分数布朗运动
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动分数阶布朗运动，又称为分数阶随机游走或分数阶随机过程，是一类重要的随机过程模型。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动在时间上不再是连续的，而是具有非整数阶的时间导数。
这种非整数阶导数的引入使得分数阶布朗运动具有了更广泛的应用领域和更丰富的动力学行为。
分数阶布朗运动的定义是在分数阶微分方程的框架下进行建模和分析的。
分数阶微分方程是一种一般化的微分方程，其导数的阶数可以是任意实数，包括整数和分数。
在分数阶布朗运动中，时间导数的阶数被认为是一个分数，这就使得运动的时间步长变得更加灵活和多样化。
分数阶布朗运动在金融学、物理学、生物学等多个领域都有重要的应用。
在金融学中，分数阶布朗运动被用来描述股票价格、汇率等金融产品的价格变动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地捕捉到金融市场中的长尾分布和时间相关性。
在物理学中，分数阶布朗运动被用来描述粒子在非平衡系统中的扩散行为。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述具有记忆效应和非马尔可夫性质的扩散过程。
在生物学中，分数阶布朗运动被用来描述细胞内分子的运动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述细胞内复杂环境中的扩散行为。
分数阶布朗运动的性质与传统的布朗运动有很大的不同。
首先，分数阶布朗运动的路径是不连续的，即存在无穷多个分割点，使得运动在不同的时间段内具有不同的行为。
其次，分数阶布朗运动的路径可以是非马尔可夫的，即过去的状态不仅仅取决于当前的状态，还取决于过去的状态。
最后，分数阶布朗运动的路径可以是非平稳的，即其统计性质随时间的演化而变化。
分数阶布朗运动的建模和分析是一个相对较新的领域，目前仍存在许多未解决的问题和挑战。
例如，如何求解分数阶微分方程的解析解和数值解，如何计算分数阶布朗运动的统计性质，以及如何利用分数阶布朗运动进行系统建模和控制等。
这些问题的解决将进一步推动分数阶布朗运动的理论发展和应用研究。
分数阶布朗运动是一种重要的随机过程模型，具有广泛的应用领域和丰富的动力学行为。
布朗运动推导
布朗运动推导布朗运动是一种用来描述粒子在一定位置处的空间和时间变动的数学模型。
它由19th世纪的英国物理学家詹姆斯布朗发现，他在1828年完成了它的博士论文。
因此，布朗运动也被称为“布朗模型”。
布朗运动是指当粒子受到外界多个力的共同作用时，它们在某一点上的运动轨迹。
它被描述为每一时刻，它们在X-Y轴上移动的所有路径的总和；X-Y轴是指从一个粒子出发开始，沿X轴和Y轴移动的路径。
这种运动可以用简单的数学语言来描述：$$frac{dx}{dt} = F_{1x}(t) + F_{2x}(t)$$$$frac{dy}{dt} = F_{1y}(t) + F_{2y}(t)$$其中，F1x(t)和F2x(t)分别表示力F1和F2对X轴坐标的作用，而F1y(t)和F2y(t)则是对Y轴坐标的作用。
以上方程描述了在任一时刻，粒子在X-Y轴上移动的速度。
除了普通的直线运动外，布朗运动还可用于描述椭圆和抛物线等更广泛的轨迹。
在椭圆和抛物线的情况下，外力F1和F2的的方向都是相对的，要求粒子沿X轴和Y轴移动的距离是相等的；这样一来，就会产生椭圆和抛物线的轨迹。
布朗运动的用途也非常广泛。
它可以用来描述例如热力学过程中的分子运动轨迹，也可以描述轨道动力学中的天体运动轨迹。
布朗运动在物理和化学领域都有着重要的应用，特别是在研究量子力学中，布朗运动对粒子的相互作用有着重要的解释作用。
此外，布朗运动的研究也促进了数学的发展，例如：19th 世纪的德国数学家高斯用布朗运动来推导出了移动中心定理；贝塞尔在20世纪初就开始使用布朗运动来描述艺术作品中几何图形的变化。
因此，布朗运动一直以来都是物理、数学和艺术众多学科中重要的课题之一，它研究的内容不仅仅是描述粒子在空间及时间上运动的过程，还包括外力如何作用于粒子，以及外力和质量的影响等微观物理现象，也同时涉及到多学科的内容。
总的来说，布朗运动是一种重要的数学模型，用于描述物理过程中粒子在空间及时间上运动的轨迹，这种运动被描述为外力对X-Y轴坐标的作用。
分形布朗运动原理-概述说明以及解释
分形布朗运动原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述分形布朗运动是一种具有分形特征的随机运动模型，它结合了分形几何学和布朗运动理论。
分形几何学是一门研究自相似性和自统一性的几何学，而布朗运动则是描述粒子在液体或气体中的随机运动。
分形布朗运动的研究源于对自然界中许多复杂现象的观察和模拟。
自然界中的很多系统表现出分形的特征，如树枝的分支、云朵的形状、山脉的轮廓等。
而布朗运动则是对微观粒子在液体和气体中的扩散运动进行建模，是统计物理学的重要研究内容之一。
本文旨在介绍分形布朗运动的基本原理和特征，并探讨其在不同领域的应用。
首先，我们将介绍分形的概念与特征，包括分形维度、自相似性和分形集合的构造方式。
接着，我们会详细讲解布朗运动的基本原理，包括随机性、随机步长和随机时间。
最后，我们将针对分形布朗运动给出其定义和特性，并探讨其在金融、医学、图像处理等领域的应用前景。
通过深入了解分形布朗运动的原理和特性，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，并为相关领域的研究和应用提供理论基础。
同时，对于金融市场的预测、医学图像的处理和模拟等问题，分形布朗运动也有着重要的应用价值。
在未来的研究中，我们相信分形布朗运动将继续发挥其重要作用，并推动相关领域的进一步发展。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们首先对分形布朗运动的概念进行了概述，介绍了其在自然界和科学领域中的广泛应用。
接着，我们对本文的结构进行了简要的介绍，概括了各个章节的内容和目的。
最后，我们明确了本文的目的，旨在深入探讨分形布朗运动的原理及其应用前景。
正文部分分为两个章节，分别是分形的概念与特征以及布朗运动的基本原理。
在分形的概念与特征章节中，我们先对分形的基本概念进行了阐述，介绍了分形几何学的起源和发展。
然后，我们详细讨论了分形的主要特征，如自相似性、分形维度等，并且给出了一些实例进行说明。
分数阶布朗运动,正则
分数阶布朗运动,正则分数阶布朗运动是一种奇特的运动形式，它是随机性和长记忆效应的结合体，被广泛应用于许多领域，如金融、统计物理和生物学。
它是标准布朗运动的变体，其分数阶导数引入了长记忆效应。
正则是指分数阶导数的宽广应用，它们的共同点是它们具有分析性解和有限矩；而最重要的不同是它们的分数阶导数有特定的性质。
一、分数阶布朗运动1.1 定义分数阶布朗运动是一类以分数阶随机微分方程为特征的随机过程，由于分数阶序列在微分方程中出现，这会导致当前的变量取决于早期的变量。
确认其随机过程的本质，需要对其分数阶随机微分方程进行定义和讨论。
1.2 特征分数阶布朗运动是实数域上的平稳和高斯随机过程。
特别是在时间t = 0处的值是零。
它是具有长记忆效应的随机运动，旨在模拟实际现象的时间依赖性和高斯随机性质。
二、分数阶导数2.1 实现方式分数阶导数具有在频率上加权的积分形式，通常通过分数阶微积分的欧拉运算符逐步实现，例如：D^a f(t) = 1/ Γ(1-a) (df(t)/dt) integral from 0 to t (τ-t)-a dt其中0 < a ≤ 1为分数阶导数的指数，Γ是欧拉函数。
2.2 特性分数阶微积分支持多种定义和表示方式，但最常见的是将分数阶导数视为与经典整数阶导数直接相关的某种泛函转换，包括：微分、积分和幂函数。
三、正则3.1 概念正则是指分数阶微积分中被广泛应用的性质，为了保证其解具有实用性和良好的数学性质，需要制定一些规则来解决其使用中出现的问题。
3.2 基本规则(1)实函数f(t)在满足几何条件的前提下允许在其两侧进行纳入处理。
(2)基于本质的5条定理，任何实数a和b，当f(t)在一侧无限制以及收敛时，都允许使用的规则。
(3)洛必达法则允许在lim t→0时解决f(t)和g(t)的极限问题，如果这些函数在某个领域内具有上或下的振荡性，那么无法采用这个方法。
综上所述，分数阶布朗运动和正则在分数阶微积分分析中具有重要的应用。
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动是一种新型的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。
与传统的布朗运动不同，分数阶布朗运动的随机性不仅仅体现在时间上，还体现在空间上。
它的出现，为我们研究复杂系统的动力学行为提供了新的思路和方法。
分数阶布朗运动的特点是具有非局域性和非马尔可夫性。
非局域性是指它的运动状态不仅受到当前位置的影响，还受到之前的位置和时间的影响。
非马尔可夫性是指它的运动状态不仅受到当前状态的影响，还受到之前状态的影响。
这些特点使得分数阶布朗运动的运动规律更加复杂，也更加符合实际情况。
分数阶布朗运动的数学模型可以用分数阶微分方程来描述。
分数阶微分方程是一种广义的微分方程，它的阶数可以是分数或复数。
分数阶微分方程的解具有非局域性和非马尔可夫性，因此可以用来描述分数阶布朗运动的运动规律。
分数阶布朗运动在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
在物理学中，分数阶布朗运动可以用来描述粒子在非均匀介质中的扩散行为。
在化学中，分数阶布朗运动可以用来描述分子在溶液中的扩散行为。
在生物学中，分数阶布朗运动可以用来描述细胞内分子的运动行为。
分数阶布朗运动是一种新型的随机过程，它的出现为我们研究复杂
系统的动力学行为提供了新的思路和方法。
它的应用范围广泛，可以用来描述物理、化学、生物等领域中的扩散行为。
未来，我们还需要进一步深入研究分数阶布朗运动的性质和应用，为科学研究和工程应用提供更加精确和有效的方法。
分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究的开题报告
分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究的开题报告题目：分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究一、研究背景及意义在金融领域中，期权的概念被广泛应用。
障碍期权作为其中的一种，具有相对较高的复杂性和灵活性，并且能够充分地体现出市场风险和交易者的风险偏好。
在市场趋势不明朗或市场价格波动较大的情况下，障碍期权逐渐得到越来越多投资者的关注。
然而，在传统的布朗运动下，采用障碍期权的定价方法进行分析并不完全符合市场实际情况，因为传统布朗运动假设价格的涨跌是服从正态分布的。
事实上，市场价格的涨跌往往存在平均回归和厚尾性等非线性特征。
而分数布朗运动是一种能够更好地模拟这些非线性特征的数学模型，因此在障碍期权的定价和风险管理中拥有广泛的应用前景。
基于此，我们将开展“分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究”，探索并建立分数布朗运动模型下的障碍期权定价方案，为实现风险控制提供科学依据，推动金融行业发展。
二、研究内容（一）研究基础理论1、传统布朗运动下的障碍期权定价方法与模型；2、分数布朗运动模型的基本理论和性质。
（二）分数布朗运动下的障碍期权定价1、建立分数布朗运动下的障碍期权定价模型；2、分析分数阶障碍期权的定价公式和评价指标等；3、基于 Monte-Carlo 模拟方法和数值分析方法求解分数布朗运动下的障碍期权价格和Greek值。
（三）分数布朗运动下的风险管理1、分析分数布朗运动下的障碍期权风险特征；2、建立基于分数布朗运动的障碍期权风险管理模型；3、使用实际的历史数据对模型进行验证和优化。
三、研究方法本研究采用文献资料法、数值模拟法和分析法相结合的方式进行，具体研究方法包括：1、收集和整理与分数布朗运动和障碍期权定价相关的文献资料，深入了解分数布朗运动的基础理论和性质；2、建立和实现分数布朗运动下的障碍期权定价和风险管理模型，并通过 Monte-Carlo 模拟方法和数值分析法验证和优化模型；3、使用实际数据对研究结果进行检验和分析。
分数布朗运动
分数布朗运动分数布朗运动，又称分数阶布朗运动，是一种具有分数阶微积分的随机过程。
它与经典的布朗运动相比，具有更多的自由度和能够刻画更加复杂的现象。
在实际中，分数布朗运动被广泛应用于金融、物理、生物等领域，成为研究非平稳性现象的重要工具。
首先，我们来介绍一下经典的布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，其特点在于其轨迹是随机的、连续的，但具有不可导的性质。
根据中心极限定理，对于布朗运动的任何时刻$t$，其增量 $\Delta B_t$ 满足正态分布，即 $\Delta B_t \sim N(0, \sqrt{t})$。
其中，$N$ 表示正态分布，$\sqrt{t}$ 表示时间步长。
布朗运动在物理、化学、金融等领域广泛应用，例如股票价格波动、大气颗粒的扩散以及分子的随机运动。
然而，经典的布朗运动假设了时间序列的增量是具有零均值和方差的正态分布，这远远不足以刻画很多实际现象的复杂性。
例如，金融市场中的波动往往包含许多长尾，这远远不符合正态分布的假设。
另一方面，物理、生物领域中，很多过程都表现出非稳定性的特点，例如非马尔可夫性和长记忆性，传统的布朗运动无法很好地刻画这些复杂特性。
分数布朗运动的出现，解决了以上问题。
其轨迹可以看作具有随机长程依赖的平稳过程，其增量可以写成如下形式：$\Delta B_t =\frac{1}{\Gamma(\alpha +\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(B_{t+x}-B_t)\frac{dx}{|x|^{\alpha + \frac{3}{2}}}$。
其中，$\Gamma$ 表示欧拉-伽马函数，$\alpha$ 表示分数阶参数，$B_t$ 表示分数布朗运动的轨迹。
这个式子中的积分，描述了长时刻间的记忆和信号的依赖性。
分数布朗运动的一个重要特点，就是具有长记忆性和非马尔可夫性。
长记忆性表示，过去的状态会对当前的状态产生影响，这是由分数阶微积分导致的。
分数布朗运动
分数布朗运动
分数布朗运动是以早期16世纪英国物理学家布朗提出的物理定律为基础的一种运动方式。
它是一种多物体间的连续系统，会不断发生和改变。
一、定义
分数布朗运动是一种按照布朗定律而进行的多物体运动模型，它涉及两个以上的物理实体之间的运动，实体可以是物理粒子、机械能量或化学能量。
在此系统中，物体会受到相互作用的引力而产生碰撞，这种碰撞可以通过影响运动的速度和方向来改变物体的运动。
二、原理
分数布朗运动的基本原理是关于力的定律，即布朗定律，这是经典力学的基础，定义的是当两个物体受外界力的作用而产生的分数布朗运动，它可以用一些公式来表达。
它描述了一个物体在受到另一个物体的力之后，两者间的相互作用如何发生改变。
三、应用
分数布朗运动主要应用于物理科学中，可以用来描述物体在随机和系
统性碰撞中的运动，例如传热学中的传热运动、化学反应中的化学反应运动、动力学中的动力运动。
最重要的是，它被广泛用于天文学、原子物理学、分子物理学和统计物理学等领域，为研究宇宙形成及运动的过程提供了重要的理论支撑。
分数布朗运动也是天体动力学的重要理论之一。
四、优势
分数布朗运动是一种模拟多物体运动的非常有效的工具，它能够解释多物体运动之间的关系。
它可以更系统地解释物体运动之间的力学联系，而且它也具有容易理解的优点，由于它的节约性，因此可以更精确地模拟物体运动。
五、缺点
分数布朗运动对物体和它们之间的力只能提供统计的模拟，无法有效地考虑实际多物体之间的精确的力平衡情况。
它也忽略了重力及其他实际存在的力的作用，因此可能无法实现准确的模拟。
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分数布朗运动金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动与EMH布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征。
其轨迹处处没有切线；粒子移动互不相关。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener 空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
如稳定的Levy分布。
如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
第一次给予布朗运动以严格的数学描述。
但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。
Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。
这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。
同时不会出现惊人相似的反复。
股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。
假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
2 分数布朗运动与分形资本市场2.1 分数布朗运动世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。
有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。
在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。
因此被称为1/f族随机过程。
Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。
分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。
其定义如下：设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且，协方差为。
H=1/2时，即为标准布朗运动。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。
分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。
分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha 等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。
设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:R/S=(aN)H通过对上式取对数，可得：log(R/S)=H(logN十loga)只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。
Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。
当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。
可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。
所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。
2.1 分形资本市场自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。
每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。
现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。
而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。
这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。
曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。
这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。
分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。
彼得斯(Peters)就利用上述方法，在《资本市场的混沌与秩序》中证明了资本市场是分形市场。
事实上，证券市场中收益率明显存在自相似性：日、周和月收益率图形根本难以区分。
另外，他还用相关维方法分析了美国、英国和日本的股票市场指数的分形特征，发现美、英、德的股票市场指数分形维都在2与3之间，这意味着对于经济学系统的股票系统可以用三个变量来建立动力学模型。
最后他得出结论：大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征的，它们有循环和趋势双重特征。
信息并没有像EMH 所描述的那样会立即被反映在价格中。
所以将趋势和随机运动两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。
Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。
分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是非线性系统。
徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天；徐绪松等 (2004) 指出稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础有重大缺陷，分析了分数布朗运动与R/S分析在含义和逻辑上的紧密联系，提出了分数布朗运动是R/S分析的理论基础的观点。
分形理论藉助定量参数分维数来描述系统的分形特征，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，以及局部与整体之间的本质联系。
静态分维数在计算中没有引入时间因素，如Hausdrff维数、合维数、信息维数等，均为系统中某一常数。
动态分维数（都兴富，1994）则是在考虑随时间而变化的基础上计算普通函数和迭代函数的分维数。
运用动态分维数可以对股票期货价格行为的临界点（转捩点）进行辨识且效果较好。
如侯晓鸿和李一智等(1999) 首次应用分形理论的动态分维数研究期货价格行为，对期货价格曲线上峰和谷点进行了辨识，进而判别期价的走势和预测反转。
我们应用动态分维数建立了不动点（转捩点）的非线性动态规划模型（见本专题文章“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”）。
结语广义的布朗运动是研究和发展数理金融学的基石。
布朗运动的理论构筑了金融经济学（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机，使金融经济学研究向一个崭新的领域——分形维数理金融学拓展。