分数布朗运动下的新型期权定价
分数布朗运动环境下一类新型期权定价的鞅分析

即 X( s + ) 一X( ) 是期 望 为 0 、 方差 为 C 2 t 的 正态 分布, 则称 { X( £ ) , ≥0 ) 是 布 朗运 动 , 当c 一 1时 , 称 为标 准布 朗运 动 , 记 为 B( £ ) [ 。 布 朗运动 具有 马尔 科夫 性 和鞅性 。
i n f r a c t i o na l Br o wni a n mo t i o n e nv i r o n me nt
LU S h u — q i a n g , B A O S h u — x i n
( Co l l e g e o f Ma t h e ma t i c a l Sc i e nc e ,Da q i n g No r ma l Un i v e r s i t y,Da q i n g 1 6 3 71 2,Ch i n a )
联合 分布 为 n维 正 态 分 布 , 则称 { X( ) , t ∈T} 为
正态 过程 , 也称 Gu a s s 过程_ 9 ] 。
0 引
言
1 几何分数布 朗运动
定义 l 若一个 随机过程 { x( £ ) , ≥O ) , x( ) 是独立增量过程而且关于 t 是连续函数
V S , t> 0 , X( s + )一 X( £ )~ N ( 0, C £ ) ,
B l a c k - S c h o l e s 期权定价 公式 自提 出后被 广 泛应用于金融理论 的期权定价 内容 中, 公式 中假 设股价的分布是对数正态分布 。而近年来对股票 市场的研究结果表明股票市场价格并不完全符合 正态分布 , 而是呈现出“ 尖峰胖尾” 形态 , 股价波动 不 是 随机游 走 的 , 而是 存 在 着 长 期 的 自相 关 性 特 点, 这与几何 布朗运动有一定不 同。而分数 布朗 运动恰好具备长时间 自相关特征 , 它能更好地描
混合双分数布朗运动下欧式期权的定价

混合双分数布朗运动下欧式期权的定价徐峰【摘要】提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动,用来刻画标的资产的价格,进行欧式期权定价的研究。
假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动,运用对冲原理建立混合双分数布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的偏微分方程,并采用边界条件和变量代换的方法得到该偏微分方程的解,即欧式期权的定价公式,其结果可看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广。
%Assuming that the underlying asset is driven by the mixed bi-fractional Brownian motion,this paper proposes a partial differential equation formulation for valuing European option by hedge principle. Moreover, using the boundary condition and the method of variable substitution,we obtain the solution to this partial differential equation-the pricing formula for European option.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】混合双分数布朗运动;欧式期权;定价;长记忆性【作者】徐峰【作者单位】苏州市职业大学商学院,江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.6传统的期权定价都是在假设标的资产服从几何布朗运动的基础上进行研究的,然而近年来大量的实证研究表明,金融资产的对数收益率并非服从正态分布,而是服从一种“尖峰厚尾”的分布,而且其价格之间也并非是随机游走的,存在着长记忆性和自相似性等分形特征,这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.分数布朗运动[1]已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法.但是,文献[2]指出分数布朗运动不是半鞅,许多研究者用不同的方法给出了分数布朗运动的离散逼近,并指出直接将分数布朗运动应用于金融环境将会产生套利机会[3-4],这使得分数布朗运动似乎不适合用于刻画金融资产价格变化的行为模式.从而,部分学者开始研究修正的分数布朗运动,如混合分数布朗运动、双分数布朗运动等[5-6],由于双分数布朗运动不仅具有自相似性和长记忆性的特征,而且在一定的限制条件下是半鞅,因此可以应用于期权定价领域.本文提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动,用来刻画标的资产(如股票)的价格,进行欧式期权定价的研究.本文的结果可作为混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.1.1 混合双分数布朗运动的定义与性质定义1 如果满足均值为0,协方差为则中心高斯过程称为混合双分数布朗运动,其中,σ,ε为两个常数,过程是双分数布朗运动,{Bt}t≥0是标准布朗运动,与独立,当K=1时,混合双分数布朗运动就退化成混合分数布朗运动;当时,混合双分数布朗运动就退化成双分数布朗运动.由定义易知,混合双分数布朗运动具有以下性质.性质1是HK-自相似的,即对任意α>0,过程具有相同的分布;性质2 当具有长记忆性;性质3 当不是半鞅.这些性质的证明可见参考文献[6].1.2 模型假设对金融市场做如下假设:市场无摩擦,即交易费用为零,无税收,不存在无风险套利机会;没有对交易头寸方向的限制,允许买空卖空证券;无风险利率r为常数;标的资产(如股票)的价格变化过程St服从过程式中:μ表示标的资产的收益率.在以下研究中假设根据文献[7]易得到下面的引理.引理1 随机微分方程(1)的解为定理1 设Ct=C(t,St)是欧式看涨期权在t时刻的价格,股票价格满足方程(1),则Ct满足偏微分方程证明构建一个买入一份期权C和卖空Δ份股票S的资产组合Π,即Π=C-ΔS,则选取适当的Δ使得资产组合Π在(t,t+dt)上是无风险的,即dΠ=rΠdt.令,则有即有定理2 假设到期日为T,履约价格为K,则混合双分数布朗运动下欧式看涨期权在任意时刻t∈ [0,T]的价格Ct为式中为标准正态函数.证明由定理1得Ct满足偏微分方程(3),且边界条件为C(T,S)=(S-K)+.令S=ex,C=V(t,x),则易得将上式代入式(3),则有同时边界条件变为令则有将上式代入式(4),则有式中边界条件为根据热传导方程经典解理论[8],式(5)有唯一强解将边界条件代入可得11对式(6)做逆变换易得定理2成立.推论1 当K=1时,可得到混合分数布朗运动驱动下的欧式看涨期权在t时刻的价格为其中注1 该结论与文献[9](当n=1时)中得出的结果一致.注2 当ε=0时,推论1的结果即为双分数布朗运动环境下欧式期权的定价公式,与文献[10]的结果一致.采用类似的方法同样可以推导出欧式看跌期权的定价公式,不加证明地给出下面的定理.定理3 假设到期日为T,履约价格为K,则混合双分数布朗运动下欧式看跌期权在任意时刻t∈ [0,T]的价格Ct为式中为标准正态函数.本文假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动,利用偏微分方程的方法探讨了欧式期权的定价问题.采用混合双分数布朗运动刻画金融资产的价格变化过程在一定程度上比传统模型有所改进,可以看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.另外,混合双分数布朗运动也可以应用于探讨奇异期权(如重置期权、障碍期权等)的定价问题.【相关文献】[1] MANDELBROT B,VAN N J W. Fractional Brownian motion,fractional noises and application[J]. SIAM Review,1968,10:422-437.[2] LIN S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion[J]. Stochastics and Stochastics Reports,1995,55(1/2):122-140.[3] BENDER C,ELLIOTT R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market[J]. Mathematics of Operations Research,2004,29(4):935-945.[4] BJǒ R K T,HULT H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model[J]. Finance and Stochastics,2005,9(2):197-209.[5] LEI P,NUALART D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications[J]. Statistics and Probability Letters,2009,79(5):619-624.[6] RUSSO F,TUDOR C. On the bifractional Brownian motion[J]. Stochastic Processes and their applications,2006,116(5):830-856.[7] ALOS E,MAZET O,NUALART D. Stochastic calculus with respect to Gaussian processes[J]. Annals of Probability,2001,29(2):766-801.[8] 邵宇,刁羽. 微观金融学及其数学基础[M].北京:清华大学出版社,2008:663-674.[9] 徐峰,郑石秋. 混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型[J]. 经济数学,2010,27(2):8-12.[10] 赵巍. 分形市场视角下的期权定价模型及其套期保值策略研究[J].合肥工业大学学报:自然科学版,2013,36(11):1388-1392.。
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型:
一、简介
1、什么是布朗运动:布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境,它可以解释货币市场上证券价格的变化。
2、什么是交换期权:交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约,可以为受益人带来期限内受益权。
二、布朗运动模型
1、正态模型:主要用来描述证券价格的波动情况,如:投资组合的收益,货币市场的利率变化,外汇市场的汇率波动等,都属于正态模型。
2、风险平价法:采取的投资策略定价的主要方法之一,它的核心内容是针对该投资策略,将其成交均价和所有期权进行比较,从而最大化获取投资收益。
三、交换期权定价模型
1、模型表示:交换期权定价模型可以表示为C(t, x),其中t为时间,x为期次,C 为此期权的定价。
2、期权价值:交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定:a)时间价值:当期权到期时,受益人实际获得的利益;b)红利价值:持有期权的受益人所能获得的额外收益;c)可能性价值:持有期权的受益人可能得到的利益总和。
3、期权价格:交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益,在决定期权价格时,还要考虑期权费用及其相关风险成本,以求得最理想的期权价格。
四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型,通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值,并考虑期权费用及其相关风险成本,以求得最理想的期权价格,为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。
混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究

混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究摘要:欧式期权定价一直是金融工程领域的重要研究方向之一。
本文探讨了在混合分数布朗运动假设下,对欧式期权进行模糊定价的方法和应用。
通过引入模糊随机变量的概念,将模糊集理论与分数布朗运动融合,建立了混合分数布朗运动下的欧式期权模糊定价模型。
通过数值实例分析,验证了该模型在欧式期权定价中的有效性和可行性。
1. 引言欧式期权是金融市场中的一种重要金融工具,在证券投资和风险管理中具有广泛的应用。
期权定价理论是金融工程研究的核心问题之一,传统的期权定价模型主要假设资产价格服从几何布朗运动,即假设价格演化满足随机游走的过程。
然而,这一假设存在许多问题,例如不能很好地描述价格波动的厚尾特征,忽视了极端事件的发生概率等。
为了解决这些问题,学者们提出了许多新型的资产价格模型,其中混合分数布朗运动模型是一种重要的创新。
混合分数布朗运动模型旨在克服几何布朗运动模型的局限性,它将长记忆过程和短记忆过程结合在一起,并通过参数调节分数布朗运动模型的漂移和扩散项,使得模型能更好地描述价格序列的波动特征。
在此基础上,本文引入模糊随机变量的概念,结合模糊集理论和混合分数布朗运动模型,研究了在这一框架下的欧式期权定价方法。
具体而言,我们将欧式期权的净现值视为模糊随机变量,并对其进行模糊建模和模糊推理,得到模糊随机变量的分布特征。
然后,通过求解对应的微分方程,得到了欧式期权的模糊随机变量的期望和变异数,从而完成了欧式期权的模糊定价。
2. 混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价模型2.1 混合分数布朗运动模型混合分数布朗运动模型是一种能够较好地描述资产价格波动的模型。
它可以同时考虑长记忆过程和短记忆过程对价格序列的影响,并通过参数调节模型的漂移和扩散项来适应市场的实际情况。
具体而言,混合分数布朗运动模型可以表示为以下形式的随机微分方程:dX(t) = μ(t)dt + σ(t)dW^H(t)其中,X(t)是资产价格的对数收益率,μ(t)是随时间变化的漂移项,σ(t)是随时间变化的扩散项,W^H(t)是分数布朗运动。
分数布朗运动和泊松过程共同驱动下的择好期权定价

( 河北 工业 大学理 学院 , 津 ,0 4 1 天 300 )
摘 要 本 文讨论两资产择好期权 的定价 问题 。在风险 中性假设 下, 建立 了两资产价格过程遵循分数布朗运
动和 带非 时齐 Pi o o sn跳跃一 扩散 过程的择好期权定价模型 , 用期权 的保险精算法 , 出了相应的择好期权 s 应 给
Li ng a u Do y n
( col f c ne H bi mvm ̄ o T cnlg , i j , 04 1 S ho o i c , ee U e i f ehooy Ta i 300 ) Se nn
Ab ta t T / p p rd as w t h p o rcn f e e —o o t n .I e n u rl i k w ad w t r i a e— sr c hs a e e l i t e o t n p ig o b a r f p i s n t e ta —r o i a b t g h i i o h s h r fe r cp e h p in p cn d lo e e —o p in n wh c ep c r c se ft s es a e d v n b re p n i l .t e o t r i g mo e fb R r f o t s i i h t r e p o e s s o i o i o h i wo a s t r r e y i
d £ =P( )( ) P() t r£ P( )= 1 0
一 一
r rJ ●
r ●如 ● J
() 3
其中, () 分别表示第 i t、 个股票期 望收益率 、 价格波动率 , ()表示无 风险利率 , rt ()>0 rt t , )>0 且均为可积函数 , 为常数 , 为大于零 的常数。 A ) ( , B ( 表示定义在完备 t A
基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告

基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告一、研究背景和意义现代金融理论中,期权定价理论一直是研究的重点之一。
期权定价问题主要是考虑买方和卖方在未来的时间内对资产价格波动的不同看法,而推导期权价格的表达式。
现有的期权定价理论包括布莱克-斯科尔斯模型、扩散模型、跳跃扩散模型等,这些模型多数都是基于几何布朗运动环境下建立的,然而实际情况中,市场上的资产价格往往呈现非对称布朗运动。
因此,基于分数布朗运动的期权定价问题研究,在现代金融学理论研究上有着重要的理论和实际意义。
分数布朗运动近年来成为了重要的可用于描绘非对称布朗运动的数学模型,其研究不仅对于理论研究有很大的推动作用,也对实际金融市场的投资决策具有重要的指导意义。
二、研究内容和方法本文将探讨基于分数布朗运动环境下期权定价的几个方向,主要包括以下几个方面:1. 基于分数布朗运动的期权定价模型构建:分数布朗运动是分数阶微分方程组成的随机过程,其特点是具有长记忆性、非马尔可夫性等特征,因此需要建立新的数学模型进行期权定价。
2. 基于分数布朗运动的期权定价理论研究:基于构建的模型,进一步进行期权定价理论的研究,探讨不同模型下的期权价格变化规律。
3. 基于分数布朗运动的期权定价的数值解算方法:由于分数布朗运动的难以解析性质,需要研究出适用于此类问题的解析和数值解法,保证研究过程的可计算性。
4. 基于分数布朗运动的期权定价及其应用的实证研究:通过实证研究来验证理论模型的有效性、适用性,并进一步探讨此类模型在金融市场中的应用价值。
在方法方面,主要采用随机控制方法、最优投资决策和偏微分方程等数学和统计学方法,以及计算机模拟和实证分析等方法。
三、研究预期成果和创新点本文的预期成果和创新点主要有以下几个方面:1. 建立基于分数布朗运动的期权定价模型,以期开发一种更为适用于现实市场的期权定价方法。
2. 探讨基于分数布朗运动的期权定价理论,丰富和完善期权定价理论体系。
基于分数布朗运动的期权定价模型与kospi200指数期权的实证研究

廖 威 胡天衡 宋铭 明
( 江南期货经纪有限公 司, 广 东 深圳 5 1 8 0 5 7 )
摘要 : 期 权 定 价 模 型 理 论 的研 究 对金 融 衍 生 品 这 一 金 融
一
、
基 于分 数 布 朗运 动 的 期权 定 价 模 型
任、 支持和理解 , 提高销售业 绩。 自我心理暗示受诸多 因素影 响 , 包括 自身因素和环境 因 学 和生 理学研究 , 以及脑半 球偏侧性研究 ; 听知觉机制 的声 学 和心理物理学研究 ; 认知 心理研究 ; 音乐 能力 的心里推 测 素。大五模 型告诉我们 , 人格 因素包括 五个 因素 , 即包 括( 1 ) 量分析 ;音乐听赏 的审美和情感放米娜 的社会心理学研究 ; 神经 质 ( 2 ) 外 向性 ( 3 ) 开放性 ( 包括智力和文化两方 面 : 兴趣 治疗 、 教育和工业等领域 的应用研究等 。 因此 , 我有理由大胆 广 泛的 、 好奇 的 、 富于创 造性 的成为正 的一极 ; 保守 的 、 序轨 的假设 , 营销人 员进行音乐 的熏 陶, 对于他们 工作效率 和工 道距 的 、 专深的称为负 的一级 ) ( 4 ) 宜人性 ( 5) 责任感 。 这个假设变成为一个销售 除了大五模型 , 麦氏人格分析也可 以用 来研究 内省沟通 作质量 的提高有潜在的积极影 响。
具挑 战性的工作 , 常常汇遇到 营销失败 的打击 。 所 以, 不论是 因素心里暗示进而对于工作效率 的影响 。 哪一个层 次的 自我暗示 , 营销人员都需要用 积极的 自我 暗示 所谓音 乐心理学 就是以心理 学理论为基础 ,汲取生 理 来增加工 作信 心 , 自我激励 , 调 整 自我情绪 , 摒弃 急功近利 的 学 、 物理学、 遗传学 、 人类 学 、 美学等有关理论 , 采用 实验心理 心态 , 设 身处地 为客户着想 , 积极维 持和发胀 与客户 的长期 学 的方法 , 研究 和解 释人类由原始到高级的音乐 经验和音乐 稳定 关系 , 为开展有 效 的销售工作 打好基 础 , 获得客 户 的信 行为 的心理学分支。 它包含有关音乐 知觉 的生物基础的神经
分数布朗运动环境中应用鞅方法定价欧式期权

权 支付 函数为幂型的 欧式期权 的定价 , 到在分数布 朗运 动环 境下 , 得 具有 不同借 贷利率的幂型 欧式看 跌期权 的定价公式. 丰富 了已有期权定价 结果 , 使期权 定价公式更贴近 于实际.
关 键 词 : 价 鞅 度 ; 数 布 朗运 动 ; 等 分 幂型 欧 式 期 权 中 图 分 类 号 :8 0 9 F 3 . 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 :6 2— 9 6 2 1 )4— 4 3— 3 17 0 4 (0 0 0 0 3 0
第2 卷 第4 6 期
21 年 8月 00
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报( 自然科 学版 )
J u n l f r i ies yo o o r a bnUnv ri fC mme c N tr l c n e dt n o Ha t re( au a i csE io ) Se i
t f p in e p r t n i d r e a o u cin f rt e p we fE rp a p in p i i g i o t x i i s e i d p y f f n t o h o r o u o e n o t r n me o o ao v o o c
mo e ,hi a e b an h we a o f r p a to to rcn om u a wih d fe — d l t s p p ro ti s t e po rp y fsEu o e n pu p in p ii g f r l t ifr e tBo r w—e dig r t n t e e vr n e to r cina o i n m oi n I e ic h x s— n ro ln n a e i h n io m n ffa to lBr wn a to . t nr h t e e it i g o to rcn e u t ,whih m a pi n p ii g f r u a m u h c o e o t e fc . n p in p i g r s ls i c ke o t rcn o m l c l s rt h a t o K e o ds: q v ln a t g l a ur s fa to lBr wn a oi n;p we a of yw r e uia e tm ri a e me s e ; r cina o in m to n o r p y f Eu・ s
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一、 引言
金融市场中的交易品种可以是基本资产,例如,股票、债券或一种货币。交 易品种也可以是价格可从其他基本资产的价格间接衍生出的资产,此时,该交易 品种的资产即为金融衍生产品, 它所涉及的资产则称为标的资产。 金融衍生产品 的投资回报是由标的资产的价格决定的。由于,标的资产的种类有很多,因此, 在金融市场中,就形成了很多不同的金融衍生品,期权就是最基本的一种。期权 是一种持有者在到期时能以某一固定的执行价格购买或售出某种标的资产的权 力。而且这种权力是一种选择权,因此,期权持有者不负有必须购买或售出的义 务。也就是说,买方可以灵活选择是否执行。 按照不同的分类方法, 期权可以分为看涨期权和看跌期权,也可以分为欧式 期权和美式期权。除了欧式和美式这两种标准期权外,还有一些特殊期权,我们 称之为新型期权。 新型期权是比标准期权更复杂的金融衍生产品。 比较常见的有 双向期权,障碍期权,回望期权,混合期权,交换期权和亚式期权等。 期权定价是期权研究的核心问题之一, 也是金融领域数学应用最复杂的问题 之一。经典的 Black -Scholes 公式是期权定价的核心,它建立在有效市场的假 设上,即股票价格的波动相互独立,服从几何布朗运动,其对数收益率独立同分 布。但是对股票市场的大量研究表明,股票价格呈现出“尖峰肥尾”的特征,并 不符合对数正态分布,并且存在长期相依性,所以经典的 Black -Scholes 模型 不能够刻画这些性质。 1994 年, E.E.Peter 提出了分形市场假说, HuY, ksendal, ElliottR.J 和 VanderHoekJ 等建立了分数布朗运动下的随机积分以及相应的公 式,使模型更符合现实股价的运动特征。
三、分数布朗运动下新型期权的定价
(一)交换期权在分数布朗运动下的定价 所谓交换期权,是指假设投资者已经持有某种股票 B,如果投资者预测未来 另一股票 A 比股票 B 的表现更好,投资者就会想办法把股票 B 换成换成股票 A, 聪明的投资者就会购买一份交换期权来达到他的目的。可见,在到期日 T,该份
交换期权的收益为 max S������ ������ − ������������ ������ , 0 ,其中,S������ ������ 、������������ ������ 分别表示股票 A 和股票 B 在到期日 T 的价格。 这里的股票也可以是其他标的资产,可见,交换期权区别于标准期权的本质 特点是交换期权有两个标的资产,期权购买者有权在一定时间内,按照合约规定 的条件将一种资产转换成另外一种资产。 显然,在到期日 T,交换期权的收益结构为 ������ S1 T , ������2 T = S1 T − ������2 T S1 T > ������2 T 0 其它
������
������2 ������ ������������ ������(−������2 )
1 2 2 (������1 ������ − ������2 ������ )������������ + (������1 − ������2 )(������ 2������ − ������ 2������ ) /(������1 2
性质 5 对 H>2 ,������������ (t)有长期依赖性,即:若令 r(n)=E[������������ (1)(������������ (n+1)-������������ (n))],则有
1
Hale Waihona Puke ������ = ∞;性质 6 对 H>2 ,������������ (t)有自相似性,即:若 a>0,则(������������ (at),t≥ 0)和 (������������ ������������ (t),t≥ 0),具有相同的概率分布,其中(������������ (t),t≥ 0)是标准分数布朗运 动。 (二)分数伊藤公式 设������������ = ������ (S������ , ������),V 是二元可微函数。若随机过程S������ 满足 dS������ = ������ S������ ������������ + ������S������ ������������������ ,则 dV������ =
������������ ������������ ������������
������������ + ������������ ������������������������ + ������������������������������ + 2 ������������ 2 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ ������
= S1 t ������������������ − 其中 d = ������������ ������2 ������ + ������1 ������
������ ������
������
������1 ������ ������������ ������ −������1 − ������2 t ������������������ −
������������ ������������
������������
������ 2 ������
������������
证明:把������������ = ������ (S������ ,t)泰勒展开,有 dV������ =
1
������������ + ������������ ������������������ + 2 ������������ 2 (������������������ )2 + ������(������������������S������ ) + ������
2������
������������
1 ������ 2 ������
由于������������ ������, ������ = 2 ( ������
2������
− ������ − ������
2������
),则 E[������������ ]2 = ������ 2������ ,
即(dB������ )2 近似为 2H������ 2������−1 ,所以 (������������������ )2 = (������������������������ + ������������������������������ )2 = μ2 ������������ 2 ������������ 2 + ������ 2 ������ 2 ������������������ 2 + 2������������������ 2 ������������������������������ = 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������(������������) 从而得到 DV������ = =
性质 3 性质 4
������������ = ������������ (������)������≥0 是高斯过程,E������������ 2 = ������ 2 ; ������������ = ������������ (������)������≥0 有连续轨线;
1 +∞ ������ =1 ������
其它其中S1 T , ������2 T 分别表示标的资产S1 , ������2 在到期日 T 时的价格,且分别 服从几何分数布朗运动,即
������������������ (������ ) ������������ (������ )
= ������������ ������ − ������������ ������ ������������ + ������������ ������ ������������������ ������
������������ ������������
+ ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ = 1,2,
其中������������ ������ 和������������ ������ 分别表示资产������ 的期望报酬率和报酬率的标准差,������������ ������ 为红 利率。通过推导,本文得出如下结论: 设无风险利率 r(t)为非随机函数,考虑红利支付,在假设资产价格服从几 何分数布朗运动的条件下,交换期权在t ∈ 0, ������ 时刻的定价公式为 ������ S1 t , ������2 t , ������
2������
)的连续高
Hurst 指数 H(0<H<)的分数布朗运动,记为
������������ = ������������ (������)������≥0 。如果 H=2,那么������������ = ������������ (������)������≥0 就是标准的布朗运动 B(t)。 由这一定义得到分数布朗运动������������ = ������������ (������)������≥0 有下列性质: 性质 1B������ (0)=0,E[������������ (t)]=0 对于所有 t≥0 成立; 性质 2 ������������ = ������������ (������)������≥0 是平稳增量过程;