广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试题
东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,x x R e x ∀∈≤B ．0200,xx R e x ∃∈> C ．0200,x x R e x ∃∈≤ D ．2,x x R e x ∀∈<2．若椭圆的右焦点为F ，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P ，Q 两点，则的周长为（ ） A ．B ．C ．6D ．83．不等式260x x -++<的解集是（ ）A ．{}23x x -<<B ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．{3x x >或}2x <-D ．13x x ⎧>-⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭4．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b c >>>，则c c a b< C ．若0a b <<，则2a ab <D ．若0a b <<，则11a b< 5．在∆ABC 中，已知45A =︒，30B =︒，c =a =（ ） A ． B C 1D 16．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S ='F 60C PQF △A ．55B ．11C ．50D ．607．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）． A ．92米 B ．83米 C ．74米D ．65米8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．5二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分． 9．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在∆ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件 C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件2922±10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1ab ≥B ．2a b +≤C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤ 11．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列12．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，且2AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．为等腰直角三角形 C ．直线AB 的斜率为D ．线段AB 的长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13．抛物线的准线方程为__________________.14．220x ax ax ∀∈+-<R ，都成立.则a 的取值范围是__________．15．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点，点A 在椭圆E 上，且1260F AF ∠=︒，122AF AF =，则椭圆离心率是___________．16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有∆ABC ，6AC =，sin C A =，则当∆ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.2:4E y x =90CFD ︒∠=CMD △24y x =四、解答题：本题共6小题，共70 分 。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．( 本小题满分10分）已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x ym m +=--表示双曲线.（1）当1a =时，若命题p 为真，且命题q 为真，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．( 本小题满分12分）在①222b c a =+-②2cos 2a C b c =-，()22sin 12A B C +=+，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设∆ABC 的面积为S ， 已知_______.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） （1）求角A 的大小；（2）已知2b =，4c =，点D 在边BC 上，且AD 为BAC ∠的平分线，求ABD △的面积．19．( 本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.20．( 本小题满分12分）2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会。
据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）.（1）求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.21．( 本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <；22．( 本小题满分12分）已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M与N作平行直线1l和2l，分别交曲线C于点A、B和点D、E，求四边形ABDE 面积的最大值.东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题答案一、单选题 CBCB AADB二、多选题 AD BC ABD ACD三、填空题 13. 14．(]8,0-16．6 四、解答题17．由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<，...........1分 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a << ................2分由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：35m <<.....3分（1）若1a =，则命题p ：14m << ，因为命题p 和q 均为真命题，所以1435m m <<⎧⎨<<⎩，所以34m <<，所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4)................5分 （注：先将1a =代入求解的给相应分数）（2）由p 是q 的必要不充分条件，则有：q p ⇒但pq ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<.........7分所以345a a ≤⎧⎨≥⎩，解得534a ≤≤........8分经检验54a =和3a =满足条件........9分 所以实数a 的取值范围是5[,3]4........10分161-=y18．解：（1）若选①：22243S b c a =+-， 则14sin 32cos 2bc A bc A ⋅=⋅，...........2分化简得tan 3A =，...........3分 0A π<<..........5分 ∴π3A =．.......6分若选②：2cos 2a C b c =-，则由正弦定理得()2sin cos 2sin sin A C A C C =+-，........1分 即2sin cos sin 0C A C -=，...........2分 ∵sin 0C ≠，.............3分0A π<<.........4分 ∴1cos 2A =，...........5分 则π3A =．............6分若选③：()23sin 2sin12AB C +=+，则有3sin 1cos 1A A =-+，......2分 化简得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.......3分 7666A πππ<+<.............4分所以ππ62A +=，............5分 故π3A =．.............6分（2）∵1sin 42212sin 2ABDACDAB AD BADS AB S AC AC AD CAD ⋅⋅∠====⋅⋅∠△△，.......8分 且1sin 232ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=△，......10分 ∴2433ABD ABC S S ==△△．.......12分19．（1）抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,2px -=....1分由抛物线的定义可知3()52p--= 解得4=p ……………3分 ∴C 的方程为x y 82=.………4分（2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为，焦点)0,2(F设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………....6分两式相减。
广东省东莞市东华高级中学2020学年高二数学上学期期中试题理新人教A版
东华高级中学 2020 学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．已知等差数列 10,7,4, ，则该数列的第 10项为（）A ．17B ． 20C ． 17D ． 202．不等式 ( x1)( 3x) 0 的解集是（ ）2 2A. { x |1x 3} B.{ x | x1 或x3}2 22 2 C. { x |1x 3} D.{ x | x1或x 3} 2 2223．已知等比数列 { n } 的公比为正数，且 a 3 a 9 2a 5 2， a 2 1，则 a 1（）a A ．1B．2C． 2D． 2224．在 ABC 中， a2,b2, B，则 A 等于（）6A ． B． 或3C．D．344 4345. 以下结论正确的选项是（）A ．当 x 0且 x 1 时，lg x1≥ 2 ； B ．当 x 0时， x1≥2；lg xxC ．当 x ≥ 2 时， x1的最小值为 2 ；D．当 0 x ≤ 2 时， x1无最大xx值。
6. 以下说法错误的选项是（ ）A ．假如命题 " p " 与命题“ p q ”都是真命题，那么命题 q 必定是真命题；B ．命题“若 a0 ，则 ab 0 ”的否命题是“若 a0 , 则 ab 0 ”；C ．若命题： p : xR, x 2 x 1 0, 则 p :x R, x 2 x 1 0 ；1"是" 30 " 的充分不用要条件D． "sin27. 若ABC 的内角 A 、 、 所对的边 a 、 、c 知足 a b 2c 24，且C 60 ，B C b则 ab 的值为（ ）A ．4B ．843C ．1D．2338. 已知 a R , 则“ a 2 ”是“ a 2 2a ”的( )A. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C ． 充要条件D.既不充分也不用要条件 9．数列 a n 知足 a 11, a n 1 1 1 ，则 a 2013 等于（）2 a nA 、1B、 1C、 2D、 32x ≥ 010 ． 已知点 M (a,b) 在由 不等式组y ≥ 0确立的平面地区内，则点xy ≤ 2N (a b,ab) 组成的平面地区的面积是（）A ． 2B ．4C ．1D ．124二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )11. 不等式x 12 的解集为 x12. 已知正数 x, y 知足 2x y 1，则1 1的最小值为x y13. 已知数列 { a n }中,a 11, na n 12(a 1 a 2a n )(n N *) ，则数列 { a n } 的通项为14. 如图，已知点 C 的坐标是 (2 ，2) 过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点 A ，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B ，设点 M 是线段 AB的中点，则点 M 的轨迹方程为三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 80 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )15. （此题满分 12 分）已知等差数列的前 n 项和为 S n , a 3 0, S 44 .（1）求数列a n的通项公式；（ 2）当n为什么值时 ,S n获得最小值.16.（此题满分 13 分）已知a 0, a 1 ，命题p :函数 y log a ( x 1) 在 (0, ) 上单调递减，命题 q : 曲线y x2 (2 a 3) x 1 与 x 轴交于不一样的两点，若p q 为假命题， p q 为真命题，务实数 a 的取值范围。
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC 中，已知b ＝6√3，c ＝6，C ＝30°，则a ＝（ ） A ．6B ．12C ．6或12D ．无解2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝12，S 9＝72，则S 10＝（ ） A ．73B ．81C ．83D ．853．已知x ＝2是不等式m 2x 2+（1﹣m 2）x ﹣4m ≤0的解，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（ ） A ．5B ．10C ．12D ．155．若正数a ，b 满足a +3b ＝1，则1a+3b的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．186．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝2√3，b ＝2，则角B 为（ ） A ．30°或150°B ．45°C ．45°或135°D ．30°7．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，210S 30﹣（210+1）S 20+S 10＝0，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．28．已知x ＞0，y ＞0，lg 4x +lg 2y ＝lg 8，则12x+4y的最小值是（ ）A ．3B ．94C ．4615D ．9二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的有（ ） ①ab ≤1；②√a +√b ≤√2；③a 2+b 2≥2；④1a +1b≥2．A ．①B ．②C ．③D ．④10．下列选项正确的有（ ） A ．若x ＞0，则x +1x+1有最小值1B ．若x ∈R ，则2xx 2+1有最大值1C ．若x ＞y ，则x 3+2xy 2＞y 3+2x 2yD ．若x ＜y ＜0，则1x＞1y11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝0，a 4＝8，则有（ ） A ．S n =2n 2−6n B ．S n =n 2−3nC ．a n ＝4n ﹣8D ．a n ＝2n12．在△ABC 中，AB =√3，AC ＝1，B =π6，则△ABC 的面积可以是（ ） A ．√32B ．1C ．√33D ．√34三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2且4+bc ＝b 2+c 2，则角A ＝14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且8a 3+a 6＝0，则S 5S 2= ．15．若f （x ）+f （1﹣x ）＝2，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n }的通项公式是 ．16．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最大值是 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17．（1）解不等式：x （3﹣x ）≤x （x +2）﹣1；（2）已知关于x 的一元二次不等式x 2+2mx +m +2≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．。
2020-2021学年广东东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2020-2021学年广东东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．下列不等式中成立的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2D ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1b2．不等式x−2x+2＜0的解集是（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣2，0）D ．（0，2）3．已知等比数列{a n }的公比大于1，a 3a 7＝72，a 2+a 8＝27，则a 12＝（ ）A ．48B ．64C ．72D ．964．若a ＞0，b ＞0，ab ＝a +b +1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．3√2+3B ．3√2−3C ．3+√13D ．75．在不等式x +2y ﹣1＞0表示的平面区域内的点是（ ）A ．（1，﹣1）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（﹣2，0）6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝﹣3，2a 4+3a 7＝9，则S 7的值等于（ ）A ．21B ．1C ．﹣42D ．07．设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sin A ＝2sin B cos C ，该三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形8．已知集合A ＝{x ∈R |x 2≤4}，B ＝{x ∈N |√x ≤3}，则A ∩B ＝（ ）A ．（0，2]B ．[0，2]C ．{1，2}D ．{0，1，2}9．已知数列a n =14n 2−1(n ∈N +)，则数列{a n }的前10项和为（ ）A ．2021B ．1819C ．1021D ．91910．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ：sin B ：sin C ＝6：5：4，则sin B ＝（） A ．√74 B ．34 C ．5√716 D ．91611．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且a 6a 5=1113，当S n 取最大值时，n 的值为（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．1212．数列{a n }中，a n =1n(n+1)，前n 项和为45，则项数n 为（ ）。
2020-2021学年东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷解析版
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17+a18+a19+a20的值为（ ）
A．9B．12C．16D．17
【解答】解：设首项为a1，公差为d．
由 ，得
S4＝4a1+6d＝1，
【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）＝0，所以0是函数f（x）的一个零点，
当x＞0时，令f（x）＝2x+x﹣3＝0，
则2x＝﹣x+3，
分别画出函数y＝2x，和y＝﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，
又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．
13．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝3，a7a8a9＝27，则a4a5a6＝9．
【解答】解：依题意，a1a2a3 3，得a2 ，a7a8a9 27，得a8＝3，
∴a4a5a6 32＝9．
故答案为：9．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ，b﹣c＝2，cosA ，则a的值为 ．
令f（x）＝x 2，则m≤f（x）min，
∵f（x）＝x 2≥2 2＝6，
∴m≤6．
故选：B．
8．（5分）设A、B、C为三角形的三个内角，sinA＝2sinBcosC，该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
【解答】解：因为sinA＝2sinBcosc，
所以sin（B+C）＝2sinBcosC，
2020-2021学年东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2020-2021学年东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17+a 18+a 19+a 20的值为（ ） A ．9B ．12C ．16D ．172．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c =√7，则角C ＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．在下列函数中，最小值是2的是（ ） A ．y =x 5+5x（x ∈R 且x ≠0） B ．y =lgx +1lgx(1＜x ＜10) C ．y ＝3x +3﹣x （x ∈R ）D ．y =sinx +1sinx (0＜x ＜π2） 4．已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√35．已知不等式ax 2﹣bx +1≥0的解集是[−13，14]，则不等式x 2﹣bx +a ＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，4）B ．(−14，13)C ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D ．(−∞，−14)∪(13，+∞)6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A ．√3a kmB ．a kmC ．√2a kmD ．2a km7．若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）8．设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sin A ＝2sin B cos C ，该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第。
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷解析版一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC中，已知b＝6√3，c＝6，C＝30°，则a＝（）A．6B．12C．6或12D．无解解：∵b＝6√3，c＝6，C＝30°，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得36＝a2+108﹣2×a×6√3×√32，整理可得：a2﹣18a+72＝0，∴解得a＝12，或6，故选：C．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝12，S9＝72，则S10＝（）A．73B．81C．83D．85解：设等差数列{a n}的公差为d，由题设得：{a1+8d=129a1+9×8d2=72，解得：{a1=4d=1，∴S10＝10a1+10×9d2=40+45＝85，故选：D．3．已知x＝2是不等式m2x2+（1﹣m2）x﹣4m≤0的解，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4解：x＝2是不等式m2x2+（1﹣m2）x﹣4m≤0的解，所以4m2+2（1﹣m2）﹣4m≤0，m2﹣2m+1≤0，（m﹣1）2≤0，解得m＝1，所以m的值为1．故选：A．4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（）A．5B．10C．12D．15解：设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．第1 页共11 页。
2020-2021学年东莞市东华高级中学高二上学期期中数学试卷
∵三条边a，b，c成等差弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac，
∴4＝16﹣3ac，
∴ac＝4
∴S△ABC 4 ．
故选：A．
5．不等式 0的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解：不等式 0，即 ，求得 x≤1，
故选：C．
6．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A ，则cosB＝（ ）
对于D，由正弦定理 ，可得右边 2R＝左边，故正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边．且b2+c2﹣a2＝accosC+c2cosA，若△ABC的面积为 ，则其周长的最小值为6．
解：∵b2+c2﹣a2＝accosC+c2cosA＝ac• c2• bc，
A． B． C． D．
解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A ，
∴由正弦定理 ，可得sinB ，
∴由B为锐角，可得cosB ．
故选：C．
7．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则公比q＝（ ）
A．﹣3B．3C．±2D．2
解：根据题意，正项等比数列{an}中，S2＝a1+a2＝4，
A．d＜0B．a16＜0
C．Sn≤S15D．当且仅当Sn＜0时n≥32
解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＞0，S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
化为：2a1+29d＝0，
∴d＜0，a1+14d+a1+15d＝0，
∴a15+a16＝0，a15＞0，a16＜0，
高二第一学期期中考试数学试卷含答案
高二数学第一学期期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)(每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前) 1. 已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A.2 B.40 C.56 D.90 2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若12231a ==S ，，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 3. 若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b a22> B.a 2ab > C.ab b 2> D.b <a4. 等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q=( ) A.1 B.2 C.1或2 D.1或21 5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 1=，a n n 2a 1=+，则S 5=( ) A.32 B.48 C.62 D.93 6. 若椭圆122=+kyx 的离心率是21，则实数k 的值为( ) A.3或31 B.34或43 C.2或21 D.32或237. 已知双曲线C ：12222=-bya x ()0,0a >>b 的一条渐近线方程为x 3y =，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为( )A.16222=-y x B.12622=-y x C.1322x=-y D.13yx 22=-8. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切∈x （0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是( )A.(-∞，5]B.(-∞，4]C.(-∞，2]D.(-∞，1] 9. 已知椭圆12222=+bya x ()0a >>b 的两个焦点分别为F F 21,，若椭圆上存在点P 使得∠PFF 21是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0，22) B.(22，1) C.(0，21) D.(21，1)10. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()02y 2>=p px 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.1C.2D.2 二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)11. 在数列0，41，83，…，2n 1-n ，…中，94是它的第______项.12. 在等差数列{a n }中，542a =+a ，则=a 3______.13. 请写出一个与1322=-yx 有相同焦点的抛物线方程：____________.14. 椭圆14222=+ayx 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则实数a=______. 15. 函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是______；此时x=______. 16. 要使代数式01a 2<-+ax x 对于一切实数x 都成立，则a 的取值范围是______.17. 已知椭圆的两个焦点1222=+yxFF 21,，点P 在椭圆上，且PF PF21⊥，则PF2=______.18. 在数列{a n }中，5,12113-==a a ，且任意连续三项的和均为11，则a 2019=______；设S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得100≤S n 成立的最大整数n=______.三、解答题(本大题共5小题，共70分)19. 设{a n }是等差数列，-101=a ，且a a a a a a 6483102,,+++成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.20. 已知数列{a n }的前n 项和n n S n +=2，其中N n +∈. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设12+=nn b ，求数列{b n }的前n 项和T n .21. 已知函数()R a ax x f x ∈-=,22.（Ⅰ）当a=1时，求满足()0<x f 的x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式()a x f 32<.22. 已知抛物线C ：()022>=p px y ，经过点（2，-2）. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线02=--y x 与抛物线相交于B A ,两点，求证：OA ⊥OB .23. 已知椭圆C ：的右焦点为12222=+by a x ()，且经过点，01F ().10，B （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线()2:+=x k y l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,，若线段MN 中点的横坐标为32-，求直线l的方程及ΔFMN的面积.。
2020-2021学年广东省东莞市东华高级中学高三上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省东莞市东华高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x||x|＞}，则A∩B＝（）A．（5，+∞）B．（1，）C．（﹣，5）D．（，5）2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+的虚部为（）A．1B．3C．﹣1D．23．（5分）“净拣棉花弹细，相合共雇王孀．九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两，共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）A．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了B．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了C．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了4．（5分）已知直线l⊂平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝a cos C+ac cos A，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．πD．6．（5分）若函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），则f（ln3）+f（﹣ln3）＝（）A．0B．C．12D．187．（5分）曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线与曲线y＝x2+m相切，则m＝（）A．4B．3C．2D．18．（5分）已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球O1为该三棱锥的内切球，若球O2与球O1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O2与球O1的表面积之比为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．（5分）如图为某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图．注：求职倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率＝需求人数÷求职人数．它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定．根据统计图可知，该城市在2017年～2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善10．（5分）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（）A．C的准线方程为x＝﹣4B．F点的坐标为（0，4）C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16（O为坐标原点）11．（5分）设x，y为实数，满足﹣1≤x≤2，0＜y≤1，则（）A．x+y的取值范围（﹣1，3]B．x﹣y的取值范围[﹣2，2）C．xy的取值范围[﹣1，2]D．的取值范围[1，+∞）12．（5分）定义：M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（）A．M[0，a]＝2B．M[0，a]＝4C．a的取值范围为[4，9]D．a的取值范围为[6，9]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则m＝14．（5分）将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则φ的最大值是15．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种．16．（5分）已知F1为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，＝＝，则该双曲线的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①2b+c＝2a cos C；②△ABC的面积为；③c sin A＝3a sin B 这三条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的周长；若问题的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，c＝1，_______？18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，且对于任意m，t∈N*，都有a m+t＝a m•a t．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM∥平面CB1A1；（2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．20．（12分）已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．（1）求乙盒中红球个数X的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，斜率为k（k≠0）的直线l交E于A，B两点．当k＝时，|AB|＝，且△OAB的面积为．（O为坐标原点）（1）求椭圆E的方程；（2）设F为E的右焦点，垂直于l的直线与交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且|MA|＝|MO|，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝（x2+4x+3）ln（x+1）﹣x2+（a﹣3）x．（1）当a＝﹣8时，求f（x）的单调性；（2）如果对任意x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x||x|＞}，则A∩B＝（）A．（5，+∞）B．（1，）C．（﹣，5）D．（，5）解：∵，∴．故选：D．2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+的虚部为（）A．1B．3C．﹣1D．2解：由图可知，z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则z1+＝＝＝1+2i+＝1+3i．∴复数z1+的虚部为3．故选：B．3．（5分）“净拣棉花弹细，相合共雇王孀．九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两，共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）A．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了B．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了C．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按×108＝70.2尺，李德×108＝37.8尺，故选：B．4．（5分）已知直线l⊂平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若直线m垂直于平面α，则直线m必垂直平面内的直线l，但直线m要垂直于平面α，则m要垂直于平面α内的两条相交直线，故m⊥l无法推知直线m⊥平面α，故“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝a cos C+ac cos A，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．πD．解：因为B，A，C成等差数列，所以2A＝B+C，又A+B+C＝π，所以A＝，因为b＝a cos C+ac cos A，所以由正弦定理可得sin B＝sin A cos C+a sin C cos A，又sin B＝sin A cos C+sin C cos A，可得a＝1，所以△ABC外接圆的半径为＝，△ABC外接圆的面积S＝（）2•π＝．故选：A．6．（5分）若函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），则f（ln3）+f（﹣ln3）＝（）A．0B．C．12D．18解：∵函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），∴e|4x﹣2﹣m|＝e|2﹣4x﹣m|，解得m＝0，∴f（x）＝e|2x|，f（ln3）+f（﹣ln3）＝e|2ln3|+e|﹣2ln3|＝9+9＝18．故选：D．7．（5分）曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线与曲线y＝x2+m相切，则m＝（）A．4B．3C．2D．1解：y＝e x+1+x的导数为y′＝e x+1+1，曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝e x+1+x在点（﹣1，0）处的切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0．由于切线与曲线y＝x2+m相切，设切点（x0，y0），由y＝x2+m，得y'＝2x，∴k＝2x0＝2，得x0＝1，代入切线方程2x﹣y+2＝0，得到y0＝4，故切点坐标（1，4），又切点满足曲线y＝x2+m，得4＝1+m，即m＝3．故选：B．8．（5分）已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球O1为该三棱锥的内切球，若球O2与球O1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O2与球O1的表面积之比为（）A．B．C．D．解：如图，取△ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过O1，O2，且PO⊥平面ABC，可知∠PAO为侧棱与底面所成的角，即．取AB的中点M，连接PM，MC，设圆O1，O2的半径分别为R，r，令OA＝2，则，所以，即PO2＝4r，从而PO1＝4r+r+R＝5r+R，所以，则，所以球O2与球O1的表面积之比为．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的0分，部分选对的得3分.9．（5分）如图为某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图．注：求职倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率＝需求人数÷求职人数．它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定．根据统计图可知，该城市在2017年～2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善解：由某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图知：对于A，该市求职人数最多的时期为2019年第三季度，故A正确；对于B，该市劳动力市场供需差最大的为2017年第一季度，故B错误；对于C，2017年至2019年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低，故C错误；对于D，通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善，故D正确．故选：AD．10．（5分）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（）A．C的准线方程为x＝﹣4B．F点的坐标为（0，4）C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16（O为坐标原点）解：由题意可得：抛物线的焦点F（4，0），B错误，所以准线方程为：x＝﹣4，A正确，设点N（0，t），由中点坐标公式可得M（2，），代入抛物线方程可得：＝16×2，即t2＝128，则|t|＝8，所以|FN|＝＝，C正确，S△OFN＝＝＝16，D正确，故选：ACD．11．（5分）设x，y为实数，满足﹣1≤x≤2，0＜y≤1，则（）A．x+y的取值范围（﹣1，3]B．x﹣y的取值范围[﹣2，2）C．xy的取值范围[﹣1，2]D．的取值范围[1，+∞）解：由1≤x≤3，0＜y≤1，可得：1＜x+y≤4，即x+y的取值范围是（1，4]，选项A正确；由﹣1≤﹣y＜0，得﹣2≤x﹣y＜2，即x﹣y的取值范围是[﹣2，2），选项B正确；当x＝﹣1，y＝1时，xy＝﹣1为最小值，当x＝2，y＝1时，xy＝2为最大值，所以xy的取值范围是[﹣1，2]，选项C正确．由0≤x2≤4，≥1，所以0≤≤4，即的取值范围是[0，4]，所以选项D错误．故选：ABC．12．（5分）定义：M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（）A．M[0，a]＝2B．M[0，a]＝4C．a的取值范围为[4，9]D．a的取值范围为[6，9]解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0．∵f（x+4）＝f（4﹣x），∴f（x+16）＝f（x），可得f（x）是周期函数T＝16．当x∈（0，4]时，f（x）＝x，作出图象，根据M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值，对于A，B选项：根据图象可知M[0，a]＝4，∴A错误，B正确；对于C：D选项：要满足M[0，a]≥2M[a，2a]成立，即2≥M[a，2a]，由图象可得，a≥6且2a≤18，∴a的取值范围为[6，9]，故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则m＝4解：∵向量，，，∴（+）•（﹣）＝﹣＝1+m﹣5＝0，求得m＝4，故答案为：4．14．（5分）将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则φ的最大值是解：将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）＝sin（4x++φ）的图象，故+φ＝kπ，k∈Z，令k＝1，可得φ的最大值是﹣，故答案为：﹣．15．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有16种．解：农场主人中间有A44＝24种，农场主人站在中间，两名男生相邻共有2A22A22＝8种，故不同的站法共有24﹣8＝16种，故答案为：16．16．（5分）已知F1为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，＝＝，则该双曲线的离心率为．解：设F2为双曲线的右焦点，取AB的中点M，则OM⊥PF1，∵＝＝，∴M是PF1的中点，则OM∥PF2，|OM|＝|PF2|，设|AB|＝t，则|PF1|＝3t，|PF2|＝3t﹣2a，|AM|＝．∵|OM|2+|AM|2＝|OA|2，∴t＝，则，，又∵，∴，解得．∴该双曲线的离心率为e＝．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①2b+c＝2a cos C；②△ABC的面积为；③c sin A＝3a sin B 这三条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的周长；若问题的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，c＝1，_______？解：若选择①2b+c＝2a cos C，因为2b+c＝2a cos C，所以2sin B+sin C＝2sin A cos C，即2sin（A+C）+sin C＝2sin A cos C，整理可得sin C（2cos A+1）＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝﹣，可得A＝，又因为a＝b，所以sin A＝sin B，即sin B＝，可得B＝，所以C＝，则由正弦定理，可得a＝，b＝1，所以△ABC的周长为2+．若选择②△ABC的面积为＝bc sin A，所以bc sin A＝，解得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝，又因为a＝b，所以sin A＝sin B，即sin B＝，可得B＝，所以C＝，则由正弦定理，可得a＝，b＝1，所以△ABC的周长为2+．若选择③c sin A＝3a sin B，则ac＝3ab，可得b＝＝，因为a＝b，所以a＝，又a+b＝+＜c，则问题中的三角形不存在．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，且对于任意m，t∈N*，都有a m+t＝a m•a t．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得令m＝n，t＝1，则有a n+1＝a n•a1＝a n，故数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴a n＝•（）n﹣1＝（）n，n∈N*．（2）由（1），可得b n＝＝（﹣1）n﹣1•2n•2n+1＝（﹣1）n﹣1•22n+1，∴T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1＝23×[1﹣22+24﹣26+…+（﹣1）n﹣1•22n﹣2]＝23×[1+（﹣22）1+（﹣22）2+（﹣22）3+…+（﹣22）n﹣1]＝23×＝﹣（﹣1）n•．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM∥平面CB1A1；（2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：取B1C的中点N，连接ON，A1N，∵O是BC的中点，N是B1C的中点，∴ON∥BB1，ON＝BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1∥AA1，BB1＝AA1，又M是AA1的中点，∴A1M∥ON，A1M＝ON，∴四边形MONA1是平行四边形，∴OM∥A1N，又OM⊄平面CB1A1，A1N⊂平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．（2）解：∵△ABC是BC为斜边的等腰直角三角形，∴AO⊥BC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1⊥平面ABC，又ON∥BB1，∴ON⊥平面ABC，以O为原点，以OB，ON，OA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，不妨设正方形BB1C1C的边长为2，则O（0，0，0），M（0，1，1），B1（1，2，0），A1（0，2，1），C（﹣1，0，0），∴＝（0，1，1），＝（1，2，0），＝（﹣1，0，1），＝（1，2，1），设平面MOB1的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令y1＝1可得＝（﹣2，1，﹣1），平面A1B1C的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，令z1＝1可得＝（1，﹣1，1），∴cos＜，＞＝＝＝﹣，∴平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值为＝．20．（12分）已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．（1）求乙盒中红球个数X的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率．解：（1）由题意知X＝0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，则X的分布列为：X0123PEX＝0×+1×+2×+3×＝．（2）记从甲盒里任取三个球为事件A，记从乙盒中任取一球是红球为事件B，A1＝{从甲盒里任取三个球为白球}，A2＝{从甲盒里任取三个球为两个白球一个红球}，A3＝{从甲盒里任取三个球为一个白球两个红球}，A4＝{从甲盒里任取三个球为红球}，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，则A＝A1∪A2∪A3∪A4，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4），＝×0+×+×+×＝，故从乙盒中任取一球是红球的概率是．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，斜率为k（k≠0）的直线l交E于A，B两点．当k＝时，|AB|＝，且△OAB的面积为．（O为坐标原点）（1）求椭圆E的方程；（2）设F为E的右焦点，垂直于l的直线与交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且|MA|＝|MO|，求k的值．解：（1）由当k＝时，△OAB的面积为，可知此时B为椭圆的下顶点.∴k＝，|AB|＝，得a2＝4，b2＝3．∴椭圆E的方程为；（2）设B（x B，y B），直线l的方程为y＝k（x﹣2），由方程组，消去y，整理得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．解得x＝2或x＝，由题意得，从而.∵|MA|＝|MO|，∴M的坐标为（1，﹣k），因此直线MH的方程为y＝，则H的坐标为（0，），由BF⊥HF，得．由（1）知，F（1，0），则，，∴，解得k＝﹣或k＝，∴直线l的斜率k＝﹣或k＝．22．（12分）已知函数f（x）＝（x2+4x+3）ln（x+1）﹣x2+（a﹣3）x．（1）当a＝﹣8时，求f（x）的单调性；（2）如果对任意x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝﹣8时，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x﹣8＝（2x+4）[ln（x+1）﹣2]，令f'（x）＝0，解得x＝e2﹣1，当﹣1＜x＜e2﹣1时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣1，e2﹣1）上单调递减；当x＞e2﹣1时，f'（x）＞0，f（x）在（e2﹣1，+∞）上单调递增．综上所述，f（x）在（﹣1，e2﹣1）上单调递减，在（e2﹣1，+∞）上单调递增．（2）当x≥0时，f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x+a，设g（x）＝f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x+a，则g'（x）＝2ln（x+1）﹣，设h（x）＝g'（x）＝2ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则h'（x）＝≥0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0，∴f'（x）在[0，+∞）上单调递增，当a≥0时，f'（x）≥f'（0）＝a≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，符合题意；当a＜0时，设f'（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为[0，+∞）．。
2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线过点（﹣1，2），(2，2+√3)，则此直线的斜率是（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√32．若点P （1，3）到直线l ：4x +3y +a ＝0（a ＞0）的距离为3，则a ＝（ ） A ．2B ．3C ．32D ．43．已知空间向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=1，则|2a →−b →|的值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．44．如图在空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．12OA →−23OB →+12OC →B ．−23OA →+12OB →+12OC →C ．12OA →+12OB →−12OC →D ．23OA →+23OB →−12OC →5．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过M(1，√3)作圆O 的切线l ，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．23πD ．56π6．若直线ax +y ﹣4＝0与直线x ﹣y ﹣2＝0的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）7．M 点是圆C ：（x +2）2+y 2＝1上任意一点，AB 为圆C 1：(x −2)2+y 2=3的弦，且|AB|=2√2，N 为AB 的中点．则|MN |的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，若|MF 1|＝3|NF 1|，且∠MF 1N =90o ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√54D ．√104二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。