湖北省部分重点中学2019届高三数学上学期起点考试试题理
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．已知集合，,则=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求出集合，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。
【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。
A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件 ，退出循环，输出 的值为4．故选C ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题． 7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。
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湖北省部分重点中学2019届高三数学上学期起点考试试题理（扫描版）湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试 理科数学参考答案 ABDCDCDB BBBC 13.4014.π15．16．1003π17．解：（1）； 当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.………………6分 （2）当时，，当时，，，时也满足，综上………………12分18．解：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥………………4分 （2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，BM =.∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，………………6分则()1,0,0A -，()B ，()1,0,0P ，()0,0,1D从而得()1,0,1DP =-(1,DC AB ==()1,BP =，()1,0,1BC AD ==设平面DPC的法向量()1111,,n x y z =则11•0{•0n DP n DC==，即11110{0x z x -==，∴(13,1,n =-，设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =，由22•0{•0n BC nBP ==，得22220{0x z x +==，∴(23,1,n =1212•1cos<,7n n n n n n ==>设二面角D PC B --为α4,n n <>=12分（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============随机变量的分布列为：………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得：设，则； 由得：线段AB 中点222(,)2121km mD k k -++,因为为的重心，所以11()22AB OC AB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分点差法求证相应给分. （2）设，则代入得，又，原点到的距离于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x x x -=-=>'………………1分0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.………………2分0a >当时，由()f x '=0有x =.当x∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e xg x xe ---=令()s x = 1e x x --，则()s x '=1e 1x --.当1x >时，()s x '＞0，所以()s x 单调递增，又()10s =，()0s x ∴>，从而1x >时，()g x =111e x x --＞0.………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.当0a ≤，1x >时，()f x =()21ln 0a x x --<.故当()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.………………8分 当102a <<1.由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >，所以此时()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.………………10分 当12a ≥时，令()h x = ()f x -()g x （1x ≥）.当1x >时，()h x '=122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>.因此，()h x 在区间1+)∞（，单调递增. 又因为()1h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.综上，a ∈1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得， 故直线的普通方程为， 由，得，所以，即，故曲线的普通方程为.………………5分（Ⅱ）据题意设点，则，所以的取值范围是.………………10分23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式等价于1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得：13x x <>或 故原不等式的解集为{|13}x x x <>或.………………5分（Ⅱ），当时取等号. 若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。
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参考答案ABDCDCDB BBBC13.4014.15．16．17．解：（1）；，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2； 所以.………………6分 （2）当时，， 当时，，，时也满足，综上………………12分 18．解：（1）证明：取中点，连， ∵， ∴，，∵∴面，又∵面，∴………………4分 （2）∵，，，∴是等腰三角形，是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴，. ∴222BD MB MD =+，∴以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，………………6分 则，，，从而得，(1,DC AB ==，()10,1B C A D ==设平面的法向量 则11•0{•0n DP n DC==，即11110{0x z x -=+=，∴(13,1,n =-，设平面的法向量， 由22•0{•0n BC nBP ==，得22220{x z x +=-=，∴1212•1cos<,7n n n n n n ==> 4sin 1cos ,n n α<>=-=分记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人 的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得：设，则； 由得：线段中点222(,)2121km mD k k -++,因为为的重心，所以11()22AB OCAB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分点差法求证相应给分. （2）设，则代入得，又，原点到的距离于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x -=-=>'………………1分<0，在内单调递减.………………2分 由=0有x =. 当（时，<0，单调递减； 当+)∞时，＞0，单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e x g x xe ---=令= ，则=.当时，＞0，所以单调递增，又，， 从而时，=＞0.………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.当，时，= ()21ln 0a x x --<.故当＞在区间内恒成立时，必有.………………8分1. 由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >，所以此时＞在区间内不恒成立.………………10分当时，令= （）.当时，=122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，= ＞0，即＞恒成立. 综上，1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得，故直线的普通方程为，由，得， 所以，即，故曲线的普通方程为.………………5分则，所以的取值范围是.………………10分 23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式 等价于 1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得： 故原不等式的解集为.………………5分 （Ⅱ），当时取等号.若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。
湖北省部分重点中学上学期新高三起点考试数学(理科) Word含答案
湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理 科 数 学 试 卷命题人： 武汉开发区一中 程望才 审题人：颜昌华一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合 ， ,则 =( ) A. B. 或 C. D. 2．已知复数 满足 ，则 （ ） A. B.C.D.3．设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则 （ ） A. B. C. D.4．已知命题 ： ， ，那么命题 为（ ）， ， ， ， 5．已知函数，若 ，则 （ ）A. B. C. D.6．执行程序框图，假如输入两个数是 、 ，那么输出的 =( )A. B. C. 4 D. 第11题图7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ） A.B.C.D.8．已知函数 （ ，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数 的图象向左平移个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象（ ）1S S k k=-+A. 关于点对称 B. 关于点对称C. 关于直线对称 D. 关于直线对称9．已知 满足约束条件，若的最大值为 ，则 的值为( )A. B. C. D.10．已知两点 ，若圆 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.11．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A.53B.C. D. 9412．己知函数，若关于 的方程 恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是( ）A. B.C.D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．的展开式中 项的系数为_______．14．函数的最小正周期为___________．15．如图所示，圆 及其内接正八边形．已知 ， ，点 为正八边形边上任意一点， ， 、 ，则 的最大值为_____________________．第15题图 第16题图16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．BAOP三、解答题（共70分。
湖北省部分重点中学2019届高三上学期起点考试数学(理)试卷Word版含答案
(x2
13.
2)5 x 的展开式中
x4 项的系数为
.
f ( x) 2sin( x) cos( x) 3 sin 2x
14. 函数
4
4
的最小正周期为 .
15. 如图所示，圆 O及其内接正八边形。已知
OA e1,OB e2 , 点 P 为正八边形边上任意一点，
x
x
C.关于直线 16 对称 D. 关于直线
4 对称
xy0
xy0
y
9. 已知 x , y 满足 x y m 0 ，若 x 1 的最大值为 2，则 m 的值为
.
10. 已知两点 A(a, 0), B (-a ， 0) (a>0), 若圆 (x 3) 2 ( y 1)2 1上存在点 P，
使得 APB 900 ，则正实数 a的取值范围为
A. { x | 2＜ x＜１} B. { x | x 1或x 2 }
C. x | x＜１
D.
2. 已知复数 z 满足 ( z i ) (1 i ) 2 i ，则 z z
1
2
A.1 B. 2 C. 2
D.
2
Байду номын сангаас
3. 设等差数列 { an } 前 n 项的和为 Sn ，若 S4 20, a5 10 ，则 a16
湖北省部分重点中学 2018—2019 学年度上学期新高三起点考试
数学（理科）试卷
一、选择题（本题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）＜＞
1. 已知集合 M={ x | x2 3x 2 0 } ， N ={ x | log 3 (x 2)＜１} ，则 A B
湖北省部分重点中学2019届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案
湖北省部分重点中学2019届高三上学期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},|{},022|{2A x x y y B x x Z x A ∈==≤+-∈=，则集合B 的子集的个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．162.若复数i a a a z )2()6(2-+-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则||z 等于（ ） A ．5 B ．0 C ．0或5 D ．13.以下判断正确的个数是（ ）①“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的必要不充分条件.②命题“01,2<-+∈∃x x R x ”的否定是“01,2≥-+∈∀x x R x ”. ③相关指数2R 的值越接近1，则变量之间的相关性越强.④若回归直线的斜率估计值是25.2，样本点的中心为)5,4(，则回归直线方程是425.2-=∧x y . A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.已知平面向量→→b a ,满足32||,3||==→→b a ，且→→+b a 与→a 垂直，则→a 与→b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC. 32π D ．65π5.已知实数b a ,是利用计算机产生1~0之间的均匀随机数，设事件"41)1(:"22>+-b a A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．16π B ．161π- C. 4πD ．41π- 6.已知数列}{n a 的首项31=a ，对任意*,N n m ∈，都有n m n m a a a +=⋅，则当1≥n 时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A ．)12(-n nB ．2)1(+n C. 2n D ．2)1(-n 7.阅读如下图所示的程序框图运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A ．23-B ．1- C. 21D ．08.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．316π B ．38π C. π34 D ．π39.函数|sin |||ln )(x x x f +=（ππ≤≤-x 且0≠x ）的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f 在区间]65,32[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．]53,0(B ．]53,21[ C. ]53,21( D ．),21(+∞11.如图，已知抛物线x y 282=的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆2)22(22=+-y x 于D C B A ,,,四点，则||4||CD AB +的最小值为（ ）A ．23B ．25 C. 213 D ．21812.定义在R 上的函数⎩⎨⎧<≤<≤-=10,01,)(2x x x x x f ，且21)(),()2(-==+x x g x f x f ，则方程)()(x g x f =在区间]9,5[-上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ） A ．14 B ．12 C. 11 D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 6，且y x z +=3的最小值为8-，则=k ．14.已知⎰-=1123dx x a ，则5)1(+ax 的展开式中3x 的系数为 ．15.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 虚轴的一端点为21,F F B 、为双曲线的左、右焦点，线段2BF 与双曲线交于点→→=22,AF BA A ，则双曲线C 的离心率为 ． 16.在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2cos sin 3,sin 3sin 32cos cos =+=+B B CAc C b B ，则c a +的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，点))(,(*N n S a n n ∈在直线022=--y x 上. （1）求证：数列}{n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线n a x =与函数2)(x x f =的图象交于点n A ，与函数x x g 2log )(=的图象交于点n B ，记→→⋅=n n n OB OA b （其中O 为坐标原点），求数列}{n b 的前n 项和n T .18. 如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边2=AB ，点D 在线段AC 上，AB DE ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））（1）求证：DE PB ⊥；（2）若BE PE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为 30，求平面PDE 与平面PBC 所成的锐二面角的正弦值.19. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式d cx y +=∧2作为蔬菜农药残量∧y 与用水量x 的回归方程，令2x w =，计算平均值-w 与-y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出∧y 与x 的回归方程.（d c ,保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到1.0，参考数据236.25≈）（附：对于一组数据),(),......,,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑u v u uv v u uni ini i iβαβ,)())((121）20. 设)0,1(),0,1(),0,2(C B A --，动圆D 与x 轴相切于A 点，如图，过C B ,两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .（1）证明：||||PC PB +为定值，并写出点P 的轨迹方程； （2）设动直线l 与圆122=+y x 相切，又l 与点P 的轨迹交于N M ,两点，求→→⋅ON OM 的取值范围.21. 已知函数)(21)(,ln )(22R m x mx x g mx x x f ∈+=-=，令)()()(x g x f x F +=. （1）当21=m 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值； （3）若2-=m ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x F x F ，证明：21521-≥+x x .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程曲线⎩⎨⎧==t y tx C sin cos :1（t 为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线2C . （1）求曲线2C 的普通方程； （2）若过点)0,1(M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线2C 交于B A ,两点，求||||MB MA +的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|12||12|)(++-=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小值m ； （2）若正实数b a ,满足311=+b a ，求证：m ba ≥+2221.湖北省部分重点中学2019届高三上学期第二次联考数学（理）试题答案一、选择题1-5:BACDB 6-10:CDACB 11、12：CA 二、填空题13. 2- 14. 80 15. 210 16. ]3,23( 三、解答题17.（1） 点),(n n S a 在直线022=--y x 上，022=--∴n n S a ① （i ）当1=n 时，2022111=∴=--∴a S a .（ii ）当2≥n 时，02211=--∴--n n S a ② ①-②12-=∴n n a a 即21=-n na a . ∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由已知),2(),4,2(n B A n n n n nn n n n n n b OB OA b 4)1(+=∴⋅=→→984)923(1-⋅+=∴+n n n T .18.（1）⊥∴=⋂⊥⊥DE E BE PE BE DE PE DE ,, 平面PBE 又⊂PB 平面DE PB PBE ⊥∴（2）由（1）知EB DE PE DE ⊥⊥,，且BE PE ⊥，所以PE BE DE ,,两两垂直.分别以→→→EP EB ED ,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设)10(||<<=a a PE ，则),0,0(),0,0,(),0,0,(),0,2,0(a P a C a D a B -，可得)0,1,1(),,2,0(-=--=→→BC a a PB设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0n BC n PB 所以⎩⎨⎧=-=--00)2(y x az y a ，取)2,,(a a a n -=→直线PD 与平面PBC 所成的角为30，且),0,(a a PD -=→22222)2(2|)2(|30sin a a a a a a a -++⋅--=∴2=∴a （舍）或52=a )58,52,52(=∴→n 又取平面PDE 的法向量为)0,1,0(=→m设所求锐二面角为θ，则62cos =θ，所以634sin =θ.19.（1）负相关.（含散点图） （2）38,11==--y w0.2374751145)2()7()10()28(14)9(51)2(16)7(201022222≈-=++-+-+--⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=c600.2600.2,6011)374751(382+-=+-=≈⨯--=-=∧--x w y w c y d .（3）当20<∧y 时，5.452,20600.22≈><+-x x∴为了放心食用该蔬菜，估计需要5.4千克的清水清洗一千克蔬菜.20.（1）4||||=+PC PB 点P 的轨迹方程)2(13422±≠=+x y x （2）（i ）当直线l 斜率不存在时，1:±=x l ，不妨设)23,1(),23,1(-N M ，则45-=⋅→→ON OM（ii ）当直线l 斜率存在时，设m kx y l +=:，即),(),,(.02211y x N y x M m y kx =+-因为直线l 与单位圆相切，则11||2=+k m 得122+=k m .①由⎩⎨⎧+==+m kx y y x 124322，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+∴=-+++34124348,01248)34(2221221222k m x x k km x x m kmx x k 2121y y x x ON OM ⋅+⋅=⋅→→3412127)()1()()(2222212122121+--=+++⋅+=+⋅++⋅=k k m m x x km x x k m kx m kx x x ② ②代①)3411(4534)1(545222++-=++-=⋅→→k k k ON OM )45,35[3342--∈⋅∴≥+→→ON OM k（iii ）当m kx y l +=:过点)0,2(-或)0,2(时，33±=k ， 即)2(33+=x y 或)2(33--=x y 则1320-=⋅→→ON OM 综上：]45,1320()1320,35[--⋃--∈⋅→→ON OM .21.（1）)0(11)(,0,21ln )(22>-=-='>-=x xx x x x f x x x x f 由0)(>'x f ，得012>-x ，又0>x ，所以10<<x ，所以)(x f 的单增区间为)1,0(.（2）令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，所以xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G ，所以)(x G 在),0(+∞上是递增函数，又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ，所以关于x 的不等式1)(-≤mx x G 不能恒成立.当0>m 时，xx m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-='. 令0)(='x G ，得m x 1=，所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈mx 时，0)(<'x G .因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈mx 是减函数. 故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=. 令m m m h ln 21)(-=，因为02ln 41)2(,021)1(<-=>=h h . 又因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.（3）当2-=m 时，0,ln )(2>++=x x x x x F 由0)()(2121=++x x x F x F ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x 从而)ln()()(212121221x x x x x x x x ⋅-⋅=+++ 令21x x t ⋅=，则由t t t ln )(-=ϕ得，t t t 1)(-='ϕ 可知)(t ϕ'在区间)1,0(单调递减，在区间),1(+∞上单调递增，所以1)1()(=≥ϕϕt ， 所以1)()(21221≥+++x x x x .即21521-≥+x x 成立. 22.（1）曲线1C 的方程122=+y x .在曲线2C 上任取一点),(y x ，设其在曲线1C 的对应点为),(11y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==32321111y y x x y y x x 代入12121=+y x ，则13422=+y x （2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211代入124322=+y x ，则012452=-+t t 设点B A ,对应的参数分别为51254,,212121-=⋅-=+t t t t t t ，则516||||||21=-=+t t MB MA . 23.（1）2|)12()12(||12||12|=+--≥++-x x x x 当且仅当2121≤≤-x 时，等式成立. （2）222)11()211()21(b a b a +≥+⋅+则22122≥+ba 当且仅当ab 2=时取，等号成立.。
湖北省部分重点中学2019届高三上学期起点考试数学(理)试题
1 1 x 1 ＞0. ………………7 分 x e （Ⅲ）由（Ⅱ） ，当 x 1 时， g x ＞0.
从而 x 1 时， g x = 当 a 0 ， x 1 时， f x = a x 2 1 lnx 0 . 故当 f x ＞ g x 在区间 （ 1， +) 内恒成立时，必有 a 0 . ………………8 分
，则数学核心素养为二级；若
素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数 据：
学生编号
[
来源:Z+ xx+ k.C o m]
(1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； (2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为 ，求随机变量 的分 布列及其数学期望.
18．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， DA DP ， BA BP .
（1）求证： PA BD ；
0 （2）若 DA DP ， ABP 60 ， BA BP BD 2 ，求二面角 D PC B 的正弦值.
19．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 )、推理能力(指标 )、建模能力(指标 )的相关 性， 将它们各自量化为 1、 2、 3 三个等级， 再用综合指标 若 ，则数学核心素养为一级；若 的值评定学生的数学核心素养， ，则数学核心
个 单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 B. 关于点 对称 C. 关于直线 对称
9．已知 A.
满足约束条件 B.
，若
的最大值为 ，则 的值为( C. D.
)
10．已知两点 正实数 的取值范围为（ A. ） B.
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)(含答案)
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，,则=( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出集合 ，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。
【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。
5．已知函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值为4．故选C．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题．7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。
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湖北省部分重点中学2018—2019学年度上学期新高三起点考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）<>1.已知集合{x | A:2 - 3x + 2 > 0}, N ={ x|log3（x+2）< 1},则A A B =A. {x\-2<x< 1}B. {x|x<l§Kx>2}C. x\x< 1D.①2.己知复数z满足（z-0-（l + 0 = 2-i,则z・z =1yj 2 /~A. 1B. -C. —D. V22 23.设等差数列{%}前兀项的和为S”，若S4 =20“ =1（），则细=A. -32B. 12C. 16D. 324.已知命题P： 3XG/?,3V<X3,那么命题「p为A. V XG 7?,3'>x3B. /?,3v>x3C. Vxe R,3' >x3D. 7?,3V A X']—x5.已知函数/（兀）= 0+厂）ln—,若/⑷=1,则/（一。
）=1 +xA. 1B.-1C. 3D. -36.执行程序框图，假如输入两个数是21、k二2,那么输出的S二A. 1 + V15B. V15C.4D. V177.有四位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为,3 9 , 8 4A. —B. —C. —D.—4 16 9 97T8.已知函数/（x） = sin（6Z2X +^）（69 >0, \（p\< —）,其图象2兀一y 209.已知满足 <兀-注0 ,若」一的最大值为2,则加的值为X+ 110.已知两点A (a, 0), B (-a, 0) (a>0),若圆(x-^3)2 + (y-1)2 = 1 上存在点P,使得ZAPB=90%则止实数d的取值范禺为A. (0,3]B. [1, 3] C・[2,3] D. [1,2]2 211.己知A, B, C是双曲线罕一爲二](a>b>0)±的三个a b~经过原点0, AC经过右焦点F,若BF丄AC且2|AF| = |CF|,曲线的离心率是5 Vn , Vn 9A. —B. -----------C. -------------D.—3 3 2 4Y12.已知函数/(%) = —，若关于尢的方程[/(x)]2+m/(x) + m + l= 0恰有3个不同的实数g解，则实数m的取值范闱是A. (一8, 2)U(2, +8)B. (1--, +8)c. ( 1--, 1) D. (1, e)e e二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分。
213.(/+_)5的展开式中兀4项的系数为___________ .14.函数f(x) = 2sin(— -x)cos( — -x) 4- V3 sin 2x的最小正周期为4 415.如图所示，圆0及其内接正八边形。
己知OA=^OB=e^，点P为正八边形边上任意一点，OP=Ae} +//e2,2> pwR,则兄+ “的最大值为________________TT相邻两条对称轴之间的距离为7将函数—3的图彖向左平移丘个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y = f(x)的图象TTA.关于点(—,0)对称16TTC.关于直线兀=—对称16冗B.关于点(―—,0)对称167TD.关于直线兀=一一对称4点，AB第15题图人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；（2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量 X 的分布列及其数学期望。
16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程 骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
题为选考题，考生根据要求作答。
） （一）必考题：共60分。
己知数列｛色｝的前比项和为S”，也=1,且满足S” = %—. （1）求数列｛a n ｝的通项a n :（2）求数列｛na tl ｝的前〃项和为町.18. （本小题满分12分）如图,四棱锥P - ABCD 的底® ABCD 为平行四边形,DA = DP,(1) 求证：PA 丄BD ；(2) 若 DA 丄 DP, ZABP = 60° , BA=BP=2,求二面角D —PC 一 B 的正弦值19. 为了研究学生的数学核心素养与抽象能力（指标x ）、推理能力（指标y ）、建模能力（指标刁 的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w 二x+y+x 的值评定学生的数 学核心素养，若3<vv<4,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若5<vv<6, 则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名 学生，得到如下数据：学生 编号•A川2為*9岛人8岛^10（WZ ） (2,2,3) (3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(232)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(24,1)(2,2,2)（1）在这 10名学生第16题图为 _____ • 或演算步 第 22、 23r20.已知A, B, C为椭圆E: —+ y2=l±三个不同的点,坐标原2点，若0为AABC的重心。
(1)如果直线AB、0C的斜率都存在，求证为定值;(2)试判断AABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。
. 1 121.设函数f(x) = cvc^ -a-\nx^(x) = ------- ，英屮awR, e二2. 718…为自然对数的底x e数.(I)讨论/⑴的单调性;(II)证明:当x>l时,g(兀)>0；(III)如果/(兀)〉g(x)在区间(1，+8)内恒成立，求实数a的収值范围.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4 一4:坐标系与参数方程］(10分)［x = t己知在平面直角坐标系：xOy中，直线/的参数方程是｛(r是参数)，以原点0［y = 2r + 6为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p = 2^/2cos0.(I)求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(II)设H (x, y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围。
23.［选修4-5:不等式选讲］(10分〉己知函数/(x)=|x-a| + |x+l|.⑴若沪2,求不等式/(x)>x + 2 >x+2的解集：(II)如果关于x的不等式/(x) < 2的解集不是空集，求实数a的取值范围。
湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案ABDCDCDB BBBC13.4014.龙15. 1+Q16. 型兰317.解：(1) S n=a n+1.当n=l 时，a2=1,当心2 吋，s n-l=a nAa n= S ir S n-l=a ii4-l_a n Aa n+l = 2a n,衍=1尼2=1,不满足上式，所以数列｛%｝是从第二项起的等比数列，其公比为2；a =f 1>(n=1)所以n"[2n-2,(n>2) ...... ...................... 6 分(2)当n=l时,T i=1,当n»2时T n=H-2x2^+3x2^4-,,,+nx2n ' 2T n=lx2+2x21+3x224--+nx2,pl>.-.-T n=l+21+22+•••+2n_2-nx2n4=^|^-n2n4.•.T n=(n-l)2n-1+ln=l时也满足,综上T n=(n-l)2n-1+l ............................... i2分18.解：(1)证明：取AP中点M,连DM,BM ,•: DA = DP , BA = BP:.阳丄DM , P4 丄BM , I DM cBM:.PA丄面DMB,又•: BD u 面DM3, PA丄BD ............................ 4 分(2) DA = DP f BA = BP, DA 丄DP , ZABP = 60°A \DAP是等腰三角形，\ABP是等边三角形，・・・AB = PB = BD = 2 , BM =y/3.・・・DM =] 9 :.BD2 = MB2 + MD2, :. MD丄MB 以MP, MB, MD所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则4(—1,0,0), B(0,V3,0), P( 1,0,0), D(0,0,l)从而得DP = (1,O,—1), DC = AB = (1,^,0), BF = (1,-V3,o),n • DP = 0兀| 一 Z| = 0则｛I u ,即｛ I I ,q • DC = 0 兀］+ 73^ = 0 由｛叮眈加，得「+；2=0 叮 BP = 0 x 2 -A /3^2 =0______________ 4行设二面角 D 一 PC-B 为a , /. sintz = Jl-cos? < 叫,® > = 19.解:AiA 2 A3 A4A5A 6 A?AgA9A10X 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 2 3 3231 2Z3 33 2 2 3 2 31 2W78957868 46（1）rfl 题可知：建模能力一级的学生是A%建模能力二级的学生是A 4^A 5>A 7>A 10;建模能力三级的学生是A P A 2*A 3»A6>A 8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B（2）由题可知，数学核心素养一级的学生为:餌宀人昇昇討匕非一级的学生为余下4人 •••X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3.•••随机变量X 的分布列为:X123设平面DPC 的法向量q =（X,，必,zj设平面PCB 的法向量7?2 =（兀2，儿勺）， /. cos<n 15/i 2 >=耳|”212分P(AR)P(A)c ：+c ；1 - 4= 4_16 =P(X=0) =Cc ； 1c l C 22 ioC 2C l 1P (X=2) =卑二丄 C 2 c 3c',P(X=3) =于二5o q =(-巧,1,_舲)，P 1303101215••・EX=0x 箱+1X£+2X；+3><2=1.810分12分20.X2 2_〔解：(1)设直线AB:y=kx+m,代入7『=丄得:(l+2k2)x24-4kmx+2fm2-l)=0设A(Xi，y)B(X2，y2), 卄2=怦_”2=迥切则1 2 21C+1 1 2 2k z+l ;由A=16m2k2-8(H-2k2)fm2-l>0得：m2<l+2k2线段AB中点D(-一,一^―),因为0为AABC的重心,2k~+1 2k~+l所以^AB K)C =^AB K)D =" (一=~) = 一£ 为定值. ..........2k 2点差法求证相应给分.⑵设哄曲贝严如弘船沪（們2）=鉛X2 2 ,____代入玄+y "得l+2k2=4m2,又|AB|=pi+k2|x「X2|,d=原点°到AB的距离m1+k于是S AOAB T A BW制叫（鴿=迪$云21<2 n?=国呗気骞芽麺Ql+2k m诂百（3m计S _3S _3 典所以％ABC ®OAB于（定值）.……12分1 0 “2 ]21.解：(I ) /r(x) = 2ax——= ------------- (x > 0).X当a S0时,f （兀）〈0, /（兀）在（0,+oo）内单调递减.当d > 0时，由f f（x\二0有兀二f—.y]2a当XG (0, 时,/(%) <0, /(x)单调递减;当 XG (-=,+oo)时，f\x) >0, /(X )单调递增 \l2ci令 5(x)= e v_1 - x,则 5/(x)=e v_1 -1.当兀>1时，/(x)>0,所以£(兀)单调递增，又s(l) = 0, ・・.s(x)>0, 从而x> 1时，g(x)二丄一】T >0............................................................................. 7分x e(III) 由(II),当兀>1 时,g(x)>0.当 tz < 0 , x 〉l 时，-1)一lrtr <0.故当f(x) > g (兀)在区间(1,+8)内恒成立时，必有d 〉0 ........ .......................8分当 0 < a < —时，一.—> 1.2 y]2a[丄、V2^z >所以此时/(X )> g(x)在区间(1,+8)内不恒成立. 当时，令力(兀)二 /(x) - g(x) ( x> 1).当兀>1吋，//(x)=2处一丄+丄一』-"> 兀一丄+丄一丄二才-2x+l 〉f -2x+l 〉0X X X x~ X 因此，力(兀)在区间(1,+00)单调递增.又因为力(1)二0,所以当兀>1时，/z(x)= /(x)-g (兀)>0,即/(x)> ^(x)恒成立.r 1 、综上，a G —,+oc ...... ...................... 12 分1_222.解：(x —t(I )由|y=2t+6,得y=2x+6,10分X 2X 2(II) g(x) =>0,</(1) = 0,而g故直线1的普通方程为2x・y+6=0,r f1p=2A/2cos9>得p2=2A/2pcos0j所以/+y2=2V2x,即(x・Q)2+y2=2, 故曲线C的普通方程为(x-V2)2+y2=2. 5分(II)据题意设点M(x/2+^cos0^sine),则x+y=\d+Qcos8+Qsin8=\/^+2sin(8+署)所以x+y的取值范围是卜2+、22+Q]. ......................... 10分23.—2.X 4-1(X V — 1)解：([)当a=2 时，知/(x) = J 3 (-l<x<2),不等式f(x)>x+2 等价于2x-l (x> 2)[x<-\[-1 <x<2 fx> 2 _p.\ 或彳或Q 解得：兀vl或兀>3 [—2x 4-1〉x + 2 〔3 > 兀+2 — 1 > 兀 + 2故原不等式的解集为{兀|兀v 1或c > 3} ................... 5分(II) vf(x)=|x-a|+|x+l|>|(x-a)-(x+l)|=|a+l|,当(x-a)(x+l)<0时取等号.•••若关于x的不等式f(x)v2的解集不是空集，只需|a+l|<2,解得-3<a<l,即实数a的取值范围是<3,1). .................................. 1。