随机过程布朗运动共45页
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布朗运动及随机分析
显然 P(B(t) ≥ a|Ta > t) = 0, 由 BM 的对称性可得
P(B(t) ≥ a|Ta ≤ t) = P(B(t) < a|Ta ≤ t) = 1/2
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定理：设 B(t) 是标准 BM，任给定 n 个时刻 0 < t1 < t2 · · · tn,，若用
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) 记 (B(t1), B(t2), · · · , B(tn)) 的联合分布密度，则
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) = pt1(x1)pt2−t1(x2 − x1) · · · ptn−tn−1(xn − xn−1)
因为 Bx(t) = B(t) + x, 有
P{max Bx(s) ≥ 0} = P(max{B(s) + x ≥ 0}) = P(max{B(s)} ≥ −x)
0≤s≤t
0≤s≤t
0≤s≤t
= 2P(B(t) ≥ −x)
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仍然是标准 BM.
定义：(B1(t), · · · , Bn(t)) 被称作标准的 n 维 BM，如果 B1(t), · · · , Bn(t)
都是独立的标准一维 BM(σ2 = 1).
BM 的性质
性质 1：BM 的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的 任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上 都不是单调的，但是
布朗运动课件课件
3、温度越高，越剧烈。微粒越小，越剧烈。
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
2019SUCCESS
THANK YOU
2019/5/24
9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
金
固体的扩散
分子是运动的
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三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
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9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
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固体的扩散
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布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
随机过程(十四)-布朗运动
如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2
布朗运动
介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上 位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始 观察的时刻无关
由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点 在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的 位移也是独立的
二. 布朗运动的定义
（Brown motion）ＢＭ
称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程,如果 (1) W (0) x R
W t1,L ,W tn 的联合密度函数为
f x1, x2,L , xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)L ftn tn1 (xn xn1)
其中
ft x
1
x2
e 2t
2 t
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度
(2) 由(1)易知有
mW (t) 0, DW (t) 2t, t 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s,t) E[W (s)W (t)] E[(W (s) W (0))(W (t) W (s) W (s))]
独立性 E[(W (s) W (0))(W (t) W (s))] E[W (s)]2 0 E[W (s)]2 D[W (s)] (E[W (s)])2
其中
X (t) x( X1 L X[t t] )
1, 如果步长为△x的第i步向右 Xi 1, 如果步长为△x的第i步向左
且Xi相互独立。
P{ X i
1}
P{X i
1}
1 2
因为
EXi 0,Var( Xi ) 1
所以 E[ X (t)] 0,Var( X (t)) (x)2[t t]
三 Brown运动的数字特征
由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点 在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的 位移也是独立的
二. 布朗运动的定义
（Brown motion）ＢＭ
称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程,如果 (1) W (0) x R
W t1,L ,W tn 的联合密度函数为
f x1, x2,L , xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)L ftn tn1 (xn xn1)
其中
ft x
1
x2
e 2t
2 t
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度
(2) 由(1)易知有
mW (t) 0, DW (t) 2t, t 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s,t) E[W (s)W (t)] E[(W (s) W (0))(W (t) W (s) W (s))]
独立性 E[(W (s) W (0))(W (t) W (s))] E[W (s)]2 0 E[W (s)]2 D[W (s)] (E[W (s)])2
其中
X (t) x( X1 L X[t t] )
1, 如果步长为△x的第i步向右 Xi 1, 如果步长为△x的第i步向左
且Xi相互独立。
P{ X i
1}
P{X i
1}
1 2
因为
EXi 0,Var( Xi ) 1
所以 E[ X (t)] 0,Var( X (t)) (x)2[t t]
三 Brown运动的数字特征
随机过程第二章2
2 1
⎛1 ⎜ ⎜0 − Bt n −1） 0 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 ( Bt 1 , Bt 2 ,L , Bt n ) 是n维正态变量.
所以， ,σ )-布朗运动是一个正态过程 (µ
2
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕ (t1 ,L , tn ; u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( jmX ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
1 j uk m X ( tk ) − uk ul C X ( tk ,tl ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
n
∑∑
n
n
称为正态过程X的特征函数，其中CX(⋅,)为协方差函数. ⋅
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
re
=∫
+∞
−∞
y ϕt ( y )dy = 2 ∫ y ϕt ( y )dy
0
+∞
= 2∫
+∞
0
y (令 z= ) t
2 = 2π
∫
y2 +∞ − 2t 0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
e
y dy t
2 +∞ − 2 2t = ∫0 e z tdz = π 2π
⎛1 ⎜ ⎜0 − Bt n −1） 0 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 ( Bt 1 , Bt 2 ,L , Bt n ) 是n维正态变量.
所以， ,σ )-布朗运动是一个正态过程 (µ
2
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕ (t1 ,L , tn ; u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( jmX ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
1 j uk m X ( tk ) − uk ul C X ( tk ,tl ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
n
∑∑
n
n
称为正态过程X的特征函数，其中CX(⋅,)为协方差函数. ⋅
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
re
=∫
+∞
−∞
y ϕt ( y )dy = 2 ∫ y ϕt ( y )dy
0
+∞
= 2∫
+∞
0
y (令 z= ) t
2 = 2π
∫
y2 +∞ − 2t 0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
e
y dy t
2 +∞ − 2 2t = ∫0 e z tdz = π 2π
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2 P{Y (t ) y} 2t
y
e
u2 2t
du 1， y 0
2010-7-30
理学院 施三支
四、几何布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个布朗运动，令 X (t ) e
B (t )
, t 0 则称
{ X (t ), t 0} 为几何布朗运动。
注：
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
注：
布朗桥是高斯过程。且对任何 0 s t 1 ，有
EB * (t ) 0 EB * ( s ) B * (t ) s (1 t )
由定义可知， B * (0) B * (1) 0
2010-7-30 理学院 施三支
二、有吸收值的布朗运动