随机过程布朗运动.讲义
《随机过程》第5章-布朗运动
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
布朗运动和随机过程
布朗运动和随机过程引言布朗运动（Brownian motion）是指微小的、随机的、无规则的运动。
它最早由英国生物学家罗伯特·布朗发现并研究，后来被应用到许多领域中，包括金融、物理学和生物学等。
随机过程（Random Process）是指一系列随机变量的集合，它们的取值取决于随机事件的发生。
本文将深入探讨布朗运动和随机过程的相关概念、性质以及在不同领域中的应用。
布朗运动的定义和性质定义布朗运动是一种连续时间、连续状态的随机过程，具有以下几个基本性质： 1. 布朗运动的路径是连续的。
2. 布朗运动在任意给定的时间段内，无论多短，都具有无记忆性质，即其未来变化不依赖于过去的变化。
3. 布朗运动的路径上的增量是独立的。
性质布朗运动具有以下重要性质： 1. 随机性：布朗运动的路径是随机的，无法准确预测。
2. 高度不规则性：布朗运动的路径是连续且不光滑的，具有很高的不规则性。
3. 均值增长：布朗运动的均值增长速度是线性的，即随着时间的增长，其期望值也会增加。
4. 方差增长：布朗运动的方差增长速度是线性的，即随着时间的增长，方差也会增加。
布朗运动的数学模型布朗运动可以用数学模型来描述，最常用的模型是随机微分方程。
在一维情况下，布朗运动的微分方程可以表示为：dX t=μdt+σdW t其中，X t表示布朗运动在时间t的位置，μ表示漂移率，σ表示波动率，W t表示标准布朗运动。
随机过程的分类随机过程可以按照状态空间和时间变量的类型进行分类。
其中，常见的分类包括：### 马尔可夫过程马尔可夫过程是一个基于概率的随机过程，它具有“无记忆性”的性质，即过程在任意给定时间的状态只依赖于它的前一状态，而不依赖于它的历史状态。
### 马尔科夫链马尔科夫链是一个马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间。
### 泊松过程泊松过程是一类具有离散状态和不连续增量的随机过程，它的增量满足泊松分布。
### 平稳过程平稳过程是指随机过程的统计性质在时间平移下不变。
卢正新《随机过程》第五章 布朗运动与鞅-全
lim
t 0
DX
(t)
lim (x)2
t 0
t t
lim
t 0
2t
t t
2t
3
X(t)为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得： 1）X(t)~N(0, σ2t);
随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得 2）X(t)是独立增量过程；
在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关，得 3）X(t)是平稳增量过程
4）B(t0 s) B(t0 ), 0 s t0, t0 0
9
1）B(t ) B( ),t 0, 0;
证：B(t)为正态过程，则B(t ) B( )为正态过程，且 B(0 ) B( )=0
对t 0，E B(t ) B( ) 0
对s,t 0，有
E B(t ) B( )B(s ) B( )
布朗运动的轨道
从时刻0到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间[0,T]上的一条轨 道或路径。
轨道的基本性质
1）是t的连续函数； 2）在任何点都不可微
定理：固定t 0，设0 t0 t0 L tn， = m1kaxn(tk -tk1),则有
n
lim
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 )独立，即B(t)为正交增量过程； 故B(t)为布朗运动。
推论：设{B(t)，t≥0} 为布朗运动，则：
1）B(t ) B( ),t 0, 0;
2）
1
B(t ), t
0,
0;
3）tB(1t ),t 0，其中tB(1t ) t0 0;
概率密度函数为：
概率论中的随机过程与布朗运动
概率论中的随机过程与布朗运动概率论是数学的一个分支，研究随机现象及其数学模型。
其中，随机过程是概率论中的重要概念之一，而布朗运动是随机过程中的经典模型。
本文将介绍概率论中的随机过程以及布朗运动，并探讨其在不同领域中的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的数学对象，它的取值是由概率分布决定的。
随机过程通常表示为X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时刻t 的取值。
随机过程可以用离散时间或连续时间来描述，分别称为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
在概率论中，随机过程可以由两个要素完全描述：样本空间Ω和映射关系P。
样本空间Ω包含了所有可能的结果，映射关系P则表示随机过程X(t)在不同时刻的取值概率。
随机过程通过概率分布函数或概率密度函数来描述其取值的概率分布。
二、布朗运动的定义与性质布朗运动是一种具有连续时间和连续状态空间的随机过程，它以数学家罗伯特·布朗的名字命名。
布朗运动具有以下性质：1. 随机性：布朗运动中的每个时刻的取值都是随机的，没有明确的趋势或方向。
2. 独立增量：布朗运动的增量与时间间隔无关，即前后增量之间是相互独立的。
3. 连续性：布朗运动在任意时间段上是连续的，不存在跳跃或间断现象。
4. 高斯性：布朗运动的取值是服从正态分布的，具有均值为0和方差为t的特点。
布朗运动在物理学、金融学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，布朗运动可以用来模拟微粒在水中的扩散过程；在金融学中，布朗运动可以用来建立股票价格的模型；在工程学中，布朗运动可以用来描述噪声的特性。
三、布朗运动的数学模型布朗运动的数学模型可以用随机微分方程来表示。
假设X(t)是一个布朗运动，其满足如下随机微分方程：dX(t) = μ dt + σ dW(t)其中，μ是布朗运动的漂移率，σ是布朗运动的波动率，W(t)是标准布朗运动（也称为Wiener过程）。
上述方程表示布朗运动在微小时间dt内的增量为μ dt + σ dW(t)。
随机过程中的布朗运动
随机过程中的布朗运动随机过程是数学中研究随机变量随时间演化的数学对象。
其中，布朗运动是一种常见的随机过程，它在多个领域中有着广泛的应用，如金融学、物理学和生物学等。
本文将对布朗运动的定义、性质以及应用进行介绍。
一、布朗运动的定义布朗运动又被称为维纳过程，它是一种连续时间的马尔可夫过程。
在数学上，布朗运动被定义为满足以下三个条件的随机过程：1. 初始条件：布朗运动在t=0时刻的取值为0，即B(0) = 0；2. 独立增量：对于任意时刻s < t < u < v，布朗运动的增量B(t)－B(s)和B(u)－B(v)是独立的；3. 正态分布增量：布朗运动的增量B(t)－B(s)服从均值为0、方差为t-s的正态分布。
根据这些性质，我们可以看出布朗运动是一种具有连续性、不可预测性和自相似性的随机过程。
二、布朗运动的性质1. 连续性：布朗运动在任意时刻的取值都是连续的。
这意味着在任意时间间隔内，布朗运动的取值可以变化无穷多次。
2. 独立增量：布朗运动的增量在不同的时间间隔内是独立的。
这意味着过去的演化轨迹对未来的演化轨迹没有影响。
3. 高斯分布：布朗运动的增量服从高斯分布，即正态分布。
这意味着在短时间内，布朗运动的变化趋势可以视为近似线性。
4. 无趋势：布朗运动的期望增量为0，即E[B(t)－B(s)] = 0。
这意味着在长时间尺度内，布朗运动没有明显的趋势。
三、布朗运动的应用1. 金融学：布朗运动在金融学中有广泛应用，特别是在期权定价和风险管理领域。
布朗运动模型可以描述股票价格的随机变动，并为衍生品定价提供基础。
2. 物理学：布朗运动的概念最早是用来解释在液体中浮游微粒的无规运动。
它在研究扩散过程、热力学平衡和粒子统计等问题中起到重要作用。
3. 生物学：布朗运动在生物学中被用来描述微生物和生化分子在胞浆中的运动。
通过对布朗运动的观察和分析，科学家可以了解细胞内生物分子的行为和相互作用。
总结：布朗运动作为一种随机过程，具有连续性、不可预测性和自相似性等特点。
布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
随机过程与布朗运动
随机过程与布朗运动随机过程（Random Process）是指在一定的时间范围内，随机变量的序列或者随机向量的序列，这个序列称为随机过程。
而布朗运动（Brownian Motion）是一种连续时间的随机过程，具有连续样本路径且具有马尔可夫性质。
本文将从数学的角度对随机过程和布朗运动进行介绍和论述。
一、随机过程的定义及基本性质随机过程可以用数学公式表示为{X(t), t ≥ 0}，其中X(t)是定义在事件空间上的随机变量。
随机过程的基本性质包括：1. 随机过程的状态空间：随机变量的取值范围称为随机过程的状态空间。
2. 随机过程的参数空间：随机过程的参数（如时间t）取值范围称为随机过程的参数空间。
3. 随机过程的样本函数：随机过程的一个具体的样本称为样本函数，样本函数是参数t的函数。
4. 随机过程的族：所有可能的样本函数的集合称为随机过程的族。
5. 随机过程的分布：随机过程在任意时刻t的值的分布称为随机过程的分布。
二、布朗运动的定义与性质布朗运动是指随机过程X(t)具有以下性质：1. 马尔可夫性：布朗运动的下一时刻的取值只与当前时刻的取值有关，与之前的取值无关。
2. 高斯性：在任意时刻t，布朗运动的取值满足高斯分布。
3. 完备性：布朗运动的样本函数几乎必然连续，即样本函数几乎处处连续。
4. 零均值性：布朗运动的均值函数为零。
5. 独立增量：布朗运动在不重叠的时间段上的增量是相互独立的。
三、布朗运动的应用布朗运动在金融学、物理学、生物学和工程学等领域有着广泛的应用。
1. 金融学：布朗运动被广泛应用于金融领域的期权定价模型中，如布莱克-斯科尔斯模型就是基于布朗运动的。
2. 物理学：布朗运动被用来描述微粒在液体中的扩散现象，从而研究物质的热运动。
3. 生物学：布朗运动被应用于描述微生物在浸润地质介质中的扩散过程，从而研究生物的迁移与扩散等现象。
4. 工程学：布朗运动在控制系统、通信系统和信号处理等工程学领域中有着重要的应用，如在无线信道建模中常用布朗运动模型描述信号的传播过程。
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
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mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
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过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)