金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。
2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。
二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。
2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。
三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。
2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。
3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。
四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。
金融衍生品定价的文献综述
金融衍生品定价的文献综述作者：刘志伟来源：《现代企业》2018年第05期一、对衍生品价格波动刻画的研究综述1.分数Brown运动的研究综述。
法国数学家Louis Bachelier在其博士论文—投机理论（Théorie de spéculation）中首次用Brown运动来描述股票价格的变化，并给出了欧式买权的定价公式。
英国著名水文学家 Hurst 是研究分数 Brown 运动的先驱，他在观察尼罗河水的规律过程中提出了分数 Brown 运动。
随着金融市场的发展，大量实证研究表明： B-S 模型的初始假定与实际情形存在差异；规模效应，季节效应，尖峰厚尾等越来越多的现象已经无法用标准Brown运动驱动的模型进行解释；并且股票收益率的波动具有显著的记忆性。
由分数Brown 运动本身具有的特性可以看出，它能够更好地描述金融市场资产价格的演变过程，由此大量学者开始利用分数Brown运动描述标的资产的波动行为。
据此1968年Benoit Mandelbrot和Van Ness布朗运动模型引入金融市场：它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，反应了许多自然现象和社会现象的内在特性，分数布朗运动有时也称为分形布朗运动、有偏的随机游走、分形时间序列、分形维纳过程等。
接着，1994年，有人实证表明用分数布朗运动来模拟股票价格的变化过程更加贴合实际。
虽然分数Brown已经从理论和实际两个层面都证明其对金融市场的描述更具有说服力，但是分数布朗运动不是半鞅且不具备马氏性，故无法用标准的布朗运动随机积分理论，即无法用传统的数学工具来处理。
面对数学上工具的缺乏，于是有学者开始相关数学工具的研究。
例如，1995年Lin建立了分数路径依赖型积分，但随后被Rogers照此积分理论建立的金融市场模型存在套利机会，似乎说明不能用分数布朗运动来描述标的资产的价格过程。
可喜的是，Duncan，Hu Yaozhong和Ksendal一种分数布朗运动的随机积分理论：Wick-Ito型随机积分并推导出该积分的公式。
金融高频数据挖掘——揭开市场波动的神秘面纱
金融高频数据挖掘——揭开市场波动的神秘面纱
马金龙;马非特
【期刊名称】《中国金融电脑》
【年(卷),期】2006(000)010
【摘要】科学数据是自然界客观事物特性的表征。
，现代科学领域的数据都开始以越来越精细的时问刻度来收集，在频率上向可微分方向发展，在数量上以指数级增长。
自上世纪90年代以来，随着现代计算机技术在金融交易中的广泛使用，交易系统可以实时地提供市场参与者的交易数据，包括股票、汇兑、期货及金融衍生品等，并且全部交易过程被实时地逐笔交易或逐秒记录并存储下来，这样就形成了金融高频数据（Financial High Frequency Data），达到可微程度。
金融高频数据具有海量性，如分钟数据，在10年内可以达到1000000数量级。
【总页数】5页(P31-35)
【作者】马金龙;马非特
【作者单位】中国科学院广州地球化学研究所;长沙非线性特别动力工作室
【正文语种】中文
【中图分类】TP3;F8
【相关文献】
1.揭开伊朗时尚市场的神秘面纱 [J], ;
2.揭开银行间债券市场神秘的面纱——简述银行间债券市场历史沿革，发展现状及未来展望 [J], 张睿;
3.揭开银行间债券市场神秘的面纱--简述银行间债券市场历史沿革，发展现状及未来展望 [J], 张睿
4.揭开茶饮市场的神秘面纱:针对青年群体奶茶市场的调研与分析 [J], 许庆阳;陈威;葛馨月;孙永江;李亚静
5.汽车后市场的“独角兽”——新康众揭开神秘面纱 [J],
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从金融海啸看百年来物理与金融的三次交汇
从金融海啸看百年来物理与金融的三次交汇马金龙马非特我们已经进入了一个“统一的时代”。
在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。
——引自迈克尔·阿蒂亚的《二十世纪的数学》2008年由美国次级贷款引起的全球金融海啸，不仅使美国金融系统发生“多米诺骨牌”效应，多家投资银行和商业银行相继倒闭，而且还在全球引发“蝴蝶效应”，像一个无底“黑洞”正在无情地吞食着人类的财富，谁还会在这场危机中倒下我们无从猜测。
次级贷款是指还贷质量不好的贷款，是容易违约的贷款，其结构大致是这样的：美国房贷机构针对收入较低、信用记录较差的人群专门设计出的一种特别的房贷。
精明的华尔街精英将这些次级贷款进行资产证券化，即将房贷变成一种可替代的、可转换的有价工具（债券），并且进行不断分级形成形形色色的债券池，打包重组成金融衍生产品向外出售，试图通过证券化过程将风险分散、转移。
正是证券化（金融创新）刺激了次级贷款泛滥，次级贷款总共达1万多亿美元，而金融衍生产品的杠杆作用导致金融风险呈几何级数放大，仅美国政府承诺的救市资金总额已达9.9万亿美元。
金融衍生产品估值是基于牛顿经典力学范式，由一些非常复杂的金融物理模型（连续线性模型）做出来的，建立次级贷款金融产品的依据就是假设美国的房产价格总是上升的，客观地说，建模者是深知其模型风险的严重性的，但为了牟取暴利，顾不得那么多了。
又由于监管者水平落后，面对越来越复杂的金融衍生产品已无所适从，加上在关键环节又得不到有效的监管。
在监管不到位的情况下，建模者却在最大限度地增进自身效用的同时做出不利于他人的行动，过度“玩火”导致失控，给投资者造成巨大的损失和灾难。
更为严重的是，建模者（国际金融炒家）已经形成为金融利益集团。
总之，这次金融海啸的深层原因应该是道德风险与监管缺失和滞后，是建模者的道德观念的失败；另一方面，这次金融海啸实际上也暴露出目前金融物理理论和方法的弱点，面对现实非线性金融市场复杂系统，这样的模型是不可能跟踪预测到金融危机爆发的临界点的，难以预防和抵御到金融市场的风险的。
分数布朗运动下有红利支付的可转换债券定价
分数布朗运动下有红利支付的可转换债券定价苗杰【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)001【摘要】Under the fractional brownian motion, we supposes that risk-free rate, dividend rate, anticipated returns ratio and fluctuating rate of the stock all are the definite continue function of time. By the equal qusi-martingale measure method, we discuss the pricing of the convertible bond with dividend-paying under the fractional Brownian motion and obtain pricing formula of the convertible bond.%在分数布朗运动环境下，假设股票的预期收益率、波动率、红利率和无风险利率都是时间的确定性连续函数，用通过等价概率测度变换，用拟鞅的方法，得到了分数布朗运动下有红利支付的可转换债券的定价公式。
【总页数】3页(P61-63)【作者】苗杰【作者单位】昌吉学院数学系，新疆昌吉 831100【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.63【相关文献】1.分数布朗运动环境下有红利支付的欧式双向期权的定价 [J], 赵英英;胡华;马玲;马永光2.随机利率下具有红利支付的可转换债券定价 [J], 薛红;金宇寰3.分数布朗运动环境下可转换债券定价模型 [J], 李琛炜;薛红4.分数布朗运动下带违约风险的可转换债券定价模型 [J], 潘坚;周香英5.混合分数布朗运动下有交易成本和红利支付的两值期权定价 [J], 程潘红;许志宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )
金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙)[转帖2005.08.27 00:49:37]1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。
具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。
原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。
因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。
20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。
金融工程学--(第八章)
3、普通布朗运动 遵循普通布朗运动的变量 x 是关于时间和z的动态过
程： dx adt b，dz其中
adt 为确定项，漂移率 a 意味着每单位时间内 x 漂移 a； bdz 是随机项，代表着对 x 的时间趋势过程所添加的 噪音，使变量 x 围绕着确定趋势上下随机波动，且
这种噪音是由维纳过程的 b 倍给出的， 称b为2 方差
.
T − t 期间年化的连续复利收益率可以表示
ln ST ln S
T t
可知随机变量 η 服从正态分布
~
N
2
2
,
2
T
t
.
股票价格的对数服从普通布朗运动，特定时刻的 股票价格服从对数正态分布。
ln
ST
ln
S
~
N
2
2
T
t,
2 (T
t)
ln ST
~
N
ln St
2
2
T
t, 2(T
t
1 2 f
2 S 2
2
S
2
dt
f S
Sdz
在一个小的时间间隔 ∆t 中， f 的变化值 ∆f 满足：
f
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
f S
S
z
为了消除风险源 ∆z ，可以构建一个包括一单位衍
生证券空头和 f 单位标的证券多头的组合。
S
.
令 Π 代表该投资组合的价值，则 f f S S
对于标准布朗运动来说，设 代t 表一个小的时间间隔
长度， 代表变量z在
z
时间内的变化，遵循标准布
股价受分数布朗运动驱动的混合期权定价模型
股价受分数布朗运动驱动的混合期权定价模型
赵巍
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(033)001
【摘要】分数布朗运动由于具有自相似和长期相关等分形特性,已成为数理金融研究中更为合适的工具.本文通过假定股票价格服从几何分数布朗运动,构建了It分数Black-Scholes市场;接着在分数风险中性测度下,利用随机微分方程和拟鞅(quasi-martingale)定价方法给出了分数Black-Scholes定价模型;进而讨论了股价受分数布朗运动驱动的混合期权定价模型.研究结果表明,与标准期权价格相比,分数期权价格要同时取决于到期日和Hurst参数.
【总页数】5页(P6-10)
【作者】赵巍
【作者单位】淮海工学院商学院,江苏,连云港,222001
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型 [J], 徐峰;郑石秋
2.赋权分数布朗运动驱动的重置期权定价模型 [J], 薛益民;孙西超
3.混合分数布朗运动驱动下的欧式幂期权定价模型 [J], 邹文杰
4.股价和执行价受双分数布朗运动驱动期权定价 [J], 赵巍
5.赋权分数布朗运动驱动的混合期权定价模型 [J], 杜姗姗;朱凤鸣;李芹影;王浩;周芷薇
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金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙)[转帖2005.08.27 00:49:37]1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。
具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。
原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。
因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。
20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。
1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。
总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
第一次给予布朗运动以严格的数学描述。
但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。
遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。
Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。
至此，源于布朗运动的理论金融经济学（数理金融学）的大厦（体系）就完全成形。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。
这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。
同时不会出现惊人相似的反复。
随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。
描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。
随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。
所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。
股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。
假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。
维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。
股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动[1]。
2 分数布朗运动与分形资本市场2.1 分数布朗运动世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的和平衡的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。
也就是说，宇宙充满了分形。
在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类随机过程，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/fγ的多项式衰减规律。
因此被称为1/f族随机过程。
在为此类过程建模时，由于通常采用的ARMA方法只适合于相关结构按指数规律衰减的过程，其效果不好[2]，因此人们不断地寻找各种模型来模拟此类随机过程。
其中由Benoit Mandelbrot和Van Ness[3]提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。
在不同的文献中，分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。
其定义如下：设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且，协方差为。
H=1/2时，即为标准布朗运动。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。
分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。
分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的[4]，分数布朗运动（分形噪声）的分维值等于，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)[5]。
设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:（1）通过对(1)式取对数，可得：（2）只要找出R/S关于N的log/log图的斜率,就可以来估计H的值。
Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。
当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。
可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。
所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。
2.1 分形资本市场自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。
每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。
现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。
而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。
这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。
曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。
这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。
分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。
所以将两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。
Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。
分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是非线性系统。
徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，还将收益率序列随机打乱进一步论证了市场存在非线性结构；范龙振和唐国兴(1998) [8]，曹宏铎等(2001) [9]研究了投资机会决策中分数布朗运动理论问题；刘韶跃和杨向群(2002)[6] (2004) [7]对分数布朗运动环境欧式未定权益的定价和中标的资产有红利支付的欧式期权定价进行了探讨；周孝华(2002) [10]通过分析布朗运动与分形布朗运动的仿真过程，提出分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利股票价格所遵循的含有分形维纳过程的微分方程。