高三理科数学起点考试试卷
2020年成人高等学校招生全国统一考试高起点(理科数学)真题
2020年成人高等学校招生全国统一考试高起点（理科数学）真题1. 【选择题】（江南博哥）不等式x2-2x<0的解集为( )A. ｛x｜<0或x>2}B. {x｜-2<x<0}C. {x｜0<x<2}D. {x｜<-2或x>0}正确答案：C参考解析：本题考查了一元二次不等式的解集的知识点．【应试指导】2，故解集为{x｜0<x<2)．2. 【选择题】( )A. (-1，0)B. (0，1)C. (2，0)D. (1，0)正确答案：D参考解析：本题考查了函数图像的平移的知识点．3. 【选择题】( )A.B. 2πC. ΠD. 4π正确答案：A参考解析：本题考查了三角函数的周期的知识点．【应试指导】4. 【选择题】下列函数中，为偶函数的是( )A.B. y=2-xC. y=x-1-1D. y=1+x-3正确答案：A参考解析：本题考查了函数的奇偶性的知识点．5. 【选择题】函数y=log2(x+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为( )A. y=log2(x+1)B. y=log2(x+3)C. y=log2(x+2)-1D. y=log2(x+2)+1正确答案：D参考解析：本题考查了函数图像的平移的知识点．【应试指导】函数y=log2(x+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为y-1=log2(x-0+2)，即y=log2(x+2)+1．6. 【选择题】在等差数列{a n}中，a1=1，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则d=( )A. 1B. -1C. -2D. 2正确答案：C参考解析：本题考查了等差数列和等比数列的知识点．【应试指导】{a n}为等差数列，a1=1，则a2=1+d，a3=1+2d，a6=1+5d．又因a2,a3，a6成等比7. 【选择题】已知抛物线y2=6x的焦点为F，点A(0，-1)，则直线AF的斜率为( )A.B.C.D.正确答案：D参考解析：本题考查了抛物线的焦点的知识点．8. 【选择题】( )A. 0B.C. 2D. -1正确答案：C参考解析：本题考查了三角函数的最值的知识点．9. 【选择题】设集合M={1，2，3，4，5}，N={2，4．6}，则M∩N=( )A. {2，4}B. {2，4，6}C. {1，3，5}D. {1，2，3，4,5，6}正确答案：A参考解析：【考情点拔】本题主要考查的知识点为交集．【应试指导】M∩N={2，4}．10. 【选择题】( )A. 8πB. 4πC. 2πD.正确答案：A参考解析：本题主要考查的知识点为最小正周期．【应试指导】11. 【选择题】右图是二次函数y=x2+bx+C的部分图像，则( )A. b>0，C>0B. b>0，C<0C. b<0，C>0D. b<0，C<0正确答案：A参考解析：本题主要考查的知识点为二次函数图像．【应试指导】由图像可知，当x=0时y=c>0，也12. 【选择题】一个圆上有5个不同的点，以这5个点中任意3个为顶点的三角形共有( )A. 60个B. 15个C. 5个D. 10个正确答案：D参考解析：本题主要考查的知识点为数列组合．【应试指导】13. 【选择题】设ƒ(x+1)=x(x+1)，则ƒ(2)=( )A. 1B. 3C. 2D. 6正确答案：C参考解析：本题主要考查的知识点为函数．【应试指导】ƒ(2)=ƒ(1+1)=1×(1+1)=2．14. 【选择题】( )A. 1B. 4C. 2D.正确答案：B参考解析：本题主要考查的知识点为双曲线的焦距．【应试指导】曲线的焦距2c=4．15. 【选择题】在等比数列｛a n｝中，若a3a4=10，则a1a6+a2a5=( )A. 100B. 40C. 10D. 20正确答案：D参考解析：本题主要考查的知识点为等比数列．【应试指导】16. 【选择题】（）A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题主要考查的知识点为集合的运算及其相互间的关系．【应试指导】注意区分子集、真子集的符号．∵U为实数集，S为偶数集，T为奇数集。
宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考理科数学试题(解析版)
银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形， 故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3
2013年江西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,i M z =,i 为虚数单位,{}{}3,4,4N M N == ,则复数z =（ ）A.2i -B.2iC.4i -D.4i 【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算 【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】{}{}1,2,i ,3,4,M z N == 由{}4,M N = 得4,i=4,M z ∈∴4i.z =- 2.函数)y x =-的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由00110x x x ⎧⇒<⎨->⎩…….3.等比数列,33,66x x x ++, 的第四项等于 ( )A.24-B.0C.12D.24【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由2(33)(66)1x x x x +=+⇒=-或3x =-，（步骤1） 当1x =-时，330x +=，故舍去，（步骤2）所以当3x =-，则等比数列的前3项为3,6,12---，故第四项为24-.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,6520>,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于7220>,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于0820<，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01. 5.2532()x x-展开式中的常数项为 ( )A.80B.-80C.40D.40-【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】展开式的通项为2510515532C ()()(2)C rrr r r r r T x x x --+=-=-， 令10502r r -=⇒=，故展开式的常数项为225(2)C 40-=.6.若22221231111,,e ,x S x dx S dx S dx x ===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】32222212311122271,ln ln 2,e e e e 11133x x x S x dx S dx x S dx x =========-⎰⎰⎰，显然213S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )第7题图A.22S i =-B.21S i =-C.2S i =D.24S i =+ 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i 的取值进行验证. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当2i =时，22510;S =⨯+=<当3i =时，仍然循环，排除D;当4i =时，241910S =⨯+=< 当5i =时，不满足10,S <即此时10S …输出i .（步骤1）此时A 项求得2528,S =⨯-=B 项求得2519,S =⨯-=C 项求得2510,S =⨯=故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += （ ）第8题图A.8B.9C.10D.11 【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】直线CE 在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故4m =;(步骤1)作CD 的中点G ，显然易证平面EFG 的底边EG 上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF 显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故4n =,所以8m n +=.(步骤2)9.过点引直线l 与曲线y =,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( )A.3 B.3- C.3± D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】因为AOB △的面积在π2AOB ∠=时,取得最大值.设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(y k x =,即0kx y -=,(步骤1)由题意，曲线y =O 到直线l 的距离为π1sin4⨯=,23k =⇒=（舍去）,或k =.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间1l l ,l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设弧 FG 的长为(0π)x x <<,y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图象大致是（ ）第10题图A B C D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】连接OF ,OG ,过点O 作,OM FG ⊥过点A 作AH BC ⊥,交DE 于点N .因为弧 FG的长度为x ,所以,FOG x ∠=则cos,2x AN OM ==所以cos ,2AN AE x AH AB ==则,2xAE =.2x EB ∴=2x y EB BC CD ∴=++=π)2xx =+<< 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期. 【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin sin 2cos 22sin(233y x x x x x =+==-，故最小正周期为2ππ2T ==. 12.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b2112π2611cos 2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且(e )e x x f x =+,则(1)f '= .【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】由1(e )e ()ln (0)()1(0)xxf x f x x x x f x x x'=+⇒=+>⇒=+>,故(1)2f '=. 14.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF △为等边三角形,则p = .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】不妨设点A 在左方,AB 的中点为C ,则易求得点(0,),2pF (),2pA -)2pB -.（步骤1）因为ABF △为等边三角形，所以由正切函数易知tan 606FCp CB==⇒= . （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分 15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化. 【难易程度】容易【参考答案】2cos sin 0ρθθ-=【试题解析】由曲线C 的参数方程为2,x t y t ==（t 为参数）， 得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =，（步骤1） 又由极坐标的定义得，2(cos )sin ρθρθ=，即化简曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --…的解集为 . 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】[]0,4【试题解析】||2|1|11|2|110|2|222204x x x x x --⇒---⇒-⇒--⇒剟剟剟剟?.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围 【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B = （步骤1）因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B =又0πB <<，所以π3B ∠=.（步骤2） （2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.（步骤3）因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b <…，即有112b <….（步骤4）17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{n a }的通项公式n a ； （2）令221(2)n n b n a+=+,数列{n b }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n ∈N ,都有564n T <【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n 项和，通过放缩法证明. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+.（步骤1）于是112,2a S n ==…时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =.（步骤1） （2）证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.（步骤3） 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.（步骤4） 18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有28C 28=种，当0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===.（步骤1） （2）两向量数量积X 的所有可能取值为2,1,0,1,2X --=-时,有两种情形;1X =时,有8种情形；1X =-时,有1(2)+(1)01.14147714EX =-⨯-⨯+⨯+⨯=-（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为BD 的中点,G 为PD 的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ====△≌△,，连接CE 并延长交AD 于F . （1）求证:AD CFG ⊥平面；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）在ABD △中，因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故ππ,23BAD ABE AEB ∠=∠=∠=，（步骤1） 因为DAB DCB △≌△,所以EAB ECB △≌△, 从而有FED FEA ∠=∠，（步骤2）故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .（步骤3）（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D,第19题(2)图3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(,2222222BC CP CD ==--=- ，， （步骤4）设平面BCP 的法向量111(1,,)y z =n，则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ，解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12(1,,)33=-n .（步骤5）设平面DCP 的法向量222(1,,)y z =n，则222302330222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（步骤6）即2(1=n .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos θ=== n n n n （步骤7）20. (本小题满分13分)如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c =. ②（步骤1） ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（步骤2） （2）方法一:由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，（步骤3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④（步骤4）在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--.所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 121212232.2()1x x k x x x x +-=--++ ⑤（步骤5）④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++ ， 又312k k =-，所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--，令4x =,求得003(4,)1y M x -，从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,（步骤3）联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---，（步骤4） 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-，所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---，（步骤5） 故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)已知函数1()=(12)2f x a x --,a 为常数且>0a . （1）证明:函数()f x 的图象关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的12,x x 和a , 设3x 为函数()()ff x 的最大值点,()()()1,,A x f f x()()()()223,,,0.B x f f x C x 记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为11()(12),()(12),22f x a x f x a x +=--=- 有11()()22f x f x +=-,（步骤1）所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称. （步骤2） （2）当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x >…所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点. （步骤3）当12a =时，有1,2(()).11,2x x f f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩… 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…,又当12x …时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…中的所有点都不是二阶周期点.（步骤4）当12a >时，有2222214,41124,42(()).1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨-⎪-+<⎪⎪-⎪->⎩……… 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，（步骤5）又22(0)0,()1212a af f a a==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.（步骤6） 综上所述，所求a 的取值范围为12a >.（步骤7）（3）由（2）得2122224,1414a a x x a a ==++，因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =或3414a x a-=.（步骤8）当314x a =时，221()4(14)a S a a -=+.求导得：22112(22()(14)a a S a a ---'=-+，所以当1(2a ∈时，()S a单调递增，当)a ∈+∞时()S a 单调递减；（步骤9）当3414a x a -=时，22861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243()2(14)a a S a a +-'=+，因12a>，从而有2221243()02(14)a aS aa+-'=>+，（步骤10）所以当1(,)2a∈+∞时()S a单调递增. （步骤11）。
湖北省武汉市部分重点中学2008—2009学年度新高三数学起点考试试卷(理科)人教版
武汉市部分重点中学2008——2009学年度新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π27．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ）A ．g （x ）⊂MB ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
2015高三月考理科数学
高三月考理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|||},{|2,}x M x x x N x y x R -=≥==∈，则M N =（ ）A ．(]01B ．()0,1C ．[)0,1D ．[]0,1 2、对于非零向量,a b ，20a b +=是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、函数()222x xf x --=是（ ）A ．偶函数，在()0,+∞是增函数B ．奇函数，在()0,+∞是增函数C ．偶函数，在()0,+∞是减函数D ．奇函数，在()0,+∞是减函数 4、下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）A ．3y x =B ．ln()y x =-C ．xy xe -= D ．2y x x=+5、函数()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则00()(2)lim x f x f x x x∆→∞--∆∆等于（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6、已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,)+∞ 7、给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、将函数cos 2y x =的图象先向左平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =-B ．cos 2y x =-C ．22sin y x =D ．22cos y x =- 9、方程22lg lg 20x x --=的两根为,αβ，则log log αββα+的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．410、若存在整数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞11、设函数()()41411log (),log ()44xxf x xg x x =-=-的零点分别为12,x x ，则（ ）A ．121x x =B ．1201x x <<C ．1212x x <<D ．122x x ≥ 12、若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x '<，则（ ）A ．()()212f f <B ．()()212f f >C ．()()212f f =D ．()()12f f = 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）13、如图所示，在ABC ∆中，已知D 在AB 上，且12,3AD DB CD CA CB λ==+， 则λ 14、若4sin(),(0,)52ππθθ-=∈，则2sin 2cos 2θθ-的值等于 15、曲线12y x =与2y x =围成的封闭区域的面积是16、给出下列命题：①在区间()0,+∞上，函数11232,,(1),y x y x y x y x -===-=中由三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则()1f x -的图象观点点()1,0对称；④已知函数()2332log (1)2x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则方程()12f x =有2个实数根；⑤定义在R 上的寒素()y f x =，则()2y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称 以上命题是真命题的是三、解答题（本题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或步骤） 17、（本小题满分10分）已知向量(3,1),(sin 2,cos2)a b x x =-=，函数()f x a b =⋅ （1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a 与b 的夹角．18、（本小题满分12分） （1）已知集合1{|3}2P x x =≤≤，函数()22log (22)f x ax x =-+的定义域为Q ， 若(]12,,2,323PQ P Q ⎡⎫==-⎪⎢⎣⎭，求实数a 的值．（2）函数()f x 定义在R 上且()3()2f x f x =-+，当132x ≤≤时，()22l o g (22)f x ax x =-+，若(35)1f =，求实数a 的值．19、（本小题满分12分）设22(1)(log ),(01)(1)a a x f x a x a -=<<- （1） 求()f x 的表达式，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性；（3）对于()f x ，当(1,1)x ∈-时，恒有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的取值范围．20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,1),(1,0),(cos ,)a A B t θ=． （1）若//a AB ，且5AB OB =，求向量OB 的坐标；（2）若//a AB ，求22cos cos y t θθ=-+的最小值．21、（本小题满分12分） 已知函数()3212()32a f x x x x a R =-+-∈ （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数()32212f x mx nx x =+-的减区间()2,2-（1）试求,m n 的值；（2）求过点(1,1)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；（3）过点(1,)A t 是否存在曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．。
高三数学试卷带答案解析
高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.下列四个图中，函数的图象可能是（）2.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程可以是（）A． B． C． D．3.“函数在上为增函数”的充分必要条件是（）A． B． C． D．4.已知集合，，则=（）A． B． C． D．5.设实数满足，则的最大值为（）A． B． C．12 D．146.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A． B． C． D．7.函数的图象大致是（）8.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D ．向左平移个长度单位9.（2011•潍坊一模）已知函数f （x ）=x 3+2bx 2+cx+1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[﹣2，﹣1]，x 2∈[1，2]，则f （﹣1）的取值范围是（ ） A ．，3] B ．，6] C ．[3，12] D ．，12]10.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.57611.数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为A ．84B ．168C ．76D ．15212.将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝－2cosx C ．y ＝－2sin4x D ．y ＝－2cos4x 13.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．B ．C ．D ．14.若点O 和点F （﹣2， 0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．15.复数满足(为虚数单位)，则=A ．B ．C ．D ． 16.下列说法不正确的是（ ）A ．若“p 且q”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“”的否定是“”C ．“”是“为偶函数”的充要条件D ．当时，幂函数上单调递减 17.已知是直线上的动点，是圆的两条切线（为切点），则四边形面积的最小值（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．18.如图所示的算法流程图中,第3个输出的数是( )A．1 B． C．2 D．19.．已知复数，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．-6 C．0 D．20.设向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题21.已知函数若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是．22.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为___________．23.是定义在上的奇函数, 则的值域为 .24.若不等式的解集为，则实数的值为 .25.若等比数列的首项是，且，则公比等于．26.已知复数则｜z｜＝．27.28.（理科）（1）.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点是极点，则的面积等于_______；(2).(不等式选择题）关于的不等式的解集是____ ____。
1983年高考理科数学试题
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示 交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：YXβϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Y Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln > 考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时， ,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x y 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得ab >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln = 考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是 .ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b。
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高三理科数学起点考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p n B ．43,12==p n C ．41,24==p n D ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g（x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ）A ．g （x ）⊂MB ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
12．已知随机变量)4,3(~N ξ，若ξ=2η+3，则D η=____________.13．已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则22y x +的最大值是 .14．设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (nn n 则= .15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：n mx x y ++=2002(m ,n 是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图. （I ）y 关于x 的函数表达式为：___________ （II ）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为：__________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数.sin 3cos ]sin )3sin(2[)(2x x x x x f -++=π（I ）若函数)(x f y =的图象关于直线)0(>=a a x 对称，求a 的最小值； （II ）若存在02)(],125,0[00=-∈x mf x 使π成立，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分）如图在直三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a ，AA 1 = 2a ，D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且CE =41CC 1 （I ）求三棱锥B – AB 1D 的体积； （II ）求证：BE ⊥平面ADB 1；（Ⅲ）求二面角B —AB 1—D 的大小.18．（本小题满分12分）口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。
求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；19．（本小题满分12分）已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角。
（II ）试证明直线PQ 恒过一个定点。
20．（本小题满分13分）设函数.)2()(2xe k kx x xf -+-= （I ）k 为何值时，f (x )在R 上是减函数；（II ）试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0. 21．（本小题满分14分）已知函数21)1()()(=-+∈x f x f R x x f 都有对任意 （1）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （2）数列{a n }满足*)(),1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 数列{a n }是等差数列吗？请给予证明； （3）2212221,1632,144n n n n n b b b b T nS a b ++++=-=-= ，试比较T n 与S n 的大小.数学答案（理科）一、选择题： CABAC BDCBB 二、填空题： 11．18925612．1 13.74 14．5120 15．（I ）)0(1002002≥+=x xx y （II ）70千米/时 三、解答题16．解：（I ）).32sin(22cos 32sin )(π+=+=x x x x f …………………………（4分）由题设，).(122,232Z k k a k a ∈+=+=+πππππ即.12,0,0min π==>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）（II ）当].1,21[)32sin(],67,3[32,]125,0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时 ].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）由.12,221.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴==-m m mm x f x mf 或即得故m 的取值范围是).,1[]2,(+∞⋃--∞…………………………………………（12分）17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a ，∠BAC=90°，D 为BC 中点B 1B=C 1C=A 1A=2a ，2411a CC CE ==∴241)21(2121a AC AB S S ABC ABD =⋅==∆∆ ………………2分∵32161241313111a a a BB S V V ABD ABD B D AB B =⋅⋅=⋅⋅==∆-- …………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 从而AD ⊥平面B 1BCC 1又BE ⊂平面B 1BCC 1，所在AD ⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a ，得a BC 2=在Rt △BB 1D 中，4221tan 111===∠BB BCBB BD D BB 在Rt △CBE 中，4222tan ===∠aa BC CE CBE 于是∠BB 1D=∠CBE ，设EB ∩DB 1=G∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE ，又AD ∩DB 1=D 故BE ⊥平面ADB 1 ……………………8分 （Ⅲ）过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连接BF由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………10分 在Rt △ABB 1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，得a BF 552= 在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，得BG=a 32 所以在Rt △BFG 中，35sin ==∠BF BG BFG 故二面角B —AB —D 的大小为arcsin 35………………12分 解法二：解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A －xyz …………2分 可知A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，a ，0），D （0,2,2aa ）， B 1（a ，0，2a ），E （0，a ，2a） …………4分 可得 ),0,2,2(),2,,(aa a a a =-=)2,2,2(1a aa DB = ………………6分于是得0,01=⋅=⋅DB ，可知BE ⊥AD ，BE ⊥DB 1又AD ∩DB 1=D ，故BE ⊥平面ADB 1 …………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB 1的法向量)2,,(a a a -=，平面ABB 1的法向量)0,,0(a =于是 32,cos =>=< …………10分 故二面角B —AB 1—D 的大小为arccos32………………12分 18．解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 32)()(,31844)()(===+==B P A P B P A P ，且A 、B 相互独立.………………（2分）据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中.271)31()()3(.27232)31()()2(.2710)32(3231)()()1(.2714)32(3132)()()0(3223==⋅⋅===⨯=⋅⋅===+⨯=⋅⋅+⋅===+⨯=⋅⋅+⋅==A A A P P A A A P P A B A P A A P P A B A P B A P P ξξξξ………………（8分）………………（10分）)12(.2717271327222710127140分 ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 19．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即……（2分）.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OM ……………………………………………（4分）设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αS ROM 由此可得tan α=1.…………………（6分）又.45,45),,0(︒︒=∴∈与故向量απα……………………（7分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)8(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（9分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（10分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.…………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）∵xe k kx x xf -⋅+-=)2()(2∴x xe k kx x e k x xf --⋅-⋅+-+-=')1()2()4()(2x e x kx -⋅-⋅--=)2()2(2 ………………2分 当k=4时，0)2()(≤⋅--='-xe x x f∴当k=4时，R x f 在)(上是减函数………………5分 （Ⅱ）当k ≠4时，令2,20)(21kx x x f ==='，得………………6分 当k<4时，即22<k有令,02)2(2,0)2(2=+⋅-⋅=k k k k k f 得 ∴k=0………………9分②当k>4时，即k>2有 令0242 0)2(=+-⨯=k k f 得∴当k=0或k=8时，)(x f 有极小值0 ………………13分21．（1）解：f (x )对任意21)1()(=-+∈x f x f R x 都有 41)21(21)211()21(21=∴=-+=f f f x 时有………………2分令21)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有21)1()1(=-+∴n n f n f ……………………………………4分（2）解：数列{a n }是等差数列f (x )对任意x ∈R 都有,21)1()(=-+x f x f 则令21)()(=-+=n k n f n k f n k x 时有……………………………………6分 *)(414141)1(*)(41*)(212)]0()1([)]1()1([)]1()1([)]1()0([2)0()1()2()1()1()1()1()2()1()0(1N n n n a a N n n a N n n a f f n f n n f n n f n f f f a f nf n n f n n f f a f n n f n f n f f a n n n n n n n ∈=+-++=-∴∈+=∴∈+=∴+++-++-+++=∴+++-+-+=∴+-++++=+ ∴{a n }是等差数列. ………………10分（3）解：由（2）有*)(4144N n na b n n ∈=-=nnn S nn n n n n nn b b b b T =-=-=--++-+-+=-++⨯+⨯+≤++++=++++=++++=1632)12(1611131212111(16))1(13212111(16)1312111(1643424142222222222222212221∴T n ≤S n …………………………………………………………………………14分 该题也可用数学归纳法做。