高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
【精选】立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理
①面面平行→线面平行（面面平行性质定理1） ②面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
复习 空间中的垂直关系
判定直线与直线垂直的方法：
① 定义(成角90°) ② 线线平行→线线垂直（a∥b，a⊥c则b⊥c） ③ 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义）
直线和直线垂直的性质：
① 线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理）
复习 空间中的平行关系
判定直线与直线平行的方法：
① 定义(在同一平面内且不相交的两条直线) ② 平面几何方法： ③ 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ④ 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ⑤ 面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
直线和直线平行的性质：
① 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 线线平行→面面平行（面面平行判定定理推
论2）
判定平面与平面垂直的方法
①定义 ②线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理）
平面与平面垂直的性质
①面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理）判定直线与平面垂直的方法：
①线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理） ②面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理） ③线线平行→线面垂直（线面垂直判定定理推论1）
直线和平面垂直的性质：
① 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义） ② 线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理） ③ 线面垂直→线线平行（线面垂直判定定理推
论）
判定直线与平面平行的方法：
① 定义（直线与平面没有公共点） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 面面平行→线面平行（面面平行性质定理1）
直线和平面平行的性质：
① 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ② 线面平行→面面平行（面面平行判定定理）
探索立体几何中的平行与垂直关系
探索立体几何中的平行与垂直关系在立体几何中，平行与垂直是两种基本的关系。
平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不相交，而垂直则是指两条直线或一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。
这两种关系在几何学中有着广泛的应用和研究价值。
本文将探索立体几何中的平行与垂直关系，并讨论它们的性质和特点。
1. 平行关系在空间中，两条直线或两个平面如果永远不相交，我们就称它们为平行关系。
平行关系具有以下性质：- 平行关系是相对的：两个物体的平行关系与观察者的视角有关。
对于一个观察者来说，两条直线可能是平行的，而对于另一个观察者来说，这两条直线可能不平行。
- 平行关系保持不变：平行关系在空间中是始终保持不变的，无论两个物体在空间中如何移动、旋转或缩放，它们之间的平行关系都不会发生改变。
- 平行线的性质：如果一条直线与另外两条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
此外，如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。
- 平行面的性质：如果两个平面相交于一条直线，并且与另外一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
同样，如果两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指在空间中，两条直线或一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。
垂直关系具有以下性质：- 垂直关系是相对的：两个物体的垂直关系也与观察者的视角有关。
对于一个观察者来说，两条直线或一个直线与一个平面可能是垂直的，而对于另一个观察者来说，它们可能不垂直。
- 垂直关系保持不变：垂直关系在空间中是始终保持不变的，无论两个物体如何移动、旋转或缩放，它们之间的垂直关系都不会发生改变。
- 垂直线的性质：如果一条直线与另外两条直线垂直，那么这两条直线也是垂直的。
此外，如果两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线也是垂直的。
- 垂直面的性质：如果一个平面与另外两个平面相交于一条直线，并且与另外一个平面垂直，那么这两个平面也是垂直的。
同样，如果两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面也是垂直的。
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。
理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。
平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。
1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。
证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。
若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。
假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。
因此，线段AB必定是与直线m平行的。
2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。
假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。
然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。
由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。
因此，平面γ与β平行。
二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。
垂直关系可以通过以下定理来判断。
1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。
证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。
若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。
那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。
如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。
因此，直线l和m是垂直的。
2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念，它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。
在本文中，我将介绍平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行关系在空间几何中，当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时，我们称它们是平行的。
换句话说，平行线永远不会相交，平行面之间也永远不会相交。
我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行：1. 如果两条线被一条平面所截，且截得的两对同位角相等，则这两条线平行。
2. 如果两个平面被一条直线所截，且截得的两对同位角相等，则这两个平面平行。
平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。
比如，在建筑设计中，设计师常常需要确定两面墙是否平行，以便确保建筑结构的稳定。
在制图学中，要绘制平行线的效果，可以应用平行规或平行尺等工具辅助。
二、垂直关系与平行关系相反，垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。
当两条线或两个平面的夹角大小为90度时，它们被认为是垂直的。
同样地，如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的，则我们称这两个立体是垂直的。
判断垂直关系的方法有：1. 如果两条直线相交，并且相交的四个角中有两个角是直角，则这两条直线是垂直的。
2. 如果两个平面相交，并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直，则这两个平面是垂直的。
垂直关系在几何学中有广泛的应用。
在建筑学中，垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角，以提供良好的结构支持。
在三维计算机图形学中，垂直关系可以用来进行透视变换，使得图像更加逼真。
三、平行和垂直的性质在空间几何中，平行和垂直具有一些重要性质，这些性质可以帮助我们解决几何问题。
1. 如果一条直线与两条平行线相交，则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。
2. 如果两条线分别与第三条线平行，则它们之间的对应角是相等的。
3. 判断两个平面是否垂直的方法之一，是计算它们的法向量之间的夹角。
高中数学 立体几何知识点总结
立体几何一、空间位置关系的证明(一)平行关系的证明1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理3.重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)几何体中线面平行的证明常利用平行四边形的定义、性质或三角形中位线(二)垂直关系的证明1．直线与平面垂直(1)定义：:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：[0，π2]． 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理4.重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)在几何体中垂直关系的证明中要重视勾股定理及平面几何知识的应用，如：菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等。
二、立体几何中的向量方法 (一)证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. （二）求空间角1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。
（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。
（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。
（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。
（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。
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高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是_4 _______ 个。
3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。
:4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，a、B、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.其中正确的命题是①④________【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.求证：AB//平面EFG证明：•面EFGH是截面.•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.••• EH 面ABC GF 面ABD由已知,EH// GF. • EH// 面ABD又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB•EH// AB.•AB// 面EFG例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. DC求证:MN//平面AABB.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABBA i 内找一条直线与MN 平行，如图所示作平行线即可法2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
连CN 并延长交直线BA 于点P , 连B i P ,就是所找直线，然后再设法证明 MN B i P.法3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M 作MQ//BB 交BC 于B i ,连NQ 则平面MNQ与平面ABBA i 平行，从而证得MN/平面ABBA.点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】 i •对于平面 和共面的直线m 、n,下列命题中真命题是(3)。
(i)若 m ,m n,则 n// (2)若 m// ,n // ,则 m//n (3)若m ,n// ,则m// n (4)若m 、n 与 所成的角相等，则m// n2. 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 (2) 0 (1) 经过直线a 有且只有一个平面平行于直线 b(2) 经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线 b(3) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面(4) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面3. 关于直线a 、b 、I 及平面M N.下列命题中正确的是(4)。
(i) 若 a // M, b // M,则 a // b C iC(2) 若 a II M b ±a ,则 b ± M(3) 若a^M 瞎M 且I 丄a , l 丄b ,贝U l 丄M(4) 若 a 丄 M a I N,则 Ml N4•“任意的a ,均有all ”是“任意b ,均有b// ”的 充要条件 5. 在正方体AG 中,过A i C 且平行于 AB 的截面是面AB i CD . 6. 在长方体ABC —AB 1CD 中,经过其对角线BD 的平面分别与棱AA,CG 相交于 E,F 两点，则四边形EBFD 勺形状为 _______________ 。
7. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 为PE 的中点, 求证：PD//平面MAC.证明连AC 交BD 于O,连MO,则MO 为APED 的中位线，• ••PD//MO,tPD•••PD// 平面 MAC. 8 •如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点+ (1)求证：MN //平面PAD ; (2) 若MN BC 4 , PA 4.3 ,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小+ 略证：(1)取PD 的中点H,连接AH,1 NH//DC,NH DC 2NH // AM , NH AM AMNH 为平行四边形MN //AH ,MN PAD , AH PAD MN // PAD (2):连接AC 并取其中点为O,连接OM ON 则OM 平行且等于BC 的一半， ON 平行且等于PA 的一半，所以 ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由 MN BC 4 , PA 4.3 得，OM=2 ON=2・ 3所以 ONM 30°,即异面直线PA 与MN 成30°的角.9•两个全等的正方形 ABC 併口 ABEF 所在平面相交于 AB, M€ AC , N€ FB,且AMtFN, 求证：MN/平面BCE平面MAC,M O 平面MAC,P H ND C证法一：作MPL BC NQL BE P、Q为垂足，贝U MP/ AB, NQ/ AB••• MP// NQ 又AM=NF, AC=BF,••• MCNB / MC=Z NBQ45°••• Rt △ MC 匡Rt △ NBQ••• MP=NQ故四边形MPQ为平行四边形••• MN/ PQ••• PQ平面BCE MN在平面BCE外 ,••• MN/ 平面BCE证法二：如图过M作MH L AB于H ,则MH/ BC,.AM AH_…AC AB连结NH由BF=AC FN=AM得卫！少 BF AB••• NH//AF//BE由MH//BC, NH//BE 得：平面MNH/平面BCEF E••• MN/ 平面BCE第4课空间中的垂直关系【考点导读】1. 掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关冋题。
2. 线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】1 .“直线I垂直于平面内的无数条直线”是“ I丄”的必要条件。
2. 如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。
3. 在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6 ________ 。
4. 两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。
5. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面ABD _______ ，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】例1 .如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底面ABCDPD=DCE是PC的中点,作EF丄PB交PB于点F.(1) 证明PA/平面EDB (2)证明PB丄平面EFD解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.证明：(1)连结ACAC交BD于Q连结E0E •••底面ABCD是正方形，.••点Q是AC的中点在PAC中,EQ是中位线，二PA// EQ而EQ 平面EDB且PA 平面EDB所以,PA// 平面EDB(2) v PDL底面ABCD且DC 底面ABCD 二PD DC••• PD=DC可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ••• DE PC. ①同样由PDL底面ABCD W PDL BC•••底面ABCD是正方形,有DC L BC ••• BCL平面PDC而DE 平面PDC：BC DE. ②由①和②推得DE 平面PBC 而PB 平面PBC •DE PB例2 •如图，△ ABC为正三角形，EC丄平面ABC , BD又EF PB且DE EF E ,所以PB丄平面EFD// CE , CE = CA = 2 BD ,M是EA的中点，求证：(1) DE = DA ； (2)平面BDM丄平面ECA ；(3) 平面DEA丄平面ECA分析：(1)证明DE = DA，可以通过图形分割，证明△ DEF DBA (2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由( 1)知DM丄EA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形。
从而证明DM丄平面ECA证明：(1)如图，取EC中点F，连结DF••• EC 丄平面ABC，BD // CE，得DB 丄平面ABC。
DB 丄AB，EC 丄BC1BD // CE，BD = - CE = FC，2则四边形FCBD是矩形，DF丄EC又BA = BC = DF，• Rt△ DEF 望Rt△ ABD，所以DE = DA(2)取AC中点N，连结MN、NB，••• M是EA的中点，• M也-EC2由B^1EC，且BD丄平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM丄2MNDE = DA , M 是EA 的中点，二DM 丄EA .又EA MN = M ,DM丄平面ECA，而DM 平面BDM,则平面ECA丄平面BDM(3)v DM 丄平面ECA , DM 平面DEA ,••• 平面DEA丄平面ECA点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决例3.如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC = BC = 1,/ ACB = 90°, AA = 2，D 是AB i 中点.(1)求证CD丄平面AB ; (2)当点F在BB上什么位置时，会使得AB丄平面CDF ?并证明你的结论。
分析：(1)由于C i D所在平面ABC垂直平面AB，只要证明CD垂直交线A i B i , 由直线与平面垂直判定定理可得CD丄平面AB。
(2)由(1)得CD丄AB，只要过D作AB的垂线，它与BB的交点即为所求的F点位置。
证明：(1)如图ABC-ABC是直三棱柱，••• AQ = BC = 1,且/ A1C1B1 = 90°。
又D 是AB 的中点，CD _LAB . AA丄平面AB1C , C1D 平面A1B1C ,AA _L CiD , • CD 丄平面AABB。
(2)解：作DE丄AB交AB于E ,延长DE交BB于F ,连结GF ,则AB丄平面GDF，点F即为所求。