2021年九年级中考专题训练：全等三角形(含答案)
河北省廊坊市廊坊四中2021年九年级中考复习全等三角形综合(含知识点、练习题、答案、作业)
三角形综合讲义全等综合知识精讲一．全等三角形的断定方法：边角边定理()SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理()ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理()SSS：三边对应相等的两个三角形全等．角角边定理()AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理()HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二．全等三角形的应用：1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2．能通过断定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底．1.三．全等三角形辅助线的作法2.1．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如以下图〔AD是∆底边的中线)．ABC2．角平分线类辅助线作法有以下三种作辅助线的方式：〔1〕由角平分线上的一点向角的两边作垂线；〔2〕过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；〔3〕OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．3．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长〞，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短〞，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进展求解．三点剖析 一．考点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 二．重难点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 三．易错点：1．在使用断定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和断定定理要求的一样，对应顶点要对应．2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；3．辅助线不是随意都可以作的，比方“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度〞这种辅助线就不一定能作出来． 1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 例题讲解一：全等与三角形综合例1.1.1把两个全等的Rt ABC ∆和Rt EFG ∆〔其直角边长均为4〕叠放在一起〔如图①〕，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转〔旋转角α满足条件：090α︒<<︒〕，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠局部〔如图②〕〔1〕在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系，四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；〔2〕连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=X ，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的516？假设存在，求出此时x 的值；假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；〔2〕04x <<；〔3〕存在．【解析】〔1〕在上述旋转过程中，BH =CK ，四边形CHGK 的面积不变证明：连接CG 、KH ，ABC ∆为等腰直角三角形，()O G 为其斜边中点，CG BG ∴=，CG AB ⊥45ACG B ∴∠=∠=︒ BGH ∠与CGK ∠均为旋转角，BGH CGK ∴∠=∠在BGH ∆与CGK ∆中，B KCG BG CG BGH CGK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGH CGK ASA ∴∆∆≌ BH CK ∴=，BGH CGK S S ∆∆∴=111444222CHG CGK CHG BGH ABC CHGK S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==⨯⨯⨯=四边形〔2〕4AC BC ==，x BH =，4CH x ∴=-，CH x = 由GHK CHK CHGK S S S ∆∆=-四边形得()1442y x x =-- 21242y x x ∴=-+ 由090α︒<<︒，得到max 4BH BC == 04x ∴<<．〔3〕存在；根据题意，得215248216x x -+=⨯ 解这个方程，得11x =，23x =即当11x =或23x =时，GHK ∆的面积均等于ABC ∆的面积的516． 例1.1.2如图1所示，点E 、F 在线段AC 上，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ；DE ，BF 分别在线段AC 的两侧，且AE=CF ，AB=CD ，BD 与AC 相交于点G ． 〔1〕求证：EG=GF ；〔2〕假设点E 在F 的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．〔3〕假设点E 、F 分别在线段CA 的延长线与反向延长线上，其余条件不变，〔1〕中结论是否成立？〔要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由〕 【答案】〔1〕见解析〔2〕成立，见解析〔3〕成立 【解析】〔1〕∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°． ∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ． ∴AF=CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE 〔HL 〕， ∴BF=DE ．在△BFG 和△DEG 中BFG DEG BGF DGE BF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG ≌△DGE 〔AAS 〕． ∴EG=FG ．〔2〕〔1〕中结论仍然成立． 理由如下：∵AE=CF ， ∴AE ﹣EF=CF ﹣EF ． ∴AF=CE ．∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．〔3〕〔1〕中结论仍然成立．如下图：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中AB CD AF CE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．例1.1.3等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF 于G，交AC于H．〔1〕如图〔1〕，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB=90°，AE=1，F为AB的三等分点，且BF＜AF 时，求BE的长；〔2〕如图〔2〕，假设F为AB中点，连接FH，求证：BH+FH=CF；【答案】见解析【解析】〔1〕∵BH⊥CF，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE与△BCF中，90EAB FBCAB BABE BCFC︒∠=∠⎧∠=∠=⎪=⎨⎪⎩，∴△ABE∽△BCF，∴BF=AE=1，∵F为AB的三等分点，且BF＜AF，∴AB=3BF=3，∴〔2〕证明：过点A 作AD ⊥AB 交BH 的延长线于点D ． ∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BCF ，在△ABD 与△BCF 中，DAB FBC D CFBAB BC ∠=∠⎧⎪⎨⎪=∠=⎩∠，∴Rt △BAD ≌Rt △CBF ， ∴AD=BF ，BD=CF ． ∵F 为AB 的中点， ∴AF=BF ， ∴AD=AF ，在△ADH 与△AFH 中，45AD AF AH DAH HAF AH ︒∠=∠==⎧⎪⎨⎪=⎩，∴△AHD ≌△AHF ， ∴DH=FH ．∵BD=BH+DH=BH+FH ， ∴BH+FH=CF ；例：等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上，且60MON ∠=︒．〔1〕如图1，当CM CN =时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；〔2〕如图2，当CM CN ≠时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，〔1〕中的结论是否仍然成 立？假设成立，请你加以证明；假设不成立，请说明理由；【答案】〔1〕AM CN MN =+〔2〕AM CN MN =+〔3〕MN AM CN =+ 【解析】该题考察的是等边三角形的性质和全等三角形的性质和断定． 〔1〕如图1，在AM 上截取AN CN '=，连接ON '，OC ，OA ， ∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，ABC ∆是等边三角形， ∴OC OA =，O 也是等边三角形三个角的平分线交点， ∵在OCN ∆和OAN ∆'中 OCN OAN ∆∆'≌〔SAS 〕，∴60AON COM ∠'+∠=︒，即NOM N OM ∠=∠'， ∵在NOM ∆和'N OM ∆中∴'NOM N OM ∆∆≌〔SAS 〕，∴AM CN MN =+……2分〔2〕如图2，过点O 作OD AC ⊥，OE BC ⊥易得OD OE =，120DOE ∠=︒， 在边AC 上截取'DN NE =，连接'ON ， ∴'DON EON ∆∆≌， ……4分 易证'MON MON ∆∆≌……4分 课后作业1ABC ∆，90BAC ∠=︒，等腰直角BDE ∆，90BDE ∠=︒，BD=DE ，点D 在线段AC 上．〔1〕如图1，当30ACB ∠=︒，点E 在BC 上时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明；〔2〕如图2，当45ACB ∠=︒，点E 在BC 外时，连接EC\、BD 并延长交于点F ，设ED 与BC 交于点N ，图中是否存在与BN 相等的线段？假设存在，请加以证明．假设不存在，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：〔1〕2ED AD =．理由是：BDE ∆是等腰直角三角形 ∴45DBE DEB ∠=∠=︒ 又Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒ 604515ABD ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 同理60CEP ∠=︒，180180604515PED CEP DEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒PDE ABD ∴∠=∠ ∴在ABD ∆和PDE ∆中，90DPE A PDE ABD DE BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD PDE AAS ∴∆∆≌AD PE ∴= 又∵Rt PCE ∆中，30C ∠=︒，2CE PE ∴= 2CE AD ∴=． 〔2〕BN EF =，理由是：如图2，过E 作EG AC ⊥，交AC 的延长线于G在ABD ∆和GDE ∆中，90GDE ABD G A DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD GDB AAS ∴∆∆≌ AD GE ∴=，DG AB =AB AC =，AC DG ∴= AD DG GE ∴== CGE ∴∆是等腰直角三角形 45GCE ∴∠=︒F DNB ∴∠=∠ 在FDE ∆和NDB ∆中，F DNB FDE NDB DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是锐角，点D 为射线BC 上的一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．〔1〕假如AB=AC ，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时〔与点B 不重合〕，如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 ，线段CF 、BD 的数量关系为 ；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；〔2〕假如AB=AC ，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥〔点C 、F 不重合〕，并说明理由． 【答案】见解析．【解析】证明：〔1〕①正方形ADEF 中，AD=AF ，90BAC DAF ∠=∠=︒ BAD CAF ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌ CF BD ∴=，B ACF ∠=∠ 90ACB ACF ∴∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，90DAF ∠=︒ 90BAC ∠=︒ DAF BAC ∴∠=∠ DAB FAC ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌90BCF ACB ACF ∴∠=∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．〔2〕当45ACB ∠=︒时，CF BD ⊥〔如图〕．理由：过点A 作AG AC ⊥交CB 的延长线于点G ，那么90GAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，90AGC ACB ∠=︒-∠，904545AGC ∴∠=︒-︒=︒ 45ACB AGC ∴∠=∠=︒，AC AG ∴= DAG FAC ∠=∠〔同角的余角相等〕，AD=AF 即CF BC ⊥．3如图1，将两个完全一样的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒． 〔1〕操作发现如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是 ．〔2〕猜测论证当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜测〔1〕中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜测． 〔3〕拓展探究60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//ABA 交BC 于点E 〔如图4〕．假设在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出相应的BF 的长．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕①∵DEC ∆绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上，AC CD ∴= 90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACD ∴∆是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ 又60CDE BAC ∠=∠=︒ ACD CDE ∴∠=∠ //DE AC ∴．②30B ∠=︒，90C ∠=︒ 12CD AC AB ∴==BD AD AC ∴== 根据等边三角形的性质，ACD ∆的边AC 、AD 上的高相等 ∴BCD ∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕，即12S S =〔2〕如图，DEC ∆是由ABC ∆绕点C 旋转得到，BC CE ∴=，AC CD =在ACN ∆和DCM ∆中，90ACN DCM CMD N AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ACN DCM AAS ∴∆∆≌ AN DM ∴=BDC ∴∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕即12S S =；〔3〕如图，过点D 作DF 1//BE ，易求四边形BE DF 1是菱形，所以BE= DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时1DCF BDE S S ∆∆=；过点D 作2DF BD ⊥，60ABC ∠=︒，DF 1//BE ，2160F F D ABC ∴∠=∠=︒，∵B F 1=D F 1，11302F BD ABC ∠=∠=︒，290F DB ∠=︒，1260F DF ABC ∴∠=∠=︒ 12DF F ∴∆是等边三角形，12DF DF ∴=BD CD =，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，160302DBC DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒12CDF CDF ∴∠=∠ 在1CDF ∆和2CDF ∆中，1212DF DF CDF CDF CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()12CDF CDF SAS ∴∆∆≌∴点F 2也是所求的点，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，DE //AB 160302DBC BDE ABD ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒ 又4BD =故BF．。
2021年九年级中考真题《全等三角形》专题复习巩固
《全等三角形》单元复习巩固一．选择题1．（2019秋•宿松县校级期末）在如图所示的66⨯网格中，ABC ∆是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与ABC ∆有一条公共边且全等（不含)ABC ∆的所有格点三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个2．（2020春•宽城区期末）如图，ABC DEF ∆≅∆，7BC =，4EC =，则CF 的长为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．（2020春•平川区校级期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④)，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块4．（2020春•槐荫区期末）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB AC =，BO CO =，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下B ∠和C ∠是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是( )A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS5．（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8AC cm =，则AD DE +等于( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm6．（2020春•太仓市期末）如图，DEF ∆的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与DEF ∆全等（重合的除外）的三角形个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2020春•武侯区校级期中）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠=︒，4AC =，H 是ABC ∆的垂心，则线段BH 的长度为( )A ．3B ．4C ．5D ．68．（2019秋•青龙县期末）如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB ∠=︒，则BOD ∠的度数为( )A ．38︒B ．52︒C ．28︒D ．54︒二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是 度．10．（2020秋•海淀区校级月考）如图，ABC ADE ∆≅∆，且120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，CFD ∠= ︒．11．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则12∠+∠= ．12．（2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填番号）13．（2020春•沙坪坝区校级月考）一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边上面的中线a 的范围是 ．14．（2020春•汉寿县期中）如图，在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，若利用“HL ”证明Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，你添加的条件是 ．（不添加字母和辅助线）15．（2019秋•白云区期末）如图，已知AB CD =，BF EC =，只需再补充一个条件就能使ABE DCF ∆≅∆，则下列条件中，符合题意的分别有 （只填序号）． ①AE DF =；②//AE DF ；③//AB CD ；④A D ∠=∠．16．（2020春•蓬莱市期末）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，ABP∆和DCE ∆全等．三．解答题17．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，ABC ∆中，D 是BC 延长线上一点，满足CD AB =，过点C 作//CE AB 且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ．（1）求证：ABC DCE ∆≅∆；（2）若50B ∠=︒，22D ∠=︒，求AFG ∠的度数．18．（2019秋•宾县期末）如图，AE AD =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于O ．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，连接BC 、AO ，请直接写出图2中所有的全等三角形（除ABE ACD ∆≅∆外）．19．（2020春•岳麓区校级期末）如图，已知点A ，C ，D 在同一直线上，BC 与AF 交于点E ，AF AC =，AB DF =，AD BC =．（1）求证：ACE EAC ∠=∠；（2）若50B ∠=︒，110F ∠=︒，求BCD ∠的度数．20．（2019秋•黄石期末）如图：AE DE =，BE CE =，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB DC =．21．（2019秋•荔湾区期末）如图，在ABC ∆中，18AB AC cm ==，10BC cm =，2AD BD =．（1）如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？22．（2020•碑林区校级三模）如图，A 、C 、D 三点共线，ABC ∆和CDE ∆落在AD 的同侧，AC CE =，B BCE CDE ∠=∠=∠．求证：AB CD =．23．（2020•温州模拟）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BD =，A B ∠=∠，E F ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ∆≅∆；（2）若65BCF ∠=︒，求DM F ∠的度数．24．（2019秋•沈北新区期末）如图，AB CD ⊥于B ，CF 交AB 于E ，CE AD =，BE BD =．（1）求证：ABD CBE ∆≅∆；（2）求证：CF AD ⊥；（3）当30C ∠=︒，8CE =时，直接写出线段AE 、CF 的长度．25．（2019秋•恩阳区期末）如图，//AB CD ，AE DC =，AB DE =，EF BC ⊥于点F ． 求证：（1）AEB DCE ∆≅∆；（2）EF 平分BEC ∠．一．选择题1．（2019秋•宿松县校级期末）在如图所示的66⨯网格中，ABC ∆是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与ABC ∆有一条公共边且全等（不含)ABC ∆的所有格点三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个【解答】解：如图所示：一共有7个符合题意的点．故选：D ．2．（2020春•宽城区期末）如图，ABC DEF ∆≅∆，7BC =，4EC =，则CF 的长为( )A ．2B ．3C ．5D ．7【解答】解：ABC DEF ∆≅∆，7EF BC ∴==，4EC =，3CF ∴=，故选：B ．3．（2020春•平川区校级期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④)，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：B ．4．（2020春•槐荫区期末）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB AC =，BO CO =，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下B ∠和C ∠是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是( )A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS【解答】解：在ABO ∆和ACO ∆中，AB AC BO CO AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABO ACO SSS ∴∆≅∆，B C ∴∠=∠，故选：D ．5．（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8AC cm =，则AD DE +等于( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 【解答】解：DE AB ⊥，90DEB ∴∠=︒，在Rt BCD ∆和Rt BED ∆中，BD BD BE BC =⎧⎨=⎩， Rt BCD Rt BED(HL)∴∆≅∆，CD DE ∴=，AD DE AD CD AC ∴+=+=，8AC cm =，8AD DE AC cm ∴+==．故选：C ．6．（2020春•太仓市期末）如图，DEF ∆的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与DEF ∆全等（重合的除外）的三角形个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如图所示可作3个全等的三角形．故选：C ．7．（2020春•武侯区校级期中）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠=︒，4AC =，H 是ABC ∆的垂心，则线段BH 的长度为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：AD BC ⊥，90BDH ADC ∴∠=∠=︒，45ABC ∠=︒，45BAD ABC ∴∠=∠=︒，AD BD ∴=，BE AC ⊥，90BEC ∴∠=︒，90CAD C ∴∠+∠=︒，90DBH C ∠+∠=︒，DBH CAD ∴∠=∠，在BDH ∆和ADC ∆中，BDH ADC ∠=∠，BD AD =，DBH CAD ∠=∠，()BDH ADC ASA ∴∆≅∆，AC BH ∴=，4AC =，4BH ∴=．故选：B ．8．（2019秋•青龙县期末）如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB ∠=︒，则BOD ∠的度数为( )A ．38︒B ．52︒C ．28︒D ．54︒【解答】解：由作图可知，OD OE OF ==，EF DE =，()ODE OFE SSS ∴∆≅∆，26EOD EOF ∴∠=∠=︒，252BOD AOB ∴∠=∠=︒，故选：B ．二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是 20 度．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，1(10060)202BAD CAE ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， B D ∠=∠，BGA DGF ∠=∠，20DFB BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：20．10．（2020秋•海淀区校级月考）如图，ABC ADE ∆≅∆，且120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，CFD ∠= 95 ︒．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，EAD CAB ∴∠=∠，120EAB ∠=︒，10CAD ∠=︒，55EAD CAB ∴∠=∠=︒，10553095CFD FAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒+︒=︒，故答案为：95．11．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则12∠+∠= 45︒ ．【解答】解：如图所示：由题意可得：13∠=∠，则122345∠+∠=∠+∠=︒．故答案为：45︒．12．（2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ②③ ．（填番号）【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，故答案为：②③．13．（2020春•沙坪坝区校级月考）一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边上面的中线a 的范围是 13a << ．【解答】解：如图，延长中线AD 到E ，使DE AD =，AD 是三角形的中线，在ACD ∆和EBD ∆中，BD CD ADC BDE DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD EBD SAS ∴∆≅∆，AC BE ∴=，三角形两边长为2，4，第三边上的中线为a ，42242a ∴-<<+，即226a <<，13a ∴<<．故答案为：13a <<．14．（2020春•汉寿县期中）如图，在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，若利用“HL ”证明Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，你添加的条件是AB DC =（答案不唯一） ．（不添加字母和辅助线）【解答】解：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，使Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，添加的条件是：AB DC =．故答案为：AB DC =（答案不唯一）15．（2019秋•白云区期末）如图，已知AB CD =，BF EC =，只需再补充一个条件就能使ABE DCF ∆≅∆，则下列条件中，符合题意的分别有 ①③ （只填序号）． ①AE DF =；②//AE DF ；③//AB CD ；④A D ∠=∠．【解答】解：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，①在ABE ∆和DCF ∆中BE CF AB DC AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABE DCF SSS ∴∆≅∆，故①正确；②//AE DF ，AEB DFC ∴∠=∠，根据AB CD =，BE CF =和AEB DFC ∠=∠不能推出ABE DCF ∆≅∆，故②错误； ③//AB CD ，B C ∴∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中AB DC B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，故③正确；④根据AB CD =，BE CF =和A D ∠=∠不能推出ABE DCF ∆≅∆，故④错误；故答案为：①③．16．（2020春•蓬莱市期末）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为1 或 7 秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．【解答】解：因为AB CD =，若90ABP DCE ∠=∠=︒，2BP CE ==，根据SAS 证得ABP DCE ∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为 1 或 7 秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故答案为： 1 或 7 ．三．解答题17．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，ABC ∆中，D 是BC 延长线上一点，满足CD AB =，过点C 作//CE AB 且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ．（1）求证：ABC DCE ∆≅∆；（2）若50B ∠=︒，22D ∠=︒，求AFG ∠的度数．【解答】（1）证明：//CE AB ，B DCE ∴∠=∠，在ABC ∆与DCE ∆中，BC CE ABC DCE BA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DCE SAS ∴∆≅∆；（2）解：ABC DCE ∆≅∆，50B ∠=︒，22D ∠=︒，50ECD B ∴∠=∠=︒，22A D ∠=∠=︒，//CE AB ，22ACE A ∴∠=∠=︒，1801802250108CED D ECD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1082286AFG DFC CED ACE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒．18．（2019秋•宾县期末）如图，AE AD =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于O ．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，连接BC 、AO ，请直接写出图2中所有的全等三角形（除ABE ACD ∆≅∆外）．【解答】（1）证明：在ABE ∆和ACD ∆中ABE ACDA A AE AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ACD ∴∆≅∆()AAS ，AB AC ∴=；（2）解：AD AE =，BD CE ∴=，而ABE ACD ∆≅∆，CD BE ∴=，BD CE =，CD BE =，BC CB =，()BDC CEB SSS ∴∆≅∆；BCD EBC ∴∠=∠，OB OC ∴=，OD OE ∴=，而BOD COE ∠=∠，()DOB EOC SAS ∴∆≅∆；AB AC =，ABO ACO ∠=∠，BO CO =，()AOB AOC SAS ∴∆≅∆；AD AE =，OD OE =，AO AO =，()ADO AEO SSS ∴∆≅∆．19．（2020春•岳麓区校级期末）如图，已知点A ，C ，D 在同一直线上，BC 与AF 交于点E ，AF AC =，AB DF =，AD BC =．（1）求证：ACE EAC ∠=∠；（2）若50B ∠=︒，110F ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解答】（1）证明：在ABC ∆和FDA ∆中，AB FD =，AC FA =，BC DA =，()ABC FDA SSS ∴∆≅∆，ACE EAC ∴∠=∠．（2）解ABC FDA ∆≅∆，110F ∠=︒，110BAC F ∴∠=∠=︒，又BCD ∠是ABC ∆的外角，50B ∠=︒，160BCD B BAC ∴∠=∠+∠=︒．20．（2019秋•黄石期末）如图：AE DE =，BE CE =，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB DC =．【解答】证明：在ABE ∆与DCE ∆中，AE DE AEB CED BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCE SAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=．21．（2019秋•荔湾区期末）如图，在ABC ∆中，18AB AC cm ==，10BC cm =，2AD BD =．（1）如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①BPD ∆与CQP ∆全等，理由如下：18AB AC cm ==，2AD BD =，12AD cm ∴=，6BD cm =，B C ∠=∠，经过2s 后，4BP cm =，4CQ cm =，BP CQ ∴=，6CP cm BD ==，在BPD ∆和CQP ∆中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴∆≅∆， ②点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，BP CQ ∴≠，BPD ∆与CQP ∆全等，B C ∠=∠， 152BP PC BC cm ∴===，6BD CQ cm ==， 52t ∴=， ∴点Q 的运动速度612/552cm s ==， ∴当点Q 的运动速度为12/5cm s 时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：122365x x -=， 解得：90x =，18181090()321()2s ++∴-⨯=， ∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．22．（2020•碑林区校级三模）如图，A 、C 、D 三点共线，ABC ∆和CDE ∆落在AD 的同侧，AC CE =，B BCE CDE ∠=∠=∠．求证：AB CD =．【解答】证明：BCD A B BCE DCE ∠=∠+∠=∠+∠，B BCE ∠=∠， A ECD ∴∠=∠，在ABC ∆和CDE ∆中，A ECDB CDE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDE AAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=．23．（2020•温州模拟）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BD =，A B ∠=∠，E F ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ∆≅∆；（2）若65BCF ∠=︒，求DM F ∠的度数．【解答】证明：如图所示：（1）AD AC CD =+，BC BD CD =+，AC BD =， AD BC ∴=，在AED ∆和BFC ∆中，A B AD BC E F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AED BFC AAS ∴∆≅∆，（2）AED BFC ∆≅∆，ADE BCF ∴∠=∠，又65BCF ∠=︒，65ADE ∴∠=︒，又ADE BCF DMF ∠+∠=∠652130DMF ∴∠=︒⨯=︒．24．（2019秋•沈北新区期末）如图，AB CD ⊥于B ，CF 交AB 于E ，CE AD =，BE BD =．（1）求证：ABD CBE ∆≅∆；（2）求证：CF AD ⊥；（3）当30C ∠=︒，8CE =时，直接写出线段AE 、CF 的长度．【解答】证明：（1）AB CD ⊥于B ， 90CBE ABD ∴∠=∠=︒，在Rt CBE ∆和Rt ABD ∆中CE AD BE BD =⎧⎨=⎩， Rt CBE Rt ABD ∴∆≅∆()HL ， （2）ABD CBE ∆≅∆，C A ∴∠=∠，AEF CEB ∠=∠，90CBE AFE ∴∠=∠=︒，CF AD ∴⊥；（3）30C ∠=︒，8CE =， 142BE CE ∴==，343BC CE ==， ABD CBE ∆≅∆，434AB BC BD BE ∴====， 434AE ∴=-，434CD =+， 3623CF CD ∴==+． 25．（2019秋•恩阳区期末）如图，//AB CD ，AE DC =，AB DE =，EF BC ⊥于点F ． 求证：（1）AEB DCE ∆≅∆；（2）EF 平分BEC ∠．【解答】证明：（1）//AB CD，A D∴∠=∠，在AEB∆和DCE∆中，AB DEA D AE DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEB DCE SAS∴∆≅∆；（2）AEB DCE∆≅∆，BE CE∴=，EF BC⊥，EF∴平分BEC∠．。
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(五)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（五）1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的数量关系是；（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC ＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．2．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是边AB、BC所在直线上的动点，若点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，直线AE、CD交于点O．（1）如图1，求证：△ABE≌△CAD；（2）在点D、点E运动过程中，∠COE＝°；（3）如图2，点P为边AC中点，连接BO，PO，当点D、E分别在线段AB、BC上运动时，判断BO与PO的数量关系，并证明你的结论．3．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．4．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝40°，则∠ACE＝，∠DCE＝，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．5．在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P 的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．8．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．9．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．10．如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（﹣，0），点M（m，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．（1）当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；（2）如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND∥AC交x轴于点D，连接MN，若S＝S△MND，试求D点的坐标；四边形ACDN（3）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，故答案为：△AEC，BD＝CE；（2）BD＝CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，所以BD⊥CE，综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；因为△ABD和△ACE是等边三角形，所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，所以∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，所以△ACD≌△AEB（SAS），所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝60°，所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．2．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°，∵点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，∴BE＝AD，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵△ABE≌△CAD，∴∠BAE＝∠ACD，∵∠COE是△ACO的外角，∴∠COE＝∠ACD+∠EAC＝∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，故答案为60；（3）解：BO与PO的数量关系为BO＝2PO，理由如下：延长OP到F，使PF＝OP，连接CF，以OC为边作等边△COG，连接BG，如图2所示：∵∠COE＝60°，∴O、E、G三点共线，∵点P为边AC中点，∴AP＝CP，在△APO和△CPF中，，∴△APO≌△CPF（SAS），∴AO＝CF，∠AOP＝∠F，∴CF∥AO，∴∠FCO＝∠COE＝60°，∵△COG是等边三角形，∴CO＝OG＝CG，∠COG＝∠GCO＝∠CGO＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∵∠ACB＝∠OCG＝60°，∴∠ACO＝∠BCG，在△ACO和△BCG中，，∴△ACO≌△BCG（SAS），∴∠BGC＝∠AOC＝120°，AO＝BG，∴CF＝BG，∠BGO＝∠BGC﹣∠CGO＝120°﹣60°＝60°，∴∠FCO＝∠BGO，在△FCO和△BGO中，，∴△FCO≌△BGO（SAS），∴BO＝OF，∵PF＝OP，∴BO＝2PO．3．（1）解：补全图形，如图1所示：（2）①解：如图2，连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；②证明：连接DE，DF．如图3所示：∵△ABC，△ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°．∵AE⊥CD，∴∠CAE＝∠CAD＝30°．∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°．∴∠CAE＝∠CEA．∴CA＝CE．∴CD垂直平分AE．∴DA＝DE．∴∠DAE＝∠DEA，∵EF⊥AF，∠EAF＝45°，∴∠FEA＝45°．∴∠FEA＝∠EAF．∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED，在△FAD和△FED中，，∴△FAD≌△FED（SAS）．∴∠AFD＝∠EFD．∴点D到AF，EF的距离相等．4．解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，BD＝CE，∴BC+DC＝CE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝40°，∴∠DCE＝40°，故答案为：70°；40°；BC+DC＝CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°；（3）∠ACB＝60°，理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α＝β，即∠BAC＝∠DCE，∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°；∵当D在线段BC上时，α+β＝180°，即∠BAC+∠DCE＝180°，∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE＝180°，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，综上所述，当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．5．（1）①证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠BAD＝∠CAD．②解：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴∠C＞∠B（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD＞∠CAD．故答案为：∠C＞∠B，＞；（2）①证明：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图1所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＝AC，∴EC＝AC，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD＝∠CAD；②解：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图3所示：同①得：△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＞AC，∴EC＞AC，∴∠CAD＞∠E，∴∠BAD＜∠CAD，故答案为：＜．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t ×4t﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝30°，∴∠ACB'＝120°，∵∠ACB＝40°，∴∠BCB'＝80°，∴∠BCD＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；（2）若点D在点C下方时，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°，若点D在点C上方时，同理可求∠2＝110°；（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝60°，又∵CD＝DH，∴△CDH是等边三角形，∴CH＝CD，∵∠BCA＝∠HCD＝60°，∴∠BCH＝∠ACD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（SAS），∴AD＝BH，∴BD＝BH+DH＝AD+CD．8．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．9．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，延长CP，交AD延长线于点H，则AH∥BC，∴△BCP∽△DHP，∴＝＝，∵P是BD的中点，∴PD＝PB，∴DH＝BC＝4，PH＝PC，∵AD＝AE＝2，∴AH＝DH+AD＝6，∴CH＝＝＝2，∴PC＝CH＝．10．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，∴AM＝AN，∠MAN＝60°＝∠BAC，即∠CAN+∠BAN＝∠MAB+∠BAN，∴∠CAN＝∠MAB，∴△BAM≌△CAN（SAS）；（2）如图1，连接CN，由（1）可知△BAM≌△CAN，∴∠B＝∠ACN＝60°，∵DN∥AC，∴∠NDC＝∠ACB＝60°，∴∠NCD＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴CN＝DN，∠CND＝60°，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AN＝MN，∠ANM＝60°，∴∠ANC＝∠MND，∴△ANC≌△MND（SAS），∴S△ACN＝S△MND，∵S四边形ACDN＝S△MND＝S△ACN+S△CDN，∴，∴CD＝AB，∵A（0，3），B（﹣，0），∴OA＝3，OB＝，∴AB＝＝2，∴CD＝，∴OD＝OC+CD＝＝，∴D（，0）；（3）如图2，过点C作CE∥AB交y轴于点E，由（1），（2）可知点N在直线CE 上，CE与抛物线交于点N1，N2，∴∠ABC＝∠OCE＝60°，OC＝OB＝，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣3，∴，解得：，，∴N1（2，3），N2（﹣，﹣），若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN1时，M（m，0），∴AM＝AN1＝2，∵AB＝2，AN1∥x轴，∴点M与点C重合，即m＝，若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN2时，M（m，0），∵C（0，），∴CN 2＝＝3，由（1）可知BM 2＝CN2＝3，∴OM2＝OB+BM2＝＝4，∴m＝﹣4．综合以上可得，m＝或﹣4．。
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(一)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（一）1．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．2．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC 边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．3．（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC的延长线上，连接CE．请判断：①∠ACE的度数为．②线段BC，CD，CE之间的数量关系是．（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．4．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．5．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC ＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连结CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．6．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E 在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）判断△ACE的形状并加以证明．（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝3，求DE的长．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC 的形状，并说明理由．9．如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN 的最小值．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．（1）判断△CBE的形状，并说明理由；（2）求证：AE＝DC；（3）填空：①若AE，CD相交于点F，则∠AFD的度数为．②在射线AB上有一动点P，若△PBC为等腰三角形，则∠ACP的度数为．参考答案1．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．2．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．3．（1）问题发现：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）类比探究：①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，故答案为：BC+CD＝CE；（3）问题解决：解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，，∴，又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，，则线段DE的长是．4．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t．②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．5．（1）证明：在BM上取一点E，使AE＝AD．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝120°，∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°．（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，如图2，∵∠ABC＝∠ADB＝30°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，∴∠BAC＝∠EAD＝120°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°．②会变．如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理可得：△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠E＝30°，∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．（3）如图，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，作CH⊥BM，如图4，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴，∴，∴如图5，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，，∴．6．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE即∠CBE＝∠ABD，∵∠ACB＝∠BED＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．故答案为：1，90°．（2），∠EAD＝90°．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan60°＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝＝tan60°＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．∴线段AD的长为（2+6）．7．（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°．∵∠BDC＝60°，∴∠EDB＝30°．∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，∴∠DBE＝90°．∴EB＝DE．∵△ACD≌△ECB，AD＝3，∴EB＝AD＝3．∴DE＝2EB＝6．8．（1）解：∠ADE＝45°．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADE＝45°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝45°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°．（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：∵∠BCA＝∠ACE＝45°，∴∠GCH＝90°，又∵AH⊥BC，AG⊥CE，∴AG＝AH，∵∠ACG＝∠AGC＝45°，∴AG＝CG，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HCA＝∠HAC＝45°，∴AH＝HC，∴CH＝CG，∴△CGH为等腰直角三角形．9．解：（1）如图1所示：（2）ME＝BN．证明：延长AM交BC于点F，如图．∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．∵AE⊥AB，∴∠MAE+∠BAM＝90°．∴∠MAE+∠CAM＝90°∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAE＝∠C．又∵AM＝CN，AE＝BC，∴△AME≌△CNB（SAS）．∴ME＝BN．（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，∵AB＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝＝＝．∴BM+BN的最小值是．10．解：（1）△CBE是等边三角形．理由如下：∵点E在BC垂直平分线上，∴EC＝EB，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形．（2）∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，由（1）可知：△CBE是等边三角形，∴EB＝CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC；（3）①设AB与CD交于点G，∴∠EAB＝∠CDB，又∵∠AGC＝∠BGD，∴∠AFD＝∠ABD＝60°．故答案为：60°．②∵△BCP为等腰三角形，当BC＝BP时，如图2，∠ABC＝∠BCP+∠BPC＝30°，∴∠BCP＝15°，∴∠ACP＝90°+15°＝105°；当PC＝PB时，如图3，∴∠PCB＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°；当BP＝BC时，如图4，∵∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠CPB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACP＝90°﹣75°＝15°．综合上述可得∠ACP的度数为15°或60°或105°．故答案为：15°或60°或105°．。
2021年中考数学专题复习：全等三角形(二)
2021年中考数学专题复习：全等三角形（二）1．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E和点F是AC上的两点，AB＝BF，连接ED 交BF于点H．（1）如图1，连接BE，若∠BEC＝90°，BC＝10，CE＝6，求AB的长；（2）如图2，G为ED延长线上一点，且BD＝BG，∠ABF＝∠CBG，求证：AE＝EF．2．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P 和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．5．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．6．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．7．已知，如图△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F．求证：（1）BF＝AC；（2）CE＝BF．8．在平面直角坐标系中，A（7，0），B（0，7）．（1）如图1，P是AB上一点且＝，求P点坐标；（2）如图2，D为OA上一点，AC∥OB且∠CBO＝∠DCB，求∠CBD的度数；（3）如图3，E为OA上一点，OF⊥BE于F，若∠EOF＝∠ABE，求的值9．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BCF＝65°，求∠DMF的度数．10．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．11．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B′点，AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C＝130°，求∠AEB的度数．12．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．13．请将下面的说理过程和理由补充完整．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AB∥DE，AB＝DE，说明AC＝DF．解：∵BE＝CF，（已知）∴BE+EC＝CF+ ．（等式的性质）即BC＝．∵AB∥DE，（已知）．∴∠B＝．（）又∵AB＝DE，（已知）∴△ABC≌△DEF．（）∴AC＝DF．（）14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：∠ABE＝∠ACE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：EF＝EG．15．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．参考答案1．解：（1）如图1，连接AD，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC∵∠BEC＝90°，BC＝10，CE＝6，∴BE＝＝＝8设AB＝x，则AE＝x﹣6∵AE2+BE2＝AB2，即（x﹣6）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝，（2）证明：如图2，连接BE，∵BD＝BG∴∠BDG＝∠BGD∵AB＝BF，∴∠A＝∠AFB∵∠ABF＝∠CBG，∴∠BDG＝∠A∴∠EDC＝∠BDG＝∠A∵∠A+∠ABC+∠C＝∠EDC+∠CED+∠C＝180°∴∠CED＝∠ABC∵AB＝AC∴∠C＝∠ABC∴∠C＝∠CED∴DE＝DC∵点D是BC的中点，∴BD＝DC∴DE＝DC＝BD∴∠BED＝∠EBD∵∠BED+∠EBD+∠C+∠CED＝180°，即2∠BED+2∠CED＝180°∴∠BED+∠CED＝90°∴BE⊥AF∵BA＝BF∴AE＝EF2．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．3．解：∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，，CP＝12﹣2t，CQ＝16﹣6t，∴12﹣2t＝16﹣6t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝12﹣2t＝6t﹣16，∴t＝3.5；③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：16÷6×2＜12，Q到AC上时，P点也在AC上；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CP＝CQ＝AC＝12．CP＝12﹣2t，∴2t﹣12＝12，∴t＝12符合题意；答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等．4．证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，∴△AEO≌△AFO（SAS），∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC＝∠ACB+∠BAC＝（∠ACB+∠BAC）＝（180°﹣∠B）＝60°则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC与△DOC中，，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝FC，∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．5．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE ＝S△CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．6．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD；7．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC；（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE＝CE，即CE＝AC，∵由（1）知AC＝BF，∴CE＝BF．8．解：（1）作PG⊥x轴于G，PN⊥y轴于N，∵A（7，0），B（0，7），∴OA＝7，OB＝7，∵PG⊥x轴，∴PG∥OB，∴△AGP∽△AOB，∴＝，即＝，解得，PG＝3，同理，PN＝4，∴P点坐标为（4，3）；（2）作BG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥CD于H，∴四边形BOAG为矩形，∴BO＝BG，∵OA＝OB，∴矩形BOAG为正方形，∵AC∥OB，∴∠CBO＝∠BCG，∵∠CBO＝∠DCB，∴∠BCG＝∠DCB，在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（AAS），∴∠CBH＝∠CBG，BG＝BH，∴BO＝BH，在Rt△BOD和Rt△BHD中，，∴Rt△BOD≌Rt△BHD（HL），∴∠BOD＝∠HOD，∴∠CBD＝∠DBH+∠CBH＝∠OBG＝45°；（3）∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠BEO＝∠BAE+∠ABE＝45°+∠EOF，∵OF⊥BE，∴∠BEO+∠EOF＝90°，∴∠BEO＝67.5°，∠EOF＝22.5°，则∠OBE＝22.5°，作∠BOP＝∠OBE＝22.5°，则PB＝PO，∠OPF＝45°，设OF＝a，则PF＝OF＝a，由勾股定理得，OP＝a，∴PB＝a，∴BF＝a+a，∵∠BOP＝∠OBE，∠OFB＝∠EFO＝90°，∴△OFB∽△EFO，∴EF＝＝a﹣a，∴＝＝2．9．证明：如图所示：（1）∵AD＝AC+CD，BC＝BD+CD，AC＝BD，∴AD＝BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（AAS），（2）∵△AED≌△BFC，∴∠ADE＝∠BCF，又∵∠BCF＝65°，∴∠ADE＝65°，又∵∠ADE+∠BCF＝∠DMF∴∠DMF＝65°×2＝130°．10．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．11．解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，（2）∵折叠，∴△ABE≌△AB′E，∴∠AEB′＝∠AEB，即∠AEB＝∠BEB′，∵B′E∥DC，∴∠BEB′＝∠C＝130°，∴∠AEB＝∠BEB′＝65°．12．证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（SAS）；（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD＝CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．13．解：∵BE＝CF，（已知）∴BE+EC＝CF+EC（等式的性质）即BC＝EF．∵AB∥DE，（已知）∴∠B＝∠DEF．（两直线平行，同位角相等）又∵AB＝DE，（已知）∴△ABC≌△DEF（SAS）∴AC＝DF．（全等三角形对应边相等）故答案为：EC；EF；∠DEF；两直线平行，同位角相等；SAS；全等三角形对应边相等．14．解：（1）证明：∵点D是BC的中点，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴∠ABE＝∠ACE；（2）如图，由（1）知，△ABE≌△ACE，∴BE＝CE，∠ABE＝∠ACE，在△BEG和△CEF中，，∴△BEG≌△CEF（ASA），∴EG＝EF．15．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（AAS），∵AC＝BC，∴BC＝AC＝FC＝AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABE＝90°；（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．。
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(二)
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定（二）1．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．2．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过A作AC的垂线交∠BCA的角分线于点D．CD交AB于点F．（1）求证：∠ADF＝∠AFD；（2）如图2，DE⊥AF，若AC+BC＝16，DE＝4，求BC的长．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．7．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．8．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．9．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．10．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC ＝∠BAD ＝90°，得S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S ABC +S ABE ＝S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG ＝FN ＝HM ＝GH +MN ＝2cm ，∠G ＝∠N ＝90°，求五边形FGHMN 的面积．参考答案1．证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠COE ＝∠DOE ，∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质），且∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD，又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，在△BAD和△CDE中．，∴△BAD≌△CDE（AAS）∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．3．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCF，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝∠B＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠D＝∠CFB，∴∠ADF＝∠CFB＝∠AFD；（2）如图，过点D作DH⊥BC，交CB的延长线于H，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∵∠ABC＝∠H＝90°，DE⊥AB，∠ABH＝90°，∴AB∥DH，DE∥BH，∴DE＝BH＝4，∵AC+BC＝16，∴CH+BC＝BH+BC+BC＝4+2BC＝16，∴BC＝6．4．证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，∠BEF＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BFE+∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠BFE，即∠ADE＝∠BFE，在△AED和△BEF中，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF．5．解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°；（2）AD平分∠BDE，理由是：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，DE＝4，∴DF＝4，∵AC＝16，∴△ADC的面积是＝＝32．7．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．8．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°，∴∠F＝∠ACB＝40°．9．证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．10．解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：＝2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，。
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2021中考专题训练：全等三角形一、选择题1. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件()A．∠B＝∠D B．∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠42. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是()A．AC＝AD B．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD4. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-26. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为()A．1 B．2 C．3 D．47. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.10. 如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是__________(填一个即可)．11. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．13. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF 上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题17. 如图所示，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等吗?为什么?18. 如图，AC∥BE，点D在BC上，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE.求证：DC＝BE－AC.19. 如图，AD 、BC相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°.(1)求证：△ACB ≌△BDA ； (2)若∠ABC ＝35°，则∠CAO ＝________°.20. 在四边形ABCD 中，AB ＝AD .(1)如图①，若∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD .请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________．(2)如图②，若∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图③，若∠B ＋∠ADC ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，请直接写出EF ，BE ，FD 三者的数量关系．21. 如图①，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB=CD ，作EC ⊥AD 于点C ，FB⊥AD 于点B ，且AE=DF . (1)求证:EF 平分线段BC ;(2)若将△BFD 沿AD 方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.22. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC . (1)求证：△ABE ≌△CBE ；(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积；(3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．2021中考专题训练：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] 还需添加条件∠1＝∠2.理由：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)．2. 【答案】D[解析] 由条件可知∠ADB ＝∠EDB ＝∠EDC ＝60°，且∠DEB ＝∠DEC ＝90°，∴∠C ＝30°.3. 【答案】A4. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.5. 【答案】A[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵点D的坐标是(0，-3)，∴OD=3.∵AD是△OAB的角平分线，∴ED=OD=3，即点D到AB的距离是3.6. 【答案】C[解析] 如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，PW⊥BC于点W，PR⊥AB 于点R.∵△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR.∴PR＝PQ.∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝3.∴PR＝3，则点P到AB的距离为3.7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF 平分∠BAC ，FZ ⊥AE ，FW ⊥AB ， ∴FZ ＝FW.同理FW ＝FY . ∴FZ ＝FY .又∵FZ ⊥AE ，FY ⊥CB ， ∴∠FCZ ＝∠FCY .由∠AFB ＝40°，易得∠ACB ＝80°. ∴∠ZCY ＝100°.∴∠BCF ＝50°.二、填空题 9. 【答案】120° 【解析】由于△ABC ≌△A′B′C′，∴∠C ＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B ＝180°－24°－36°＝120°.10. 【答案】答案不唯一，如AB ＝AC11. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．12. 【答案】AB ＝AC13. 【答案】2014. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.16. 【答案】32° [解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC.∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题17. 【答案】解:相等.理由:设AD ，BC 相交于点O.∵∠CAD=∠CBD ，∠COA=∠DOB ， ∴由三角形内角和定理，得∠C=∠D. 由已知得∠CAB=∠DBA=90°. 在△CAB 和△DBA 中，∴△CAB ≌△DBA. ∴CA=DB.∴海岛C ，D 到观测点A ，B 所在海岸线的距离相等.18. 【答案】证明：∵AC ∥BE ，∴∠C ＝∠DBE ，∠A ＋∠ABE ＝180°. ∵∠BDE ＋∠CDE ＝180°，∠ABE ＝∠CDE ， ∴∠A ＝∠BDE.在△ABC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠DBE ，∠A ＝∠BDE ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEB(AAS)． ∴AC ＝DB ，BC ＝EB. 又∵DC ＝BC －BD ， ∴DC ＝BE －AC.19. 【答案】(1)证明：在Rt △ACB 和Rt △BDA 中， ⎩⎨⎧BC ＝AD AB ＝BA ，(3分) ∴Rt △ACB ≌△Rt △BDA(HL )． (2)20.(6分)【解法提示】∵∠ABC ＝35°，∴∠CAB ＝90°－35°＝55°，由(1)知∠DAB ＝∠ABC ＝35°，∴∠CAO ＝∠CAB －∠DAB ＝20°.20. 【答案】解：(1)EF ＝BE ＋FD(2)(1)中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．证明：如图，延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D.在△ABG 与△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠D ，BG ＝DF ，∴△ABG ≌△ADF(SAS)． ∴AG ＝AF ，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF. 又∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠1＋∠3＝12∠BAD ＝∠EAF ， 即∠EAG ＝∠EAF.在△AEG 和△AEF 中，⎩⎨⎧AG ＝AF ，∠EAG ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF. ∵EG ＝BE ＋BG ，∴EF ＝BE ＋FD. (3)EF ＝BE －FD.21. 【答案】解:(1)证明:∵EC⊥AD，FB⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB.在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.(2)EF平分线段BC仍成立.理由:∵EC⊥AD，FB⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB.在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25，∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ， 即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP ，∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ， 即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ， ∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP ＝535， ∴BP ＝15.。