2021-2022年高三文科数学起点考试试题
2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版)
2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、单选题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0 4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7107．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】先利用绝对值不等式的解法求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{2，3}．故选：B．2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．解：∵函数y＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵ω＝2，∴T＝π，故选：C．3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0【分析】求不等式a＞b＞0成立的一个充分不必要条件，首先分清条件和结论，求的是条件，已知的是结论；根据充分不必要条件的定义，再看条件能推出结论，但结论推不出条件的即满足．解：对于A，推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出，故是a＞b＞0的必要不充分条件；对于B，e a＞e b推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出e a＞e b，故e a＞e b是a＞b＞0的必要不充分条件；对于C，当a＝3，b＝﹣1时，a b＝＞b a＝﹣1，故a b＞b a推不出a＞b＞0；反之，当a ＝4，b＝2时，a b＝b a，故a＞b＞0推不出a b＞b a，故a b＞b a是a＞b＞0成立的既不充分也不必要条件；对于D，lna＞lnb＞0⇔a＞b＞1，由于a＞b＞1⇒a＞b＞0，但a＞b＞0推不出a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0是a＞b＞0的充分不必要条件；故D正确．故选：D．4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝log23＞log22＝1，0＝log0.21＜c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增【分析】根据指数函数f（x）的单调性判定a的取值范围，从而结合二次函数的单调性，得出正确选项．解：∵指数函数f（x）＝a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，函数y＝在（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；故选：C．6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【分析】对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．7．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]【分析】据所给的全称命题写出它的否定，根据命题否定是真命题，利用基本不等式求解不等式的最小值，即可得到a的范围．解：由题意可得，命题p：∀x，x．若￢p是∃x，x，是真命题，因为：∀x，x+≥2，当且仅当x＝1时，取得最小值，由命题否定是真命题，可知a≥2，故选：B．8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．【分析】可先计算出平移后的函数解析式，再根据三角函数的性质进行求解即可．解：函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得，令，解得，当k＝0时，，所以与y轴最近的对称轴方程是，故选：C．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，e x∈（0，+∞），∴∈（0，2），f（x）∈（﹣，），故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析f（x）的周期，可得B错误，再利用周期和解析式求出f（2021）的值，可得A错误，进而求出f（x）在区间[﹣1，3]上的解析式，可得C错误，利用周期性分析f（x）＞0的解集，可得D正确，即可得答案．解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又由f（2﹣x）＝f（x），则f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，B错误，又由x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，A错误，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3，则在区间[﹣1，1]上，f（x）＝x3，当x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，则f（2﹣x）＝（2﹣x）3，又由f（2﹣x）＝f（x），则f（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）3，C错误，综合可得：f（x）＝，在区间[﹣1，3]上，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，又由f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）＞0的解集为（4k，4k+2），D正确，故选：D．12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，可得A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造y＝，判断其单调性，即可判断③，由x1•x2＝x1•，判断其单调性，即可判断④．解：由题意直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，∴A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，则x1+x2＝2；∴①正确；对于②：由，因为x1≠x2，则；∴②正确；对于③：构造函数g（x）＝（x＞0）；则g（x）′＝，当g（x）′＞0时，可得x∈（0，e），∴函数g（x）在（0，e）单调递增；当g（x）′＜0时，可得x∈（e，+∞），∴函数g（x）在（e，+∞）单调递减；∵0＜x1＜，1＜x2＜2，那么：∴③正确；对于④：x1•x2＝x1•∵0＜x1＜，令函数h（x）＝x•e x则h′（x）＝e x（1+x）当h（x）＜′0时，可得x∈（﹣∞，﹣1），∴函数h（x）在（0，e）单调递减；当h（x）′＞0时，可得x∈（﹣1，+∞），∴函数h（x）在（﹣1，+∞）单调递增；∴h（x）max＜h（）＝∴不对，即④不对．故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanα的值，再结合二倍角公式，以及“同除余弦可化切”的思想，即可得解．解：因为tan（α+）＝＝，所以tanα＝﹣，所以sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．【分析】根据题意，求出f（﹣1）的值，计算可得f（t）＝﹣2，结合函数的解析式分t ≤0与t＞0两种情况讨论，求出t的值，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝21＝2，若f（t）+f（﹣1）＝0，则f（t）＝﹣2，若t≤0，则f（t）＝2﹣t≥1，f（t）＝﹣2无解，若t＞0，则f（t）＝log2t＝﹣2，则t＝，综合可得：t＝，故答案为：．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），再利用诱导公式可得θ＝kπ+，k∈Z，从而得出结论．解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，∴cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），∴θ＝2kπ+π﹣（θ+），即θ＝kπ+，k∈Z，则绝对值最小的θ值为，故答案为：．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，1+）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性变化情况，作出函数f（x）的图象，由已知方程得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，利用函数图象交点的个数与方程根的个数得m的范围．解：化简得f（x）＝，当x≥0时，f（x）≥0，，若0＜x＜1时，f′（x）＞0，若x＞1时，f′（x）＜0，所以当x＝1时，函数f（x）有极大值f（1）＝，当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）的图象如图所示，由方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0得，（f（x）﹣（m﹣1））（f（x）﹣1）＝0，所以f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由图象知方程f（x）＝1有1个解，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有4个不相等的实数根，则f（x）＝m﹣1要有三个解，由函数图象知0＜m﹣1＜，所以1＜m＜1+．故答案为：（1，1+）三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（2）由A∩B＝A，得A⊆B，则A＝B，即可求实数a的取值范围．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），分a＞1，a＝1，a＜1三种情况讨论，并取其并集，即可求解．解：（1）∵A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，得A⊆B，而B集合为一元二次方程的解集，A集合也是一元二次方程的解集且A集合有两个元素，又因为A⊆B，所以B集合里必有两个元素，所以必有A＝B，即，得a＝﹣2．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），∵x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，A＝（1，a），∵A⊆B，∴1＜a≤4，当a＝1时，A＝∅，满足条件，当a＜1时，A＝（a，1），∵A⊆B，∴﹣1≤a＜1，综上所述，a∈[﹣1，4]．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，p∧q是真命题，即p真q真，求出不等式的交集即可；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分情况讨论，最后求出并集．解：（1）p真，则，或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，故a的取值范围为；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，得a≤﹣2；若p真q真，则，所以，；综上a≤﹣2或．故a的取值范围是．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．【分析】（1）解法一、利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出k的值；解法二、由f（0）＝0求得k的值，再根据奇函数的定义验证即可；（2）不等式化为k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；利用换元法求出右边函数的最大值，即可求得实数k的取值范围．解：（1）解法一、函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的x∈R恒成立，即（k﹣1）2﹣x+2x＝﹣（k﹣1）2x﹣2﹣x对任意的x∈R恒成立；整理得k（22x+1）＝0对任意的x∈R恒成立，所以k＝0．解法二、由奇函数的定义知，f（0）＝0，即（k﹣1）20+20＝0，解得k＝0，此时f（x）＝2﹣x﹣2x，x∈R；因为f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣（2﹣x﹣2x）＝﹣f（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数；综上知，k＝0．（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，即不等式（k﹣1）•2x+2﹣x≥4对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；也即不等式k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；设＝t，则t∈[，2]，得函数g（t）＝﹣t2+4t，t∈[，2]；所以k﹣1≥g（t）max；由函数g（t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4在t∈[，2]上单调递增，所以g（t）max＝g（2）＝4，即k﹣1≥4，解得k≥5；所以实数k的取值范围是[5，+∞）．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范围，再利用整体法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T ＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x ﹣）＝＝sin x+cos x）sin x ＝＝＝sin（2x ﹣）+，因为x，所以2x ﹣，所以当2x ﹣，即x ＝时，f（x）max＝1+．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x ）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h（x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．【分析】（1）由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率k＝f′（e），利用点斜式方程求出切线的方程；（2）将不等式转化为x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，利用导数求得g（x）单调递增，从而不等式等价于x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，利用导数求得h（x）的最小值，从而可得a的取值范围，即可得解．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．（2）当a＞0且x＞1时，由于f（x）≤xe x⇔ax a lnx≤xe x⇔x a lnx a≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，f（x）≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x⇔g（x a）≤g（e x），f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，又x a＞1，e x＞1，再结合g（x）的单调性可知，x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，则h′（x）＝，h′（x）＞0⇒x＞e，h′（x）＜0⇒1＜x＜e，则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，所以a的最大值为e．。
河北省大名县第一中学2022届高三(实验班)上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
高三文科数学月考试题学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A. (0,1]B. [1,+∞)C.(0,2] D.2. [2021·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. [2021·哈三中一模]下列结论中正确的个数是()①“x=”是“”的充分不必要条件;②若a>b,则am2>bm2;③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;④函数f(x )=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 44. [2021·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() A. y=e x+e-x B. y=ln(|x|+1) C.y= D. y=x-5. [2021·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C.D.6. [2021·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对B. 2对C. 1对 D. 0对7. [2021·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. [2021·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误．．的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为[-1,3]9. [2022·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC 的面积为()A. 1+B.C.1+ D.10. [2022·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有()A. φ=θB. φ=π-θC.φ=θ-π D. φ=θ-2π11. [2021·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则( )A. 81B. 99C. 108D. 11712. [2021·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C.D.评卷人得分二、填空题13. [2021·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角,,所对的边长分别为,若,则的值为.14. [2021·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sin A=5sin B，则角C= . 15. [2021·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为.16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为.评卷人得分三、解答题17. [2021·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.18. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知数列{a n}满足a1=,a n+1=3a n-1(n∈N*).(1)若数列{b n}满足b n=a n-,求证:{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.19. [2021·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.20. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.21. [2021·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.22. [2021·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.由于x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,依据指数函数的性质知y=2x>0,所以集合A =,B =,则A∩B =,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x ++2kπ或x ++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y =与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x )=-cos x 在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性学问,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排解,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在争辩函数中的应用,解一元二次不等式、确定值不等式,属于难题.∵f(-x )= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x )=恒为正,即函数f(x)在单调递增,∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.6. 【答案】C【解析】本题考查新概念和函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.设f(x )=(x>0)图象上任一点为A(x,y)(x>0,y>0),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不肯定是奇函数,故的图象不肯定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y =2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y =2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍,可得y =2sin+1的图象,故B正确;令x =π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB =90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC =,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ==- () =-cosθ=cos(θ-π).由于θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算力量.,.故选D. 12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算力量.由正弦定理可得=,又由于==,所以=,即, 所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面对量的线性运算及平面对量数量积.在中，，建立直角坐标系,,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 16. 【答案】【解析】由已知可得a n-a n-1=2(n-1),a n-1-a n-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得a n-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴a n=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.17.(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以f(2x)=1+2sin2x.由于函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x )=2sin+1,即g(x )=2sin+1.由于x ∈,所以2x ∈所以sin ∈,所以g(x)∈[0,3],所以函数g(x)的值域为[0,3].(2) 【答案】由于f(A )=+1,所以sin A =,由于A ∈,所以cos A=.又cos A =,a =2,b=2,所以c=4.所以△ABC面积S△ABC=bc sin A =2.18.(1) 【答案】由题可知a n+1=3(n∈N*),从而有b n+1=3b n,b1=a1-=1,所以{b n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 【答案】由第1问知b n=3n-1,从而a n=3n-1+,有S n=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n =.19.(1) 【答案】由，得，由于数列是正项数列，所以.(2) 【答案】由第1问得,，所以.20.(1) 【答案】由于AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又由于AC⊥BC,AC∩AD=A, 所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2) 【答案】由已知可得CD =,取CD中点为F,连接EF,由于ED=EC=AB =,所以△ECD为等腰三角形,从而EF =,S△ECD =,由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD =,令A到平面CED的距离为d,由V A-ECD=·S△ECD·d=V E-ACD=·S△ACD·1,解得d =.所以点A到平面CED 的距离为21.(1) 【答案】由题意得,,, 解得,所以椭圆的方程为.(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由, 解得,设,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则, 又,所以====.综上所述,为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)22.(1) 【答案】,,,,.(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,,.。
2021-2022年高三二模考试数学(文)试题解析版 含解析(III)
2021-2022年高三二模考试数学（文）试题解析版含解析(III)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（xx•黄浦区二模）函数f（x）=lg（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：有对数型函数的真数大于0解一元一次不等式求函数的定义域．解答：解：要使原函数有意义，则4﹣2x＞0，解得x＜2．所以原函数的定义域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础的计算题．2．（4分）（xx•黄浦区二模）若复数z满足，则z的值为±3i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用行列式的计算方法．求出复数z的方程，然后求出复数z即可．解答：解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=﹣9，所以z=±3i．故答案为：±3i．点评：本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力．3．（4分）（xx•黄浦区二模）在正△ABC中，若AB=2，则= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分由题意可得=2×2×cos，运算求得它的结果．析：解答：解：在正△ABC中，若AB=2，则与的夹角为，∴=2×2×cos=2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．（4分）（xx•黄浦区二模）若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为2x+y﹣1=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程解答：解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣3=﹣2（x+1）即2x+y﹣1=0故答案为：2x+y﹣1=0点本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线评：的斜率5．（4分）（xx•黄浦区二模）等差数列{an }的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．解答：解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案为12．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．6．（4分）（xx•黄浦区二模）设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知[0，+∞）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可．解答：解：因为f（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，则f（x+a）的增区间为[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集．7．（4分）（xx•黄浦区二模）执行程序框图，则输出的a值是121 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断满足：a1=1、an=3an﹣1+1求an＞100的最小an解答：解：∵a1=1∴a2=3a1+1=4∴a3=3a2+1=13∴a4=3a3+1=40∴a5=3a4+1=121，121＞100，退出循环．故答案为：121．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（4分）（xx•黄浦区二模）已知点P（x，y ）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，利用点到直线的距离公式可得结论．解答：解：不等式表示的平面区域如图|PO|表示区域内的点与原点的距离，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y﹣3=0的距离为=，此时由，可得x=y=在区域内∴|PO|的最小值为故答案为：点评：本题考查线性规划知识，考查点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．9．（4分）（xx•黄浦区二模）已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专计算题．题：分析：由题意设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，解得a2=1或a2=﹣16（舍），由此可知该双曲线方程为．解答：解：由题意知c=2．设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，得，解得a2=1或a2=﹣16（舍）∴该双曲线方程为．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10．（4分）（xx•黄浦区二模）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为144πcm2．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：通过小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，求出球的半径，然后求解球的表面积．解答：解：因为圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，所以球的半径：=6．所求球的表面积为：4π×62=144π．故答案为：144π．点评：本题考查球的表面积的求法，注意小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，是解题的关键．11．（4分）（xx•黄浦区二模）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先通过余弦定理及题设中的条件求出AC的值，再根据正弦定理得出结果．解解：根据余弦定理cosA===﹣答：∴AC=3或AC=﹣8（排除）根据正弦定理，即∴=故答案为点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解决三角形的问题中，常通过这连个定理完成边和角的互化．12．（4分）（xx•黄浦区二模）已知，且An =a+a1+a2+…+an，则= ．考点：二项式定理；极限及其运算．专题：计算题．分析：由题意令x=1可得 An=4+42+43+…+4n，利用等比数列的前n项和公式求得它的结果，再利用极限的运算法则求得的值．解答：解：在已知的等式中，令x=1可得 4+42+43+…+4n=a+a1+a2+…+an，再由 An=a+a1+a2+…+an，可得 An=4+42+43+…+4n==，故===，故答案为．点评：本题主要考查求函数的极限的方法，等比数列的前n项和公式，二项式定理的应用．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．13．（4分）（xx•黄浦区二模）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是．（用数字作答）考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接收入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式得到结果．解答：解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接受入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式P（A）=1﹣P（）==∴这箱产品被用户拒绝接收的概率故答案为：点评：本题主要考查了等可能事件的概率求解，解题的关键是对立事件的概率计算公式的应用．14．（4分）（xx•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f （x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，f（x）=4﹣在[a，b]上单调增，则f（a）=ma，f（b）=mb，从而可得mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m的取值范围．解答：解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．点评：本题考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根是关键，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（xx•黄浦区二模）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式求得cos θ，再根据同角三角函数的基本关系求得sinθ，从而求得tanθ的值．解答：解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ=2﹣1=2×﹣1=，故sinθ=﹣=﹣，∴tanθ==，故选C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．16．（5分）（xx•黄浦区二模）函数的反函数是（）A．B．C．D．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．解答：解：由y=得，，所以原函数的反函数为．故选D．点评：本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题．17．（5分）（xx•黄浦区二模）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．解答：解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A点此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形评：结合思想是解本题的关键．18．（5分）（xx•黄浦区二模）下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：选项①“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得．解答：解：选项①当时，必存在n∈N*，使得成立，故前者是后者的充分条件，但存在n∈N*，使得成立时，a即为当n∈N*，时的取值范围，即，故“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件，故①错误；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件，故②正确；选项③由①知，当n∈N*时的取值范围为，故当时，必有“不等式对一切n∈N*恒成立”，而要使不等式对一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（xx•黄浦区二模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，且．（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间角．分析：（1）由题意可得AA1的长度，代入柱体的体积公式可得答案；（2）设G是棱AD中点，可得∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角，由三角形的知识可得，由反正切函数可得角的大小．解答：解：（1）如图在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，…（3分）∴正四棱柱的体积为（22）×3=12．…（6分）（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在△A1AD中，∵E，G分别为线段A1D，AD的中点，∴EG∥A1A，且，∴∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角．…（8分）∵A1A⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥GB，又EG∥A1A，∴EG⊥BG，…（10分）∵，∴，故．所以异面直线AA1与BE所成角的大小为．…（12分）点评：本题考查棱柱的体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．20．（14分）（xx•黄浦区二模）已知复数z1=sinx+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=z2i，且x∈（0，π），求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．考复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．点：专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．解答：解：（1）由2z1=z2i ，可得，又λ，x∈R，∴又x∈（0，π），故或．（2），由，可得，又λ=f（x ），故=，故f（x）的最小正周期T=π，又由Z），可得，故f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．点评：熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键..21．（14分）（xx•黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x （小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点．（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．解答：解：（1）由曲线过点，可得，故a=8…（2分）当0＜x＜1时，，…（3分）当x≥1时，设2x﹣1=t，可知t≥1，（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．…（6分）（2）当0＜x＜1时，由，可得x2﹣8x+1=0，解得，又，故．…（8分）当x≥1时，设2x﹣1=t，则t≥1，由，可得，解得，又t≥1，故，所以，可得．…（12分）由图象知当y≥1时，对应的x 的取值范围是，∵，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．…（14分）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（16分）（xx•黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k，k1，k2．求证：当k=1时，k1+k2为定值．考点直线与圆锥曲线的关系；直线的倾斜角；抛物线的标准方程．：专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y1y2=﹣4即可求得p值，从而得抛物线方程；（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线l的倾斜角为α，则tanα=，根据倾斜角范围即可求得α；（3）由k=1可求得yM，从而得知M点坐标，由（1）知y1+y2=4a，y1y2=﹣4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来，进行化简即可求得定值；解答：解：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，可得y2﹣2pay﹣p2=0（*），由于A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线的两交点，故y1，y2是方程（*）的两个实根，∴，又y1y2=﹣4，所以﹣p2=﹣4，又p＞0，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，则有，，由题意知点D在直线2x+3y=0上，∴2（2a2+1）+6a=0，解得a=﹣1或，设直线l的倾斜角为α，则或﹣2，又α∈[0，π），故直线l的倾斜角为或π﹣arctan2．（3），可得yM=﹣2，由（1）知y1+y2=4a，又y1y2=﹣4，∴==，所以k1+k2为定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握．23．（18分）（xx•黄浦区二模）已知数列{an }具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an 为偶数时，；当an为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{an}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{an }的前n项和为Sn，求证：．（）考点：数列与函数的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，可得{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{an}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则ak是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．故对于给定的m，Sn的最大值为2m+1﹣m﹣5，即可证出结论．解答：解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{an}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣1；∴a1的值为﹣3，﹣1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则ak是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，am+2=0，…故当n≤m时，an ＞0；当n≥m+1时，an=0．…（15分）故对于给定的m，Sn 的最大值为a1+a2+…+am=（2m﹣3）+（2m﹣1﹣2）+（2m﹣2﹣1）+（2m﹣3﹣1）+…+（21﹣1）=（2m+2m﹣1+2m﹣2+…+21）﹣m﹣3=2m+1﹣m﹣5，故．…（18分）点评：本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．34302 85FE 藾Jl20461 4FED 俭39129 98D9 飙(25010 61B2 憲39576 9A98 骘38405 9605 阅24926 615E 慞k422331 573B 圻N29113 71B9 熹。
2021-2022学年河南省高三(上)段考数学试卷(文科)(三)(解析版)
2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2021-2022年高三下学期3月联考数学文试题 含答案
2021-2022年高三下学期3月联考数学文试题 含答案考试七校：北虹，上理工附中，同二，光明，六十，卢高，东昌中学 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程的解是 ．2. 行列式143309212 － －中元素3的代数余子式的值为 ． 3. 在的展开式中，含项的系数是 ．4. 若关于的不等式的解集为，则实数＝ ．5. 若22()log (2)(0)f x x x =+≥，则它的反函数是 ．6. 若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则p 的值为 ．7. 若数列，则123499100a a a a a a ++++++= ．8. 若函数，则使成立的实数x 的集合为 ．9. 执行下面的程序框图，若，则输出的 ．10. 若等比数列的前n 项和为，且满足－1，则＝ ．11. 若边长为6的等边三角形，是其外接圆上任一点，则的最大值为 ． 12. 从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）13. 在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于（R 是地球的半径），则A ，B 两地的球面距离为＿＿＿14、设数列是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是 ．二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. 若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则“f （x ）与g （x ）同是奇函数或偶函数”是f （x ）·g （x ）是偶函数“的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16、设均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）17. 数列满足，，则的整数部分是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 18. 在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图像上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数2sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19.（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分． 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-， （1）若，且，求的值；（2）求函数最小正周期及单调递增区间．20.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分． 设在直三棱柱中，， ，分别为的中点．（1）求异面直线所成角的大小；（2）求点到平面的距离．21．（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分． 已知函数11()()(0),f x a x x x a R x x=+-->∈． （1）若，求的单调区间； E A AB C BC F（2）若关于的方程有四个不同的解，求实数应满足的条件；22.（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8分．设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上，（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）．（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值．（3）设为数列的前项积，且，求数列的最大项．xx 高三数学（文科卷）参考答案及评分标准一、 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每小题4分．1、 2、5 3、 4、 5、 6、4 7、5000 8、9、4 10、 11、 12、 13、 14、二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分．15、 A 16、 D 17、 B 18、 B三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．解：（1）因为，所以.（2分） 得. （6分）（2）因为2111cos21()sin cos cos sin 2222224x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎝⎭，（8分）所以. （10分） 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得. （12分）20、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．21、（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．解：（1）310111122()()32122x x x f x x x x x x x x ⎧-<≤⎪⎪=+--=⎨⎪-≥⎪⎩当时当时（2分）(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,最大值为（4分）当时，在单调递减，单调递增；在单调递减，单调递增； （8分）21121,(1)211a a f f a f aa a -+==-=+-，所以实数应满足的条件为，（10分）22、（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．解：（1）由题意知，， 椭圆的标准方程为：.（4分）（2）设联立，消去，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， （6分） 依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，由（*）式，②，得③，由①②③，（8分），由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即. （10分）.即（12分）整理得，解得.（14分）23、（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8分．解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．（2分）令，得，所以；令，得，所以；……由此猜想：. （4分）（2）因为，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. （6分）每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. （8分）注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，。
安徽省安庆市宿松中学2021-2022学年高一数学文测试题含解析
安徽省安庆市宿松中学2021-2022学年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D. 8参考答案：C【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积．详解】如图所示，圆锥的底面直径2r＝4，r＝2，高h＝4，则母线长为，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π?2?2＝4π．故选：C．【点睛】本题考查圆锥的结构特征与圆锥侧面积计算问题，是基础题．2. 函数的部分图象如右图，则，可以取的一组值是（）.A. B.C. D.参考答案：D略3. 已知在区间上是增函数，则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 三个数的大小顺序为（）A．B．C．D．参考答案：C，则，故选C。
5. 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是．参考答案：27【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，代入求解最大值即可得到答案．【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则有：，，再根据，即当且仅当x=3，y=1取得等号，即有的最大值是27．故答案为：27．6. 把3个半径为R的铁球熔化铸成一个底面半径为R的圆柱（不计损耗），则圆柱的高为()A． B． C． D．参考答案：C7. （4分）tan（﹣225°）的值等于（）A．﹣1 B． 1 C．﹣D．参考答案：A考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：原式=tan（﹣180°﹣45°）=tan（﹣45°）=﹣tan45°=﹣1，故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8. 已知等比数列{a n }的公比为2, 它的前4项和是1, 则它的前8项和为 ( ) A．15 B．17 C． 19 D．21参考答案：B9. 函数是奇函数，则等于（）A．B． C. D．参考答案：D根据题意，若函数为奇函数，则有即故故选D．10. 下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．=（1，2），=（0，0）B．=（1，2），=（﹣2，﹣4）C．=（1，2），=（3，6）D．=（1，2），=（2，2）参考答案：D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用．【分析】只需判断所给向量是否共线即可．【解答】解：选项A中，为零向量，故A错误；选项B中，=﹣2，即共线，故B错误；选项C 中，=3，即共线，故C 错误；选项D 中，1×2﹣2×2=﹣2≠0，不共线，能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，基底向量的条件．属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为2，则其外接球的表面积是 .参考答案：略12. 若函数是奇函数，则为__________参考答案： 213. 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则max{min{x+1，x 2﹣x+1，﹣x+6}}=．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x 2﹣x+1与y=﹣x+6的图象，依题意，即可求得max{min{x+1，x 2﹣x+1，﹣x+6}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x 2﹣x+1与y=﹣x+6的图象如图： 由图可知，min{x+1，x 2﹣x+1，﹣x+6}为射线AM ，抛物线ANB ，线段BC ，与射线CT 的组合体， 显然，在C 点时，y=min{x+1，x 2﹣x+1，﹣x+6}取得最大值．解方程组得，C （，），∴max{min{x+1，x 2﹣x+1，﹣x+6}}=．故答案为：.【点评】题考查函数的最值及其几何意义，在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x 2﹣x+1与y=﹣x+6的图象是关键，也是难点，属于中档题．14. 执行如下的程序，若输入的n=﹣3，则输出的m= ．参考答案：3【考点】程序框图．【专题】计算题；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值，从而可得当n=﹣3时，m=﹣2×（﹣3）﹣3=3．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值，∵当n=﹣3时，﹣3＜﹣3不成立，∴m=﹣2×（﹣3）﹣3=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了选择结构的程序算法，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基础题．15. 下列5个判断：①若在上增函数，则；②函数只有两个零点；③函数的值域是；④函数的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。
2021-2022年高三第三次质量检测数学文试题
2021年高三第三次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集{1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{4,5},U M N ===则集合{1,6}=（ ） A ．MB ．NC ．D ．2．若，则的值为A ．B ．C ．D ． 3．若，则的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知，则等于A ．0B ．－4C ．－2D ．25．如下图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）6．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．等差数列中，若，则A ．42B ．45C ．48D ．51 8．函数的零点所在的大致区间是A ．(0，1)B ．(1 ，2)C ．(2，e)D ．(3，4) 9．在为原点中，(2cos ,2sin ),(5cos ,5sin )OA OB ααββ==，若，则A ．B ．C ．D ．10．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是（ ） A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2)11.设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[f (x )]的值域是（ ） A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1}12．已知函数是定义在实数集R 上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题）二、 填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分) 13．等比数列，，，…的第8项是 ．14．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值 是3，那么ω等于________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若，则角A= .16．对正整数n ，设曲线在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为，则的前n 项和是 .三、 解答题(本题共6小题，共74分) 17．(本小题满分12分) 设数列的前项和为,且.（Ⅰ）证明:数列是等比数列；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．18（本小题满分12分）已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数. （Ⅰ）求a ,c 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.19. (本小题满分12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ) 数列{b n}是等比数列，且b1＋b2＝3，b4＋b5＝24. 数列{a n·b n}的前n项和为T n，求T n.20、（12分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处。
高考模拟练习—四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三联考文科数学试题(含答案解析)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三联考文科数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题 1．已知集合{1,0,1}A =-，{|3lg 10}x B x =≥，则A B =（ ） A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,1}-D ．{1,0,1}-2．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．圆柱3．已知复数34i z =-，则在复平面内复数||z z +对应的点到虚轴的距离为（ ） A ．8B ．4C ．5D ．64．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．()8f x x=-B ．()5tan f x x =C ．()323f x x x =+D ．()f x x x =5．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为a ，方差为2S ；四个有效分的中位数为1a ，方差为21S ．则下列结论正确的是（ ） A ．1a a ≠，221S S < B ．1a a ≠，221S S < C ．1a a =，221S S <D ．1a a =，221S S <6．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d <”是“n S 有最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0ab >>0，，直线xy ba+=在x 轴上的截距为1，则9ab +的最小值为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．108．已知双曲线22221(0,0)x y M a b a b-=>>：的一条渐近线与抛物线2N y x =：的一个交点为A ，且点A 到抛物线N 的焦点的距离为52，则双曲线M 的离心率为（ ） A B C D 9．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，6时56分，飞船与天宫空间站完成交会对接．下图是飞船从发射到与空间站完成对接的飞行轨迹示意图，最里面和最外面的两个同心圆分别表示地球和空间站的运行轨道，夹在中间的4个椭圆从内到外表示飞船的初始轨道、转移轨道1、转移轨道2、转移轨道3，它们都以地球球心为一个焦点，且相邻两个椭圆的公共点为里面椭圆的远地点和外面椭圆的近地点．飞船从地面沿箭头方向发射后在近地点进入初始轨道，沿顺时针方向匀速飞行若干圈后在两个椭圆的公共点处变速变轨进入转移轨道1，如此依次进入转移轨道2、转移轨道3，最后沿箭头方向进入空间站所在轨道与空间站完成对接．根据以上信息，从火箭发射到飞船进入空间站轨道的过程中，飞船与地球表面的距离（高度）随时间变化的函数图象大致为下面四个图中的（ ）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 满足122()3n n n a a n a *+-=∈=N ，，则8a =（ ）A ．511B ．502C ．256D ．25511．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角．则四面体PBCD 外接球的体积为（ ）A 53B 203C 55D 20512．若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明13．若x y ，满足约束条件12360230x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，，，则75z x y =-的最小值为_______．14．2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：由表中数据得这5天的日平均气温y 关于日期x 的线性回归方程为ˆˆ0.45yx a =+，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．15．已知正ABC 的中心为O ，1AB =，点P 为ABC 的内切圆上的动点，则OA OP ⋅的取值范围为_______．16．已知函数()f x =，则下列结论正确的有_______． ①()f x 是周期函数，且最小正周期为2π； ②()f x 的值域为2]；③()f x 在区间π[π,π]()2k k k -∈Z 上为减函数； ④()f x 的图象的对称轴为π()x k k =∈Z ．三、解答题 17．某电商销售平台为了解“电商消费者的性别对购买生鲜食品是否有影响”，随机调查了400名购买生鲜食品的消费者以了解情况，得到如下信息：(1)400名消费者中男性购买生鲜食品、女性购买生鲜食品的频率分别是多少？ (2)能否有97.5%的把握认为“电商消费者购买生鲜食品与性别有关”，并说明理由．附：22()n ad bc K -=，n a b c d =+++．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2()P K k0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.8415.0246.6357.87918．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知2π23A b c ∠==，． (1)求tanB ； (2)求πsin(2+)6C ．19．如图，在五面体ABCDE 中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形BCDE 为直角梯形，DE ∥BC ，90BCD ∠=︒，1CD DE ==，5AD =．(1)若平面ADE 平面=ABC l ，求证：DE l ∥； (2)F 为线段BE 上一点，若三棱锥F ACD -3F 的位置，并说明理由．20．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>2(2)-是椭圆1C 上的点．(1)求椭圆1C 的方程；(2)已知点P 为椭圆1C 上的任意一点，过点P 作1C 的切线与圆2C ：2212x y +=交于A ，B 两点，设OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求该定值． 21．已知函数ln ()11xf x x =--. (1)求()f x 的单调区间；(2)若()ln f x a x -对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数）．以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2sin()34ρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的极坐标方程；A B ，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※值．23．已知函数()|1||21|f x x x =++-．(1)画出函数()f x 的图象；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a b c ，，满足23a b c m ++=，证明：13ab bc ac ++≤．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由对数的运算性质，并解指数不等式可得31{|log }2B x x =≥，再由集合的交运算求A B . 【详解】由31{|log }2B x x =≥，而311log 02-<<， 所以{0,1}A B =. 故选：B 2．C 【解析】 【分析】由简单几何体的三视图判断． 【详解】正三棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个三角形，本题几何体可能是A ， 正四棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个正方形，本题几何体可能是B ，五棱柱的三视图可以是两个矩形和一个五边形，五棱柱有五条侧棱，三视图中不可能只是矩形，矩形中还有其他棱的投影线，本题几何体不可能是C ，圆柱的三视图可以是两个全等矩形和一个圆，本题几何体可能是D ． 故选：C ． 3．A 【解析】 【分析】首先求出z 、z ，即可化简||z z +，再根据复数的几何意义写出||z z +再复平面内所对应的点的坐标，即可判断； 【详解】解：因为34i z =-，所以5z =，i 34z =+，所以||534i 84i z z +=++=+，则||z z +在复平面内所对应的点的坐标为()8,4，点()8,4到虚轴的距离为8； 故选：A 4．C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()8f x x=-为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A 选项不满足条件； 对于B 选项，函数()5tan f x x =为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B 选项不满足条件；对于C 选项，函数()323f x x x =+的定义域为R ，且()()()332323f x x x x x f x -=⋅--=--=-，所以，函数()323f x x x =+为奇函数，因为函数32y x =、3y x =均为R 上的增函数，故函数()323f x x x =+在R 上为增函数，C 选项满足条件；对于D 选项，函数()f x x =[)0,∞+，该函数为非奇非偶函数，D 选项不满足条件. 故选：C. 5．D 【解析】 【分析】由中位数求法分别求出a 、1a ，再根据方差公式求2S 、21S ，比较它们的大小即可得答案.【详解】由题设，评分从小到大为93,94,94,95,95,95，去掉一个最高、低分为94,94,95,95，所以1949594.52a a +===，平均数94.3x ≈，194.5x =， 所以62211()0.5576i i S x x ==-≈>∑4221111()0.254i i S x x ==-=∑.故选：D 6．A 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和的函数性质及0d =的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可知答案. 【详解】由等差数列前n 项和：21()22n d dS n a n =⋅+-⋅， 当0d <时，由n S 对应的二次函数性质：开口向下，即n S 有最大值； 若等差数列{}n a 是各项为0的常数列，n S 最大值也为0，此时0d =； 所以“0d <”是“n S 有最大值”的充分不必要条件. 故选：A 7．B 【解析】 【分析】由题意可得1ab =，然后利用基本不等式可求得9a b +的最小值 【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1， 所以10b a+=，即1ab =， 因为0a b >>0，，所以96a b +≥，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6， 故选：B 8．C 【解析】 【分析】由题意，根据抛物线的定义可求出A 点坐标，可得双曲线渐近线的斜率，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设00(,)A x y ，由抛物线方程2yx 知，焦点1(0,)4F ，准线方程为14y =-，由015||()42AF y =--=，解得094y =，所以032x =±，不妨取032x =，即39(,)24A ，所以双曲线一条渐近线的斜率934322OA bk a===，所以222222229131144c a b b e a a a +===+=+=，即e = 故选：C 9．B 【解析】 【分析】根据轨道运行描述及椭圆轨道的特点，判断与空间站完成对接时轨道变化情况排除A 、D ，同轨道上离地表高度的特点排除C ，即可得答案. 【详解】由图知：从轨道1的近地点进入轨道；轨道1进入轨道2的点为轨道1的远地点，轨道2的近地点； 轨道2进入轨道3的点为轨道2的远地点，轨道3的近地点； 轨道3进入轨道4的点为轨道3的远地点，轨道4的近地点；轨道4与空间站完成对接，轨道距离地表高度相对于轨道4远地点增大，排除A 、D ； 而在任一椭圆轨道上运行时，轨道距离地表高度不可能出现小于刚进入该轨道时的高度，排除C. 故选：B 10．D 【解析】 【分析】用累加法即可求解. 【详解】因为122()3n n n a a n a *+-=∈=N ，，所以232343787222a a a a a a -=-=-= 累加得：272378222222225212a a -⋅-=+++==-， 所以82252255a a =+=.故选：D11．C【解析】【分析】根据题中线面位置关系，可以确定四面体P BCD -的外接球球心为线段PC 的中点，再根据题中的数据求解出外接球的半径，最后根据球的体积公式计算体积，即可求解.【详解】由题意，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，可得PAD ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成的角，所以45PAD ∠=︒，所以PAD △为等腰直角三角形，故1PD AD ==，在ABD △中，可得BD =又由//AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，可得BC所以222BDBC DC +=，可得BD BC ⊥，取PC 的中点O ，可得12OP OD OC OB PC =====即外接球的半径为R = 所以四面体PBCD 外接球的体积为334433V R ππ==⨯=. 故选：C.12．D【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解. 【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e x f x x =+'，设切点为000(,e )x x x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x x y x x x x -=-， 将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-， 即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =， 所以切点横坐标之和为11122-+= 故选：D.13．2【解析】【分析】画出该不等式组表示的平面区域，由几何意义得出最值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示：75z x y =-可化为755z y x =-，要使得z 最小，则直线755z y x =-的纵截距最大 由图可知，当直线755z y x =-过点()1,1A 时，z 最小，最小为752z =-= 故答案为：214．23.85【解析】【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，求得ˆa，继而可求得答案. 【详解】由题意得：89101112105x ++++== ，20.521.5 1.52222.521.65y ++++== ， 故ˆˆ21.60.4510,17.1aa =⨯+=， 则3月15日成都市的平均气温为ˆ0.451517.123.85y =⨯+=（℃），故答案为：23.8515．11[,]66- 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到133,0,cos ,sin 266A P αα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用数量积运算求解. 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系：则1333,,2A P αα⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1333,,cos sin 266OA OP αα⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则311cos sin sin 1263OA OP πααα⎛⎫⋅=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以OA OP ⋅的取值范围为11[,]66-，故答案为：11[,]66- 16．②③【解析】【分析】现将函数()f x 的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断①；利用正弦函数的有界性可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用正弦函数的对称轴可判断④.【详解】()22222sin f x x ⎡⎤==+=+⎣⎦， ()0f x ≥，()f x ∴易知()f x 的最小正周期为π，故①错误；[]sin 0,1x ∈，[]22sin 2,4x +∈，⎤⎦，②正确；当[π,0]x ∈-时，()f x =单调递减区间为π[,0]2-，再由周期为π，故③正确；直线ππ()2x k k Z =+∈也是()f x 图象的对称轴，故④错误． 故答案为：②③17．(1)男性34，女性14(2)有，理由见解析【解析】【分析】（1）直接进行数据分析，即可求出对应的频率；（2）套公式求出2K ，对照参数下结论.(1)由题意知：400名消费者中男性购买生鲜食品的人数是300人，∴频率为34． 400名消费者中女性购买生鲜食品的人数是100人，∴频率为14． (2)由题意得：()2240024010609030010033070K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 40077= 5.195≈ . 5.195 5.024>，∴有97.5%的把握认为“电商消费者中购买生鲜食品与性别有关”．18．(1)tan B (2)1314【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用3C B π=-代入，可求得B 角正切值；（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,sin B C ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2C C ，再由两角和的正弦公式计算． (1) 2π3A ∠=，2b c =，πABC ++=， 由正弦定理得sin 2sin B C =，πsin 2sin 3B B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．化简得2sin B B ，即tan B (2)由tan B B ∠是锐角，sin B ∴=．sin 2sin B C =，sin C ∴=又C ∠是锐角，cos C ∴．sin2C ∴=11cos214C =．∴11113sin(2)sin 2cos cos 2sin 66614214C C C πππ+=+=⨯=． 19．(1)证明见解析(2)F 是线段BE 的中点，理由见解析【解析】【分析】（1）由DE ∥BC 结合线面平行的判定可得DE ∥平面ABC ，再由线面平行的性质可证得结论，（2）取BC 的中点O ，连接AO ，EO ，可得EO ⊥平面ABC ，从而可得AO ⊥平面BCDE ，然后利用等体积法可求得点F 到直线CD 的距离，再由直角梯形的性质可得点F 到直线CD 的距离，从而可得F 是线段BE 的中点(1)证明：DE ∥BC ，而DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，DE ∴∥平面ABC ，又∵平面ADE 平面=ABC l ，DE ⊂平面ADE ，DE ∴∥l ．(2)F 是线段BE 的中点． 理由如下：取BC 的中点O ，连接AO ，EO ．222CD CA AD +=，CD AC ⊥，又CD BC ⊥，AC BC C =， CD 平面ABC ． CO ∥DE CO DE =，∴四边形COED 是平行四边形．EO ∴∥CD ，EO ∴⊥平面ABC ．EO AO ∴⊥．又AO BC ⊥，BC EO O =，AO ∴⊥平面BCDE ，F ACD A FCD V V --==113334A FCD DCF DCF V S AO S -=⋅=⋅=，34DCF S ∴=． 设点F 到直线CD 的距离为h ，1324DCF S DC h =⋅=，32h ∴=． 在直角梯形BCDE 中，1DE =，2BC =，32h =， 故F 是线段BE 的中点．20．(1)22184x y +=；(2)证明见解析，定值为12-. 【解析】【分析】 （1）由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）讨论AB 斜率，并设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理及斜率两点式得到12k k ⋅关于参数的表达式，进而化简即可证结论.(1)由题设，e =c a =222a c =，而222b a c =-，则22b c =，设椭圆1C 的方程为222212x y c c+=，又点(-在椭圆1C 上， 所以224212c c +=，可得：24c =，故椭圆1C 的方程为22184x y +=. (2)①当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x =x =-若x =A ，2)B -，则1k =，2k =1212k k ⋅=-．若x =-(A -，(2)B --，则1k =2k =1212k k ⋅=-． ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线与椭圆联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=，由直线与椭圆相切，则∆=2222164(12)(28)0k m k m -+-=，化简得：2248m k =+．直线与圆联立：2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()22212120k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，2122121m x x k -=+，(*)，而OA ，OB 的斜率分别为111y k x =，222y k x =， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===， 将(*)式代入：222222221222(12)2(1)121212k m k m m k k m k k m m --++-+⋅==--， 将2248m k =+代入：2122441882k k k k -+⋅==--． 综上：12k k ⋅为定值，该定值为12-． 21．(1)单调递减区间是()()0,1,1,+∞，无单调递增区间. (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）求出导函数211ln ()(1)x x f x x ---'=． 定义1()1ln g x x x =--，利用导数判断出()0g x ，得到()0f x '<，即可求得()f x 的单调区间；（2）把不等式()ln f x a x -对(1,)x ∞∈+恒成立转化为当(1,)x ∞∈+时，只需()1ln 10ax a x x -+-+≥.设()()1ln 1H x ax a x x =-+-+，(1,)x ∞∈+,二次求导得到()()211a x H x x +-''=，(1,)x ∞∈+． 对a 分类讨论：①当0a 时，②当102a <<时，③当12a ≥时三种情况分别求解，即可求出实数a 的取值范围.(1)函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)∞⋃+，211ln ()(1)x x f x x ---'=． 设1()1ln g x x x=--，则21()x g x x -'=， 当()()(0,1)0,,x g x g x >∈'为增函数；当(1,)()0()x g x g x ∞∈'+<，，为减函数.()g x ∴有最大值(1)0g =，()0g x ∴，()0f x '∴<，()f x ∴的单调递减区间是()()0,1,1,+∞，无单调递增区间．(2)不等式()ln f x a x -对(1,)x ∞∈+恒成立， 则(1)ln 101ax a x x x -+-+-． 当(1,)x ∞∈+时，只需()1ln 10ax a x x -+-+≥设()()1ln 1H x ax a x x =-+-+，(1,)x ∞∈+,则()10H =.()1ln 1a H x a x a x -'=++-，()10H '=， ()()211a x H x x+-''=，(1,)x ∞∈+． ①当0a 时，()0H x ''<'()0H x '<，()H x '递减，则()()10H x H ''<=，故()H x 递减， 所以()()10H x H <=，故0a 不满足．②当102a <<时，111a ->，故当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0H x ''<，则()H x '递减，则()()10H x H ''<=，，故当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()H x 递减， 所以()()10H x H <=，故102a <<不满足．③当12a ≥时，(1,)x ∞∈+，()0H x ''>则()H x '递增，()()10H x H ''>=，故()H x 递增，所以()()10H x H >=，满足题意．综上：不等式()ln f x a x -对任意(1,)x ∞∈+恒成立时，12a ≥． 所以实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)30x y +-=，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；【解析】【分析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得AB ，然后根据圆的几何性质求得P 到直线AB 的距离的最大值，由此求得三角形PAB 面积的最大值.(1)由2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），得直角坐标方程为：22(2)4x y +-=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得：4sin ρθ=．故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；直线l πsin()34θ+=3θθ⎫=⎪⎪⎝⎭， 所以sin cos 3ρθρθ+=，化为直角坐标方程为：30x y +-=．(2)曲线C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，2r =，圆心距d ==所以弦长为AB = 根据圆的几何性质可知P 到直线AB 的距离的最大值为2d r += ，PAB ∴的最大面积为11()22S AB r d =+==PAB ∴ 23．(1)作图见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论x 的取值范围，脱掉绝对值符号，得到()f x 解析式，由此作出其图象； （2）由（1）可求得32m =，可得1a b c ++=，平方后结合 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，即可证明结论.(1)由题意得：()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 函数图象如图示：(2)证明：由（1）知：当12x =时，()f x 的最小值为32，32m ∴=， 1a b c ∴++=，2()1a b c ∴++=，即2222221a b c ab bc ac +++++= ，2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥ ，当且仅当13a b c ===时取等号， 故222)22()(a b c ab bc ac ≥++++，即222a b c ab bc ac ++≥++，故22212223()a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++，即13ab bc ac ++≤.。
2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三(上)起点质检数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点质检数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=i ，则z =( )A.−1+i 2B.−1−i 2C.1+i 2D.1−i 22. 若tanα=2，则cos2α1−sin2α=( )A. −13B. 13C. −3D. 33. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 44. 某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为( )A. 2B. 43C. 32D. 545. 在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则( )A. 事件A ，B 一定互斥B. 事件A ，B 一定不互斥C. 事件A ，B 一定互相独立D. 事件A ，B 一定不互相独立6. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，可以将函数y =cos(2x −π6)的图象( )A. 向右平移π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度7. 在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()A. B.C. D.8.设双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=()A. 74B. 52C. 83D. 114二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于空集的说法中，正确的有()A. ⌀∈⌀B. ⌀⊆⌀C. ⌀∈{⌀}D. ⌀⊆{⌀}10.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有( )A. 调整后房地产业的利润有所下降B. 调整后医疗器械的利润增长量最大C. 调整后生物制药的利润增长率最高D. 调整后金融产业的利润占比最低11. 数列{a n }依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为13，再接下来五项均为15，依此类推．记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a 100=119B. 存在正整数k ，使得a k >2√k−1C. S n ≤√nD. 数列{Snn}是递减数列 12. 已知函数f(x)=e x +1e 2x +k，则( )A. 当k =0时，f(x)是R 上的减函数B. 当k =1时，f(x)的最大值为1+√22C. f(x)可能有两个极值点D. 若存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数，则k =−1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线y 2=2x 上两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形，则该三角形的边长为______．14. (x +2y)(x −y)5的展开式中x 2y 4的系数为______．15. 平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，点P 满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45°，则该四面体的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =1−na n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{(−1)n a n}的前n 项和为T n ，求T 2n 的表达式．18.在如图所示的六面体ABCDEF中，矩形ADEF⊥平面ABCD，AB=AD=AF=1，CD=2，CD⊥AD，AB//CD．(1)设H为CF中点，证明：BH//平面ADEF；(2)求二面角B−CF−E大小的正弦值．19.在平面凸四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠ABC=135°，AD=6，BD=5，BC=3√2．(1)求cos∠DBA．(2)求CD长．20.在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；(2)用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX．21.已知函数f(x)=2(x−2)lnx+ax2−1．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点A(0,−1)是椭圆E短轴的一个四等分点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0,2)，直线BM，BN分别交⊙C：x2+(y−1)2=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数λ，使得k2=λk1恒成立．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z的共轭复数z−满足(1+i)z−=i，∴z−=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i21−i2=12+12i，则z=1−i2．故选：D．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵tanα=2，∴cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α−2sinαcosα=1−tan2α1+tan2α−2tanα=1−41+4−4=−3．故选：C．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设球半径为R，则由题可知圆柱底面半径也为R，高为2R，所以圆柱体表面积S=2×πR²+2πR×2R=6πR²，球的表面积S′=4πR²，故该圆柱体表面积与球体表面积的比值为6πR24πR2=32，故选：C．根据条件分别表示出圆柱和球的表面积，即可求得答案．本题考查球的表面积公式，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由题意，若事件A与事件B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，∴P(A+B)≠P(A)+P(B)，∴事件A与B一定不互斥，故B正确，A错误；没有条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，故不能判断AB是否互相独立，故CD错误．故选：B．根据互斥事件和独立事件的概率的定义即可判断．本题考查了互斥事件和独立事件的概率，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=cos(2x−π6)=sin[(2x−π6)+π2]=sin(2x+π3)=sin[2(x+π12)+π6]，∴要得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度，故选：A．利用诱导公式可得：y=cos(2x−π6)=sin(2x+π3)，再由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．故选：A．相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．本题以灰度值为背景考查函数的图象特征，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意知，a=1，b=√3，c=2，∴A(−1,0)，F1(−2,0)，F2(2,0)，设|NA|=x，∵NA//MF2，∴|NA||MF2|=|NF1||MF1|=|F1A||F1F2|=14，∴|MF2|=4|NA|=4x，由双曲线的定义知，|MF1|−|MF2|=2a=2，|NF2|−|NF1|=2a=2，∴|MF1|=4x+2，|NF1|=14|MF1|=x+12，|NF2|=x+52，在△ANF1中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|AF1|2+|NF1|2−|NA|22|AF1|⋅|NF1|=1+(x+12)2−x22×1×(x+12)，在△NF1F2中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，∴1+(x+12)2−x22×1×(x+12)=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，解得x=58，∴|MF2|=4x=4×58=52．设|NA|=x，结合平行线的性质和双曲线的定义，求得|MF1|=4x+2，|NF2|=x+5，2再在△ANF1和△NF1F2中，均利用余弦定理表示出cos∠AF1N，从而建立关于x的方程，解之即可．本题主要考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：⌀⊆⌀或⌀=⌀，故选项A错误，选项B正确；⌀是集合{⌀}的元素，⌀也是任何集合的子集，即⌀∈{⌀}，⌀⊆{⌀}，故选项C、D正确；故选：BCD．根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可．本题考查了元素与集合、集合与集合的关系的判断与应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意知， 当0<n ≤1时，a n =1， 当1<n ≤4时，a n =13， 当4<n ≤9时，a n =15，……，当k 2<n ≤(k +1)2时，a n =12 k+1，(k ∈N) ∵100=102，∴a 100=12×9+1=119，故A 正确；对任意正整数k ，不妨设m 2<k ≤(m +1)2，则a k =12m+1， ∵a k 为定值，2√ k−1随着k 变大而变小， ∴(2√ k−1)min=2√(m+1)2−1=12m+1，故a k ≤2√ k−1恒成立，故B 错误； C ：若k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 而k +m2k+1−√n ， 若n =k 2，则m =0，故k +m 2k+1−√n =k −√n =0， 若k 2<n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则0<m <2k +1，故(k +m2k+1)2−(√k 2+m)2=k 2+(m2k+1)2+2km2k+1−k 2−m =m[m−(2k+1)](2k+1)2<0，即(k +m 2k+1)2<(√k 2+m)2， 因为k +m 2k+1>0,√k 2+m >0， 故k +m 2k+1<√k 2+m ，即S n −√n <0， 即S n <√n ，综上，S n ≤√n ，故C 正确；D ：因为k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 所以S n n=S k 2+m k 2+m=k+m 2k+1k 2+m=2k 2+k+m(2k+1)(k 2+m)，则S n n−Sn+1n+1=2k 2+k+m (2k+1)(k 2+m)−2k 2+k+m+1(2k+1)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)[(k 2+m)+1]−[(2k 2+k+m)+1](k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)(k 2+m)+(2k 2+k+m)−(2k 2+k+m)(k 2+m)−(k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=k 2+k(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)>0，所以Snn>S n+1n+1，故数列{Snn}是递减数列，故D 正确； 故选：ACD ．根据数列的规律即可求出a 100，即可判断A 选项； 求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B 选项； 求出数列的前n 项和公式，做差法即可说明C 选项；根据数列单调性的概念，比较S nn,Sn+1n+1，即可判断D 选项． 本题考查了归纳推理，数列的函数特性，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解；A.当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，f′(x)=−e x −2e 2x<0，∴f(x)在R 上单调递减，因此正确． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，f′(x)=−e x (e x +1+√2)(e x +1−√2)(e 2x +1)2，可得：e x =√2−1时，函数f(x)取得极大值为：√2−1+1(√2−1)2+1=1+√22，因此正确．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，k =0，1时，由AB 可知，函数f(x)不可能有两个极值点．k <0时，函数f(x)在(−∞,12ln(−k))上单调递减，在(12ln(−k),+∞)上单调递减； k >0时，f′(x)=−e x (e x +1+√1+k)(e x +1−√1+k)(e 2x +k)2，此时函数f(x)也只有一个极值点，综上可得函数f(x)最多只有一个极值点，因此不正确．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，则g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出： 不存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数．因此正确．可以理解成函数g(x)有对称中心就可以平移变成奇函数，因此只要g(x)+g(m −x)=c 恒成立就行， 得到k =−1． 故选：ABD ． A .当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，求导即可判断出单调性． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，求导即可判断出单调性与极值．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，可得g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】4√3【解析】解：由抛物线的对称性可得A ，B 关于x 轴对称， 设A(n 22,n)，则B(n 22,−n)，可得|AB|=2n ，因为两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形 所以可得O 到直线AB 的距离为√32⋅2n ，则√32⋅2n =n 22，解得：n =2√3，所以三角形的边长为2n =4√3， 故答案为：4√3．由题意设A 的坐标，由题意可得B 的坐标，求出|AB|的值，即三角形的边长，再求O 到直线AB 的距离，由等边三角形可得它们的关系，求出A 的坐标，进而可得等边三角形的边长．本题考查抛物线的对称性，及等边三角形的性质，属于基础题．14.【答案】−15【解析】解：根据二项展开式的应用：T r+1=C 5r x 5−r(−y)r ， 所以当r =4时，x 2y 4的系数为C 54=5． 当r =3时，x 2y 4的系数为−2C 53=−20，所以展开式中x 2y 4的系数为5−20=−15． 故答案为：−15．直接利用二项式的展开式的应用和配对问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8−5=3． 故答案为：3．先利用平面向量的线性运算得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用数量积运算即可求解．本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：如图，在△ABC中，由AB=2，BC=2√3，AC=4，可得AB2+BC2=AC2，则△ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理△ADC是以AC为斜边的直角三角形．过B作BE⊥AC，垂足为E，求得BE=√3，AE=1，过D作DF⊥AC，垂足为F，可得DF=√3，CF=1，在平面ABC中，过B作BG//EF且BG=EF，连接DG、FG，则四边形BEFG为平行四边形，得FG⊥AC，即BG⊥FG，又DF⊥AC，AC//BG，∴BG⊥DF，而DF∩FG=F，∴BG⊥平面DFG．∴BG⊥DG，在Rt△DGB中，BG=EF=2，∠DBG为直线BD与AC所成的角为45°，可得DG=2，∵BG⊥平面DFG，BG⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DFG，在平面DFG中，过D作DH⊥FG，垂足为H，则DH⊥平面ABC．∵DF=FG=√3，DG=2，∴cos∠DFG=2×√3×√3=13，则sin∠DFG=2√23，∴DH=DF⋅sin∠DFG=√3×2√23=2√63．∴四面体ABCD的体积为V=13×12×2×2√3×2√63=4√23．故答案为：4√23．由题意画出图形，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题．17.【答案】解：(1)∵S n=1−na n(n∈N∗)，∴n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得：a n=(n−1)a n−1−na n，∴a na n−1=n−1n+1，n=1时，a1=1−a1，解得a1=12．∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋅ (2)4⋅13×12=1n(n+1)．(2)∵(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，∴数列{(−1)na n}的前2n项和T2n=−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4×(1+2+⋯+n)=4×n(n+1)2=2n2+2n．【解析】(1)由S n=1−na n(n∈N∗)，n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得a na n−1=n−1n+1，利用累乘求积即得出．(2)利用(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，即可得出数列{(−1)na n}的前2n项和T2n．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图所示，连接DF，取线段DF的中点G，分别连接AG，GH，因为G，H分别为线段DF，CF的中点，则GH是△CDF的中位线，所以GH//DC，GH=12DC，由已知可得，AB//CD且AB=12CD，所以GH//AB且GH=AB，故四边形ABHG为平行四边形，所以AG//BH，又AG⊂平面ADEF，BH⊄平面ADEF，所以BH//平面ADEF；(2)解：因为四边形ADEF是矩形，则ED⊥AD，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，ED ⊂平面ADEF ， 则ED ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以ED ，CD ，AD 两两垂直，则以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0,2,0)，E(0,0,1)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 所以{BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y =0，令x =1，则y =1，z =1， 故n⃗ =(1,1,1)， 设平面CFE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −c =0，令b =1，则a =0，c =2， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 则|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+1+1×√1+4=√155， 故二面角B −CF −E 大小的正弦值为√1−(√155)2=√105．【解析】(1)连接DF ，取线段DF 的中点G ，分别连接AG ，GH ，利用中位线定理证明四边形ABHG 为平行四边形，得到AG//BH ，根据线面平行的判定定理证明即可； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF 和平面CEF 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)在平面凸四边形ABCD 中，∠BAD =30°，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，BC =3√2． 如图所示：在△ABD 中，利用正弦定理：BD sin∠A =ADsin∠ABD ， 故：512=6sin∠DBA ，整理得：sin∠DBA =35，所以：cos∠DBA =±√1−sin 2∠DBA =±45． 当cos∠DBA =45时，AD >BD ，满足条件，当cos∠DBA =−45时，∠ABD 接近135°，故根据，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，与三角形内角和定理矛盾，故舍去； 故：cos∠DBA =45(2)根据(1)的结论，cos∠DBA =45，故：cos∠DBC =cos(135°−∠DBA)=(−√22)×45+√22×35=−√210．利用余弦定理：CD 2=BC 2+BD 2−2⋅BC ⋅BD ⋅cos∠DBC =18+25+2×3√2×5×√210=49，解得：CD =7．【解析】(1)直接利用正弦定理和同角三角函数关系式的变换求出结果； (2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为是有放回的抽取，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4=256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，共有2×2×2×2=16种，只有“建”或者只有“党”字，共有2×(C 41×2×2×2+C 42×2×2+C 43×2+1)=130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256−16−130256=55128；(2)由题意，X的可能取值为4，3，2，1，所以P(X=4)=4256=164，P(X=3)=C43C41C31256=316，P(X=2)=C42C42+C41C42A32256=4564，P(X=1)=A44256=332，所以E(X)=4×164+3×316+2×4564+1×332=178．【解析】(1)利用两个计数原理以及古典概型的概率公式分析求解，即可得到答案；(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了两个计数原理以及古典概型的概率公式的应用，排列组合知识的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=2(x−2)lnx−1的导数为f′(x)=2(lnx+x−2x)，可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−2，由f(1)=−1，可得切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为y=1−2x；(2)由2(x−2)lnx+ax2−1≥0可得a≥1−2(x−2)lnxx2，设g(x)=1−2(x−2)lnxx2，可得g′(x)=2(xlnx−x+1−4lnx)x3，设ℎ(x)=xlnx−x+1−4lnx，ℎ′(x)=lnx−4x，ℎ′(x)在(0,+∞)递增，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,1)递减，即有ℎ(x)>ℎ(1)=0，此时g(x)递增；当x>1时，ℎ′(x)>ln1−4=−4，由lnx−4x<0，可设1<x<x0，若−4<ℎ′(x)<0，可得ℎ(x)在(1,x0)递减，可得ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,x0)递减，即g(x)<g(1)=1，当x>x0，且3<x0<4，1−2(x−2)lnx<0，g(x)<0，所以g(x)的最大值为1，所以a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率、切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；(2)由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值和最值，可得所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22，−b2=−1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=8，b 2=4， 所以椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1；(2)方法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 则直线BM 方程为y =y 1−2x 1x +2，与x 2+(y −1)2=1联立，得(x 12+(y 1−2)2)x 2+2x 1(y 1−2)x =0，由x P ≠0，解得x P =−2x 1(y 1−2)x 12+(y 1−2)2，又x 128+y 124=1，即x 12=8−2y 12，代入上式，得x P =−2x 1(y 1−2)2(4−y 12)+(y 1−2)2=2x1y 1+6， 所以y P =y 1−2x 1x P +2=4−16y 1+6，即P(2x 1y1+6,4−16y 1+6)，同理Q(2x 2y 2+6,4−16y 2+6)，所以k 2=y P −y QxP −x Q=(4−16y 1+16)−(4−16y 2+16)2x 1y 1+6−2x2y 2+6=8(y 1−y 2)x1y 2−x 2y 1+6(x 1−x 2)，将y 1=k 1x 1−1，y 2=k 1x 2−1，代入上式， 则k 2=8k(x 1−x 2)x1(k 1x 2−1)−x 2(kx 1−1)+6(x 1−x 2)=8k 1(x 1−x 2)5(x 1−x 2)=85k 1，所以k 2=85k 1，即λ=85，所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 将直线y =k 1x −1与x 28+y 24=1联立得，(2k 12+1)x 2−4k 1x −6=0， 则x 1+x 2=4k12k 12+1，x 1x 2=−62k 12+1，所以k BM +k BN =y 1−2x 1+y 2−2x 2=k 1x 1−3x 1+k 1x 2−3x 2=2k 1−3(x 1+x 2)x 1x 2=4k 1， 所以k BM ⋅k BN =y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=(k 1x 1−3)(k 1x 2−3)x 1x 2=k 12x 1x 2−3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=−6k 12−12k 12+9(2k 12+1)−6=−32所以直线PQ 方程y =k 2x +t ，与x 2+(y −1)2=1联立得(k 22+1)x 2+2k 2(t −1)x +t(t −2)=0， 则x P +x Q =−2k 2(t−1)k 22+1，x P ⋅x Q =t(t−2)k 22+1， 所以k BP +k BQ =y P −2x P+y Q −2x Q=k 2x P +t−2x P+k 2x Q +t−2x Q=2k 2+(t−2)(x P +x Q )x P ⋅x Q=2k 2−2k 2(t−2)(t−1)t(t−2)=2k 2t则k BP ⋅k BQ =y P −2x P⋅y Q −2x Q=k 22x P x Q +k 2(t−2)(x P +x Q)+(t−2)2x P ⋅x Q=k 22t(t−2)−2k 22(t−2)(t−1)+(k 22+1)(t−2)2t(t−2)=k 22t−2k 22(t−1)+(k 22+1)(t−2)t=t−2t，由k BM +k BN =k BP +k BQ 及k BM ⋅k BN =k BP ⋅k BQ ， 即{4k 1=2k2t−32=t−2t，解得{t =45k 2=85k 1，所以λ=85， 所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法三：BM 与BN 两直线地位对等，P ，Q 两点地位对等， 设直线BM 的方程为：y =k 3x +2，BN 的方程为y =k 4x +2， 联立{y =k 3x +2x 2+(y −1)2=1，{x =−2k31+k 32y =21+k 32，同理Q(−2k 41+k 42,21+k 42)， 所以k 2=y Q −y PxQ −x P=21+k 42−21+k 42−2k 41+k 42−−2k 31+k 32=k 3+k 41−k3k 4，将B 点向下平移两个单位，椭圆方程变为x 28+(y+2)24=1，即x 2+2y 2+8y =0，①平移后，MN 方程：y =k 1x −3，即13(k 1x −y)=1，② 将①式中8y 是一次式通过乘以②式中的13(k 1x −y)，可将①式化为全是二次x 2+2y 2+83y(k 1x −y)=0，即2y 2−8k 1xy −3x 2=0同除以x 2，所以2(y x )2−8k 1yx −3=0，由于平移，即BM ，BN 的斜率(平移不改变斜率)，2k 2−8k 1k −3=0， 由韦达定理可知，k 3+k 4=4k 1，k 3⋅k 4=−32，所以k 2=k 3+k 41−k 3k 4=4k 11−(−32)=85k 1，所以λ=85，所以，实数λ=85，使得k2=85k1恒成立．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式及−b2=−1，即可求得a和b值，求得椭圆E的方程；(2)方法一：联立直线方程与圆的方程和椭圆的方程，即可求得P和Q点坐标，因此可以求得k2，化简即可求得λ的值；方法二：分别联立直线与椭圆方程和圆的方程，分别表示出k BM+k BN，k BM⋅k BN及k BP+ k BQ，k BP⋅k BQ，根据其关系，即可求得λ的值；方法三：由题意，设直线BM和BN的方程，联立分别求得P和Q的方程，即可表示出k2，平移坐标系，然后齐次式化简，利用韦达定理，联立即可求得λ的值；本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，平移与齐次式化简，考查计算能力，尤其是方法三，虽然不常用，但是可以简化计算，也是应该要掌握的，属于难题．。
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2021届高三文科数学起点考试试题
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若}1|{->=x x M ，则下列选项正确的是
（ ） A 、0⊆M
B 、{0}∈M
C 、φ∈M
D 、{0}⊆M 2．0330sin 的值为 （ ）
A 、21
B 、2
1- C 、23 D 、23- 3．由０，１，２，…，９这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于８的个数为（ ）
Ａ、180 B 、196 C 、210 D 、224
4．已知某人每次投篮投中的概率为p ，各次投篮结果互不影响，直至进行第n 次投篮，才有r （1≤r ≤n ）次投中的概率为（ ）
A 、r n r r n )p (p C --1
B 、r n r r n )p (p
C -1-1--1 C 、r n r )p (p --1
D 、r n r r n )p (p C -1-1-1--1
5．若把一个函数)(x f y =的图象按a )1,3(--
=π平移后得到函数x y cos =的图象，则函数)(x f y =的解析式为（ ）
A 、1)3cos(-+
=πx y B 、1)3cos(--=πx y C 、1)3cos(++=πx y D 、1)3cos(+-=πx y
6．以下是立体几何中关于线、面的四个命题
（1）垂直于同一平面的两个平面平行
（2）若异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何一个平面与b 均不垂直
（3）垂直于同一平面的两条直线一定平行
（4）垂直于同一直线的两个平面一定平行
其中正确的命题有（ ）个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4。