分数布朗运动的简化和应用

第３８卷第６期２００９年ｌ２月上海师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｇｈａｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｉ．３８，Ｎｏ．６Ｄｅｃ．，２００９

分数布朗运动的简化和应用瞿波１，保尔·爱迪生２，孙兰红１（１．南通大学理学院，南通２２６００７；２．卡迪欧数字有限公司Ｅｌｖｉｎｇｓｔｏｎ科学中心，爱丁堡ＥＨ３３１）摘要：近些年来，分数型布朗运动作为布朗运动的扩展形式已经引起越来越多人们的关注，它的应用也涉及到各个方面，特别是应用到河海的染污物的扩散和传播．当大量的污染物用粒子云来模拟时，就涉及到大量的计算．与布朗运动不同的是分数型布朗运动涉及到一个长期的记忆，这也带来了相当大的计算量．这里试图用简单的随机散步来逼近布朗运动，从而得到简化了的分数型布朗运动模型．并从统计的角度分析简化了的分布与原来的布朗运动的区别，并把简化了的分数型布朗运动的模型用到模拟沿海污染物的扩散．关键词：随机散步；布朗运动；分数型布朗运动；扩散系数；污染物的传播中图分类号：０１８４文献标识码：Ａ文章编号：１０００－５１３７（２００９）０６－０５９４－０９

Ｏ引言１８２７年苏格兰植物学家Ｒ．布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现，小颗粒的花粉在水中呈现出的不规则运动，后人把这种运动叫做布朗运动（Ｂｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎ）．布朗运动是一种随机散步现象，它的理论在许多领域中有重要的应用．如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程（Ｐｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓ）

构成了两种最基本的随机过程．本文作者首先从简单的随机散步人手，讨论这些随机散步与布朗运动的逼近程度，然后将简化了的

布朗运动推广到简化了的分数型布朗运动中去，并介绍分数型布朗运动在流体中的应用．

１简化了的布朗运动１．１布朗分布布朗运动Ｂ（ｔ）可以表示成连续的随机函数，即

日（￡）＝Ｉ肜（ｓ）ｄｓ．（１）

这里，随机变量形（ｓ）是高斯白噪声．因为高斯白噪音是互不相关的，并且服从高斯分布（也叫正态分布）Ｎ（０，１），则布朗运动可表示为［１，２３：

Ｂ（ｉ）＝∑形（＿『）．（２）

由于高斯白噪音Ｗ（ｉ）是相互独立的，肜（ｉ）的高斯分布为：

收稿日期：２００９－０６．１０基金项目：英国龙比亚大学非线性数学博士奖学金．作者简介：瞿波（１９６２一），女，南通大学理学院讲师．

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（３）这里盯。是布朗运动每一步的标准差．本文所采用的随机变量石＝Ｒ（ｉ）都在［０，１］范围内，且均值为ｐ＝０．５．若ｚ。为任意ｎ个相同分布的随机变量尺（ｉ）的和，根据中心极限定理，有

Ｅ（尺（ｉ））＝１／２，Ｅ（乏：尺（ｉ））＝ｎ／２．其中Ｅ为期望值．因此，正态分布Ｎ（０，１）的高斯随机变量乙为［３１Ｚ。＝（（∑Ｒ（ｉ））一Ｅ（∑尺（ｉ）））／ｔｒ。卸＝３．４６４１×（∑尺（ｉ））一ｎ／２）／ｎ１／２．（４）

从而，对任意ｉ，高斯白噪声Ｗ（ｉ）＝ｌｉｍＺ。．布朗运动则由（２）产生．这种产生高斯随机数的方法需要选择随机数的个数ｎ，当ｎ不够大时，会产生误差，Ｂｏｘ—Ｍｕｌｌｅｒ方法Ｈ１可以避免这个问题，从而达到更精确的结果．设Ｒ（１），Ｒ（２）是两个独立的，在（Ｏ，１）上的均匀分布的随机变量．假设ｒ（１）＝／一２Ｉｎ尺（１）（２ａｘＲ（２）），（５ａ）

Ｔ（２）＝，／－２Ｉｎ尺（１）ｓｉｎ（２，ｔｒＲ（２）），（５ｂ）则ｒ（１）和ｒ（２）是具有标准差等于１的正态分布．这就是Ｂｏｘ—Ｍｕｌｌｅｒ方法．此方法的证明见［４］．Ｐｒｅｓｓｅｔａ１．（１９８６，１９９２）口１给出了用Ｂｏｘ—Ｍｕｌｌｅｒ的程序．图１就是用Ｂｏｘ—Ｍｕｌｌｅｒ方法生成的高斯白噪声和一维的布朗分布．３２Ｉｏ

重０

一ｌ－２—３０２００４００６００８００１０００

ｆ

ｈ胤．凡．２００４删１６６ｍ矿１０ｃ图ｌ高斯白噪声（左）和一维的布朗运动（右）１．２简单的随机分布定义单步随机散步Ｄｅｌｔａ和常数随机散步Ｃｏｎｓｔａｎｔ：Ｄｅｌｔａ（ｉ）＝（２×尺（ｉ）一１）／ｌ２×尺（ｉ）一ｌＩ，

（５）

Ｃｏｎｓｔａｎｔ（ｉ）＝扭２×Ｒ（ｉ）一１）．（６）

因为布朗运动是一种随机散步，根据中心极限定理的原理，在一定的时间以后，分布的形式就不重要了，只要第一和第二时刻（ｆｉｒｓｔａｎｄ￥ｅｃｏｎｄｍｏｍｅｎｔ）是满足某种关系就行∞Ｊ．研究发现怕Ｊ，Ｄｅｌｔａ和Ｃｏｎｓｔａｎｔ两种分布都满足上面的条件，而且每次用高斯分布计算所需的时间比Ｃｏｎｓｔａｎｔ分布所需时间是２．０±０．４．因此，有必要用两种简单的随机函数来对布朗运动进行近似模拟．图２为二维的单步随机散步和布朗运动．常数随机散步和布朗运动随机散步的二维图形相类似，这里只显示布朗运动的二维图．可以明显地看出，单步随机散步具有网格状散步轨迹，而其他两种随机散步没有这种特征．虽然它们看上去不同，但在某一特定的较大时间步以后，３种随机散步并没有明显的

ＯＯＯＯＯＯ３２●

１ｔ

　万方数据区别．也就是简单的随机散步在一段时间以后逐渐趋于布朗运动．为了论证这一点，从统计的角度来分析前两种简单的随机散步与布朗分布的接近程度．５０４５４０３５３０＾２５２０１５ＩＯ５０－５

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图２二维的随机散步（左：单步，右：高斯）如果一次释放大量的粒子，那么粒子的方差将与释放后的时间≠成正比：Ｖａｒ（ｔ）＝２Ｄｔ（７）

这里扩散系数Ｄ的单位为ｍ２／ｓ．因此，Ｄ可以由方差比时间得到：

Ｄ＝Ｖａ，，ｒ（．ｔ）．．（８）图３是粒子云（Ｐ＝１００，１０００，３０００）释放后的方差与时间之比，从图中可以看出，当粒子云充分大以后（一般Ｐ≥ｌＯＯＯ），３种随机散步的方差几乎在同一条直线上（看Ｐ＝３０００的例子）．这也说明当粒子数充分大时，可以用简单的单步或常数随机散步来近似代替布朗运动．

Ｄ＝０．５，Ｐ是粒子云数图３３种随机散步的方差与时间步长的比

　万方数据第６期瞿波，保尔·爱迪生。孙兰红：分数布朗运动的简化和应用１．３３种随机散步的偏度与峰度的比较

方差是从数据的整个趋势考虑的，如果考虑粒子云的偏度和峰度，可以进一步观察两种简单的随机散步对布朗运动的逼近程度．在正态分布中，偏度等于０，峰度等于３．仔细观察随机散步早期的偏度和峰度图及对不同的粒子云数的偏差平方和的比较（图４，５），可以看出，尽管两种简单的随机散步没有高斯分布精确，但在很短的时间内当粒子数达到一定数目，可以用它们来逼近布朗运动．从图４，５的右图中可以看出，当粒子数大于５００时就可以用简单的随机散步逼近，而当粒子数是３０００时，偏度的偏差平方和小于０．０００５，而峰度的偏差平方和小于０．００４，这时的精确度是很高的．１．０Ｏ．８０．６０．４Ｏ．２Ｏ－０．２

Ｏ．１

ＯＰ＝－１００Ｐ＝－５００Ｐ＝１０００Ｐ＝－３０００

图４左：３种随机散步的偏度图（Ｐ＝３０００）；右：不同粒子云数的比较；Ｄ＝０．５

峰度，Ｐ＝３０００。矿叮一

图５左：３种随机散步的峰度图（Ｐ＝３０００）；右：不同粒子云数的比较；Ｄ＝０．５２分数型布朗运动２．１分数型布朗运动介绍分数型布朗运动（ｆＢｍ）的生成并不像布朗运功的生成那么简单，因为一个ｆＢｍ轨迹并不像布朗运动那样每一步在统计上互相独立，而是ｆＢｍ轨迹上每一点取决于先于那一点的整个的轨迹ｍ８｜，换句

话说，ＩＢｍ有与之相关的长期记忆，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ和ＶａｎＮｅｓｓ

Ｃ９］将零均值的随机函数ＢＨ（ｔ）大概地定义为

一个可变均值ｄＢ日（ｔ），其中过去的增量Ｂ日（ｔ）由核心（ｔ—ｓ）肛寺来确定，即ＢⅣ（￡）＝————ｊ｝Ｊ一。（ｔ—ｓ）Ｈ一寺ｄＢ（ｓ），

（９）Ｊ。（月＋亏）

其中，Ｆ（茗）是伽玛函数，日是轨迹的Ｈｕｒｓｔ指数ｎ０Ｉ．这个定义表明：时刻￡点的随机函数值依赖于零均值及单位变量的高斯随机过程Ｂ（ｔ）在时刻ｓ＜ｔ前面的所有增量ｄＢ（ｓ）．

４３２ｌ０

　万方数据上海师范大学学报（自然科学版）２００９矩作者在曼德尔布罗特的初始定义基础上研究出了一个更实际和精确的分数型布朗运动模型‘３’１ｈ１３］，这个模型的定义是：

ＢＨ（ｉ）一Ｂ。（ｉ一１）＝————耳［∑［（ｉ—Ｊ）Ⅳ一丁１一（ｉ一＿『一１）Ⅳ一寺］Ｒ（，）＋Ｒ（ｉ一１）］］，

（１０）厂（Ｈ＋÷）７“刈Ｚ

Ｂ日（ｔｉ）一ＢＨ（ｏ）＝∑［Ｂ圩（ｉ）一ＢＨ（ｉ—１）］］．（１１）

这里ｔ，＝△ｔ·ｉ，其中△ｔ是单位时间间隔．Ｍ是ｆＢｍ的有限记忆，Ｒ（ｉ）是取样于高斯慨率离散分布的随机步骤．ｆＢｍ粒子分布云的标准偏差遵循以下关系：

ｏｒ—ｘ＝２Ｄｔ．（１２）当Ｈ＝０．５时，就是布朗运动（这里，Ｄ是扩散系数）．２．２３种分数型随机散步

如果把（９，１１）中的高斯概率离散分布换成由Ｄｅｌｔａ，Ｃｏｎｓｔａｎｔ或高斯概率的离散分布，由这些公式所生成的模型统称为分数型随机散步．而由前两种分布生成的模型叫简化了的分数型随机散步．图６是二维空间里的３种分数型随机散步图（左列是分数型Ｄｅｌｔａ随机散步，中列是分数型Ｃｏｎ—ｓｔａｎｔ随机散步，右列是分数型布朗运动）．这里，Ｈ＝０．２，０．５，０．８．注意到当增加Ｈｕｒｓｔ指数时，填满平面的趋势就越来越弱．因为Ｈ＝０．５就相当于随机散步，中间左边的图显然显示出Ｄｅｌｔａ分布的网格特性（与图２，左，类似）．当时间足够大时，基于中心极限定理，离散型的散步效果就散失了，这时，３种分布就有相似的性质．

图７是用ＦＢＭ模型比较了３种分数型随机散步的盯亩比上时间的示意图．由（１２）知，当ｔ＝４００，Ｄ＝１时，盯亩＝８００．从图７右图中可以看出，当粒子数充分大（Ｐ＝１０００）而且记忆Ｍ≥４×Ｐ时∞Ｊ，３种散步的盯青几乎在一条直线上．这说明当粒子数充分大时，可以用简单的单步或常数分数型随机散步来近似代替分数型布朗运动．２．３分数型布朗运动的应用分数型布朗运动有很多应用．图８是代表污染物的粒子云在一个理想化的沿海港湾随时间扩散的例子．这里理想化的沿海港湾的大小是：宽２０００ｍ，长４７７５ｍ，主流区的网格的大小是５０ｍ×１００ｍ，在港湾地带（右边的南北方向上的中部），网格要细一些．从北向南的主流的最大速度是０．６７ｍ／ｓ，平均速度是０．４—０．５ｍ／ｓ．在港湾地带的速度小于主流方向的速度，港湾地带形成一个由主流带来的漩涡流口Ｊ．众所周知，沿海或海洋中污染物的扩散主要包含两种运动：对流和扩散．这里忽略了其他的扩散运动．一群代表污染物的不规则粒子在时刻ｔ＝０时从平面内一点释放出去，粒子云就以下面的方式沿网格点作对流．流体中污染物以对流和扩散两种形式同时结合作运动，粒子在ｉ时的位移为此时问段上对流部分加上扩散部分（扩散部分也就是ｆＢｍ增量）：△茹ｉ＝Ｕ（ｉ）ａｔ＋△Ｂ胁（ｉ），（１３ａ）△Ｙｉ＝ｙ（ｉ）／ｔｔ＋△Ｂ肌（ｉ）．（１３ｂ）在舅及Ｙ方向上每一步的扩散位移为△Ｂ服（ｉ）及△Ｂ晰（ｉ），也就是由（１０），（１１）定义的两个独立的ｆＢｍ的增量．当碰到边界物时，在边界上会产生反射轨迹，整个ｆＢｍ轨迹的正负号也必须因反射而改