布朗运动的计算
布朗运动的计算
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
语言优教资源PPT
10
m B
ge
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
语言优教资源PPT
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强优教大资源数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
几何布朗运动 微分方程
几何布朗运动是一个随机过程，其中粒子的位置随时间变化遵循随机路径。
在几何布朗运动中，粒子不仅在每个时间步长内随机移动，而且其移动距离与粒子的当前位置成正比。
假设粒子在t 时刻的位置为X(t)，则其运动可以用以下微分方程描述：
dX(t) = μ * dt + σ * dW(t)
其中：
* μ 是粒子的平均移动速度（通常是一个常数）。
* σ 是粒子的扩散系数，决定了粒子移动的随机性。
* dW(t) 是t 时刻的微分维纳过程，表示随机波动。
* dt 是时间增量。
这个微分方程描述了粒子在几何布朗运动中的位置变化。
需要注意的是，这是一个随机过程，因此无法精确预测粒子在任意时刻的确切位置，但可以通过统计方法来描述其运动规律。
布朗运动的计算
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且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称 { f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
记为
b
a f (t,u) X (t)dt,
b
Y (u) a f (t,u)X (t)dt,
若对任意的t∈T, {X(t), t∈T}在t处均方连续,则称 {X(t), t∈T}在T上均方连续. 或称 {X(t), t∈T}是均方连续的.
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3 均方导数
1. 均方导数的定义
设{X (t),t T}是二阶矩过程， t0 T ,若均方极限
l.i.m X (t0 t) X (t0 )
1
1 ( x ) B1 ( x )T
f (x)
n
1 e2
(2 ) 2 B 2
（3）Y=XC(Cnm ),服从m维正态分布N(C,CTBC)
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感谢您的欣赏！
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Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
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P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
t 0
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2010-7-30 理学院 施三支
五、有漂移的布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个标准布朗运动， X (t ) B (t ) t ， 我 们称 { X (t ), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t 0 可以算出
2010-7-30
理学院 施三支
7.5
可以计算出
布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx inf{t 0 : B (t ) x} ，我们
x 0 时 P{Tx t} 2 P{B (t ) x}
从而 P{Tx } lim P{Tx t} 1 ，但是
布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
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1 n
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Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
布朗运动、伊藤引理、bs 公式
布朗运动、伊藤引理、bs 公式1 前言在金融工程学习中，我们经常听到布朗运动、伊藤引理和 bs 公式等概念。
这些概念似乎非常抽象，但它们对金融市场的理解至关重要。
本文将详细介绍布朗运动、伊藤引理和 bs 公式的概念和应用。
2 布朗运动布朗运动，又称随机游动，是指无限小时间内方向和大小随机的运动。
布朗运动也被称为随机漫步，常常被用于描述股价或股票市场的随机波动。
在布朗运动中，价格的变化是随机的，并且价格的波动取决于商品的价格历史数据。
布朗运动的数学描述为：dS(t)=μ*S(t)dt+ σ*S(t)dZ(t)其中dS(t)表示在时间t之后股价的增量，μ是股票价格的平均增长率，σ是波动率，dZ(t)是标准布朗运动。
3 伊藤引理伊藤引理是用于求解随机微分方程的一个重要工具。
它是由日本数学家伊藤清刚在20世纪40年代开发的，其主要思想是用泰勒展开式逼近股票价格的随机变化。
伊藤引理的应用非常广泛，特别是在金融工程中更是被广泛采用。
主要是用来计算股票价格的期望值、波动率、偏差和随机漫步的方向。
通过应用伊藤引理，可以快速、准确地预测价格变化的概率分布。
4 BS公式BS公式是由Fisher Black和Myron Scholes在20世纪70年代开发的，用于计算欧式期权的理论价格。
该公式根据股票价格、期权的到期时间、行权价格、无风险利率和波动率，预测期权的价值。
BS公式的数学表达式为：C(t)=S(t)N(d1)−Kexp(−r(T−t)) N(d2)其中C(t)表示欧式期权的理论价格，S(t)表示股票价格在时间t的价格，K表示行权价格，r表示无风险利率，T-t表示期权到期日与当前日之差，N(d1)和N(d2)分别代表标准正态分布函数。
5 总结在金融市场中，布朗运动、伊藤引理和BS公式都是非常重要的工具。
布朗运动模拟市场的随机波动，伊藤引理可以求出股票的期望值、波动率等参数，BS公式可以预测欧式期权的理论价格。
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
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补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s I Xi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
七.布朗运动的导数过程
定义 设{W (t),t 0}是参数为 2的Wiener过程. 如果存在实随机过程以 2 (s t) 为其相关函数，
则称该过程为Wiener 过程 {W (t),t 0} 的导数过 程．记为{W (t),t 0}. 从而
RW (s,t) 2 (s t), s,t 0. 称参数为 2的Wiener过程 {W (t),t 0}的导数过程 {W(t),t 0} 为参数为 2 的白噪声过程或白噪声.
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
记为
b
a f (t,u) X (t)dt,
b
Y (u) a f (t,u)X (t)dt,
即
u U
结论 设二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导.则
(1)导数过程{X (t),t T}的均值函数等于原过程 {X (t),t T} 均值函数的导数，即 mX (t) mX (t),t T;
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
ห้องสมุดไป่ตู้
因为 s
RW
(s,
t)
2, s t
0, s t
令：u(s
t)
1, s 0, s
t t
则有
s
RW
(s, t )
2u(s
t)
再引进Drica 函数： (s t) u(s t)
t
于是有
2 ts
RW
(s,
t)
2
(s
t)
同理
2 st
RW
(s, t )
2
(s
t)
八.布朗运动的积分过程
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
记为
X (t0 ) 或
dX (t) dt . tt0
这时称{X (t),t T}在t0处均方可导．
4 均方积分
1. 均方积分的定义
设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]
×U上的普通函数，对区间[a,b] 任一划分
a t0 t1 tn b 记tk tk tk1（, k 1, 2, , n)
若对任意的t∈T, {X(t), t∈T}在t处均方连续,则称 {X(t), t∈T}在T上均方连续. 或称 {X(t), t∈T}是均方连续的.
3 均方导数
1. 均方导数的定义
设{X (t),t T}是二阶矩过程， t0 T ,若均方极限
l.i.m X (t0 t) X (t0 )
t 0
t
存在,则称此极限为{X (t),t T}在t0点的均方导数.
n
x,
lim P
n
n
s
x
1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )
所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
R, >0
相关函数
R B
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
令
S(t)
t
W (u)du,
称S (t )为积分布朗运动.
0
积分布朗运动是正态过程
E(s) 0
当0 s t
CS
(s, t )
s 2
(t
s2 3
)
九：在某点被吸收的布朗运动
设Tx为布朗运动W (t)首次击中x的时刻，x 0.令
Z
(t
)
W x,
(t
), t Tx t Tx
则{Z (t),t 0}是击中x后被吸收停留在x状态的布朗运动.
(2) 导数过程{X (t),t T} 和原过程{X (t),t T}的
互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T}的
相关函数RX (s,t) 关于s的偏导数，即
RX
X
(s,
t
)
s
RX
(s,
t
),
s,
t
T
;
(3)原过程{X (t),t T} 和导数过程{X (t),t T} 的 互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T} 的
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2, 如果
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2
e e dx 2t
2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
2
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
lim E
n
Xn
X
2
0
则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,
或称 X 为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为
l.i.m
n
Xn
X
2 均方连续
1. 均方连续定义
设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, t0∈T, 若
l.i.m
t t0
X
(t)
X
(t0 )
则称{X(t), t ∈T}在t0处均方连续
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t ) 2W (s) [W (t )-W (s)]
=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t
0
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0