【最后一卷】湖北部分重点中学2020届高三新起点联考考试数学(理)试题
湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试
数学（理）试题
命题学校：宜昌市夷陵中学（徐伟陈仁胜）审题学校：郧阳中学（张星江）随州一中（江炜）随州二中（刘峰）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：
“，”，
故选C.
2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】：焦点在x轴时，，焦点
在y
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得
①满足条件，；
②满足条件，；
③满足条件，；
……
⑨满足条件，；
⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．
故选B．
4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种
若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】分析：由公式计算可得
A 1
B 1
C 1
详解：设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则 因为 所以 故选B.
5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B ．月跑步平均里程逐月增加
C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D
【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为
D
C
B
A
【答案】
B
【解析】无
7．已知抛物线2
:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与
l 交于点N ．若3
MFO π
∠=，则
MF MN = A ．
14 B ．13 C ．21 D ．2
3
【答案】C
【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=
，6
MNQ π
∠=，所以1
2
MF MQ MN
MN
=
=
．选C ． 8．函数
的图像大致为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】：
为奇函数，舍去A,
第6题图
舍去D;
，
所以舍去C ；因此选B.
9．函数()sin()f x A x ω?=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034??
π ???
成中心对称
C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移
12
5π
后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为
3
π
，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<
f π
-
=，所以3
π
?=
，因此
()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034??
π ???
成中心对称．故选B ．
10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）
A ．e B
C ．1
e
D ．1
【答案】A
【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为
12
12
ln ln x x x x <
， 故()ln x
f x x =
在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x
>?'-=<<，
故m 的最大值为e ，故选A ．
11．已知,A B 为椭圆
上的两个动点， ,且满足MA MB ⊥,则MA BA ?的取值范围为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个
多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.
A.12 【答案】A
【解析】补成正方体，如图.
,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=
可得L MNK S NK KL =?四边形
2
(
)1,2
NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．2019
1i 1i
--=_________．
【答案】i ． 【解析】
解法一：
32
1i1i(1i)2i
i
1i1i(1i)(1i)2
-++
====
---+
．
解法二：
32
2
1i(1i)(1i i)
1i i i 1i1i
--++
==++=
--
．
14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为
【答案】.
【解析】设切点为，，因为，所以，因此在点，处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；
又因为切线过点，，所以，解得，所以，即切点为，，切线方程为，作出所围图形的简图如下：
因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为
.
15．将正奇数按如图所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………………
则2019在第行，从左向右第个数
【答案】32 49
16．已知直线x t=与曲线()()()
=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值为
f x x
g x e
ln1,x
【答案】
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．…………………………………………………………………………5分（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．
综上，．…………………………………………………………………………………………5分点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
18．（本小题满分12分）在中，，
（1）若.求；
（2）若的面积为1，求.
【解析】；由题设知，，…………………………………………………………2分
所以 . 或
. ……………………………………………………………4分
大边对大角，所以6
ACB π
∠=
………………………………………………………………………6分
（2）1
sin 12
ABC S bc A ?==，容易得出b 8分
在 中，由余弦定理得
所以 .…………………………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图四棱锥 中，底面 是正方形， ，且 ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 【解析】
（1）证明：∵底面 为正方形，∴ ，又 ，
∴ 平面 ，∴ .同理 ，∴ 平面 .…………4分 （2）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为2
则 ，设 为平面 的一个法向量， 又
，……………………6分 ∴ 令 ，得 .同理 是平面 的一个法向量，……10分
则
.∴二面角 的正弦值为
.………………12分
20．（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于600元的概率.
（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？ 【解析】；
（1）当天的利润Y 关于当天需求量n 的函数解析式为：
100850(16)
()850(17)n n Y n N n -≤?=∈?≥?
…………………………4分
②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”
1222()110025P A ∴=-
=
，所以当天的利润不低于600元的概率为：22
25
．………………6分 （2）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：11
(600127001880070)758100
x =
?+?+?=； 若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：21
(55012650187501885052)760100
x =
?+?+?+?=； 12x x <，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.…………12分
21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b
+=：（0a b >>）的上顶点
为(0A ，圆2
224
a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于
P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．
【解析】；（1）因为椭圆C
的上顶点为(0A
，所以b =，
又圆22214
O x y a +=：经过点()01M ，，
所以2a =． …… 2分
所以椭圆C 的方程为22143
y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0
，则PQ ，2MN =，
所以△PQN
，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． …… 5分
设直线1l 的方程为1y kx =+，
由2
2143
1
y x y kx ?+
=???=+?，消y ，得22(34)880k x kx ++-=，
设()11P x y ，，()22Q x y ，，
则1x =，2x =，
所以PQ
12x =-． …… 8分 直线2l 的方程为11y x k
=-+，即0x ky k +-=，
所以
MN = …… 9分
所以△PQN 的面积1
2S PQ MN =?132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12
±． …… 12分
第（2）小题的若没有讨论“若1l 的斜率为0”，则扣一分（原因是直线2l 的方程使用
）
22 ．（本小题满分12分）已知函数()()21
ln 2
f x x x ax a =++∈R ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：
()()
21212+442
82f x f x a a x x f +++??
-
> ???
. 22 ．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21
0x ax f x x x
'++=>，……1分
对于函数210y x ax =++≥，
①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立． ()21
0x ax f x x
++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；……2分
②当0Δ>，即2a <-或2a >时，
当2a <-时，由()0f x '>
，得x <
x >
，0<， ()f x ∴
在? ??
为增函数，??
减函数，
?
?+∞???
为增函数，……4分 当2a >时，由()210x ax f x x ++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．……5分
综上，当2a <-时，()f x
在? ??
为增函数，??
减函数，?
?+∞???
为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．……………………5分 （2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=，………………6分 故
()()()()2
1222
111222*********
11ln ln 222ln 2222221ln +
228
x x x x ax x x ax f x f x x x x x x x f a a a +??+++++ ?++++????????-=--- ? ? ?
????????=--- ???……9分
故只需证明ln 1022a a ??----> ???
，令2a
t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立，容易得证 (12)
分。
数学理科试题参考答案
一、 选择题
二、 填空题
13. i 14.
. 15. 32 49 16. 1
三、 解答题
17.【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．…………………………………………………………………………5分 （2）若 ，则
．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．…………………………………………………………………………………………5分
18．【解析】；由题设知，
， ……………………………………………………2分 所以
.
或
. ……………………………………………………………4分
大边对大角，所以6
ACB π
∠=
………………………………………………………………………6分
（2）1sin 12
ABC S bc A ?==，容易得出b 8分
在 中，由余弦定理得
所以 .…………………………………………………………………………………………12分 19．【解析】（1）证明：∵底面 为正方形，∴ ，又 ， ∴ 平面 ，∴ .同理 ，∴ 平面 .…………4分
（2）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为2
则 ，设 为平面 的一个法向量， 又
，……………………6分 ∴ 令 ，得 .同理 是平面 的一个法向量，……10分
则
.∴二面角 的正弦值为
.………………12分
20．【解析】； （1）当天的利润Y 关于当天需求量n 的函数解析式为：
100850(16)()850(17)n n Y n N n -≤?=∈?≥?
…………………………4分
②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”
1222()110025P A ∴=-
=
，所以当天的利润不低于600元的概率为：22
25
．………………6分 （2）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：11
(600127001880070)758100
x =
?+?+?=； 若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：21
(55012650187501885052)760100
x =
?+?+?+?=； 12x x <，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.…………12分
21． 【解析】；（1）因为椭圆C
的上顶点为(0A
，所以b =，又圆22214
O x y a +=：经过点()01M ，，
所以2a =． …… 2分所以椭圆C 的方程为22143
y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0
，则PQ =，2MN =，所以△PQN
，不合题意，所以直线1l 的斜率
不为0． …… 5分设直线1l 的方程为1y kx =+，由2
2143
1
y x y kx ?+
=???=+?，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，
，则1x =
，2x
，所以PQ
12x =-=． …… 8分
直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=
，所以MN ==． …… 9分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =
?132==，解得12k =±， 即直线1l 的斜率为12
±． …… 12分
备注：第（2）小题的若没有讨论“若1l 的斜率为0”，则扣一分（原因是直线2l 的方程使用1k -）。
22 ．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21
0x ax f x x x
'++=>，……1分
对于函数210y x ax =++≥，
①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立． ()21
0x ax f x x
++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；……2分
②当0Δ>，即2a <-或2a >时，
当2a <-时，由()0f x '>
，得x <
x >
，0<， ()f x ∴
在? ??
为增函数，??
减函数，
?
?+∞???
为增函数，……4分 当2a >时，由()210x ax f x x ++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．……5分
综上，当2a <-时，()f x
在? ??
为增函数，??
减函数，?
?+∞???
为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．……………………5分 （2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=，………………6分 故
()()()()2
1222
111222*********
11ln ln 222ln 2222221ln +
228
x x x x ax x x ax f x f x x x x x x x f a a a +??+++++ ?++++????????-=--- ? ? ?
????????=--- ???……9分
故只需明ln 1022a a ??----> ???
，令2a
t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立，容易得证.……12分。