广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试题

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,x x R e x ∀∈≤B ．0200,xx R e x ∃∈> C ．0200,x x R e x ∃∈≤ D ．2,x x R e x ∀∈<2．若椭圆的右焦点为F ，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P ，Q 两点，则的周长为（ ） A ．B ．C ．6D ．83．不等式260x x -++<的解集是（ ）A ．{}23x x -<<B ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．{3x x >或}2x <-D ．13x x ⎧>-⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭4．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b c >>>，则c c a b< C ．若0a b <<，则2a ab <D ．若0a b <<，则11a b< 5．在∆ABC 中，已知45A =︒，30B =︒，c =a =（ ） A ． B C 1D 16．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S ='F 60C PQF △A ．55B ．11C ．50D ．607．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）． A ．92米 B ．83米 C ．74米D ．65米8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．5二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分． 9．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在∆ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件 C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件2922±10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1ab ≥B ．2a b +≤C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤ 11．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列12．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，且2AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．为等腰直角三角形 C ．直线AB 的斜率为D ．线段AB 的长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13．抛物线的准线方程为__________________.14．220x ax ax ∀∈+-<R ，都成立.则a 的取值范围是__________．15．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点，点A 在椭圆E 上，且1260F AF ∠=︒，122AF AF =，则椭圆离心率是___________．16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有∆ABC ，6AC =，sin C A =，则当∆ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.2:4E y x =90CFD ︒∠=CMD △24y x =四、解答题：本题共6小题，共70 分 。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．( 本小题满分10分）已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x ym m +=--表示双曲线.（1）当1a =时，若命题p 为真，且命题q 为真，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．( 本小题满分12分）在①222b c a =+-②2cos 2a C b c =-，()22sin 12A B C +=+，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设∆ABC 的面积为S ， 已知_______.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） （1）求角A 的大小；（2）已知2b =，4c =，点D 在边BC 上，且AD 为BAC ∠的平分线，求ABD △的面积．19．( 本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.20．( 本小题满分12分）2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会。

据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）.（1）求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.21．( 本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <；22．( 本小题满分12分）已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M与N作平行直线1l和2l，分别交曲线C于点A、B和点D、E，求四边形ABDE 面积的最大值.东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题答案一、单选题 CBCB AADB二、多选题 AD BC ABD ACD三、填空题 13. 14．(]8,0-16．6 四、解答题17．由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<，...........1分 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a << ................2分由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：35m <<.....3分（1）若1a =，则命题p ：14m << ，因为命题p 和q 均为真命题，所以1435m m <<⎧⎨<<⎩，所以34m <<，所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4)................5分 （注：先将1a =代入求解的给相应分数）（2）由p 是q 的必要不充分条件，则有：q p ⇒但pq ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<.........7分所以345a a ≤⎧⎨≥⎩，解得534a ≤≤........8分经检验54a =和3a =满足条件........9分 所以实数a 的取值范围是5[,3]4........10分161-=y18．解：（1）若选①：22243S b c a =+-， 则14sin 32cos 2bc A bc A ⋅=⋅，...........2分化简得tan 3A =，...........3分 0A π<<..........5分 ∴π3A =．.......6分若选②：2cos 2a C b c =-，则由正弦定理得()2sin cos 2sin sin A C A C C =+-，........1分 即2sin cos sin 0C A C -=，...........2分 ∵sin 0C ≠，.............3分0A π<<.........4分 ∴1cos 2A =，...........5分 则π3A =．............6分若选③：()23sin 2sin12AB C +=+，则有3sin 1cos 1A A =-+，......2分 化简得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.......3分 7666A πππ<+<.............4分所以ππ62A +=，............5分 故π3A =．.............6分（2）∵1sin 42212sin 2ABDACDAB AD BADS AB S AC AC AD CAD ⋅⋅∠====⋅⋅∠△△，.......8分 且1sin 232ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=△，......10分 ∴2433ABD ABC S S ==△△．.......12分19．（1）抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,2px -=....1分由抛物线的定义可知3()52p--= 解得4=p ……………3分 ∴C 的方程为x y 82=.………4分（2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为，焦点)0,2(F设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………....6分两式相减。