布朗运动的最大值与回望期权
回 望 期 权
价格对最大(小)值的变化不再敏感。至此,已构建出完整的分数布朗运动条
件下回望期权的定价模型,包括期权价格所满足的偏微分方程及相应的边界
条件。
综上得到浮动执行价回望看跌和看涨期权定价模型分别如下
浮动执行价的欧式回望看跌期权的定价公式为
V
(S,
J
,t)
Je r (T
t)[N (b1)
1
(
J S
) 1
E[S 3(t)]
S (ti
3
)E[e
(
w(t
)
w
(ti
)
)
9 2
2 (tti
e) (3 3
2 )(t ti
)
]
S (ti
)e (3 3 2 )(tti )
2.2.2定价模型的推导
假设在时间段 [ti , ti 内t，] 标的资产价格变化
有3种状态，这里u和d分别代表标的资产上涨和
下跌的幅度，且u>1>d>0,由假设(6)可知：ud=1
为标的资产曾达到的最低价格， 为标的资产曾达到过的最高价格，则回望看涨
期权在T时刻的敲定价：
收益为 Smin，收益为
回望看跌期权在TS时m刻ax的敲定价：
K
max
0iT
Si
Smax
max{ Smax ST ,0} Smax ST
K
min
0iT
Si
Smin
max{ ST Smin,0} ST Smin
回望期权
1.回望期权的简要介绍
1.1 回望期权的概念 1.2 回望期权的分类
2.回望期权的定价
2.1 分数布朗运动下的回望期权定价 2.2 三叉树模型下的回望期权定价
分数布朗运动条件下回望期权的定价研究
崩溃 等． 而正态 分布 意味着 股价 是连 续 的．
自引入 分数 布 朗 运 动 以来 ， 内外 出现 了 国
大量 的相 关 研究 ． ｃ ｌ １ 究 了分 数 布 朗运 Ｎｅｕａ ［研
动 环境 下 的 期 权 定 价． 一 步 的 应 用 见 动引 入 Ｍｅｔｎ模 型 对 ２， ｒｏ
最优 投 资 组 合 的 选 择 进 行 了 讨 论 ． ａ ｅ Ｊ ｍｄ ｅ和 Ｌ ｓ 几何 分数 布 朗运动 代替 几 何布 朗运 动 以 ０用 反 映金 融 市 场 的长 记 忆 特性 ， 对 欧式 期 权定 并 价进 行 了研 究 ［ ． ｏ ｅｓ４ 论 了分 数 布 朗运 ３ Ｒ ｇ ｒ［ 讨 ］ ］
如 亚式 期权 等 的定 价．
跟 标 准 期 权 一 样 ， 望 期 权 也 分 为 看 涨 和 回
关， 而与历 史 价格无 关． 明显 违 背 了投 资 者 的 这 直觉 ， 与事 实不 符．
（ ） 形分 布 具 有一 个 被 称 为 “ 亚效 应 ” ３分 诺 的性质 ， 意味着 系 统有 突然 和激 烈 的逆转． 它 这
看跌 期权 ， 再 根 据执 行 价 是 固定 的还 是 浮 动 若 的， 回望 期权 就可分 为 ４类 ： 固定执 行价 格 的回 望看 涨期 权 、 固定执 行价 格 的回望看 跌期 权 、 浮 动执 行 价格 的 回望看 涨 期 权 、 动执 行 价格 的 浮
与资 本 市场 上 的价格 变 化 比较 相 符 ， 股 市 的 如
金融数学_常州工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
金融数学_常州工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在BS模型中，在其他参数不变的情况下，看跌期权的价格关于波动率，是严格单调递增的。
（）参考答案:正确2.计算期权价格的时候是从期初支付往终端算。
（）参考答案:错误3.障碍期权和欧式期权都具有路径依赖性。
（）参考答案:错误4.一份普通欧式期权的Gamma大于零。
（）参考答案:正确5.欧式看跌期权的价格上限是执行价格。
（）参考答案:错误6.无套利原理是指：在一个有效运行的金融市场中，套利机会不可能（长时间）存在。
（）参考答案:正确7.远期价格总是围绕着远期价值上下波动。
（）参考答案:错误8.二叉树定价的看涨期权价格与物理测度下资产价格上涨概率p的大小有关系。
（）参考答案:错误9.标的资产的价格波动是影响衍生品价格的重要因素。
（）参考答案:正确10.以下说法错误的有（）。
参考答案:若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点右边的点通常对应着虚值看跌期权_由于期限越长，不确定性越高，因此隐含波动率期限结构总是向上倾斜的_波动率曲面分为隐含波动率曲面和实际波动率曲面_若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点左边的点通常对应着虚值看涨期权11.BS模型包括下列哪些前提假设（）。
参考答案:标的资产价格服从几何布朗运动_证券允许卖空_证券可以任意分割且交易没有成本_市场上不存在无风险套利机会12.使用风险中性定价法的前提包括（）。
参考答案:可以自由卖空_没有套利机会_没有交易成本13.假设W是标准布朗运动，在随机微积分的计算中，下列哪些计算规则是正确的（）参考答案:dt * dt = 0_dw * dw= dt_dt * dw =014.B-S期权定价方程求解的思路是（）。
参考答案:热扩散方程15.从交易层面来看，属于零和游戏的有（）。
参考答案:互换_期货_期权16.金融产品今天的价值，应该等于未来收益的贴现。
（）参考答案:正确17.Vasicek模型是一个满足均值回复特征的随机利率模型。
混合分数布朗运动下两值期权的定价模型
混合分数布朗运动下两值期权的定价模型付培;孙琳【摘要】Binary options are options that have only the corresponding value of the underlying asset's price, therefore have a discontinuity income of popular exotic option. In order to describe the long memory of the underlying asset and to eliminate the arbitrage in the financial market, this paper assumes that the underlying asset is subject to mixed fractional brown motion, binary option pricing model in the mixed fractional Brownian motion environment is obtained by using the martingale technique and stochastic analysis method. In order to understand the pricing model better, this paper analyzes the influence of Hurst index on pricing results.%两值期权是只有标的资产的价格超过执行价格才会有相应收益的期权,因而它具有不连续收益的性质,是目前一种普遍研究的奇异期权.为了描述标的资产的长记忆和消除金融市场的套利,在假设标的资产服从混合分数布朗运动的环境下,采用了拟鞅技术,运用了随机分析的有关内容,最终获得了两值期权在混合分数布朗运动环境下的定价模型.为了更好地理解定价模型,进一步分析了赫斯特指数对定价结果的影响.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】混合分数布朗运动;两值期权;定价模型;拟条件期望【作者】付培;孙琳【作者单位】广东工业大学应用数学学院,广东广州510520;广东工业大学应用数学学院,广东广州510520【正文语种】中文【中图分类】O211.6期权定价问题是金融数学的一个重要问题。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
修正的Black-Scholes模型下的欧式期权定价
修正的Black-Scholes模型下的欧式期权定价孙玉东; 师义民【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2012(027)001【总页数】10页(P23-32)【关键词】布朗运动; 期权定价; 修正的Black-Scholes模型【作者】孙玉东; 师义民【作者单位】西北工业大学应用数学系陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O211.6; F830.9经典的Black-Scholes期权定价模型将股票价格的期望收益率和波动率都描述为常数,实际上像这样的资产模型在金融市场上很难找到,越来越多的学者认为模型应该是非线性的,波动率和期望收益率应当描述为时间或者股票价格的一般函数,而将收益率和波动率描述为时间函数的文献已经出现.因此,考虑到篇幅问题,只将Black-Scholes模型做如下推广其中Wt是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的Wiener过程.股票期望收益率µ(St)和波动率σ(St)都为股票价格的一般函数,并假定函数µ(·)连续,σ(·)为n阶可导.r为金融市场的无风险利率.当函数µ(·)和σ(·)为常数时,该模型退化为经典的Black-Scholes模型,该模型下的期权定价解析表达式也被Black和Scholes等人陆续给出.随着众多学者多年来的研究[1-3],经典Black-Scholes期权定价模型下的理论及其推广已经非常的完善,美式、亚式、回望等新型期权都已经被人做了相应的研究,并且极大地推动了金融市场的发展.当函数µ(·)为常数，σ(x)= σ0xβ−1时(σ0和β为常数),模型(1)退化为Cox和Ross提出的CEV模型[4].在CEV模型中,将波动项描述为股票价格的幂函数,部分解决了“波动率微笑”问题，即股票价格过高时,股票的波动率会增大这一事实,但是当股票价格过低时CEV模型非但不能描述波动率会增大这一事实,反而使得波动率越来越小了.Cox证明了当β=0.5时的结论[4-5],Hsu,Lin和Lee应用Fokker-planck方程证明了当β＞1时的结论[6-7],而当β＜1时的结论早已被Campbell 和Glosten[8],Brandt和Kang[9]等人分别解出.本文将这些模型更一般化,将股票的期望收益率描述为股票价格的连续函数,波动率描述为股票价格的n阶可导函数,运用求解偏微分方程的方法得到了欧式期权的解析表达公式.文中所得结论涵盖了上述文献的结果.假设未定权益在到期日T的损益为g(ST),t时刻的无套利价格为V(t,St),且V(t,St)关于t一阶可导,关于St二阶可导.下面考虑一无套利投资组合.定理2.1 未定权益g(ST)在t时刻的无套利价格应满足如下的偏微分方程又因为由式(3)(自融资策略)可得因此,对照式(5)和式(6)可得联立式(3)和式(7)可得为了方便地求解偏微分方程(4),补充如下的预备知识.考虑抛物型方程其中P=P(t,x),a,b,h都为常数,且a＞0.详细的证明见文献[9].首先考虑欧式看跌期权定价问题,假定当前为t时刻,同时它也是股票发行时刻,期权的交割日期为T,交割价格为K,因为欧式看跌期权的损益为(K−ST)+,因此令g(x)=(K−x)+并带入式(4),可得欧式看跌期权在该模型下所满足的偏微分方程其中θ为常数.并假定Ei(t,y)分别是偏微分方程组的解,则将式(12)中n+1个偏微分方程叠加可得是偏微分方程(10)的一个近似解。
布朗运动在金融中的应用
布朗运动在金融中的应用布朗运动是指颗粒在液体或气体中由于分子热运动而发生的随机运动。
这种随机性使得布朗运动在金融领域中具有重要的应用意义。
布朗运动的特点是无规律性和不可预测性，这与金融市场的波动和变化具有一定的相似性。
因此，布朗运动在金融中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面。
布朗运动在金融领域中被广泛运用于风险管理。
金融市场的波动性是不可避免的，而布朗运动的随机性特点使得它成为描述金融资产价格波动的有效工具。
通过对布朗运动进行建模，可以帮助投资者评估不同金融资产的风险水平，从而制定相应的风险管理策略。
在投资组合管理中，基于布朗运动的风险模型可以帮助投资者优化资产配置，实现风险和收益的平衡。
布朗运动在金融建模中也扮演着重要的角色。
金融市场的复杂性和不确定性使得金融建模变得极为复杂，而布朗运动的随机性特点使得它成为模拟金融市场行为的有效工具。
通过对布朗运动进行数学建模，可以模拟金融市场的价格变动、波动率、相关性等重要特征，为金融决策提供参考依据。
例如，基于布朗运动的随机模型可以用来预测股票价格的未来走势，为投资者提供决策支持。
布朗运动在金融衍生品定价中也有着重要的应用。
金融衍生品的价格受到多种因素的影响，其中最重要的是标的资产价格的波动性。
布朗运动作为描述资产价格波动的有效工具，被广泛应用于期权定价、波动率表面建模等领域。
通过对布朗运动的模拟和分析，可以为衍生品的定价提供理论依据，帮助投资者合理评估衍生品的风险和收益。
总的来说，布朗运动在金融领域中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面，为金融市场的参与者提供了重要的工具和方法。
通过对布朗运动的深入研究和应用，可以更好地理解和把握金融市场的特点和规律，为投资决策和风险管理提供有效支持。
在未来的金融领域中，布朗运动的应用将继续发挥重要作用，为金融市场的稳定和发展做出贡献。
布朗运动原理金融
布朗运动原理金融布朗运动原理在金融领域的应用我曾经有幸在金融领域工作多年，其中一个重要的概念就是布朗运动原理。
布朗运动原理是以英国的物理学家罗伯特·布朗的名字命名的，它描述了微小颗粒在液体或气体中的运动规律。
这个原理在金融领域有着重要的应用，特别是在金融市场的价格波动预测方面。
金融市场的价格波动通常是随机的，就像微小颗粒在液体中的运动一样。
布朗运动原理告诉我们，这种随机波动可以用随机漫步的方式来描述。
随机漫步是指一个随机变量在不同时间点上以不规则的方式变化的过程。
在金融市场中，价格的随机波动可以看作是一个随机漫步过程。
布朗运动原理在金融领域的应用主要体现在两个方面：风险评估和期权定价。
风险评估是金融领域中的一个重要问题。
布朗运动原理可以帮助我们对金融资产的风险进行评估。
通过对历史价格数据进行分析，我们可以得到金融资产价格的波动率，即价格随机波动的程度。
这个波动率可以用来衡量金融资产的风险水平。
根据布朗运动原理，金融资产价格的波动率是一个稳定的参数，可以用来预测未来的价格波动。
这样，我们可以通过波动率来评估金融资产的风险。
期权定价是金融领域中的另一个重要问题。
期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点购买或出售某个资产的权利。
布朗运动原理可以用来解决期权定价的问题。
根据布朗运动原理，期权价格的波动可以用期权的隐含波动率来衡量。
隐含波动率是根据期权市场上的交易价格反推出的，它可以用来预测未来期权价格的波动。
通过布朗运动原理和隐含波动率，我们可以计算出期权的理论价格。
总结一下，布朗运动原理在金融领域的应用主要包括风险评估和期权定价。
通过对金融资产价格的随机波动进行建模，我们可以对金融资产的风险进行评估，并计算出期权的理论价格。
这些应用使得金融市场更加透明和有效，为投资者提供了更好的决策依据。
在金融领域的实际应用中，布朗运动原理发挥着重要的作用，为金融市场的稳定发展提供了理论支撑。
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布 朗 运 动 的 最 大 值 与 回 望 期 权
包晓光
（ 河南师范大学 数学与信息科学学院 。 河南 新 乡 ４ ３ Ｏ ） ５Ｏ ７ 摘要 ： 新型期权定价 中经 常遇到具有漂移 的布朗运动的最大值问题， 在 运用有限［ ， 时问段 的具 有漂移布 朗运 Ｏ列 动 的最 大值 的分布理论研究 回望期权。 得到 了回望期权的定价公武。
关 键 词 ： 有 漂 移 的布 朗运 动 ； 具 回望 期 权 ； 方 法 鞅
中图分类号 ：２ １６ ０ １．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ０ —２ ９ （００ Ｏ Ｏ ４ ０ １ ８ ０ ３ ２ １ ） １一 Ｏ Ｏ一 ３ ０
回望期 权 的收 益 依 赖 于 标 的 资产 价 格 在 期 权 有 效期 内 的最 大值 或 最 小 值 。 回望 期 权 一 般 可 以分 为 两种类 型 ： 固定执 行价 格 回望 期权 和浮 动执 行 价格 回 ｅ 望期权 。 １７ ９ ９年 ， ｏ ｍａ Ｇ ｌ ｎ等 人 给 出 了 回望 期 权 的定 价 ｄ
种 是风 险资产 ： Ｓ ＝ ｓｄ ＋ ．扭 ｄ ｇ ｔ ｄ ｜ Ｓ Ｂ 是 （ ， Ｐ 上 的标 准 布朗运 动 ， ， ） 风险 中性 概率
一
依赖期 权 的数值 方法 ， 运用 二 叉 树方 法 讨论 了 回望期 Ｑ以及 Ｑ下 的布 朗运 动 Ｂ。 ｔ ， ＝Ｏｔ ｃ Ｂ 这 里 （） 扭 ｄ ＋ｒ ｄ 权 的定 价 问题 。王美 娇等 利 用 Ｌ ｐａｅ 变 换 求得 ａｌｃ 逆 坐 在 Ｑ下 ＝ ｄ ＋ 拈 ｔ 。期初 价格 。 首次击 中障碍 时刻 的概率 密 度 函数 ， 根据 首 中 时 的 再
＝
。
性质 ， 将求标 的资产价 格 的密 度 函数 转 化 为求 首 中 时 的密度 函数 ， 后利用 数 学期 望 求 出 欧式 回望 期 权 的 最 定价 公式 。本 文参考 了王 美 娇 等 的思 想方 法 ， 过 布 通
朗运 动 最大值 的分 布求得 其 密 度 函数 ， 后直 接 对 密 然 度 函数进 行 积 分 ， 而给 出 它 的定 价 公 式 。另 外 ， 从 固 定履 约价 的 回望 期权 比标 准 回望 期 权 简单 ， 便 于在 更 金融 市 场 中执 行 。本 文 仅 讨论 回 望 期 权 是整 个 期 权 有效 期 的欧式 固定执 行价 格 回望期权 。
公 式 ，这 一 公 式 于 １９ 年 又 被 Ｇ ｎｅ 和 ９１ ｏｚ Ｖｓ ａ ａ ａ 拉 重 新得 到并 加 以推广 。近 年来 ， 多学 ｉ ｎｔ ｎ ｗ ｈ 许
有Ｐ Ｉ ≤ｙ ＝ （（ ） ［
（
√１
】一
（） １
ｏ ｒ√ ｌ
］・， ） ≥ｏ
２ 模 型假 设
仃
１ 布 朗运 动 的 最 大 值
（
命 题 ［Ｂ ｔ是定 义 在 （ ， Ｐ） 的标 准 布 朗运 ６ （） １ Ｆ， 上 动 ，≥０ ｛ 是 Ｂ（） ￡ ，Ｆ ｝ ｔ生成 的滤 子流 ， 标准 正态 分布 记
密度 函数及标 准 正态分 布 函数 （ 和 （ 。 ） ） ｉ 下 记 号 ：，￡ 。 ￡（ ） （）＝ｍ ｎ（ ） 类 似 地 ， ｌ ） Ｕ≤ ａ ｔ ， ｆ ０ ｌ ｔ ， （ ｍ ≤ｘ ５ ≤５ ≤
Ｏ０
（一 √ ｄ Ｉ
，
其中指数部分完全平方化 ：
其 中 ｄ：［ｎＳ ＋（ ＋ ． ／ １ ０ 丁） ０ ２
ｒ ＝
＋
０
＂
２
２
簪 ， ｏ ＝２— 一 十 － 一上 ｍ一 一 ２ 一．Ｌ ， ２ 一— （ Ｔ ０Ｌ ２ Ｔ
列 。 。 ／ ） ＋ｔ ］ 一（ Ｔ＋． 。 Ｉ ｔ Ｔ
第２８卷 第 １月 ｌ ０年 ０１ 期 ０ １
Ｊ ｒ ｌｆ 蚴 ｏｎ Ｈ ｕ ａ０
，南机 电膏等专科学校学报 ・ 季
Ｊｓａｋ ｌｎ ｈ ｔａ ｎｉ ｉ ｉｇ ＆￣ ａ ａａｄｇ ｅｋ ｌ ｇ 耐 ｎ Ｃ ｌ ｅ ｈ ｌ Ｅ ｎ ｇ ￣ｅ
Ｖ０ ． ８ № ． １１ １
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作 ： 光１１，， 舞 人助 ， ， 从 产 组 理 与 融 研 。 者 翟 ． 南 萋 介 （８ 男河 阳 ， 硕 主 事 业 织 论 金 学 究 简 包 ９一 晓 ） 教士要
包晓光 ： 布朗运动的最大值与 回望期 权
一
）一 （ ） ｄ］
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市 场有 两种 资产 ： 种是 无风 险资产 ： ｅ Ｂ ＝
一
者在 Ｂ—ｓ模 型 的基 础 上 ， 讨 出 了许 多关 于求 解 回 探 望期 权 的数 学 方法 。如 姜礼 尚 Ｌ通 过 解 偏 微 分 方 程 ３ 得到 回望期 权 的定 价 公 式 。戴 民【 详 细 给 出 了路 径 ４
－
．．Biblioteka Ｓ ＝Ｓｅｐ （ ｏｘ［ 卜
］＋ ｚ
］＝Ｓｅｐ ， ｏｘＹ，
其 中 ＝（ ） ＋ 一 ｆ
．－ ｚ ｉ ／ ＝卜 ￣
由（ ） １ 式可以得到布朗运动最大值的密度函数 ：
＝ ＝
ｃ
一
ｅ
７／ （ ＃ｏ ｙ－
ｆ 、。 ｒ ｝ｌ ’
］
） （） ２
３ 固 定履 约 价 的 回 望期 权 的定 价
定理 到期 １为 ， 约 价 Ｋ（ 设 Ｓ ＜Ｋ） 固 ３ 履 假 。 的
定 履约 价 回望看涨 期权 的价 值为 ：
面有． ｔ ，（） 。 ｓ ） ． ｔ等 （ ｓ
令 】 ＋ｏ ｆ ， ）＝ （ － ） Ｂ（
Ｃ：ｏｄ （ ｓ（）２Ｔｄ ２ｂ） １ ） 妻２ －（ Ｓ（＋ 一 。 ｒ ｒ ｑ ［ ／ ￣ ＇ ｅ
＝ ～
证明： 由风 险 中性定 价 的鞅 方法 可 以得 到 固定 履 约价 回望 看涨期 权 的价值 为 ：