西南大学2016《初等数论》网上作业(共4次)
初等数论练习题答案
初等数论练习题答案初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; ϕ(2420)=_880_2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。
9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理)第一次作业1：[填空题]名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测参考答案：1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。
11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。
12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。
2015年12月西南大学(0346)《初等数论》大作业A标准答案
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育） 2015年12月课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷大作业满分：100 分一、填空题（每小题2分，共14分）1. 5除21的商是 4 。
2. [4.7] = 4 。
3. 24的标准分解式为。
4. 555的个位数是 5 。
5. 4的所有正因数的和是 7 。
6. 模5的最小非负简化剩余系是。
7. 大于10且小于15的质数是 11、13 。
二、简答题（每小题5分，共30分）1. 叙述整数a被整数b整除的概念。
2. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
3. 不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是什么？4. 写出两条同余的基本性质。
5. 196是否是3的倍数，为什么？6. 叙述孙子定理的内容。
三、计算题（每小题8分，共40分）1. 求210与55的最大公因数。
2. 求8！的标准分解式。
3. 求810除以7的余数。
4. 求不定方程132=-yx的一切整数解。
解：因为（2，3）=1，所以不定方程有整数解。
由观察知x0=-1，y0=-1是不定方程2x-3y=1的一个整数解，所以不定方程2x-3y=1的一切整数解是，其中t取一切整数。
5. 解同余式)5(mod23≡x。
四、证明题（每小题8分，共16分）1. 证明：若a，b都是m的倍数，则ba-也是m的倍数。
2. 证明：如果p和p + 2都是大于3的质数，那么6 | p + 1。
3. 不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是什么？答：不定方程cbyax=+有整数解的充分必要条件是。
4. 写出两条同余的基本性质。
答：利用同余的定义，我们可以得到同余的若干基本性质。
性质1m为正整数，a，b，c为任意整数，则1.a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。
性质２整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt，t是整数。
《初等数论》网络作业
《初等数论》网络作业11、证明整数105L02个3001能被1001 整除。
n n n 1 n 2 n 2 n 1 证明：利用公式：若n 是正奇数，则a b (a b)(a a b L ab b ) ∴ 10L2 301 10511 (103)171 (103 1)[(103)16 (103)15 L 103 1] 50个03∴ 103 1 1001 能够整除10L2 30150个02、若n 是奇数，证明8|(n2 1)。
证明：设n 2k 1,k Z ，则n2 1 (2k 1)2 1 4k(k 1)∵ k，k ＋1 中必有一个是偶数∴ 8|(n2 1)3、设正整数n 的十进制表示为n a k L a1a0 ，其中0 a i 9,0 i k,a k 0 ，且S(n) a k a k 1 L a1 a0，证明9 | n的充分必要条件是9|S(n) 。
k证明：∵ n a k L a1a0 a k 10 L a1 10 a0，S(n) a k a k 1 L a1 a0k∴ n S(n) a k (10k 1) L a1 (10 1)对所有的0 i k ，有9|(10i 1)∴ 9|(n S(n))∴ 9|n 的充分必要条件是9|S(n)4 、设r 是正奇数，证明对任意的正整数n，n 2不能整除(1r 2r L n r) 。
证明：当n＝1 时，结论显然成立。
面设n 2，令S 1r 2r L n r则2S 2 (2r n r) [3r (n 1)r] L (n r 2r )利用公式：若n 是正奇数，则a n b n (a b)(a n 1 a n 2b L ab n 2 b n 1)∴ 对2 i n，(n 2) |(i r (n 2 i)r )∴ 2S 2 (n 2)q ，q 是整数∵ n 2 2∴ n＋ 2 不能整除2S∴ n＋ 2 不能整除S5 、设n 为正整数，证明(n! 1,(n 1)! 1) 1。
国开电大初等数论(四川)形成作业四参考答案
a.有限个解
b.无法确定
c.无解
d.有无穷多解
【答案】：无解
题目2.形如4n-1的数不能写成（）个平方数的和
a. 1
b. 0
c. 2
d. 3
【答案】：2
题目3.同余式x2=365（mod1847）的解的情况（）
a.有无理数解
b.不确定
c.有解
d.无解
【答案】：有解
c. 1，2，3，4，5，6，7，8
d. 1，2，4，8，9，13，15，16
【答案】：1，2，4，8，9，13，15，16
题目7.在整数中正素数的个数为( )
a.有限多
b.无限多
c.有1个
d.不一定
【答案】：无限多
题目8.同余式8x=9(mod11)的解为（）
a. x=8(mod11)
b. x=4(mod17)
对
错
【答案】：错
题目12.对于同一素数p,二平方剩余之积仍是平方剩余.
对
错
【答案】：对
题目13.素数写成两个平方数和的方法不是惟一的.
对
错
【答案】：错
题目14.模13的平方非剩余个数为6个.
对
错
【答案】：对
题目15.如果(b,p)=1，则b是模p的平方(mod17)
d. x=9(mod17)
【答案】：x=8(mod11)
题目9.如果同余式x2=a(modp)有解，则成a是模p的（）
a.四次剩余
b.三次剩余
c.一次剩余
d.二次剩余
【答案】：二次剩余
题目10.563是素数，=（）
a. 0
b. 3
初等数论习题解答
《初等数论》习题解答作业3一．选择题1，B 2，C 3，D 4，A二．填空题1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6，2 7，1三．计算题1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (modm)∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡13360≡13364=3360×34≡34 (mod 100)∴34≡81 (mod 100)故：3364的末两位数是81.2, 解：132=169≡4 （mod 5）134=16≡1 (mod 5)1316≡1 (mod 5)1332≡1 (mod 5)1348≡1 (mod 5)1350=1348×1321350≡132≡4 (mod 5)3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解7X －5≡9Y (mod 9)7X －9Y ≡5 (mod 9)解之得：X=2，Y=1∴X=2+9≡11=2 (mod 9)4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解24X ≡7 (mod 59)59Y ≡﹣7 (mod 24)11Y=﹣7 (mod 24)24Z=7 (mod 11)2Z=7 (mod 11)11W=﹣7 (mod 2)W =﹣7 (mod 2)W=﹣1 (mod 2)Z=2711+-= －2 Y=117242-⨯-=－5X=247595+⨯-=2288-=－12 =47(mod59)5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。
45X ≡21（mod32）15x ≡7 (mod44)44y ≡-7 (mod15)14y ≡-7 (mod15)15z ≡-7 (mod14)z ≡7 (mod14) y=147715-⨯=7 x=157744+⨯=21 ∴x=21+31322⨯=109 (mod132) x=21+31321⨯=65 (mod132) x=21 (mod132)6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。
2016年初等数论第四次作业答案
2016年西南大学初等数论第四次作业证明题1． 设n 是整数，证明6 | n (n + 1)(2n + 1)。
证明：n (n + 1)(2n + 1) = n (n + 1)(n – 1) + n (n + 1)(n + 2)。
n (n + 1)(n – 1)是三个连续整数的积，n (n + 1)(n + 2)也是三个连续整数的积， 而三个连续整数的积可被6整除，所以6 | n (n + 1)(n – 1)，6 | n (n + 1)(n + 2)。
由整出的性质可得6 | n (n + 1)(2n + 1)。
2． 设n 是整数，证明：n n -3|6。
证明：)1)(1(3+-=-n n n n n 。
由于)1)(1(+-n n n 是3个连续整数的积，所以n n -3|3。
由于)1(-n n 是2个连续整数的积，所以n n -3|2。
又（2,3）= 1，所以n n -3|6。
3． 设x ，y 均为整数。
证明：若y x 2|7+，则y x 610|7+。
证明：)2(37610y x x y x ++=+，因为y x 2|7+，所以)2(3|7y x +, 因为7|7，所以7|7x ，从而)2(37|7y x x ++，所以y x 610|7+4． 设x ，y 均为整数。
证明：若y x 9|5+，则y x 78|5+。
证明：y y x y x 65)9(878-+=+。
因为y x 9|5+，所以)9(8|5y x +。
又因为5|65，所以5|65y 。
从而y y x 65)9(8|5-+，所以y x 78|5+。
5.设x 是实数，n 是正整数，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。
证明：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n x a ，则1+<≤a n x a ，所以)1(+<≤a n x na 。
因为na 与n (a +1)都是整数，所以)1(][+<≤a n x na ， 于是1][+<≤a n x a ，从而a n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡][，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。
华师《初等数论》在线作业-0003.BA51D0E4-74F8-4C
417被-15除的带余除法表达式是（ ）
A:417 = (-15)(-30)-33
B:417 = (-15)(-26)+27
C:417 = (-15)(-28)+(-3)
D:417 = (-15)(-27)+12
答案：D
如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）
A:奇数
A:错误
B:正确
答案：B
50!中2的指数是46.
A:错误
B:正确
答案：A
奇数一定能表示为两平方数之差.
A:错误
B:正确
答案：B
若(n,p)=1, n是模p的二次剩余的充要条件是n^(p-1/2)≡-1(mod p).（^表示上标)
A:错误
B:正确
答案：A
A:38
B:48
C:58
D:68
答案：C
（1/5）=（ ）
A:-1
B:0
C:1
D:2
答案：C
设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A:整除
B:不整除
C:等于
D:小于
答案：A
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
A:a
B:b
C:1
D:a+b
答案：C
1050与858的最大公因数是（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
同余式28x≡21(mod 35)有7个解.
A:错误
B:正确
答案：B
a,b的公倍数是它们的最小公倍数的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).
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初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a被整数b整除的概念。
2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。
3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
5. 不定方程c+有整数解的充分必要条件是什么？byax=6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
7. 写出一组勾股数。
8. 写出两条同余的基本性质。
9. 196是否是3的倍数，为什么？10. 696是否是9的倍数，为什么？11. 叙述孙子定理的内容。
12. 叙述算术基本定理的内容。
13.给出模6的一个完全剩余系。
14.给出模8的一个简化剩余系。
15.写出一次同余式)ax≡有解得充要条件。
(mod mb答：1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。
2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。
a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5.不定方程cax=+有整数解的充分必要条件是。
by6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7.一组勾股数为3,4,5。
8.同余的基本性质为：性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则①a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。
性质3①若（mod m），（mod m），则（mod m）②若a＋b≡c（mod m），则a≡c－b（mod m）。
9.196不是3的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。
10.696不是9的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。
11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,(1)设,则同余式组(1)的解是(2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。
12.任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数，（1）其中是质数，并且若，,其中是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。
13.模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。
14.由于8的标准分解式为8=23，所以所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。
比如1,7就是模8的一个简化剩余系。
15.一次同余式)ax 有解的充要条件是(a,m)|b。
b(mod m填空题1．9除28的商是 3 。
2．11除23的余数是 1 。
3．6的正因数是1,2,3,6 。
4．{4.5}= 0.5 。
5．[8.3] +[-8.3] = ﹣1 。
6．30的最小质因数是 2 。
7．在所有质数中，是偶数的是 2 。
8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。
9．大于4小于16的素数有___ 5, 7, 11, 13 __ ____。
10．不定方程c+ax=by11．模5的最小非负完全剩余系是{0,1,2,3,4,} 。
12．模4的绝对最小完全剩余系是﹣1, 0, 1, 2 。
13．5555的个位数是 5 。
14．77的个位数是_______ 3 ________。
15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。
16．66的个位数是 6 。
17．710被11除的余数是 1 。
18．（1516，600）= 227400 。
19．6的所有正因数的和是12 _。
20．24与60的最大公因数是12 。
21．35的最小质因数是 5 。
22．46的个位数是 6 。
23．8的所有正因数的和是7 _。
24．18的标准分解式为18=2×3 ²。
25．20的欧拉函数值)(ϕ= 8 。
20计算题1．求169与121的最大公因数。
解：（169，121）=（169 – 121，121）=（48，121）=（48，121 – 48）=（48，73）=（48，25）=（23，25）=12．求出12!的标准分解式。
解：e d c b a 117532!12⨯⨯⨯⨯=，10812412212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a ，5912312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b ， 2512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c ，1712=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d ，11112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e ， 所以12!的标准分解式为117532!122510⨯⨯⨯⨯=3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。
解：因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。
观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。
由公式知其一切整数解为⎩⎨⎧+=+=t y t x 3243，t 为整数。
4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。
解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。
观察知其一个整数解是0013x y =⎧⎨=-⎩。
于是其一切整数解为1237x t y t =+⎧⎨=--⎩，t 取一切整数。
5．解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。
解：因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。
由3x - 7y = 1得⎩⎨⎧+=+=ty t x 3275，所以同余式的解为)7(mod 5≡x .6．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。
解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。
由3108x y -=得一个解0061x y =⎧⎨=⎩，所以同余式的解为6(mod10)x ≡. 7．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。
解：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。
同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5) 得x ≡ 2(mod 5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35).8．解同余式组：⎩⎨⎧≡≡)5(mod 2)3(mod 1x x 。
解：由)3(mod 1≡x 得13+=k x ，将其代入)5(mod 2≡x得)5(mod 213≡+k ，解得)5(mod 2≡k ，即25+=t k ，所以715+=t x ，所以解为)15(mod 7≡x .9．解同余式组：⎩⎨⎧≡≡)7(mod 3)5(mod 2x x 。
解：由)5(mod 2≡x 得25+=k x ，将其代入)7(mod 3≡x得)7(mod 325≡+k ，解得)7(mod 3≡k ，即37+=t k ，所以1735+=t x ，所以解为)35(mod 17≡x .10．解同余式组：1(mod3)2(mod 7)x x ≡⎧⎨≡⎩。
解：由1(mod3)x ≡得1113,x t t Z =+∈，将其代入2(mod7)x ≡得1132(mod 7)t +≡，即131(mod 7)t ≡，解得15(mod 7)t ≡，所以12257,t t t Z =+∈，于是12221313(57)1621,x t t t t Z =+=++=+∈。
所以同余式组的解为16(mod 21)x ≡.11．解同余式组：1(mod 2)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。
解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。
由孙子定理可得该同余式组的解为x ≡ 1(mod 30).12．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多的约数是两位数，求出这些两位约数中最大的那一个。
解：设这个数为n ，则由已知条件可得7532235⨯⨯⨯=n 。
由于11|99，98|72，97|97，所以99，98，97都不是n 的约数。
又32965⨯=，所以96是n 的约数，所以n 的两位约数中最大的为96.初等数论第四次作业证明题1．设n 是整数，证明6 | n (n + 1)(2n + 1)。
证明：若n 为偶数，则n(n + 1)(2n +1)是偶数若n 为奇数，则n+1是偶数，所以n(n + 1)(2n +1)是偶数在证这个数能被3整除，若n 被3整除，则n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n 被3除余1，则2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除 若n 被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除 所以6| n (n + 1)(2n + 1).2．设n 是整数，证明：n n -3|6。
证明： )1()1()1)(1()1²(3+-=+-=-=-n n n n n n n n nn 由此知 若n=1 则该式＝0 是6的倍数若n>1 则该式为三个连续正整数乘积在3个连续正整数中 至少有1个是偶数 即可被2整除在3个连续正整数中 必有1个是3的倍数 即可被3整除所以该式即可被2*3＝6整除.3．设x ，y 均为整数。
证明：若y x 2|7+，则y x 610|7+。
证明：yx yy x yy x y y x y x 610|714|7,2|714)2(10142010610+∴-+-+=-+=+ 4．设x ，y 均为整数。
证明：若y x 9|5+，则y x 78|5+。
证明：yx yy x yy x y y x y x 785655,9|565)9(86572878+∴-+-+=-+=+5．设x 是实数，n 是正整数，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。
证明：令，则由定义有，于是。
由于na ，n(a + 1)均为整数，所以，从而，由定义得，所以。
6．设p 是质数，证明：m m p p p p =++++)()()()1(2ϕϕϕϕ 。
证明：因为p 是质数，所以，。
于是。
7．证明：若c a |，d b |，则cd ab |。
证明：由c a |，d b |知存在整数p ，q 使得ap c =，bq d =，所以abpq apbq cd ==， 因为pq 为整数，所以由整除的定义知cd ab |。
8．证明：若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a +≡+。