. (3)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3满足题意，∴(3)是真命题.全称命题与存在性命题真假判断的方法：(1)对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.[再练一题]2.判断下列命题中的真假：(1) ∀x∈R,2x－1>0 ；(2)∀x∈N*，(x－1)2>0；(3)∃x0∈R，lg x0<1 ；(4)∃x0∈R，tan x0＝2.【解】(1)命题“∀x∈R,2x－1>0”是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；(2)命题“∀x∈N*，(x－1)2>0”是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；(3)命题“∃x0∈R，lg x0<1”是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；(4)命题“∃x0∈R，tan x0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【精彩点拨】首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定.【自主解答】(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题.∵∀x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－122≥0恒成立，∴綈p是假命题.(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题.∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立∴綈r是真命题.(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴綈s是假命题.1.写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论.2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.[再练一题]3.写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：∃x0∈R，x20＋x0＝x0＋2;(4)s：∀x∈R,2x＋4≥0.【24830014】【解】(1)綈p：有些分数不是有理数；(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)綈r：∀x∈R，x2＋x≠x＋2；(4)綈s：∃x0∈R,2x0＋4＜0.[探究共研型]全称命题与存在性命题的综合应用2”的含义是什么？(2)“∃x∈[1,2] ，a＝x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围.【提示】(1)“∃x∈R ，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0有实数根，所以其判别式Δ＝4a≥0，解得a≥0；(2)“∃x∈[1,2]，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0在[1,2]内有实数根，也就是函数y＝x2，x∈[1,2]和函数y＝a的图象有交点，因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a的取值范围是1≤a≤4.探究2 (1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？(2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围.【提示】(1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的x，不等式a＜x2都恒成立，所以a要小于x2的最小值.因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a＜1；(2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是在[1,2]内至少有一个x ，使不等式a＜x2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可.因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a≤4.(1)若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是________.(2)若“∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________.【精彩点拨】(1)转化为不等式的恒成立问题；(2)转化为方程有实数根的问题.【自主解答】(1)ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对∀x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立.当a ＋2＝0时，不符合题意.故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0，解得a ≥2.(2)方法一：由于“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＝m ”是真命题，则实数m 的取值集合就是二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋2的值域，即{m|m ≥1}.方法二：依题意，方程x 2＋2x ＋2－m ＝0有实数解，∴Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m ≥1.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)[1，＋∞)应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决.2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.[再练一题]4.(2016·徐州高二检测)若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a<0，则实数a 的取值范围是________.【24830015】【解析】当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0；当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.【答案】a<11.下列命题是全称命题的是________.(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.【解析】(1)中含有量词“有一个”，是存在性命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题.【答案】(2)2.下列全称命题：①实数都有倒数；②自然数都是正整数；③小数都是有理数；④无理数都是无限不循环小数.其中真命题的是________.【解析】由于0没有倒数，故①错误；由于0不是正整数，故②错误；由于无限不循环小数是无理数，故③错误，④正确.【答案】④3.(2016·湘潭高二检测)已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则綈p是________. 【解析】p为全称命题，綈p应为存在性命题.【答案】∃x0∈R，cos x0＞14.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.【答案】(－∞，3]5.将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示.(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1>0；(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线.【解】(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<1).(3)∃x0∈R,2x0＋1>0.(4)若l⊥α，则∀a⊂α，l⊥a.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(四) 量词含有一个量词的全题的否定(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.下列命题：①任何实数都有平方根；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.其中全称命题是________(填序号).【解析】命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题.【答案】①②④2.命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：________.【解析】存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M, 綈p(x)”.故填∀x∈R, x2＋2x＋4≥0.【答案】∀x∈R，x2＋2x＋4≥03.下列命题中，________是全称命题；________是存在性命题.①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.【解析】①②③为全称命题，④为存在性命题.【答案】①②③④4.(2016·保定高二检测)命题“零向量与任意向量共线”的否定为________.【24830016】【解析】 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”.【答案】 有的向量与零向量不共线 5.下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x.p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＜log 13x.其中的真命题是________.【解析】 当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x，故p 1错误；取x ＝12，则log 12x＝1，log 13x ＝log 32＜1，故p 2正确；取x ＝18，则0＜⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ 12x＜1，log 12x ＝log1218＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＜log 12x ，故p 3错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＜1，而log 13x ＞1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＜log 13x ，故p 4正确.【答案】 p 2、p 46.(2016·洛阳高二检测)已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】 当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8. 【答案】 [－8，＋∞)7.(2016·泰州高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f(x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________.【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m<－2.【答案】 (－∞，－2)8.(2016·义乌高二检测)在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x(1－y).若对任意x ∈R ，不等式(x －a)⊙(x ＋a)<1恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由x ⊙y ＝x(1－y)，得(x －a)⊙(x ＋a)＝(x －a)(1－x －a) ＝－(x －a)[x －(1－a)]<1，整理得x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，解得－12<a<32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32二、解答题9.判断下列命题的真假：(1)∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0＜4x 0； (2)∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使tan x ＞x ； (3)∀x ∈R ，使sin 2x ＋cos 2x ＝1；(4)∃x ∈R ，使x －2＞log x.【解】 (1)由指数函数的图象可知，当x ∈(－∞，0)时，3x ＞4x 恒成立，故(1)为假命题.(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x ＞x 恒成立，命题(2)是真命题. (3)由同角三角函数的基本关系可知(3)为真命题.(4)结合图象分析可知，∃x ∈R ，使得x －2＞lg x ，故该命题是真命题. 10.判断下列命题的真假，并写出命题的否定： (1)有一个实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a>0恒成立；(2)对任意实数x ，不等式|x ＋2|≤0成立； (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解.【解】 (1)对于方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的判别式Δ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≥0，则不存在实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a>0恒成立，所以命题为假命题.它的否定为：对任意实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a>0不恒成立.(2)当x ＝1时，|x ＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x ，使|x ＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. [能力提升]1.(2016·咸阳高二检测)四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x2.其中真命题的个数为________.【解析】 x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题，对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题，4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.【答案】 02.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0，命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos x ＜1，则下列命题：①p ∧q ；②p ∨(綈q)；③(綈p)∧q ；④p ∧(綈q)；⑤(綈p)∨q.其中的真命题是________. 【24830017】【解析】 当x 0＜0时，2x 0＞3x 0，∴不存在x 0∈(－∞，0)使得2x 0＜3x 0成立，即p 为假命题，显然∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有cos x ＜1，∴命题q 为真，∴(綈p)∧q和(綈p)∨q 是真命题.【答案】 ③⑤3.(2016·成都高二检测)设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________.【解析】 p ：0<c<1；q ：由Δ<0知－12<c<12.∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c<1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c<1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≤0或c ≥1，－12<c<12，得－12<c ≤0.综上：12≤c<1或－12<c ≤0.【答案】 －12<c ≤0或12≤c<14.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.【解】 由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题. 若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立.∴a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a ≥1或a ≤－2. 综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】 (1)对立 成功 失败 (2)1－p 2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】 由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]独立重复试验中的概率问题某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13二项分布一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为η012345P错误错误错误错误错误!错误!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列． 【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．∴随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P116 143814116 [探究共研型]独立重复试验与二项分布综合应用探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？ 【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－233＝127，P(ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝49， P(ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P(C)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23⎣⎢⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎥⎤12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．(2016·余姚高二质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P(A i )＝12，P(B j )＝13，P(C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率． P ＝3! P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ∪C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，即P(ξ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是p1272949827[构建·体系]1．(2016·桂林二模)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582【解析】 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此，P(X ＝12)＝38·C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582.【答案】 D2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14【解析】 ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34.【答案】 C3．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________. 【62690039】【解析】 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验， 设申请A 片区房源记为A ，则P(A)＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. 【答案】8274．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．【解析】P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23.【答案】13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 【解】 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P(A)＝23，P(B)＝34. (1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A)[1－P(A)]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A)·[1－P(A)]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827. 乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B)·[1－P(B)]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A．0.93B．1－(1－0.9)3C．C35×0.93×0.12D．C35×0.13×0.92【解析】由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512C.45512D.271 024【解析】 此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56D.34 【解析】 设所求概率为p ，则1－(1－p)4＝6581，得p ＝13. 【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 【解析】 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为 P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125.故选B.【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，则P(ξ＝k)最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5【解析】 依题意P(ξ＝k)＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P(ξ＝0)＝32243，P(ξ＝1)＝80243，P(ξ＝2)＝80243，P(ξ＝3)＝40243，P(ξ＝4)＝10243，P(ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P(ξ＝k)最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B(1 000，0.001)． (1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9991000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】 由已知可求通项公式为a n ＝10－2n(n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＝625. 【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，。
苏教版数学高二-湖南省邵阳市选修1-1学案 全称量词与存在量词
【学习目标】1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断【自主学习】（阅读教材P21-P23，找出疑惑之处）新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：【合作探究】例1（教材P22） 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.【目标检测】1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.3. 下列命题为特称命题的是（ ）.A.偶函数的图像关于y 轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于34.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数.A.0个B.1个C.2个D.4个5.下列命题中假命题的个数（ ）.(1)2,11x R x ∀∈+≥；（2）,213x R x ∃∈+=；（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除；（4）2,230x R x x ∃∈++=A.0个B.1个C.2个D.4个6.下列命题中（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是特称命题是.7. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数,x y使2330++<成立：x y【作业布置】任课教师自定。