布朗运动理论一百年
布朗运动理论
布朗运动理论布朗运动是物理学中的一种现象，由罗伯特·布朗在19世纪末观察到并进行了详细研究。
该理论被广泛应用于许多领域，如颗粒物理学、化学、生物学和金融等。
本文将探讨布朗运动的定义、原理以及应用，并对其重要性进行分析。
一、布朗运动的定义布朗运动是一种无规则的、连续的、无记忆性质的运动。
在布朗运动中，微小粒子或颗粒不断地做无规则的运动，呈现出随机性和不可预测性。
这种运动的主要特点是颗粒以相对较小的速度在液体或气体中做无规则的碰撞和扩散运动。
二、布朗运动的原理布朗运动的原理主要是由液体或气体中的分子碰撞引起的。
根据统计物理的观点，在溶液或气体中，微观颗粒受到分子碰撞的力的作用，从而产生了布朗运动。
这种分子碰撞是随机的，没有规律可循。
三、布朗运动的数学描述布朗运动的数学描述采用随机游动的模型。
在一段极短的时间间隔内，粒子的运动方向和速度都是随机的。
根据这一模型，布朗运动可以使用随机过程来描述，其中最普遍的模型是随机游动模型。
四、布朗运动在物理学中的应用1. 粒子物理学：布朗运动在粒子物理学中是一个重要的参考，可以用来描述粒子在物质中的扩散运动。
2. 化学反应：布朗运动在化学反应中起到了重要的作用。
通过对布朗运动的研究，可以更好地理解化学反应速率和反应动力学。
3. 生物学：布朗运动在细胞生物学和分子生物学中也具有重要意义，用来描述细胞内分子的运动。
五、布朗运动在金融中的应用布朗运动在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动模型被用来描述股票价格、证券价格等金融市场中的随机波动。
通过布朗运动模型，可以进行期权定价、风险管理等金融工具的应用和分析。
六、布朗运动的重要性布朗运动的研究对我们理解自然界、物质运动和微观粒子行为有着重要的意义。
它为我们提供了对随机性运动的认识，并在许多领域中提供了解决问题的方法和途径。
布朗运动的应用广泛，在理论和实践中均发挥着重要的作用。
七、结论布朗运动理论从物理学、化学、生物学到金融学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解自然界中的随机运动具有重要意义。
布朗运动、郎之万方程式、与布朗动力学
將方程式(1)乘上x，我們得到
m
d dx dx 2 d2x x m x dt 2 dt dt dt m dx x R(t ) )與粒子所處位置x並無相關性，所以
R (t ) x 0 。同時熱力學平衡時，系統中粒子的平
而 言 ， Brownian Dynamics 算 是 一 種 coarse-grained model。 在含許多布朗粒子的系統中，遵循動量守恆概念 的『郎之萬』方程式可直接推展為
mi
d 2 xi dx mi i i Fi j R i 2 dt dt j
(4)
這裡 ri 與 mi 分別為布朗粒子i的位置與質量， i
R i (t )R j (t ) 2 i k B T ij (t )I ，這裡 I 為 3 3 的單
位張量(unit tensor)， k B 是波茲曼常數，T為絕對溫度，
i j 是Kronecker delta ( ij =0, 若ij； ij =1, 若ij)。當
流體的黏滯阻力很大或是僅對長時間的結構動態有興 趣時，我們可以忽略在方程式(4)左邊的慣性項，方程 式 簡 化 成 “ 位 置 朗 之 萬 方 程 ”(Position Langevin Equation)。
(friction coefficient) 。 將 該 結 果 代 入 Nernst-Einstein Equation可得到Stokes-Einstein equation， D k BT 。 6a 綜而言之，兩類方法可用來描述布朗粒子在外加 力場下的隨機運動。第一種方法是以機率平衡方程 Fokker-Planck Equation來描述粒子在時間t、位置x、速 度 v 時的機率 P(x,v,t) ；第二種方法則是透過 Langevin Equation來描述粒子隨著時間t改變的運動軌跡。這些 研究方法除了被使用在瞭解布朗運動外，也被運用到 其它熱擾動扮演重要角色的研究領域，例如化學反應 動 力 學 (chemical dynamics) 和 生 物 奈 米 科 技
布朗与布朗运动的发展
Ε W s fα ( x , y )W s fα ( x + τ x , y + τ y ) = Rw s fα (τ x , τ y )
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布朗运动在经济方面的发展
亚 权 张 权 约， 权 内 均值 声资产 经历 价格 均值。这 谓 均 两 均。 Jt…÷•I 个 义： 术 均 均。假设Jt…÷•I ， 径变 从 时刻时 时刻tŠf•® ， 么 均值 均值
算术平均 离散情形 几何平均
1 n Jn = ∑i =1 Sti n 1 t Jt = ∫ Srdr t 0
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布朗运动的发现
布朗运动是小颗粒的运动，不是分子的运动， 布朗运动是小颗粒的运动，不是分子的运动， 它是液体（或气体）分子无规则运动的反映。 它是液体（或气体）分子无规则运动的反映。
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r ˆ ∞ ψ (w) r ∞ r r ˆ Cψ = ∫ r dw < ∞ ⇒ψ (0) = 0 ⇒ ∫−∞ψ (x)dx = 0 −∞ w
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布朗运动在数学方向的发展
二维估计分数布朗运动（fBm特征）及其应用使 特征） 二维估计分数布朗运动（fBm特征 用小波
爱
与 运动
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布朗运动在数学方向的发展
布朗运动理论
布朗运动理论一百年1布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 科学前沿与未来2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
布朗运动的数量级
布朗运动的数量级1.引言1.1 概述布朗运动是由英国科学家罗伯特·布朗于1827年发现的一种微粒在液体或气体中无规律地运动的现象。
它是由于流体中的微观分子的碰撞和运动而产生的，这些微观分子与布朗粒子产生的碰撞使得布朗粒子呈现出随机运动的特点。
布朗运动是一种无规律的、不可预测的运动，即使在相同初始条件下，每次运动的轨迹也都是不同的。
布朗运动的轨迹呈现出无规律性和随机性，在统计学上可以用随机漫步模型来描述。
这种运动在很多领域都有着广泛的应用，比如金融、物理学、生物学等。
布朗运动的数学模型是通过随机漫步理论来描述的。
随机漫步理论认为，在布朗运动中，布朗粒子在每个微小时间段内的位移是一个随机变量，符合正态分布。
这种随机性使得布朗运动的轨迹呈现出连续不断的波动，与我们日常观察到的运动方式有所不同。
布朗运动的数量级分析是对布朗运动中的运动特性进行量化和分析的过程。
通过对布朗运动的数量级进行分析，可以揭示出布朗粒子的运动规律和特点。
布朗运动的数量级分析可以从多个角度进行，比如分析布朗粒子的速度、位移、扩散系数等。
这些分析有助于我们更好地理解和应用布朗运动。
在实际应用中，布朗运动具有很高的意义。
例如，在金融领域，布朗运动被广泛应用于股市价格的预测和波动性分析。
在物理学中，布朗运动被用于研究微观粒子的运动和扩散行为。
在生物学中，布朗运动被用于描述细胞内分子的运动和扩散过程。
布朗运动的研究和应用为我们深入理解自然界中的运动现象提供了重要的理论基础。
总之，布朗运动是一种无规律的、随机的运动现象。
它的数学模型通过随机漫步理论进行描述，数量级分析可以揭示出布朗运动的运动规律和特点。
在实际应用中，布朗运动具有广泛的应用价值，为我们认识和探索自然界中的各种运动现象提供了重要的理论支持。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕布朗运动的数量级展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对整篇文章进行概述，介绍了布朗运动的基本定义和特点。
统计物理学中的布朗运动模型
统计物理学中的布朗运动模型在统计物理学的研究中，布朗运动模型是一个非常重要的概念。
它的研究源于对自然界中微观粒子运动的观察和理论推导。
布朗运动模型在物理、化学、生物学等学科的研究中都有广泛应用，由此可见它的重要性。
布朗运动模型最初是由英国科学家罗伯特-布朗在1827年观察颗粒在水中做无规则运动而提出的。
这种无规则运动是小颗粒在液体中被分子碰撞碰散之后的结果。
后来，法国物理学家爱因斯坦在他的博士论文中给出了对布朗运动的更加深入的理论描述，建立了现代布朗运动模型的理论基础。
布朗运动的特点在于：颗粒的运动轨迹呈现无规则的、扭曲的、抖动的形式，一般而言不呈现任何规则性。
这种运动状态被称为布朗运动，也常常被称为三维随机游走。
随机游走在物理学中是指一个性质相同的微观粒子在时刻之间独立地随机“跳动”，这里的“跳动”可以是粒子沿某个方向的“行走”，也可以是粒子的随机运动。
布朗运动可以用统计物理学中的随机过程理论来描述，这样的过程可以用概率分布来刻画。
布朗运动模型的研究对于理解分子扩散、粒子输运、热力学等诸多问题具有重要意义。
分子扩散是物质传递和物质转化过程中的基础问题，布朗运动模型对其的解释与研究为分子扩散现象的研究奠定了基础。
粒子输运是生物分子运输、微流控领域以及材料科学中的一个关键问题，这个问题也可以通过布朗运动模型进一步探究。
热力学是物理学中的一个基本分支，它研究了热的本质和热现象的性质，布朗运动模型在热现象的研究中也发挥了重要作用。
布朗运动模型研究的一个重点是描述和探究它的统计行为。
这个主题对于我们了解布朗运动的性质、发展布朗运动理论以及应用布朗运动模型进行实验有着重要意义。
传统的统计物理学中，我们用统计物理学中的基本概念来研究系统，其中群体性质占据中心地位。
通过这样的方法，我们可以了解群体性质如何影响运动、热力学性质、输运等现象。
统计物理学中研究的随机过程模型也可以用来研究布朗运动模型，这里的“随机过程”是指某个或某些物理量在时间或空间上呈现出的不确定性。
布朗运动理论简介
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
标准布朗运动
标准布朗运动布朗运动是指微观粒子在液体或气体中因受到分子碰撞而呈现出的无规则运动。
这种运动最早由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年观察到，因而得名。
标准布朗运动是指在标准条件下进行的布朗运动实验，其结果被用作研究微粒子在流体中的运动规律的基础数据。
在标准布朗运动实验中，通常会选择一种特定的微粒子，如颗粒或胶体微粒，悬浮在特定液体中，并通过显微镜观察其运动轨迹。
通过记录微粒子在不同时间段内的位置变化，可以得到微粒子的位移、速度和加速度等运动参数，从而揭示微粒子在流体中的运动规律。
标准布朗运动的研究对于理解分子动力学和热力学性质具有重要意义。
根据爱因斯坦在1905年提出的布朗运动理论，微粒子在流体中的运动服从于随机过程，其平均位移与时间成正比，速度的平方与时间成线性关系。
这一理论为后续对布朗运动的研究提供了重要的理论基础。
通过对标准布朗运动的实验研究，科学家们发现微粒子在流体中的运动呈现出与经典力学规律不同的特性。
在布朗运动中，微粒子的运动轨迹呈现出无规则性、不可预测性，这与牛顿力学的确定性运动规律形成鲜明对比。
这一现象被称为“布朗运动之谜”，成为了物理学和化学领域中的一个重要研究课题。
除了理论研究外，标准布朗运动在实际应用中也具有重要意义。
例如，在纳米技术领域，研究微纳米尺度下颗粒在流体中的运动规律对于设计纳米材料和纳米器件具有重要意义。
通过对标准布朗运动的研究，科学家们可以更好地理解微纳米尺度下颗粒的扩散、输运和聚集等过程，为纳米材料的制备和应用提供理论指导。
总之，标准布朗运动作为研究微粒子在流体中运动规律的基础实验，对于理解分子动力学和热力学性质具有重要意义。
通过对布朗运动的观察和分析，科学家们揭示了微粒子在流体中呈现出的无规则运动特性，为纳米技术和其他领域的应用研究提供了重要的理论基础。
因此，标准布朗运动的研究不仅在理论上具有重要意义，同时也具有广泛的应用前景。
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布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发：假定在t =0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是：即粒子的密度遵从高斯分布。
对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是：〈x〉=0，〈x2〉=2Dt于是得到扩散长度的公式：这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
3 无规行走问题如果把时间离散化为步长Δt的小段，令t=nΔt，同时保持Δt适当的大，使得每小段时间头尾的运动彼此无关，于是行走n步的结果x n就是n 个独立随机变量之和。
自然：〈x n〉=0，〈x n2〉∝n可见，均方距离并不比例于步数n，而是：∝这里的1/2幂次出现在高分子构象统计等许多涉及随机运动的理论中。
离散的无规行走问题本身早已经发展成一个活跃的研究领域。
最简单的等步长的无规行走问题，除了〈x n〉=0，〈x n2〉∝n，还有一个重要特征量：从原点出发再次返回原点的概率。
它与空间维数有关。
一维行走返回原点的概率为1；二维行走返回原点的概率也是1；但三维行走返回原点的概率小于1，仅为 0.3405373296… （Pólyá常数）。
纯无规行走对于走过的点没有记忆。
非随机性表现为对历史的某种记忆。
可以考察〈x n2〉同n的关系，来判断所研究的过程偏离完全随机的程度。
如果走过的点都不许再碰，称为自回避行走（英文缩写是SAW）。
这是对溶液中高分子链的很好描述。
一种二维的、只是第一步不许返回的无规行走问题导致统计物理学中著名的二维伊辛（Ising）模型的严格解，但相应的三维推广只给出一个封闭的高温近似解。
[1]试问平面中n步正向SAW有多少种？这个种类数m是没有封闭解但存在具体答案的计数问题的实例：n123456789…m1251230731834561151…这是《整数序列全书》[2]中的第A046170号序列。
我们再看一个无规行走的“现代”应用：DNA行走。
对很长的由4个字母组成的DNA序列，令A、C、G、T对应上下左右4个方向。
从2维格子的原点和序列的最左端出发，每见到一个字母移动一格。
这不是随机行走，因为每个序列对应一个特定的实现，不能随机重复和取平均值。
然而，可以随着n增加，问行走n步之后，到原点的距离r n的平均值和平方平均值如何随n变化？自然，〈r n〉=0，但〈r n2〉∝nα中的指数α是大于、小于还是等于1/2？1992年发表在英国《自然》杂志上的一篇文章[3]考察了一维的DNA行走，即只区分两个左右方向：遇嘌呤（A或G）向左一步、遇嘧啶（C 或T）向右一步。
他们的结论是α＞1/2，而且编码段比非编码段更随机。
这篇文章引起了几百篇后继论文，正反参半。
4 皮兰实验和诺贝尔奖爱因斯坦并没有因为布朗运动理论而得到诺贝尔奖，但法国物理学家皮兰（Jean Baptiste Perrin，1870—1942）却因为1908年以来证实爱因斯坦理论的实验研究获得1926年的诺贝尔物理学奖。
获奖说明是“为了他关于物质离散结构特别是沉积平衡的发现”。
当时布朗运动实验的主要意义在于它证明了分子存在，并且提供了测量阿佛伽德罗常数的一种新办法。
沉积平衡的直观实例发生在超速离心机中。
高速旋转的处于水平位置的试管里，大小不同的颗粒在离心力作用下沿径向往外运动，越往外离心力也越大，但所受到的液体的黏滞阻力也越大，于是在一定半径处达到平衡。
这是现代分子生物学实验室里分离大小分子集团的重要手段之一。
由沉积平衡定义的沉积系数S，在分子生物学中作为分子量的度量一直沿用至今。
例如，23S rRNA确实比16S rRNA大，但并不成简单比例关系。
有趣的是同年的诺贝尔化学奖颁给了瑞典人斯维德堡（Theodor Svedberg，1884—1971），理由是“为了他关于弥散系统的工作”，而斯维德堡的诺贝尔演讲题目却是“超速离心机”。
沉降系数S又称斯维德堡单位，并没有因为皮兰而改用P。
5 朗之万方程法国物理学家朗之万（Paul Langevin，1872—1946）是中国物理学界的朋友。
他在1931年作为国际物理学联合会的代表来到当时的北平，协助建立了中国物理学会，并且当选为中国物理学会的第一位外籍会员。
他是我国声学前辈汪德昭先生的老师。
朗之万晚年成为法国共产党人和反法西斯抵抗运动的斗士。
爱因斯坦用统计物理和流体力学方法，考察多个布朗粒子的分布，导出了扩散长度公式。
朗之万在1908年为单个粒子写出“随机力”F(t)作用下的“牛顿方程”：其中摩擦系数由斯托克斯公式k=6πηa/m给出，这里η是液体的黏性、a是球形粒子的半径，而m是粒子质量。
这是历史上第一个随机微分方程。
我们先不把随机力F(t)具体化，直接对线性的朗之万方程求积分：重要的不是各种物理量的瞬时值，而是它们的时间平均值，例如：上面各式中的尖括号表示对随机力的分布求平均值。
很自然地假定：于是在t→∞的极限，速度的平均值为零，而速度的自关联也极短。
朗之万方程肇始了整个随机微分方程的数学理论。
我们主要沿三条线对后来的发展稍作说明：（1）朗之万方程的各种推广：广义朗之万方程；（2）决定朗之万随机变量分布函数的方程：福克—普朗克方程；（3）朗之万解空间上的连续积分。
6 广义朗之万方程线性的朗之万方程后来结合各种应用被大踏步地推广。
广义朗之万方程可以写成：其中非随机力K i由两项组成：第一项是可以由位势V微分得到的广义力，σij的对称部分对应耗散，而反称部分对应保守的正则力；第二项是不能由位势得到的正则力，例如磁矩在磁场中所受力。
这就是川崎恭治用手工加进去的“模模耦合项”：其中A ij是反称的泊松括号或对易子。
对随机力做高斯分布假定：上式中σij与非随机力中的σij的对称部分相同，这是涨落耗散定理的后果。
7 涨落耗散定理其实，出现在线性的朗之万方程或广义朗之万方程中的两个常数，摩擦系数k和涨落力的关联强度D（或前面σij的对称部分）并不能随便给定。
它们的关系要由“终值条件”决定：时间无穷长时，布朗粒子要与所处环境达到热平衡，也遵从能量均分定理。
联系这两个量的关系因而含有温度T。
这个关系式也出现在爱因斯坦1905年的论文中。
这是涨落耗散定理的一个实例。
涨落耗散定理的另一个早期实例是电路中电流噪声和电阻的关系。
这两个例子代表着两类涨落耗散定理。
线性输运过程框架内的涨落耗散定理的一般理论，是在20世纪50年代建立的。
涨落耗散定理是接近平衡态的非平衡理论的重要内容。
接近平衡但又处于不平衡的系统中有三种最基本的过程，这就是趋向平衡、线性输运和涨落。
这三种过程本质上密切相关。
假定液体中某处的溶质浓度忽然比附近增高，因而局部偏离平衡，那下一时刻就会产生粒子流使得多余的溶质向浓度低的方向扩散。
扩散流比例于浓度梯度。
扩散引起耗散，不过耗散是比例于扩散流的平方的二阶效应。
无论局部的浓度增加是由于从外界注入溶质，还是来自内部涨落，随后发生的扩散过程是一样的。
这是涨落耗散定理的物理基础。
微分方程的初值问题在物理学中处理简单问题时比比皆是、司空见惯。
涨落耗散定理出现在求解朗之万方程所加的终值条件中。
我们在讨论布朗运动这样的复杂现象时常常遇到“终值条件”。
生物学家们描述更复杂的生命现象时有时使用“目的论”（teleology）的语言就更不足为奇了。
8 输运系数对称原理既然提到了线性输运过程，我们就再说几句，以便后面讲到涨落场论特别是其非线性推广时，有所对比。
首先是广义力和广义流的概念。
电位差导致电流，浓度差导致扩散流，温度差导致热流，等等。
可以定义广义势V，它的势差给出广义力F i，而广义力导致广义流J i。
这是“对角项”。
还可以存在非对角的交叉项：电位差可以导致热流，温度差可以引起电流，等等。
在线性范围内可以写成。
上式中ij称为输运系数。
恰当定义输运系数后，ij=ji，这就是输运系数对称原理或“倒易关系”。
历史上最早的倒易关系是19世纪汤姆逊为热电系数和电热系数导出的，他当时巧妙地利用了一个热循环做论据。
1968年昂萨格（Lars Onsager，1903—1976）因在1931年提出输运系数对称原理而获得诺贝尔化学奖。
顺便提一句，所谓“恰当”定义输运系数，就是考察决定总耗散的二次型，把它对角化以后的平方项的系数适当地归入原来线性输运系数的定义。
通常，这就是补上温度T的一定幂次。
9 欧尔斯坦-乌伦别克过程其实，前面依据物理直观写出的朗之万方程或广义朗之万方程，在数学上很成问题。
随机项使得它们的解可能变得无界，所涉及的导数也可能不存在。
由此在随机微分方程理论中引出来整个新篇章，如所谓伊藤清（ItÔ）算法和Stratonovich算法，它们在数学上等价，但数值计算时的方便程度不同。
我们不去涉足这些数学理论，只指出朗之万方程的一种研究得比较好的极限情况，是定常、高斯、马可夫和连续概率分布条件下的随机过程，即欧尔斯坦-乌伦别克（OU）过程。