2016女子数学奥林匹克试题

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。

1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。

各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。

在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。

经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。

对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。

各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。

2016年第57届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案

第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
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�� ∧ �� = (min{��1, ��1}, min{��2, ��2}, ⋯ , min{��, ��}). 求 �� 的非空真子集 �� 的元素个数的最大值, 使得对任意 ��, �� ∈ ��, 均有 �� ∨ �� ∈ ��, �� ∧ �� ∈ ��.
3. 如图, 圆内接四边形 �� 中, �� > ��, �� > ��, ��, �� 分别是 △��, △�� 的内心, 以 �� 为直径的圆与线段 �� 交于点 ��, 与 �� 的延长线交于点 �� .
2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考试
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目录
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

中国女子数学奥林匹克中山

第七届中国女子数学奥林匹克（中山）1．（a ）问能否将集合{}1,2,,96L 表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；（b ）问能否将集合{}1,2,,99L 表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．解：（a ）不能．因为96(961)32|129648972⨯++++==⨯L ．（b ）能．每个三元集的元素和为129999(991)15033332+++⨯+==⨯L ．将1,2,3,,66L 每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：150,349,,3334,+++L 266,465,,3251+++L ．故如下33组数，每组三个数之和均相等：{}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83,L {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67.L ．注：此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n =L 的三元子集族{},,i i i i A x y z =，1,2,i n =L 满足12n A A A M ⋃⋃⋃=L ．记i i i i s x y z =++，求所有的整数n ，使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤，i j s s =．解：首先，|1233n n ++++L ，即3(31)2|312n n nn +⇒+．所以，n 为奇数．又当n 为奇数时，可将1,2,3,,2n L 每两个一组，分成n 个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：111(),3(),,(1)22n n n n n n +-++++++L ； 322,4(21),,(1)()2n n n n n +++--++L ．其通项公式为1121(1)1,2213[12(1)][2(1)].22k n n k n k k a n n n k n k k n ++⎧-+++-≤≤⎪⎪=⎨++⎪-+-++--≤≤⎪⎩易知93312k n a n k +++-=为一常数，故如下n 组数每组三个数之和均相等： 1111,,3,3,,31,,,1,31222n n n n n n n n n n +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫++-++-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭L ；332,2,31,,1,,2122n n n n n n n ++⎧⎫⎧⎫+--++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭L．当n 为奇数时，依次取上述数组为12,,,n A A A L ，则其为满足题设的三元子集族．故n 为所有的奇数．2．已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个正根，且(0)0ϕ<．求证：322970b a d abc +-≤． ①证明：设实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++的三个正根分别为1x ，2x ，3x ，由韦达定理有123b x x x a ++=-，122331c x x x x x x a ++=，123dx x x a=-．由(0)0ϕ<，可得0d <，故0a >．不等式①两边同除以3a ，不等式①等价于3729b c b d a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231223311231237()()2()9x x x x x x x x x x x x x x x ⇔++++≤+++，2222223331213212331321232()x x x x x x x x x x x x x x x ⇔+++++≤++ ② 因为1x ，2x ，3x 大于0，所以221212()()0.x x x x --≥ 也就是2233122112.x x x x x x +≤+同理22332233233223311331,.x x x x x x x x x x x x +≤++≤+三个不等式相加可得不等式②，当且仅当123x x x ==时不等式等号成立．3．求最小常数1a >，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在,,,PAB PBC PCD PDA ∆∆∆∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1[,]a a -．解：min 152a =．首先证明min 152a ≤，记152ϕ=．不妨设正方形边长为2ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由 13241S S S S +=+=，得221S S μ=-，得21S μμ=+．故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾．故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定15(,)t a +∈，使得2819t b t =>+．我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有122315()S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉．这表明min a ϕ=． 4．在凸四边形ABCD 的外部分别作正三角形ABQ ，正三角形BCR ，正三角形CDS ，正三角形DAP ，记四边形ABCD 的对角线之和为x ，四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ，求yx的最大值．（熊斌供题）解：若四边形ABCD 是正方形时，可得y x13+=．下面证明：y x13+≤．设1111,,,P Q R S 分别是边DA ，AB ，BC ，CD 的中点，SP ，PQ ，QR ，RS 的中点分别为E ，F ，G ，H ．则1111P Q R S 是平行四边形．连接11,PE S E ，设点M ，N 分别是DP ，DS 的中点，则11DS S N DN EM ===，11DP PM MD EN ===，又 113606060PDS PDS ∠=︒-︒-︒-∠240(180)60END END =︒-︒-∠=︒+∠ 11ENS EMP =∠=∠，所以 1111DPS MPE NES ∆≅∆≅∆，从而，△11EPS 是正三角形．同理可得，△11GQ R 也是正三角形．设U ，V 分别是11P S ，11Q R 的中点，于是有11111133EG EU UV VG PS PQ R ≤++=++ 111113322PQ PS BD AC ==+，同理可得 1322FH AC BD ≤+，把上面两式相加，得13y x +≤，即y x132≤．5．已知凸四边形ABCD 满足AB ＝BC ，AD ＝DC ．E 是线段AB 上一点，F 是线段AD 上一点，满足B ，E ，F ，D 四点共圆．作△DPE 顺向相似于△ADC ；作△BQF 顺向相似于△ABC ．求证：A ，P ，Q 三点共线．（叶中豪供题）（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）证明将B 、E 、F 、D 四点所共圆的圆心记作O ．联结OB 、OF 、BD ．在△BDF 中，O 是外心，故∠BOF ＝2∠BDA ；又△ABD ∽△CBD ，故∠CDA ＝2∠BDA ．于是∠BOF ＝∠CDA ＝∠EPD ，由此可知等腰△BOF ∽△EPD ． ①另一方面，由B 、E 、F 、D 四点共圆知△ABF ∽△ADE ． ② 综合①，②可知，四边形ABOF ∽四边形ADPE ，由此得∠BAO ＝∠DAP ． ③同理，可得∠BAO ＝∠DAQ ． ④ ③，④表明A 、P 、Q 三点共线．【附注】事实上，当四边形ABCD 不是菱形时，A 、P 、Q 三点共线与B 、E 、F 、D 四点共圆互为充要条件．可利用同一法给予说明：取定E 点，考虑让F 点沿着直线 AD 运动．根据相似变换可知，这时Q 点的轨迹必是一条直线，它经过P 点（由充分性保证）．以下只要说明这条轨迹与直线AP 不重合即可，即只要论证A 点不在轨迹上．为此，作△BAA ′∽△BQF ∽△ABC ．于是由∠BAA ′＝∠ABC可得A ′A ∥BC ．又因四边形ABCD 不是菱形，故AD 不平于BC ．这就表明A ′、A 、D 三点不共线，也就保证了A 点不在轨迹上．因此，只有当B 、E 、F 、D 四点共圆时，Q 点才落在直线AP 上．而当四边形ABCD 是菱形时，不管E 、F 位置如何，所得到的 P 、Q 两点总位于对角线AC 上．6．设正数列12,,,,n x x x L L 满足721187)8x x x -=（及 88211171,2()k k k k kk k x xx x x k x x -+----=≥．求正实数a ，使得当1x a >时，有单调性12n x x x >>>>L L ；当10x a <<时，不具有单调性．解：由88211171()k kk k kk k x x x x x x x -+----=，有 1881111k k k k k k x x x x x x +---=- 即1288811111117==8k k k k k k x x x x x x x x x +---=-=-L于是，7178k k kx x x -+=+，则当10x >时，0,2k x k >≥．由811()8k k k kx x x x -+-=-，则当8108k x --<，即188k x >时，有10k k x x +-<，即1,1k k x x k +<≥．而178817718=888k k k x x x -+=+≥，且当18=8k x 时，等号成立．于是，取18=8a ，则当18>8k x 时12n x x x >>>L L ．当1818x <时，21x x >且23n x x x >>>L L ．故所求常数18=8a ．7．给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入C ，G ，M ，O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C ，G ，M ，O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的“和谐棋盘”？（冯祖鸣供题）解：有200812224⨯-种不同的“和谐棋盘”．我们首先证明下面这个结论：在每个“和谐棋盘”中，至少出现以下情况中的某一种：（1）每一行都是某两个字母交替出现；（2）每一列都是某两个字母交替出现．其实，假设某一行不是交替的，则这一行必定包含三个相邻的小方格填有不同的字母．不失一般性，假设这三个字母为C ，G ，M ，如图1所示．这很容易得到25X X O ==，并且14X X M ==和36X X C ==，如图2所示．图1 图2同理，我们就可以得到这三列都是两个字母交替出现．从而容易得到每一列都是某两个字母交替出现．现在我们来计算“和谐棋盘”的个数．如果最左边一列是某两个字母（比如C 和M ）交替出现，马上可以得到序号为奇数的列都是这两个字母交替出现，且序号为偶数的列都是另外两个字母（比如G 和O ）交替出现．每一列的第一个字母可以是这一列所包含的两个字母的任意一个；容易验证任意这样的填写都可以得到“和谐棋盘”．从而我们有246C =种不同的方式选择第一列的两个字母，且有20082种方式决定每一列的第一个字母．所以，我们有200862⨯种填法使得每一列都是交替的．同样，我们也有200862⨯种填法使得每一行都是交替的．现在所要做的就是从中减去计算了两次的填法——行和列都是交替的．显然，四个不同字母在左上角的2×2方格中的任何排列都可以扩充到整个棋盘得到一个“和谐棋盘”，并且行和列都是交替的，其实，只要先填好前两列使得它们是交替的，再填所有的行使得它们是交替的即可；反过来，这种双交替的填法由左上角的2×2方格唯一决定．有4！=24种方式在左上角的2×2方格中排列四个不同的字母．所以我们得到24种不同的填法使得行和列都是交替的，由此可以得到上面结果．8．对于正整数n ，令22n f +⎡⎡=⎣⎣．求证：数列12,,f f L 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．（[x ]表示不超过x 的最大整数）（冯祖鸣供题）12(2)101100.a a =L12(2)101100.b b =L首先，我们证明数列中有无穷多个偶数．反证法，假设数列中只有有限个偶数，从而存在一个正整数N ，对每个正整数n N >，n f 都是奇数．我们考虑121,2,n N n N =+=+L 注意到，在二进制中，1212(2)(2)101100101100i i i n n n f b b b a a a =+L L ，这个数模2同余于i i n n b a +．因为i n f 是奇数，所以{,}{0,1}i i n n b a =．从而121(2)1011001.111m c c c -=L L．这是不可能的，是无理数．这样，我们的假设是错误的，所以数列中有无穷多个偶数．我们同样可以证明数列中有无穷多个奇数．令n g -⎢⎢=⎣⎣，显然n g 和n f 有相同的奇偶性．这样，对n N >，n g 都是偶数．注意到，在二进制中，1212(2)(2)101100101100i i i n n n g b b b a a a =-L L ，这个数模2同余于i i n n b a -．因为i n g 是奇数，所以i i n n b a =．从而121(2)0.000m d d d -=L L．这是不可能的，是无理数．这样，我们的假设是错误的，所以数列中有无穷多个奇数．。

2004-2012历届女子数学奥林匹克试题PDF(无答案)

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ．设函数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ，均有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。

2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-

2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。

）1.）（）（）（40375.08.041545.2⨯÷⨯⨯⨯ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】964 【解析】原式 = 0.5×4×0.2÷（43×403） = 52×9160 = 964 2.1811611411212222－＋－＋－＋－ = 。

【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★【答案】94【解析】原式 = )18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（⨯⨯⨯⨯） = 971751531311⨯⨯⨯⨯＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×21= （1－91）×21 = 98×21 = 943.)]32152(347[163)25.016743(＋－＋－÷⨯÷ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】2869【解析】原式 = )1215347(163)4171643(⨯⨯⨯－＋－ = 316163)41712(⨯＋－ = 2841+ 1= 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。

【考点】最值问题【难度】★ 【答案】54【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。

经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。

2016欧洲女子奥林匹克竞赛(EGMO)试题

2016欧洲女子奥林匹克竞赛EGMO·中英文对照版（无答案）试题提供来源：The Organizing Committee of EGMO 2016Bu șteni -RomaniaDay 1-SolutionsProblem 1.Let n be an odd positive integer,and let n x x x ,...,,21be non-negative real numbers.Show that()()1,...,1212,...,12max min +=+=≤+j j n j i i n i x x x x,where 11x x n =+.问题1.设n 是给定正奇数，记n x x x ,...,,21为n 个非整数的有理数.证明：()()1,...,1212,...,12max min +=+=≤+j j n j i i n i x x x x,其中11x x n =+.Problem 2.Let ABCD be a cyclic quadrilateral,and let diagonals AC and BD intersect at X.Let C 1,D 1and M be the midpoints of segments CX,DX and CD,respectively.Lines AD 1and BC 1intersect at Y ,and line MY intersects diagonals AC and BD at different points E and F,respectively.Prove that line XY is tangent to the circle through E,F and X.问题2.ABCD 为一圆内接四边形，记X 为对角线AC 和BD 交点.记C 1,D 1,M 分别为CX,DX,CD 中点.直线AD 1和BC 1交于Y ，并且直线MY 和对角线AC,BD 分别交于不同点E 和F.证明：直线XY 是过E,F,X 三点的圆的切线.Problem 3.Let m be a positive integer.Consider a m m 44⨯array of square unit cells.Two different cells are related to each other if they are in either the same rowor in the same column.No cell is related to itself.Some cells are coloured blue,such that every cell is related to at least two blue cells.Determine the minimum number of blue cells.问题3.设m 为已知正整数.考虑一个以m m 44⨯排列的正方形单元格表.如果两个单元格在同一列或同一行则认为这两个单元格是相关的，并且单元格与自己不是相关的.现将部分单元格涂成蓝色，使得每个单元格和至少两个蓝色单元格是相关的.求出格表中蓝色单元格的个数最小值.Day 2-SolutionsProblem 4.Two circles,1ωand 2ω,of equal radius intersect at different points X 1and X 2.Consider a circle ωexternally tangent to 1ωat a point T 1,and internally tangent to 2ωat a point T 2.Prove that lines X 1T 1and X 2T 2intersect at a point lying on ω.问题4.两个半径相等的圆1ω和2ω相交于不同点X 1和X 2.设圆ω和圆1ω外切于T 1，并且圆ω和圆2ω内切于T 2.证明直线X 1T 1和X 2T 2交点在圆ω上.Problem 5.Let k and n be integers such that 2≥k and 12-≤≤k n k .Place rectangular tiles,each of size k ⨯1or 1⨯k ,on an n n ⨯chessboard so that each tile covers exactly k cells,and no two tiles overlap.Do this until no further tile can be placed in this way.For each such k and n ,determine the minimum number of tiles that such an arrangement may contain.问题5.设k 和n 为已知整数且有2≥k 并且12-≤≤k n k .现在n n ⨯的棋盘上铺放k ⨯1或1⨯k 的长方形纸条使得每个纸条恰好覆盖k 个格子且任何两个长方形纸条均不相互重叠.一直持续上述操作直到无法再将纸条经上述操作放置在棋盘上.则对每一个满足条件的k 和n ，求存在摆放方案的最少的纸条个数.Problem 6.Let S be the set of all positive integers n such that 4n has a divisor in the range n n n n 2,...,2,1222+++.Prove that there are infinitely many elements of S of each of the forms 67,57,27,17,7++++m m m m m and no elements of S of the form 37+m or 47+m ,where m is an integer.问题6.设S 是满足在n n n n 2,...,2,1222+++中存在4n 的因数的所有正整数n 的集合.证明：集合S 中有无穷个可以写作67,57,27,17,7++++m m m m m 的形式的元素，但没有元素可以写成37+m 或47+m 的形式，其中m 是一个整数.。

历届女子数学奥林匹克试题

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。