布朗运动的计算.ppt
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第三章布朗运动2.
令 n s n Fn s s ,
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
布朗运动的计算
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
语言优教资源PPT
10
m B
ge
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
语言优教资源PPT
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强优教大资源数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
布朗运动
分子热运动的激烈程度与
温度越高，分子运动越
温度 激烈
有关。
。
5.通过学习布朗运动以及对 布朗运动发现过程的了解， 你应向科学家学习什么优秀 的品质？
作业：
1.P179 （1）、（2） 2.课外活动：用显 微镜观察布朗运动
第二节
分子的热运动
布朗运动
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗 用显微镜观察植物的花粉微粒悬浮在静止水面 上的形态时，却惊奇地发现这些花粉微粒在不 停地作无规则运动。布朗经过反复观察后，写 下了这样的一段文字：“我确信这种运动不是 由于液体的流动所引起，也不是由于液体的逐 渐蒸发所引起，而是属于粒子本身的运动。” 为了进一步证实这种看法，布朗把观察的 对象扩大到一切物质的微小颗粒，结果发现，一切悬浮在液体中 的微小颗粒，都会作无休止的不规则运动。 布朗的发现一经公布，就引起了科学界的轰动，在以后的 几十年里，众多的物理学家经过大量的观测和研究，终于科学 的解释了布朗运动，揭示了自然界普遍存在的分子运动的奥秘， 使人类认识产生了飞跃。人们为了纪念这个发现，便把悬浮在 液体中的花粉的无规则运动命名为布朗运动。
C：布朗运动是液体分子无规则运动的反映； D：在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动；
B、C ） 3.对布朗运动的下列说法中正确的是：（ A：课本中图6-4的折线是颗粒的运动路径； B：颗粒越小，布朗运动越明显； C：温度升高，布朗运动加剧； D：布朗运动是微粒内部分子运动的宏观表现；
4.分子的热运动是指 分子的无规则运动 ，
运动状态难改变
布朗运动的激烈程度与什么因素有关？
布朗运动的激烈程度
与液体的温度有关
温度越高，布朗运动越激烈
我们把分子的无规 则运动叫做热运动
布朗运动
布朗运动定义悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。
温度越高，运动越激烈。
它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。
作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。
如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。
J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。
1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。
布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。
由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。
后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。
不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。
那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。
液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。
悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。
在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。
这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。
1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。
人们长期都不知道其中的原理。
50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。
SP(Lecture6) 布朗运动
命题 5 对任意的 t ∈ [0, 1]， Sn (t ) − → S(t ) = S(0)eσB(t )− 2 σ t ,
d
1 2
其中 B(t ) ∼ N (0, t )，称 S(t ) 为对数正态分布。 证明: 只需证明 log Sn (t ) 依分布收敛于 log S(t )，而 1 log S(t ) = log S(0) + σB(t ) − σ2t , 2 1 σ 1 σ log Sn (t ) = logS(0) + (nt + Mnt ) log(1 + √ ) + (nt − Mnt ) log(1 − √ ). 2 n 2 n 由 Taylor 公式可得 1 log(1 + x) = x − x2 + O(x3 ), 2 因此我们有 σ σ σ2 log(1 + √ ) = √ − + O(n−3/2 ), n n 2n σ σ σ2 log(1 − √ ) = − √ − + O(n−3/2 ). n n 2n
2 BROWNIAN 运动的定义及性质
6-6
（2）任意的 m ≥ 1 以及 0 = t0 < t1 < . . . < tm ，随机向量 (B(t1 ), . . . , B(tm ))t 为联合正态 分布，其均值为 0，协方差阵为 t1 t1 . . . t1
+1 Skm−1 是相互独立的，称 Ski+1 − Ski = ∑ ji= ki +1 X j 为随机游动 {Sn } 的增量，容易知道
k
E (Ski+1 − Ski ) = Var(Ski+1 − Ski ) = E (
第三章 布朗运动
br
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥：
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质： (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
k =1
差（或称全变差）。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
本章主要内容 •Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
2 { W ( t ), t ≥ 0} 是参数为 σ 的Wiener过程. 定义 设
如果存在实随机过程以 σ 2δ ( s − t ) 为其相关函数， 则称该过程为Wiener 过程 {W (t ), t ≥ 0} 的导数过 程．记为 {W ′(t ), t ≥ 0}. 从而
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥：
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质： (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
k =1
差（或称全变差）。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
本章主要内容 •Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
2 { W ( t ), t ≥ 0} 是参数为 σ 的Wiener过程. 定义 设
如果存在实随机过程以 σ 2δ ( s − t ) 为其相关函数， 则称该过程为Wiener 过程 {W (t ), t ≥ 0} 的导数过 程．记为 {W ′(t ), t ≥ 0}. 从而
布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
第三章 布朗运动
∆tk = tk − tk −1 如果
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
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s,t
?
0
过程5：反射布朗运动
Btre = W(t) t ? 0
均值函数
mBre (t)=E[ W(t) ]=
2t , ? t ? 0
?
mBre (t)=E[ W(t) ]
=e Ee ? (s+t ) ? (W (s)+W (t))
=e Ee ? (s +t ) ? [W (s )+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E ? (s +t ) 2? W (s ) ? [W (t )-W (s )]
?2
=e?
e (t +s) 2?
e2s
2
(t -s )
,?
I?F ?Xi ?? s?
i ?1
类似可讨论 n sup Fn ?X ?? F ?X ? 的极限分
布。
x
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt? ,? 2 )
t ? 0, ? ? R, ? 2 >0
均值函数
mBge
(t )=E[exp( Bt?
,?
2
)]=exp{(?
+
?2
P
???
lim
n??
sup
0? s?1
Fn
?s ??
s
?
0 ??? ?
1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于 s.
令? n ?s?? n ?Fn ?s?? s?, 则
E ?? n ?s??? n ?EFn ?s?? s?? 0
? ? D ?? n ?s???
n
2
D(
Nn
?s?
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n
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C a? b (s,t)=E[(Bsa ? b -ma? b (s))(Bta? b -ma? b (t))
= min{s,t}-st
t ? [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布， Xn~U(0,1) ， 对0<s<1, 记
?
1 n
E ?Nn
?s ?Nn
?t ???
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nst
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1 E[E n
Nn ?s?Nn ?t ?Nn ?t ?] ? nst ?
1 n
E[Nn
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1 n
E[Nn
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t
Nn
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2
)t},
?t?0
相关函数
?2
RBge
(s,t)=e? (t +s)e2?
2se
2
(t -s )
,
? s,t ? 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
mBge (t )=E[exp(Bt? ,? 2 )]
?= e +? ?t +? x -?
1
x2 -
e 2t dx
2? t
? =e? t +? -?
n
? ? ? Nn s ? I?Xi ? s? i ?1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过 s的个数，
Fn
?s ??
1 n
Nn
?s?
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s) ，由强大数定理有
? ? P
lim
n??
Fn
?s ??
s
?1
由格利汶科 -康泰利定理可以得到更强的结果，
过程3：布朗桥
Btbr =W(t)-tW(1) t ? [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t ? [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W(t)-tW(1)]=0, ? t ? [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, ? s,t ? [0,1]
lim P
n??
? n ?s?? x
?
1
e du x
? u2 2s (1? s )
2? s ?1? s? ??
所以 ?? n ?s?,0 ? s ? 1? 的极限过程是一正态过程。 可以证明 ?? n ?s?,? n ?t ?? 的联合分布趋于二维正
态分布。
?0? s?t?1
cov?? n ?s?,? n ?t ??? E ?? n ?s?? n ?t??? nE ???Fn ?s?? s??Fn ?t ?? t ???
1
x2 -2 t? x
-
e 2t dx
2? t
? =e?t +? -?
1
(x-t? )2 (t? )2
-
e 2t e 2t dx
2? t
=exp{(? + ? 2 )t}, ? t ? 0
2
RBge (s,t)=Ee? s+? W(s)e?t +? W(t) =Ee? (s+t )+? (W (s)+W(t ))
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W1(t),W 2 (t ),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W =(W1 (t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动 .
个相互独立的
过程2：(? ,? 2 ) 布朗运动
Bt? ,? 2 =? t+? W(t), ? t ? 0
均值函数
m B?
,?
2
(t)=?
t
? ? R, ? >0
相关函数 RB? ,? 2 (s,t)=? 2st+? 2 min (s,t)
性质 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12. 任淑红
证明 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n ? 2, 不是一般性，取 n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <? , 定义增量
? =B -B , ? ,? 2 ? ,? 2
k
tk
tk -1
k=1,L ,n
则
?k ~N (? (tk -tk-1),? 2 (tk -tk-1))
(Bt?1 ,? 2 ,L ,Bt?n ,? 2 )=(?1,L ,?n ) ? M n?n
nst
?
1 n
s t
nt ? n(n ? 1)t2
? nst
? s?1? t ?
所以当 n→∞时，
?? n (s),0 ? s ? 源自?的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设 X1,X2, …Xn, …独立同分布， F(x) 为分布函数，则随机变量 F(Xi)~U(0,1)。记
n
? ? ? Nn s ?
性质，从 0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b ? R, 定义从a到b的布朗桥：
Bta? b =a +(b-a )t +Btbr
t ? [0,1]
证明 ： (1) B0a ? b =a , B1a ? b =b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程 ,且
ma? b (t)=a +(b-a )t t ? [0,1]