立体几何中的平行问题
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
立体几何中的平行问题总结
立体几何中的平行问题总结1. 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2. 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：.说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形作了一次平移3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，.5. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：.证明：假设直线不平行于平面，∵，∴，若，则和矛盾，若，则和成异面直线，也和矛盾，∴.6. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：.证明：∵，∴和没有公共点，又∵，∴和没有公共点；和都在内，且没有公共点，∴.7. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.8. 平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：，，，，.分析：这个定理从正面证（用定义）比较困难，所以考虑用反证法.启发：（1）如果平面和平面不平行，那么它们的位置关系怎样?（2）如果平面和平面相交，那么交线和平面中的直线与各有怎样的位置关系?（3）相交直线与都与交线平行，这合理吗?为什么?证明：假设，∵，，∴，同理.即在平面内过点有两条直线与平行，与公理4矛盾，∴假设不成立，∴.推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：.9. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：.证明：∵，∴没有公共点，又∵，∴.同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：.。
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
立体几何中平行问题
立体几何中的平行问题（1）线面平行思考途径I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行支持定理 ①////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭； ②////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭； 配图助记（2）线线平行：思考途径I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行；III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.支持定理①////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭；④//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭配图助记（3）面面平行：思考途径I.转化为判定二平面无公共点； II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭ 配图助记αb βa a b α b γβ α a a β αb O β a α β αγ α β a a α b β α a一、线面平行1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥立体中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；2、在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；3、如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点（1）证明：//''MN AACC平面；PD C B A4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC , AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .5、如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且a AB AE 2==，a CD =，F 是BE 的中点.(1)求证：DF ∥平面ABC ；(2)求三棱锥ABD E -的体积.6、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E为CD 中点。
立体几何基础平行与垂直的性质与判定
立体几何基础平行与垂直的性质与判定立体几何基础——平行与垂直的性质与判定立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是在三维空间内的图形和物体。
在立体几何中，平行和垂直是两个基本概念，它们在判断和解决几何问题时起着重要的作用。
本文将介绍平行与垂直的性质和判定方法，帮助读者更好地理解立体几何的基础知识。
一、平行的性质与判定平行是指在同一平面内，两条直线永不相交的性质。
在立体几何中，我们常用平行性质来推导和证明定理。
以下是一些与平行相关的性质和判定方法。
1. 平行线性质：（1）平行线上的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么对应的角都是相等的。
（2）平行线上的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所交，那么内错角互补，即相互补充的角和为180度。
（3）平行线上的同旁内角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么同旁内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定平行线的方法：（1）两条线段平行的充要条件是斜率相等：如果两条线段的斜率相等，那么它们是平行的。
（2）两个向量平行的充要条件是比值相等：如果两个向量的坐标分量比值相等，那么它们是平行的。
（3）两条直线互相垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们互相垂直。
二、垂直的性质与判定垂直是指两条直线或线段在交点处互相成直角的性质。
垂直的性质在几何证明中经常被用到，下面是关于垂直的一些性质和判定方法。
1. 垂直线性质：（1）垂直线上的对应角互补：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么对应的角互补，即相互补充的角和为90度。
（2）垂直线上的内角相等：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定垂直线的方法：（1）两条线段垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们是垂直的。
（2）两个向量垂直的充要条件是内积为0：如果两个向量的内积为0，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直在实际中的应用平行和垂直的性质在日常生活和工程实践中有广泛的应用。
立体几何线线平行的判定
立体几何线线平行的判定
线线平行是立体几何中的一个基本概念，它可以用来描述两条直线在空间中始终保持相同的距离的关系。
在很多几何问题中，我们需要判定两条直线是否平行，因此，本文将介绍立体几何中线线平行的判定方法。
一、两线斜率相等且不相交
两条直线若在平面内不相交，则可以通过比较它们的斜率是否相等来判断它们是否平行。
但在立体几何中，两条直线可以在空间中相交，因此我们需要另一种方法来判断它们是否平行。
在立体几何中，两条直线的斜率可以用其在平面内的投影来计算。
设直线L1与L2在平面P上的投影分别为l1、l2，且l1与l2的斜率相等，则L1与L2平行。
二、两线所在平面平行或重合
当两条直线分别位于两个平面内，且这两个平面平行或重合时，这两条直线也平行。
这个方法的证明比较复杂，需要用到一些向量知识。
我们可以将两条直线所在的两个平面各取一个法向量，若这两个法向量平行，则两个平面平行。
在这种情况下，两条直线在各自所在的平面内的投影也是平行的，因此它们在空间中也是平行的。
这种方法比起前两种方法，更加简单直观，因为两个平行的平面可以看作是两个相似的平面铺在一起。
同时，这种方法可以直接代入向量公式进行计算，非常方便。
最后，需要注意的是，在实际问题中，我们往往需要综合运用这几种判断方法来判断两条直线是否平行。
同时，我们也需要注意区分线线平行和线面平行的概念，因为这两者有着本质的差别。
立体几何平行垂直问题专题复习
立体几何平行垂直问题专题复习一、平面平行问题1. 平行线基础定义平行线是在同一平面内不相交的两条直线。
两条平行线之间的距离是它们之间所有直线段中最短的。
平行线符号为“||”。
2. 垂直平分线垂直平分线是将一条线段分成两个相等的部分，并且垂直于线段的线。
3. 平行四边形平行四边形是指两组相互平行的边构成的四边形，它的对边长度相等，对边平等，对角线互相平分。
4. 平行线判定定理对于两条直线l, m以及平面内的任意一条直线n，若n与l平行，则n与m 平行；若n与l垂直，则n与m垂直。
5. 平行线和对角线的关系平行线所构成的平行四边形的对角线互相平分。
二、垂直问题1. 垂线基础定义垂线是指与一条直线或平面呈直角的线段。
2. 垂线距离垂线距离是垂线所代表的点到直线的最短距离。
3. 垂心垂心是指在三角形的一个顶点下，作该点到对边的垂线并与对边相交的点。
4. 直角三角形直角三角形是指三角形中有一角为90度的。
5. 正方体中垂直面的距离正方体中两个垂直面的距离为边长。
三、立体几何应用问题1. 立方体立方体的六个面都是正方形。
每个面都有相同的面积，边长相等。
2. 长方体长方体是指六个面中有一个面是长方形，其余五个面都是正方形。
3. 圆柱体圆柱体是指由一个矩形和两个相等的圆所组成的立体，其中矩形是圆柱体的腰，两个圆为圆柱体的顶底面。
4. 圆锥体圆锥体是由一个圆和一个尖端共同组成的立体，圆锥体的侧面是一条射线和圆的切线。
圆锥体中心角为360度。
5. 球体球体是由一个半径相等的圆旋转所得到的立体，其表面上所有点到球心的距离都是相等的。
以上就是关于立体几何中的平行垂直问题专题复习的内容，包括了平面平行问题、垂直问题、立体几何应用问题，希望对大家在学习立体几何时有所帮助。
立体几何平行证明题
立体证明题(2)1•如图，直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且BF丄平面ACE(1) 求证：AE丄平面BCE(2) 求二面角B-AC- E的余弦值.2•等腰△ ABC中, AC=BC= AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C 至U P,得至U四棱锥P— ABFE 且AP=BP=(1) 求证：平面EFP!平面ABFE(2) 求二面角B-AP- E的大小.3•如图，在四棱锥P- ABCD中，底面是正方形，侧面PADL底面ABCD且PA=PD= AD,若E、F分别为PC BD的中点.(I)求证：EF//平面PAD(n)求证：EF丄平面PDC4•如图：正△ ABC与Rt△ BCD所在平面互相垂直，且/ BCD=90°,/ CBD=30°(1)求证：AB丄CD(2)求二面角D- AB- C的正切值.5•如图，在四棱锥P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD(1)求证：平面PADL平面PBD(2)求二面角A- PB- C的余弦值.6•如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是AB中点.(I)求证：AB丄平面ACE(H)求直线AG与平面ACE所成角的正弦值.7•如图，在四棱锥P- ABCD中, PA丄平面ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若PA=求二面角E- BD- C.8•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平面ABCD , PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB 丄AD , BC // AD 且BC=4，点M 为PC 中点.(I)求证：DM丄平面PBC;BE(2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角P- DE - B的EC2余弦值为-？若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.39•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABC AB=AC=5 BC=BE=6且M是BC的中点(I) 求证：AM L平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.10. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB// CD AB丄BC, AB=2CD=2BC EA L EB(1)求证：EA丄平面EBC(2)求二面角C- BE- D的余弦值.11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD// BC, / ADC=90°,平面PADL 底面ABCD O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面POBL平面PAD12. 如图，三棱柱ABC- A1B1C中，侧棱AA丄平面ABC △ ABC为等腰直角三角形，/BAC=90，且AB=AA, E、F 分别是CC, BC的中点.(1)求证：平面ABF丄平面AEF;(2)求二面角B1- AE- F 的余弦值.13. 如图，在菱形ABCD中，/ ABC=60°, AC与BD相交于点Q AE丄平面ABCD CF/ AE, AB=AE=2．(I )求证：BD丄平面ACFE(II )当直线FO与平面BDE所成的角为45。
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1
思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？）
【例3】如图，已知正方体
中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD .
例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D
【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：.
1111
A B C D A B C D -1A B 1
B C 11B E C F
=αβαβ//M N αA
B
C D F
E
C 1
B 1A 1
D 1
D 1 B 1
A 1
D C
B A
C 1α
β
A
B
C
D
M
N
P
C
2
变式1、如图，直线相交于点O ，,，
求证：平面ABC //平面
6、设是单位正方体的面、面的中心，如图
8-4，证明：⑴∥平面；⑵面
∥面.
变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四
边形
3．判断正误
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( )
'
''
,,CC BB AA
,'O A AO
=O
B BO '
=O
C CO
'
='
'
'
C
B A ,P Q 1A
C 11A A
D D 1111A B C D P Q
11A A B B 1D P Q
1C D
B
4．下列条件中，能判断两个平面平行的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面5．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；
(2)证明：BD∥平面AB1D1.
3
4
【例2】 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD ，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．
【例3】 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH∥平面BED 1F.
4如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，
AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG.。