布朗运动理论
布朗运动理论
布朗运动理论布朗运动是物理学中的一种现象，由罗伯特·布朗在19世纪末观察到并进行了详细研究。
该理论被广泛应用于许多领域，如颗粒物理学、化学、生物学和金融等。
本文将探讨布朗运动的定义、原理以及应用，并对其重要性进行分析。
一、布朗运动的定义布朗运动是一种无规则的、连续的、无记忆性质的运动。
在布朗运动中，微小粒子或颗粒不断地做无规则的运动，呈现出随机性和不可预测性。
这种运动的主要特点是颗粒以相对较小的速度在液体或气体中做无规则的碰撞和扩散运动。
二、布朗运动的原理布朗运动的原理主要是由液体或气体中的分子碰撞引起的。
根据统计物理的观点，在溶液或气体中，微观颗粒受到分子碰撞的力的作用，从而产生了布朗运动。
这种分子碰撞是随机的，没有规律可循。
三、布朗运动的数学描述布朗运动的数学描述采用随机游动的模型。
在一段极短的时间间隔内，粒子的运动方向和速度都是随机的。
根据这一模型，布朗运动可以使用随机过程来描述，其中最普遍的模型是随机游动模型。
四、布朗运动在物理学中的应用1. 粒子物理学：布朗运动在粒子物理学中是一个重要的参考，可以用来描述粒子在物质中的扩散运动。
2. 化学反应：布朗运动在化学反应中起到了重要的作用。
通过对布朗运动的研究，可以更好地理解化学反应速率和反应动力学。
3. 生物学：布朗运动在细胞生物学和分子生物学中也具有重要意义，用来描述细胞内分子的运动。
五、布朗运动在金融中的应用布朗运动在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动模型被用来描述股票价格、证券价格等金融市场中的随机波动。
通过布朗运动模型，可以进行期权定价、风险管理等金融工具的应用和分析。
六、布朗运动的重要性布朗运动的研究对我们理解自然界、物质运动和微观粒子行为有着重要的意义。
它为我们提供了对随机性运动的认识，并在许多领域中提供了解决问题的方法和途径。
布朗运动的应用广泛，在理论和实践中均发挥着重要的作用。
七、结论布朗运动理论从物理学、化学、生物学到金融学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解自然界中的随机运动具有重要意义。
布朗运动理论一百年
布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发：假定在t =0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是：即粒子的密度遵从高斯分布。
分子运动和布朗运动
分子运动和布朗运动是物质微观层面上的基本现象，对于我们理解物质的性质和行为具有重要意义。
分子运动是指在物质内部，分子之间不断的碰撞和运动。
布朗运动则是指物质微粒在液体或气体中无规则地做着无止境的运动。
分子运动是由分子的热运动所驱动的。
每个分子都有自己的热运动能量，而且这种能量与分子的温度相关。
分子热运动的速度与温度成正比，温度越高，分子的热运动速度越快。
在分子运动中，分子之间会不断地碰撞，这些碰撞产生的力使得分子发生运动。
同时，热运动也使得分子通过无规则的扩散向各个方向传递热量。
布朗运动是由分子运动引起的，它是分子运动在液体或气体中的表现形式。
这种运动是因为分子受到环境分子的碰撞而不断改变方向和速度。
这里要提到的是布朗运动是一个无规则的过程，所以分子的运动轨迹是完全随机的。
布朗运动也均匀扩散了分子间的能量，使物体整体达到均衡热力学状态。
布朗运动的研究对我们理解物质的性质具有重要的意义。
爱因斯坦为解释布朗运动提出了布朗运动理论，并利用这一理论成功解释了大量实验结果。
布朗运动不仅证明了分子运动的存在，也证明物质的微观粒子无论是在静止还是运动状态下都不可能具有确定的轨迹。
根据布朗运动理论，我们可以研究物质的精细结构，包括原子和分子之间的相互作用力以及它们运动的规律。
分子运动和布朗运动的理论也为现代科学技术的发展做出了巨大的贡献。
在材料科学中，我们可以通过控制分子运动来改变物质的性质，从而设计出更好的材料。
在生物学中，通过对细胞内分子运动的研究，我们能够了解细胞的内部机制和生物分子之间的相互作用。
在纳米技术中，分子运动和布朗运动的理论为设计和制造新型纳米材料打下了基础。
总之，分子运动和布朗运动是物质微观层面上的基本现象。
有了对这两个现象的深刻理解，我们能够更好地认识世界，掌握科学知识并开展相关研究。
这两个理论在生活中的应用也是多样的，它们促进了科技的进步和人类社会的发展。
我们相信随着科学技术的不断发展，对分子运动和布朗运动的认识会进一步深化，为更多领域的创新提供动力。
标准布朗运动
标准布朗运动
布朗运动是19世纪末由英国植物学家罗伯特·布朗首次观察到的一种微观粒子的无规则运动现象。
在物理学中，布朗运动是指在液体或气体中悬浮的微小颗粒因受到分子碰撞的不规则推动而产生的无规则运动。
这种运动的特点是速度快慢不一，方向变化无常，呈现出一种无规律的、随机的状态。
标准布朗运动是指在一定条件下，颗粒在液体或气体中受到的推动力是由于周围分子的碰撞而产生的，且这些分子的碰撞是符合玻尔兹曼分布的。
这种运动的特点是速度服从高斯分布，即大部分颗粒的速度接近平均速度，而极少部分颗粒的速度远离平均速度。
同时，颗粒的位移随时间的平方根增加，这也是标准布朗运动的一个重要特征。
标准布朗运动是研究物质微观性质的重要手段之一。
通过观察和研究颗粒在液体或气体中的运动状态，可以了解物质微观粒子的运动规律，揭示物质的微观结构和性质。
同时，标准布朗运动也在纳米技术、生物医学等领域有着重要的应用价值。
在实际应用中，科学家们利用标准布朗运动的特性，开发出了
一系列的技术手段和设备。
例如，通过跟踪颗粒在液体中的运动轨迹，可以测定液体的粘度；利用颗粒在气体中的扩散速率，可以测定气体的扩散系数。
此外，标准布朗运动还可以用于纳米颗粒的定位和操控，为纳米技术的发展提供了重要支持。
总之，标准布朗运动是一种重要的物理现象，它不仅有助于我们深入了解物质微观世界的运动规律，还为科学研究和技术应用提供了重要的理论基础和实验手段。
相信随着科学技术的不断发展，标准布朗运动将在更多领域展现出其重要的作用，为人类社会的发展做出新的贡献。
第三章 布朗运动
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
布朗运动理论简介
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
分子解释布朗运动
分子解释布朗运动
布朗运动，又称布朗颗粒运动或布朗分子运动，是指在液体或气体中微小颗粒的随机运动。
这种运动是由于周围分子与颗粒之间的碰撞导致的。
根据布朗运动的分子解释，液体或气体中的分子会不断地与微小的颗粒进行碰撞。
这些碰撞会使颗粒不断地改变其位置和方向。
由于碰撞是随机的，颗粒的运动路径也是随机的。
布朗运动的具体机制可以用分子动力学理论来解释。
根据这一理论，颗粒受到来自周围分子的撞击力，这些力在大小和方向上都是随机的。
由于颗粒与周围分子的运动碰撞是连续和不规则的，颗粒的位置和运动方向也会随之改变。
布朗运动的分子解释在维斯曼的实验证明中得到了证实。
维斯曼观察到在显微镜下观察到的微小颗粒呈现出不规则的、快速且连续变动的运动。
他将这一现象归因于分子的碰撞。
布朗运动在科学研究中有着广泛的应用。
例如，在纳米科技领域，可以利用布朗运动来研究纳米颗粒的形态和动力学特性。
布朗运动也被用于验证分子动力学模型以及研究流体力学、扩散现象等多个领域。
随机游走与布朗运动
随机游走与布朗运动随机游走（Random Walk）是指一个对象在定义好的空间中，以随机的方式移动的过程。
它是一种迭代的、随机性强的运动过程，常常被用于模拟许多现实生活中的随机现象。
布朗运动（Brownian Motion）是随机游走的一种特殊形式，也被称为布朗运动或布朗行走，它是经典物理学和金融学等领域中常见的模型。
一、随机游走随机游走是一种随机性非常强的运动过程，它的运动规律是由随机变量决定，每一步的移动方向和距离都是随机的。
在理论上，随机游走可以应用于各种情景，比如分子扩散、金融市场等。
随机游走的模型有多种形式，其中最简单的形式是一维随机游走。
假设一个游走者在数轴上从初始位置出发，每一步向左或向右移动一个单位距离，移动方向由一个随机变量决定。
这个随机变量可以用一个硬币的正反面来模拟，正面表示向右移动，反面表示向左移动。
游走者连续进行多次移动，每次移动都是独立的。
随机游走的路径就是游走者在数轴上逐步变化的位置。
二、布朗运动布朗运动是一种特殊形式的随机游走，其最重要的特征是位置的变化是连续的、非常平滑的。
布朗运动的一个经典模型是布朗粒子在水中的扩散过程。
这个模型认为扩散分子的位置随时间变化服从正态分布。
布朗运动可以用数学方法描述，其中最常用的是随机微分方程。
布朗运动的模型建立在连续时间和连续空间的假设下，而实际中我们只能通过采样来近似描述布朗运动。
通过在连续时间点对布朗运动的位置进行采样，可以得到一系列的离散位置点，这些点在数轴上呈现出波动的趋势。
布朗运动在金融学中有广泛的应用，例如在期权定价模型中被用来估计资产价格的波动性。
它也被用来模拟其他随机现象，如气象预测和股票价格的变化。
三、随机游走与布朗运动的关系随机游走和布朗运动有着密切的联系。
事实上，布朗运动可以看作是随机游走的一种极限形式。
当随机游走的时间间隔趋向于无穷小时，随机游走的距离趋向于0时，所得到的运动就是布朗运动。
在随机游走中，每一步的移动是离散的，而在布朗运动中，位置的变化是连续的。
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布朗运动理论一百年1布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 科学前沿与未来2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发：22D t xρρ∂∂=∂∂ 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是：()241,4πx Dt x t e Dtρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。
对于固定的时刻t ，x 和x 2的平均值分别是：〈x 〉=0，〈x 2〉=2Dt于是得到扩散长度的公式：这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
布朗运动理论一百年3 3 无规行走问题如果把时间离散化为步长Δt的小段，令t=nΔt，同时保持Δt适当的大，使得每小段时间头尾的运动彼此无关，于是行走n步的结果x n就是n个独立随机变量之和。
自然：〈x n〉=0，〈x n2〉∝n可见，均方距离并不比例于步数n，而是：1n2这里的1/2幂次出现在高分子构象统计等许多涉及随机运动的理论中。
离散的无规行走问题本身早已经发展成一个活跃的研究领域。
最简单的等步长的无规行走问题，除了〈x n〉=0，〈x n2〉∝n，还有一个重要特征量：从原点出发再次返回原点的概率。
它与空间维数有关。
一维行走返回原点的概率为1；二维行走返回原点的概率也是1；但三维行走返回原点的概率小于1，仅为0.3405373296…（Pólyá常数）。
纯无规行走对于走过的点没有记忆。
非随机性表现为对历史的某种记忆。
可以考察〈x n2〉同n的关系，来判断所研究的过程偏离完全随机的程度。
如果走过的点都不许再碰，称为自回避行走（英文缩写是SAW）。
这是对溶液中高分子链的很好描述。
一种二维的、只是第一步不许返回的无规行走问题导致统计物理学中著名的二维伊辛（Ising）模型的严格解，但相应的三维推广只给出一个封闭的高温近似解。
[1]试问平面中n步正向SAW有多少种？这个种类数m是没有封闭解但存在具体答案的计数问题的实例：4 科学前沿与未来这是《整数序列全书》[2]中的第A046170号序列。
我们再看一个无规行走的“现代”应用：DNA行走。
对很长的由4个字母组成的DNA序列，令A、C、G、T对应上下左右4个方向。
从2维格子的原点和序列的最左端出发，每见到一个字母移动一格。
这不是随机行走，因为每个序列对应一个特定的实现，不能随机重复和取平均值。
然而，可以随着n增加，问行走n步之后，到原点的距离r n的平均值和平方平均值如何随n变化？自然，〈r n〉=0，但〈r n2〉∝nα中的指数α是大于、小于还是等于1/2？1992年发表在英国《自然》杂志上的一篇文章[3]考察了一维的DNA行走，即只区分两个左右方向：遇嘌呤（A或G）向左一步、遇嘧啶（C或T）向右一步。
他们的结论是α＞1/2，而且编码段比非编码段更随机。
这篇文章引起了几百篇后继论文，正反参半。
4 皮兰实验和诺贝尔奖爱因斯坦并没有因为布朗运动理论而得到诺贝尔奖，但法国物理学家皮兰（Jean Baptiste Perrin，1870—1942）却因为1908年以来证实爱因斯坦理论的实验研究获得1926年的诺贝尔物理学奖。
获奖说明是“为了他关于物质离散结构特别是沉积平衡的发现”。
当时布朗运动实验的主要意义在于它证明了分子存在，并且提供了测量阿佛伽德罗常数的一种新办法。
沉积平衡的直观实例发生在超速离心机中。
高速旋转的处于水平位置的试管里，大小不同的颗粒在离心力作用下沿径向往外运动，越往外离心力也越大，但所受到的液体的黏滞阻力也越大，于是在一定半径处达到平衡。
这是现代分子生物学实验室里分离大小分子集团的重要手段之一。
由沉积平衡定义的沉积系数S，在分子生物学中作为分子量的度量一直沿用至今。
例如，23S rRNA确实比16S rRNA大，但并不成简单比例关系。
有趣的是同年的诺贝尔化学奖颁给了瑞典人斯维德堡（Theodor布朗运动理论一百年 5Svedberg ，1884—1971），理由是“为了他关于弥散系统的工作”，而斯维德堡的诺贝尔演讲题目却是“超速离心机”。
沉降系数S 又称斯维德堡单位，并没有因为皮兰而改用P 。
5 朗之万方程法国物理学家朗之万（Paul Langevin ，1872—1946）是中国物理学界的朋友。
他在1931年作为国际物理学联合会的代表来到当时的北平，协助建立了中国物理学会，并且当选为中国物理学会的第一位外籍会员。
他是我国声学前辈汪德昭先生的老师。
朗之万晚年成为法国共产党人和反法西斯抵抗运动的斗士。
爱因斯坦用统计物理和流体力学方法，考察多个布朗粒子的分布，导出了扩散长度公式。
朗之万在1908年为单个粒子写出“随机力”F (t )作用下的“牛顿方程”：d +()d v kv F t t=- 其中摩擦系数由斯托克斯公式k =6πηa /m 给出，这里η是液体的黏性、a 是球形粒子的半径，而m 是粒子质量。
这是历史上第一个随机微分方程。
我们先不把随机力F (t )具体化，直接对线性的朗之万方程求积分：0()0()(T)tkt k t T v t v e e F ---=+⎰ 重要的不是各种物理量的瞬时值，而是它们的时间平均值，例如：0()0()(T)tkt k t T v t v e e F ---=+⎰ 22(2)000(2)00()()2(T)dT dT (T)(T )tkt k t T t t k t T T v t v t v e e v F e F F ---'---=+''+⎰⎰⎰ 上面各式中的尖括号表示对随机力的分布求平均值。
6 科学前沿与未来很自然地假定：()0()()2()F t F t F t D t t δ=''=-于是在t →∞的极限，速度的平均值为零，而速度的自关联也极短。
朗之万方程肇始了整个随机微分方程的数学理论。
我们主要沿三条线对后来的发展稍作说明：（1）朗之万方程的各种推广：广义朗之万方程；（2）决定朗之万随机变量分布函数的方程：福克—普朗克方程；（3）朗之万解空间上的连续积分。
6 广义朗之万方程线性的朗之万方程后来结合各种应用被大踏步地推广。
广义朗之万方程可以写成：()()i i i K t tψψξ∂=+∂ 其中非随机力K i 由两项组成：()()i ij i jV K M ψσψψ∂=-+∂ 第一项是可以由位势V 微分得到的广义力，σij 的对称部分对应耗散，而反称部分对应保守的正则力；第二项是不能由位势得到的正则力，例如磁矩在磁场中所受力。
这就是川崎恭治用手工加进去的“模模耦合项”：()()i ij ij j i j V M A A ψλψψψ⎡⎤∂∂=-⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦∑ 其中A ij 是反称的泊松括号或对易子。
对随机力做高斯分布假定：布朗运动理论一百年 7()0()()2()i i j ij t t t t t ξξσδ=''=-上式中σij 与非随机力中的σij 的对称部分相同，这是涨落耗散定理的后果。
7 涨落耗散定理其实，出现在线性的朗之万方程或广义朗之万方程中的两个常数，摩擦系数k 和涨落力的关联强度D （或前面σij 的对称部分）并不能随便给定。
它们的关系要由“终值条件”决定：时间无穷长时，布朗粒子要与所处环境达到热平衡，也遵从能量均分定理。
联系这两个量的关系因而含有温度T 。
这个关系式也出现在爱因斯坦1905年的论文中。
这是涨落耗散定理的一个实例。
涨落耗散定理的另一个早期实例是电路中电流噪声和电阻的关系。
这两个例子代表着两类涨落耗散定理。
线性输运过程框架内的涨落耗散定理的一般理论，是在20世纪50年代建立的。
涨落耗散定理是接近平衡态的非平衡理论的重要内容。
接近平衡但又处于不平衡的系统中有三种最基本的过程，这就是趋向平衡、线性输运和涨落。
这三种过程本质上密切相关。
假定液体中某处的溶质浓度忽然比附近增高，因而局部偏离平衡，那下一时刻就会产生粒子流使得多余的溶质向浓度低的方向扩散。
扩散流比例于浓度梯度。
扩散引起耗散，不过耗散是比例于扩散流的平方的二阶效应。
无论局部的浓度增加是由于从外界注入溶质，还是来自内部涨落，随后发生的扩散过程是一样的。
这是涨落耗散定理的物理基础。
微分方程的初值问题在物理学中处理简单问题时比比皆是、司空见惯。
涨落耗散定理出现在求解朗之万方程所加的终值条件中。
我们在讨论布朗运动这样的复杂现象时常常遇到“终值条件”。
生物学家们描述更复杂的生命现象时有时使用“目的论”（teleology ）的8 科学前沿与未来语言就更不足为奇了。
8 输运系数对称原理既然提到了线性输运过程，我们就再说几句，以便后面讲到涨落场论特别是其非线性推广时，有所对比。
首先是广义力和广义流的概念。
电位差导致电流，浓度差导致扩散流，温度差导致热流，等等。
可以定义广义势V ，它的势差给出广义力F i ，而广义力导致广义流J i 。