高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 2.1.3 第1课时
m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程.
跟踪训练3
求与直线3x＋4y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限
所围成的三角形面积是24的直线方程.
解答
达标检测
④ 1.下列命题中，正确的是______.( 填序号)
即3x＋4y－9＝0. 方法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12). 将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
解答
反思与感悟
(1)若直线l与已知直线 y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y
＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程.
解 因为3×(－8)－(－4)×6＝0， 而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2.
(2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0；
解 因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，
所以l1，l2重合.
(3)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0. 解 因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交.
(2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，
B2 不全为 0) ，由 A1B2 － A2B1 ＝0 得到l1∥l2 或l1 ，l2 重合；排除两直线重合，
就能判定两直线平行.
跟踪训练1 判定下列直线的位置关系.
(1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0；
解答
(2)直线l1与l2重合.
解
2 m －1＝0， 若 l1 与 l2 重合，需满足 2 － 2 m ＋m＋1＝0，
解得m＝1. 即当m＝1时，l1与l2重合.
解答
反思与感悟
(1)解决此类问题的方法：需依据直线平行的条件，研究斜
率是否存在；若斜率存在，再根据斜率相等，截距不等，列关于参数的
跟踪训练2
(1)若直线x＋a2y＋6＝0 和直线(a －2)x＋3ay＋2a＝0没有公
0或－1 共点，则a的值是________.
解析
2 a － 2 a －3a＝0， 由题意得 2a－6a－2≠0，
解得a＝0或－1.
解析
答案
a＋1 1 ，B0，－ (2)已知 A1，－ ，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，当 a 为何 3 3
值时，直线 AB 和直线 CD 平行.
解答
类型三 由平行关系求直线方程
例3 求过点(－1,3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程.
3 解 方法一 ∵l 的方程可化为 y＝－4x＋3， 3 3 ∴l 的斜率为－4.∵l′与 l 平行，∴l′的斜率为－4. 3 又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为 y－3＝－4(x＋1)，
①l1经过点A(－1,1)，B(2,3)，l2经过点C(1，0)，D(－2，－2)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3 )，N(－2，－2 3 )；
④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5).
方程或方程组求解.若斜率都不存在，排除重合.
(2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合时，为避免讨论，
有如下方法：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
A1B2－A2B1＝0， l1∥l2⇔ A1C2－A2C1≠0. A1B2－A2B1＝0， l1 与 l2 重合⇔ A1C2－A2C1＝0.
斜率不存在
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇐两直线斜率都不存在
图示
[思考辨析 判ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正误]
1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( × )
2.若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
题型探究
类型一 两条直线平行的判定
①④ 例1 下列直线l1与直线l2平行的有________.( 填序号)
解析
答案
引申探究
本例①中，若A，B，C，D四点的坐标不变，试判断四边形ABCD的形状.
解 3－1 2 因为 kAB＝ ＝ 3， 2－－1
2 同理可得 kBC＝3，kCD＝3，kAD＝3， 2 故 kAD＝kBC＝3，kAB＝kCD＝3，
所以AD∥BC，AB∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形.
解答
类型二 利用两直线平行求参数值
例2 已知直线l1 ：mx＋y－(m＋1) ＝0，l2： x＋ my－2m＝0 ，当 m为何
值时： (1)直线l1与l2互相平行？
解
2 m －1＝0， 若 l1∥l2，需满足 2 － 2 m ＋m＋1≠0，
解得m＝－1.即当m＝－1时，l1∥l2.
第2章 2.1.3
两条直线的平行与垂直
第1课时 两条直线的平行
学习目标
1.理解并掌握两条直线平行的条件. 2.能根据已知条件判断两直线平行. 3.会利用两直线平行求参数及直线方程.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点 两条直线平行的判定 类型
前提条件
斜率存在
α1＝α2≠90° k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇔______________
解答
反思与感悟 判断两条直线平行的方法
(1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如：l1：
y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
k1＝k2， 则 ⇒l1∥l2. b1≠b2
②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则x1≠x2⇒l1∥l2.
①斜率相等的两条直线一定平行；
②若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等；
③直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行；
④直线 l1：( 2－1)x＋y＝2 与直线 l2：x＋( 2＋1)y＝3 平行.
1
2
3
4
5
解析
答案
2.若过点 P(3,2m) 和点 Q( － m,2) 的直线与过点 M(2 ，－ 1) 和点 N( － 3,4) 的直 1 －3 线平行，则m的值是________.
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步习题课 直线与方程
习题课直线与方程学习目标1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用．知识点一 对称问题 1．点关于直线对称设点P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)，若点P 关于l 的对称点为点Q (x ，y )，则l 是线段PQ 的垂直平分线，故PQ ⊥l 且PQ 的中点在l 上，解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0，即可得点Q 的坐标． 常用的结论(1)A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )． (2)B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )． (3)C (a ，b )关于原点的对称点为C ′(－a ，－b )． (4)D (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为D ′(b ，a )． (5)E (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为E ′(－b ，－a )． (6)P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )． (7)Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )． 2．直线关于点对称已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，求l 关于点P 的对称直线l ′的方程．设P ′(x ′，y ′)是对称直线l ′上的任意一点，它关于点P (x 0，y 0)的对称点(2x 0－x ′，2y 0－y ′)在直线l 上，则A ·(2x 0－x ′)＋B ·(2y 0－y ′)＋C ＝0，即Ax ′＋By ′＋C ′＝0为所求的对称直线l ′的方程． 3．直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题．在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上． 常用的结论设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则：(1)l 关于x 轴对称的直线是Ax ＋B (－y )＋C ＝0. (2)l 关于y 轴对称的直线是A (－x )＋By ＋C ＝0. (3)l 关于原点对称的直线是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0. (4)l 关于直线y ＝x 对称的直线是Bx ＋Ay ＋C ＝0.(5)l 关于直线y ＝－x 对称的直线是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0. 知识点二 最值问题1．利用对称转化为两点之间的距离问题．2．利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．3．利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值．1．点P (x 1，y 1)关于点M (x 0，y 0)的对称点是P ′(2x 0－x 1，2y 0－y 1)．( √ ) 2．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )3．若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )类型一 对称问题命题角度1 关于点对称问题例1 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 解 (1)根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点， 设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎨⎧a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )， 且M 1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)， B (1，－1)，则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4,2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)．可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0. 反思与感悟 (1)点关于点的对称问题若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则点P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.(2)直线关于点的对称问题若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上．②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等．③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练1 已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________． ★★答案★★17解析 由中点坐标公式，得x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17. 命题角度2 关于直线对称问题例2 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是__________． ★★答案★★ (－2,5)解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求点P (x 0，y 0)关于Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y 2＋C ＝0可以求出点P ′的坐标．(2)直线关于直线的对称问题若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，则①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上．②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 求直线x －2y －1＝0关于直线x ＋y －1＝0对称的直线l 的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.∴两直线的交点为A (1,0)．在直线x －2y －1＝0上取点B ⎝⎛⎭⎫0，－12， 设点B 关于直线x ＋y －1＝0的对称点为C (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 02＋－12＋y 02－1＝0，y 0－⎝⎛⎭⎫－12x 0－0·(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝1，即点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，1.由所求直线经过A ，C 两点，得 y －01－0＝x －132－1，即2x －y －2＝0， ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0. 类型二 最值问题例3 在直线y ＝x ＋2上求一点P ，使得点P 到直线l 1：3x －4y ＋8＝0和直线l 2：3x －y －1＝0的距离的平方和最小．解 设直线y ＝x ＋2上一点(x 0，x 0＋2)到两直线的距离分别为d 1和d 2. ∵d 1＝|3x 0－4(x 0＋2)＋8|5＝|－x 0|5，d 2＝|3x 0－(x 0＋2)－1|10＝|2x 0－3|10，设S ＝d 21＋d 22， ∴S ＝x 2025＋4x 20－12x 0＋910＝2250⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－15112＋45242， ∴当x 0＝1511时，S 有最小值，这时，x 0＋2＝3711.∴所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫1511，3711.反思与感悟 解决此类问题通常有两种途径：一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1 的最小值为________． ★★答案★★710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴MN 的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即MN min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 类型三 对称与最值的综合应用例4 在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)点P 到点A (4,1)和点B (0,4)的距离之差最大； (2)点P 到点A (4,1)和点C (3,4)的距离之和最小． 解 (1)如图，点B 关于l 的对称点为B ′(3,3)．直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即P (2,5)．(2)如图，点C 关于l 的对称点为C ′⎝⎛⎭⎫35，245，由图象可知P A ＋PC ≥AC ′.当点P 是AC ′与l 的交点P ⎝⎛⎭⎫117，267时“＝”成立， ∴P ⎝⎛⎭⎫117，267.反思与感悟 利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法． 跟踪训练4 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使P A ＋PB 最小； (2)在直线l 上求一点P ，使|PB －P A |最大． 解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．因为P 为直线l 上的一点， 则P A ＋PB ＝P A ′＋PB ≥A ′B ，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，P A ＋PB 取得最小值A ′B ，点P 即为直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，点P 是直线l 上的一点，则|PB －P A |≤AB ，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，|PB －P A |取得最大值AB ，点P 即为直线AB 与直线l 的交点． 又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．1．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为____________． ★★答案★★ x ＋2y －5＝0解析 设O (0,0)，则OA 的斜率等于2，故所求直线的斜率等于－12，由点斜式求得所求的直线方程为y －2＝－12(x －1)，化简可得x ＋2y －5＝0.2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0.已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0⎝⎛⎭⎫0≤c ≤18的两实根，则这两直线间距离的最大值为________． ★★答案★★22解析 ∵a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根， ∴a ＋b ＝－1，ab ＝c ，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c . 又两直线间的距离d ＝|a －b |2＝1－4c 2⎝⎛⎭⎫0≤c ≤18， ∴12≤d ≤22，∴两直线间距离的最大值为22. 3．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．考点 对称问题的求法 题点 点关于直线对称 ★★答案★★ (－4，－1) 解析 设对称点坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2×(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则点P 坐标是__________． ★★答案★★ ⎝⎛⎭⎫135，－135 解析 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x－134，与x ＋y ＝0联立方程组并解得⎩⎨⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝⎛⎭⎫135，－135. 5．x ，y 满足x ＋y ＋1＝0，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．解 原式可化为(x －1)2＋(y －1)2，其几何意义为点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方，而点(x ，y )在直线x ＋y ＋1＝0上．设d 为点Q 到直线x ＋y ＋1＝0的距离， 由PQ ≥d ，得(x －1)2＋(y －1)2≥|1＋1＋1|2， 即x 2＋y 2－2x －2y ＋2≥92.故所求的最小值为92.1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题．2．最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.一、填空题1．若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．★★答案★★ 8解析 由x 2＋y 2的实际意义可知，它代表直线x ＋y －4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1×0＋1×0－4|22＝8. 2．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．★★答案★★ x －2y ＋3＝0解析 因为直线x －y ＋2＝0的斜率为1，所以所求直线上任意一点P (x ，y )关于直线x －y ＋2＝0的对称点为(y －2，x ＋2)，将其代入直线方程2x －y ＋3＝0，得2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，整理得x －2y ＋3＝0.3．已知点M 是点P (4,5)关于直线y ＝3x －3的对称点，则过点M 且平行于直线y ＝3x －3的直线的方程为________________．★★答案★★ 3x －y ＋1＝0解析 设M (a ，b )，则MP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a ＋42，b ＋52， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋52＝3×a ＋42－3，b －5a －4＝－13，解得⎩⎨⎧ a ＝85，b ＝295， ∴M ⎝⎛⎭⎫85，295.则过点M 且平行于直线y ＝3x －3的直线方程为y －295＝3⎝⎛⎭⎫x －85，即3x －y ＋1＝0. 4．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，A (2,0)，C (0,1)，将矩形折叠，使点O 落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为____________． ★★答案★★ [－2,0]解析 当折叠后O 与B 重合时，k ＝－2；当折叠后O 与C 重合时，k ＝0.经分析，－2≤k ≤0.5．已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则PQ 的最小值为________．★★答案★★ 32解析 两平行线间的距离就是PQ 的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则PQ ＝|5－(－10)|62＋82＝32. 6．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为______________．★★答案★★ 2x ＋3y ＋8＝0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.7．当点P (2,3)到直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 最大时，d 与a 的值分别为________． ★★答案★★ 5,1解析 直线恒过点A (－3,3)，根据已知条件作图(图略)可知，当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.8．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则关于xy 的结论正确的是________．(填序号)①无最小值且无最大值；②无最小值但有最大值；③有最小值但无最大值；④有最小值且有最大值．★★答案★★ ④解析 由题意知，直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 得y ＝－43x ＋4， ∴xy ＝x ⎝⎛⎭⎫－43x ＋4＝－43x 2＋4x ＝－43⎝⎛⎭⎫x －322＋3,0≤x ≤3. ∴当x ＝32时，(xy )max ＝3，当x ＝0或3时，(xy )min ＝0. 9．一束光线经过点A (－2,1)，由直线l ：x －3y ＋2＝0反射后，经过点B (3,5)射出，则反射光线所在直线的方程为______________．★★答案★★ 29x －22y ＋23＝0解析 设点A (－2,1)关于由直线l ：x －3y ＋2＝0的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－22－3·y 0＋12＋2＝0，y 0－1x 0＋2·13＝－1，解得 ⎩⎨⎧ x 0＝－75，y 0＝－45.∵点A ′在反射光线所在的直线上，且反射光线经过点B (3，5)，∴由两点式得 y －5－45－5＝x －3－75－3， 即29x －22y ＋23＝0.10．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(9,5)与点(m ，n )重合，则m ＋n 的值是________．★★答案★★ 10解析 点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称，两点的中点坐标为(2,1)，两点确定直线的斜率为2－00－4＝－12， 则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线方程为y －1＝2(x －2)，由点(0,2)与点(4,0)关于y －1＝2(x －2)对称，得到点(9,5)与点(m ，n )也关于y －1＝2(x －2)对称，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋52－1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋92－2，n －5m －9＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝9.即m ＋n ＝10. 11．在平面直角坐标系中，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．★★答案★★ (2,4)解析 设平面上任一点M ，MA ＋MC ≥AC ，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理MB ＋MD ≥BD ，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连结AC ，BD 交于一点M ，若MA ＋MC ＋MB ＋MD 最小，则点M 即为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， ∴M (2,4)．二、解答题12．已知直线l 平行于直线x ＋y －4＝0，且实数x ，y 满足直线l 的方程，又知(x －1)2＋(y －1)2的最小值为2，求直线l 的方程．解 由题意，设l 的方程为x ＋y ＋C ＝0(C ≠－4)，又(x －1)2＋(y －1)2可看作点(1,1)到点(x ，y )的距离的平方，最小值为2，故点(1,1)到直线l 的距离为2，∴由|1＋1＋C |2＝2，得C ＝0或－4(舍去)． ∴直线l 的方程为x ＋y ＝0.13．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解 作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.三、探究与拓展14.如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经直线BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝________.★★答案★★ 43解析 以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43.设P 点坐标为(m,0)(0<m <4)，则P 点关于y 轴的对称点为P 1(－m,0)，易求得直线BC 的方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点为P 2(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在直线QR 上，∴kP 1D ＝kP 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．当m ＝43时，符合题意．∴m ＝43. 15．已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．解 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)， 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝⎛⎭⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线的方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
高中数学 平面解析几何初步教案2 苏教版必修2
例2已知两点A（-1,2）B（m,3）
（1）求直线AB的斜率
（2）求直线AB的方程
（3）已知实数 ,求直线AB的倾斜角的取值范围
题型三:直线方程五种形式的灵活应用（求直线方程）
例3直线L经过点（3，-1），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线L的方程。
例4一条直线L过点P（2，1）分别交x轴,y轴的正半轴于A，B两点，O为原点
（6） ,直线（m-1）x+(2m-1)y＝m-5必经过定点，其坐标为__________
三.例题精析：
题型一:由直线的位置关系确定方程中参数的值
例1：设直线(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1)
根据下列条件分别确定m的值，并作图
(1)直线L在x轴上的截距是-3
(2)直线L的斜率是1
（1）当PA PB=4时，求直线L的方程
（2）当PA PB取最小值时，求直线L的方程
（3）当△A0B的面积最小时，求直线L的方程
四、课堂练习
（1）如果AC＜0,且BC＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过第______象限
（2）过点P(-1,3),且倾斜角比直线 的倾斜.课前预习
（1）已知一直线经过点P(1.2).且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等
则该直线的点斜式方程为__________
（2）已知两点A(3，2),B(8,12)，则直线AB的方程为___________
_________________________________________________________.
教师、学生活动
一.知识点问题
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步疑难规律方法
1直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线平分各角，∴∠BAC ＝30°，∠DBA ＝60°.∴∠DBx ＝180°－∠DBA ＝120°.∴k AC ＝tan 30°＝33，k BD ＝tan 120°＝－ 3. 评注 本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．二、利用两点斜率公式例2 直线l 沿y 轴正方向平移3个单位，再沿x 轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l 重合，求直线l 的斜率k .分析 由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P ，经过相应的平移后得到一个新点Q ，它也在直线上，则直线l 的斜率即为PQ 的斜率．解 设P (x ，y )是直线l 上任意一点，按平移后，P 点的坐标移动到Q (x －4，y ＋3)． ∵Q 点也在直线l 上，∴k ＝(y ＋3)－y (x －4)－x ＝－34. 评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y )沿x 轴正方向平移a 个单位，再沿y 轴正方向平移b 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ＋a ，y ＋b )．②直线过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．三、利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．分析 本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程．比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13. 评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距．错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m. 剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在；当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m. 评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论．二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程．错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立． 正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1；当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，直线l 的方程为x －(a －1)y ＋2a －3＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0.三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．错解 设直线的方程为x a ＋y －a＝1. 因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a＝1，解得a ＝－2. 故所求的直线方程为x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0. 剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解．正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率k＝2，直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m>0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况．四、一般式中系数“缺陷”例4如果直线(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0的斜率不存在，求m的值．错解因为直线的斜率不存在，所以m2－4m＋3＝0，解得m＝3或m＝1.所以当m＝3或m＝1时，直线的斜率不存在．剖析由于方程Ax＋By＋C＝0表示直线，本身隐含着A，B不全为0这一条件．当m＝1时，方程(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0即为0·x＋0·y＝0，它不表示直线，应舍去．正解因为直线的斜率不存在，所以m2－4m＋3＝0，且m－1≠0，解得m＝3.所以当m＝3时，直线的斜率不存在．评注方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.3两条直线位置关系的三题型在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明．题型一根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.试求m为何值时，l1与l2：(1)平行？(2)垂直？分析(1)由“两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0平行⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0”，通过解方程求出m的值；(2)由“两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直⇔A1A2＋B1B2＝0”即可求解．解(1)若l1∥l2，则3－m(m－2)＝0且2m－6(m－2)≠0，解得m＝－1.所以当m＝－1时，l1∥l2.(2)若l 1⊥l 2，则1·(m －2)＋m ·3＝0.解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2. 评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可．题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交．例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.因为交点在第四象限，所以⎩⎨⎧ 2m＋37>0，m －27<0，解得－32<m <2. 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2. 评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：①把直线方程化为一般式方程；②使x ，y 的系数分别对应相等)．例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0.利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326.4 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆截y 轴所得的弦长AB ＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上，∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)．作PQ ⊥AB 于Q ，连结AP ，在Rt △APQ 中，AQ ＝1，AP ＝r ，PQ ＝|k |，∴r ＝1＋k 2.又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12. 当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54.因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54. 例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A ，B ，C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单．二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径均为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1，∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切，∴⎪⎪⎪⎪33－b ⎝⎛⎭⎫332＋1＝1， 解得b ＝3或b ＝－33(舍去)， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．5 圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3. ∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(0－3)2＋(0－3)2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法．二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长AB ＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长AB .解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5， 所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝4 5.三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长AB .解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(x －3)2＋y 2＝9，消去y 整理，得5x 2－14x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452－4×45＝21455.评注通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.6圆与圆相交的巧应用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．分析求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析两圆方程作差，得x＋3y＝0.★★答案★★x＋3y＝0评注求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可．二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是________．分析两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析由平面几何知识知，AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x－y－9＝0.★★答案★★3x－y－9＝0评注通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系．三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆B：(x－2)2＋(y－2)2＝9，则圆A和圆B的公切线有________条．分析判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数．解析因为圆心距AB＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，r B＝3，r A＝2，且r B＋r A＝3＋2＝5，r B－r A＝3－2＝1，所以有r B－r A<AB<r B＋r A，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条．★★答案★★ 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了比较两个圆的半径之和与两个圆的圆心距的大小外，还要比较两个圆的半径之差与两个圆的圆心距的大小．7 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差．解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52， 所以圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝82，最小距离为d －r ＝22，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2.★★答案★★ 62评注 一般地，直线与圆相离时，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r (r <d )，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d ＋r 和d －r .例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是△ABC 内切圆上的动点，试求点P 到△ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析 以C 点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解 以C 为坐标原点，使A ，B 分别位于x 轴、y 轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC各顶点的坐标是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半径r＝2S△ABCa＋b＋c＝AC·BCAC＋BC＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)是圆上的动点，则S＝P A2＋PB2＋PC2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵点P在内切圆上，∴0≤x≤4，∴S max＝88，S min＝72.评注本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行．。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.1.3 第2课时
第2课时两条直线的垂直学习目标1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会利用两直线垂直求参数及直线方程．知识点两条直线垂直的判断1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( × )2．如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )类型一 两条直线垂直关系的判定例1 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.反思与感悟 判断两直线垂直的步骤 方法一方法二 若两条直线的方程均为一般式：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不全为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不全为0)．则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 下列各组中直线l 1与l 2垂直是________．(填序号) ①l 1：2x －3y ＋4＝0和l 2：3x ＋2y ＋4＝0； ②l 1：2x －3y ＋4＝0和l 2：3y －2x ＋4＝0； ③l 1：2x －3y ＋4＝0和l 2：－4x ＋6y －8＝0； ④l 1：(－a －1)x ＋y ＝5和l 2：2x ＋(2a ＋2)y ＋4＝0. ★★答案★★ ①④解析 ①由题知，23≠－32，∴l 1与l 2不平行．又2×3＋(－3)×2＝0，∴l 1⊥l 2. ②由题知，2－2＝－33≠44，∴l 1∥l 2.③由题知，2－4＝－36＝4－8＝－12，∴l 1与l 2重合．④由题知，当a ＝－1时，l 1：y ＝5，l 2：x ＋2＝0， ∴l 1⊥l 2.当a ≠－1时，－a －12＝12a ＋2不成立，故l 1与 l 2不平行．又(－a －1)×2＋(2a ＋2)×1＝0， ∴l 1⊥l 2.综上，l 1⊥l 2.类型二 由两直线垂直求参数或直线方程 命题角度1 由两直线垂直求参数的值例2 三条直线3x ＋2y ＋6＝0,2x －3m 2y ＋18＝0和2mx －3y ＋12＝0围成直角三角形，求实数m 的值．解 ①当直线3x ＋2y ＋6＝0与直线2x －3m 2y ＋18＝0垂直时，有6－6m 2＝0，∴m ＝1或m ＝－1.当m ＝1时，直线2mx －3y ＋12＝0也与直线3x ＋2y ＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m ＝1应舍去． ∴m ＝－1.②当直线3x ＋2y ＋6＝0与直线2mx －3y ＋12＝0垂直时，有6m －6＝0，得m ＝1(舍)． ③当直线2x －3m 2y ＋18＝0与直线2mx －3y ＋12＝0垂直时，有4m ＋9m 2＝0， ∴m ＝0或m ＝－49.经检验，这两种情形均满足题意．综上所述，所求的结果为m ＝－1或0或－49.反思与感悟 此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解． 跟踪训练2 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a 的值为________． ★★答案★★ 5或－6解析 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5， 由k 1k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. 命题角度2 由垂直关系求直线方程例3 求与直线4x －3y ＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形AOB 周长为10的直线方程． 解 设所求直线方程为3x ＋4y ＋b ＝0. 令x ＝0，得y ＝－b4，即A ⎝⎛⎭⎫0，－b 4； 令y ＝0，得x ＝－b3，即B ⎝⎛⎭⎫－b 3，0. 又∵三角形周长为10， 即OA ＋OB ＋AB ＝10， ∴⎪⎪⎪⎪－b 4＋⎪⎪⎪⎪－b3＋ ⎝⎛⎭⎫－b 42＋⎝⎛⎭⎫－b 32＝10，解得b ＝±10，故所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.反思与感悟 (1)若直线l 的斜率存在且不为0，与已知直线y ＝kx ＋b 垂直，则可设直线l 的方程为y ＝－1k x ＋m (k ≠0)，然后利用待定系数法求参数m 的值，从而求出直线l 的方程．(2)若直线l 与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)垂直，则可设l 的方程为Bx －Ay ＋m ＝0，然后利用待定系数法求参数m 的值，从而求出直线l 的方程．跟踪训练3 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求过点A 且与直线l 垂直的直线l 1的方程．解 方法一 因为k l k 1＝－1，所以k 1＝43，故直线l 1的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.方法二 设所求直线l 1的方程为4x －3y ＋m ＝0. 因为l 1经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0， 解得m ＝－2.故l 1的方程为4x －3y －2＝0. 类型三 垂直与平行的综合应用例4 已知四边形ABCD 的顶点B (6，－1)，C (5,2)，D (1,2)．若四边形ABCD 为直角梯形，求A 点坐标．解 ①若∠A ＝∠D ＝90°，如图(1)，由已知AB ∥DC ， AD ⊥AB ，而k CD ＝0，故A (1，－1)．②若∠A ＝∠B ＝90°，如图(2)．设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6. 由AD ∥BC ⇒k AD ＝k BC ，即b －2a －1＝－3；①由AB ⊥BC ⇒k AB ·k BC ＝－1， 即b ＋1a －6·(－3)＝－1.② 解①②得⎩⎨⎧a ＝125，b ＝－115，故A ⎝⎛⎭⎫125，－115. 综上，A 点坐标为(1，－1)或⎝⎛⎭⎫125，－115. 反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解． 跟踪训练4 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．解 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， 因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ， 所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC . 所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0×y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).1．下列直线中，与直线l ：y ＝3x ＋1垂直的是________．(填序号) ①y ＝－3x ＋1; ②y ＝3x －1； ③y ＝13x －1; ④y ＝－13x －1.★★答案★★ ④2．已知A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线y ＝0垂直，则m 的值为________． ★★答案★★ 1解析 直线AB 与x 轴垂直，则点A ，B 横坐标相同， 即m ＝1.3．直线l 1，l 2的斜率分别是方程x 2－3x －1＝0的两个根，则l 1与l 2的位置关系是________． ★★答案★★ 垂直解析 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2由根与系数的关系可得k 1k 2＝－1，所以l 1⊥l 2. 4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直，则a ＝________. ★★答案★★ 1解析 由题意知1×1＋1×(－a )＝0，得a ＝1.5．过点(3，－1)与直线3x ＋4y －12＝0垂直的直线方程为__________． ★★答案★★ 4x －3y －15＝0解析 直线3x ＋4y －12＝0的斜率为－34，则与该直线垂直的直线的斜率为43.∴所求直线方程为y ＋1＝43(x －3)．即4x－3y－15＝0.1．两条直线垂直与斜率的关系2.l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3．与l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋C1＝0.一、填空题1．已知平面内有A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，则下列说法正确的是________．(填序号) ①△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°； ②△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°； ③△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°； ④△ABC 不是直角三角形． ★★答案★★ ② 解析 ∵k AB ＝1－(－1)1－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2，∴k AB ·k BC ＝－1，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°.2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. ★★答案★★ －1解析 由题意得a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.3．已知点A (0,1)，B (a,0)，C (3,2)，直线l 经过B ，C 两点，且l 垂直于AB ，则a 的值为________． ★★答案★★ 1或2解析 由题意知AB ⊥BC ，则0－1a －0×0－2a －3＝－1，解得a ＝1或2.4．已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为________． ★★答案★★ 135°解析 因为直线y ＝x 的斜率k 1＝1，所以若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率k ＝－1.所以直线l 2的倾斜角为135°.5．已知直线l 1的斜率k 1＝3，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是________． ★★答案★★ x ＋3y －15＝0解析 ∵k 1＝3，l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－13. 又直线l 2过点(0,5)，∴l 2的方程是y ＝－13x ＋5， 即x ＋3y －15＝0.6．过原点作直线l 的垂线，若垂足为(－2,3)，则直线l 的方程是__________________． ★★答案★★ 2x －3y ＋13＝0解析 设垂足为A ，则k OA ＝3－2＝－32， 由题意可知k l ＝－1k OA ＝23， 所以直线l 的方程是y －3＝23(x ＋2)． 整理得2x －3y ＋13＝0.7．已知直线l 上两点A ，B 的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l 与直线3x ＋4y －5＝0垂直，则a 的值为________．★★答案★★ 34解析 因为直线3x ＋4y －5＝0的斜率为－34，故直线l 的斜率为43.由直线的斜率计算公式，可得5－23－a ＝43，解得a ＝34. 8．顺次连结A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点所组成的图形是____________． ★★答案★★ 直角梯形解析 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k BC ＝3－56－2＝－12， k CD ＝3－06－(－3)＝13，k AD ＝3－0－4－(－3)＝－3， ∵k AB ＝k CD ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，k AD ·k CD ＝－1.∴四边形ABCD 为直角梯形．9．与直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距为－2的直线方程是______________． ★★答案★★ 4x －3y ＋8＝0解析 设所求直线方程为4x －3y ＋C ＝0，将(－2,0)代入得C ＝8，故方程为4x －3y ＋8＝0.10．将直线l ：x －y ＋1＝0绕点A (2,3)逆时针旋转90°，得到的直线l 1的方程是____________． ★★答案★★ x ＋y －5＝0解析 根据题意知，直线l 1与直线l 垂直，而直线l ：x －y ＋1＝0的斜率为1，所以直线l 1的斜率为－1.又直线l 1也过点A (2,3)，故直线l 1的方程是y －3＝－1×(x －2)，即x ＋y －5＝0.11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b ＝______.★★答案★★ －2解析 由直线l 的倾斜角得l 的斜率为－1，∵直线l 与l 1垂直，∴l 1的斜率为1.由直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，得l 1的斜率为33－a. 故33－a＝1，解得a ＝0. 又直线l 2的斜率为－2b，l 1∥l 2， ∴－2b＝1，解得b ＝－2. ∴a ＋b ＝－2.二、解答题12．已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程；(3)求过A 与BC 平行的直线方程．解 (1)因为直线AB 的斜率k 1＝1－03－0＝13， 所以AB 边上的高所在直线的斜率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0.(2)因为直线BC 的斜率k 2＝3－11－3＝－1， 所以BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y －x ＝0.(3)由(2)知，过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＋x ＝0.13．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD . 解 设D (x ，y )，则k CD ＝y x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1. 因为k CD ·k AB ＝－1，k CB ＝k AD ，所以y x －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2，所以x ＝0，y ＝1，即D (0,1)．三、探究与拓展14．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．考点题点★★答案★★ ±3解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋C ＝0.令y ＝0，得x ＝－C 4， 令x ＝0，得y ＝－C 3， 则三角形面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－C 4·⎝⎛⎭⎫－C 3＝6， 得C 2＝122，∴C ＝±12，∴在x 轴上的截距为－C 4＝±3. 15．已知△ABC 的顶点A (1,3)，B (－1，－1)，C (2,1)，求△ABC 的边BC 上的高AD 的斜率和垂足D 的坐标．解 因为B (－1，－1)，C (2,1)，所以k BC ＝1＋12＋1＝23， BC 上的高AD 的斜率k AD ＝－32， 设D (x ，y )，由k AD ＝y －3x －1＝－32， 及k BD ＝y ＋1x ＋1＝k BC ＝23， 得x ＝2913，y ＝1513，则D ⎝⎛⎭⎫2913，1513.。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.2.1 第2课时
第2课时圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？★★答案★★对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．梳理1．圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ )2．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．( × ) 3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.( √ )类型一 圆的一般方程命题角度1 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .反思与感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为________．(2)点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．★★答案★★ (1)(－2，－4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意．当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－k2，－1， 由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.命题角度2 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究若本例中将条件改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？ 解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52， ∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72，得⎩⎨⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，－132， r ＝⎝⎛⎭⎫132－22＋⎝⎛⎭⎫－132－22＝ 3702，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －1322＋⎝⎛⎭⎫y ＋1322＝1852. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0，①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37. 类型二 圆的方程在实际生活中的应用例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将点A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结．跟踪训练3 已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m ，高为3.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？解 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)，将x ＝3代入得y ＝16－32＝7<9＝3<3.5， 即在离中心线3 m 处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，该货车不能驶入这个隧道． 类型三 求动点的轨迹问题例4 已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪MA ＝12MB . 由两点间的距离公式知，点M 适合的条件可表示为 (x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标为(x 1，y 1)． 由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 反思与感悟 求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x ，y )表示动点P 的坐标． (2)写出适合条件的点P 的集合M ＝{P |M (P )}． (3)用坐标表示条件M (P )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 在曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为________． ★★答案★★ ⎝⎛⎭⎫－32，1，192解析 将圆的方程为化为x 2＋y 2＋3x －2y －32＝0，由圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－32，1，半径为192. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是____________． ★★答案★★ ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆， 得D 2＋E 2－4F ＝1＋(－1)2－4m >0， 即4m <2，故m <12.3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是________． ★★答案★★ x －y －3＝0解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线．易得圆的圆心为(4,1)， 则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． ★★答案★★114解析 由题意知D 2＋E 2－4F 2＝4＋16－4m 2＝32，得m ＝114.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是______________． ★★答案★★ (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4.连线中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．一、填空题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________．★★答案★★ 2解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 2．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是____________．★★答案★★ [1，＋∞)解析 由42＋(－2)2－4×5m ≤0，得m ≥1.3．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为____________． ★★答案★★ (0，－1)解析 因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，而半径r ＝12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1， 所以k ＝0，此时圆心坐标为(0，－1)．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是____________．★★答案★★ 原点在圆外解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.★★答案★★ －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心(－1，－a 2)， 则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________． ★★答案★★ 213解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，233 ， 则圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 7．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋2y ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则D ＋F ＝________.★★答案★★ 0解析 方程化为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋(y ＋1)2＝D 24＋1－F . 由于圆与x 轴相切于原点，所以－D 2＝0， D 24＋1－F ＝1，解得D ＝0，F ＝0，故D ＋F ＝0. 8．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为____________．★★答案★★ (x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)解析 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12AB ＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．9．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为________．★★答案★★ 2解析 ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)>0，∴m >1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.10．若方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为________．考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用★★答案★★ －2,4,4解析 由方程得圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a ，b 2，半径为r ＝ 4a 2＋b 2－4c 2.由已知，得－a ＝2，b 2＝2，4a 2＋b 2－4c 2＝2，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝4. 11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．★★答案★★ (－∞，1)解析 由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.二、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解 圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，－E 2>0， 即D >0，E <0.所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4， 所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.13．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点 与圆有关的轨迹问题题点 求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝⎛⎭⎫32，－12. 又k AB ＝－3，所以k m ＝13， 所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)， 则半径r ＝CA ＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎨⎧ x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y . 又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25.整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 三、探究与拓展14．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为__________．★★答案★★ (2，＋∞)解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.15．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象，解得－17<t <1. ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－17，1. (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝ －7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34，满足圆的定义．∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34.。
数学新学案同步苏教版必修二课件：第2章 平面解析几何初步章末复习
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解析 答案
5.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
解 因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4， 所以圆心坐标为(3,0). 因为直线x－my＋3＝0与圆相切，
|3＋3| 所以 1＋m2＝2， 解得 m＝±2 2.
题型探究
类型一 待定系数法的应用 命题角度1 求直线方程 例1 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的 中点为P(－1,2)，求直线l的方程.
解答
反思与感悟 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的， 但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的 方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很 重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式 方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.
跟踪训练2 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴 正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB＝2，则圆C的 标准方程为_(_x_－__1_)2_＋__(_y－____2_)2_＝__2__. 解析 取AB的中点D，连结CD，AC，则CD⊥AB. 由题意知，AD＝CD＝1，故 AC＝ CD2＋AD2＝ 2， 即圆 C 的半径为 2. 又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)， 所以圆心为 C(1， 2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，交点坐标即方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，的一组解. A2x＋B2y＋C2＝0 方程组 无 解⇔l1∥l2； 方程组有 无数组 解⇔l1与l2重合.
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.1.2 第1课时
2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？★★答案★★ 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？★★答案★★ 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，直线l的方程是什么？★★答案★★将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？★★答案★★y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．梳理1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．跟踪训练1(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．★★答案★★(1)x＝－3(2)y＋2＝3(x＋1)解析(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)∵直线l2的方程为y＝33x，设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝3(x＋1)．类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________．(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y 轴上的截距相等，则l的斜截式方程为______________．★★答案★★(1)y＝3x＋3或y＝3x－3(2)y＝－2x－2解析(1)∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝3x＋3或y＝3x－3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又直线l与l1的倾斜角相等，∴k l＝－2，由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴直线l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程． (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形．解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m ＝－1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 解 方法一 (点斜式)设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k －3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 方法二 (斜截式) 设直线方程为y ＝kx ＋b ， ∵直线经过点A (－3,4)， ∴3k －b ＋4＝0.①∵直线在两坐标轴上的截距和为12， ∴b ＋⎝⎛⎭⎫－bk ＝12.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝3.故直线方程为y ＝4x ＋16或y ＝－13x ＋3，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率． (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距．跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程．解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.1．直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________． ★★答案★★ 60°2．已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________. ★★答案★★ 3解析 直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，令y ＝0，得a ＝－5，令x ＝0，得b ＝2，所以|a ＋b |＝|－5＋2|＝3.3．过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________．★★答案★★ x －2y －1＝04．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________． ★★答案★★ x －2y ＝0解析 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.5．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，求直线l 的方程． 解 直线y ＝x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P (3,3)，所以直线l 的方程为x ＝3.1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.一、填空题1．若直线y＝1的倾斜角为α，则α＝________.★★答案★★0°2．若直线y＝ax－1的倾斜角是30°，则a＝________.★★答案★★3 33．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_______．★★答案★★y－1＝2(x＋1)解析由题意知，直线的斜率为2，过点(－1,1)，故直线方程为y－1＝2(x＋1)．4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________．考点题点★★答案★★(2,3)解析直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2,3)．5．已知直线l经过点(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为____________．★★答案★★2x－y＋6＝0解析由题意设直线l的方程为y＝kx＋6，将(－2,2)代入y＝kx＋6，得k＝2.所以直线l的方程为2x－y＋6＝0.6．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．★★答案★★ －2或1 解析 由题意可知a ≠0. 当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 7．直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 的图象可能是________．(填序号)★★答案★★ ③8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ★★答案★★ ⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 9．已知直线l 过点P (2，－3)，且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，则直线l 的方程为____________．★★答案★★ x ＝2解析 因为直线MN 的斜率k ＝2－25－(－1)＝0， 所以该直线平行于x 轴．又直线l 垂直于直线MN ，因此直线l 的倾斜角为90°，又直线l 过点P (2，－3)，所以直线l 的方程为x －2＝0，即x ＝2.10．直线y ＝bx －1a的图象如图所示，则a ＋b ＝________.★★答案★★ 2解析 由图象知，直线斜率为－1，在y 轴上截距为1，故a ＝b ＝－1，a ＋b ＝－2.11．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．★★答案★★ (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1.12．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的斜截式方程为________________．★★答案★★ y ＝32x －35解析 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的方程为y ＝32x －35. 二、解答题13．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)， 即y ＝35x ＋3. 三、探究与拓展14．设点A (－1,0)，B (1,0)，若直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． ★★答案★★ [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′的方程为y ＝43x ＋b . 则l ′在y 轴上的截距为b ，l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.1.2 第3课时
第3课时一般式学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y 的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示吗？★★答案★★能．思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)一定表示直线吗？★★答案★★一定．梳理直线的一般式方程知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理1．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(×) 2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)类型一直线的一般式方程命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)， 即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2， 即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟 (1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，CA 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB 的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________．(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________． (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________．(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． ★★答案★★ (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0命题角度2 由含参数的一般式求参数例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.★★答案★★ (1)－53 (2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)将直线l 化为斜截式方程， 得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不全为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当直线l 1与直线l 2的斜率相等，且l 1与l 2不重合时，求m 的值． 解 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1与l 2斜率相等，但不重合， ∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .∴⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m ，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1.类型二 直线方程的综合应用例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 总经过第一象限． (2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3. 故a 的取值范围为[3，＋∞)．反思与感悟 一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式．跟踪训练3 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ＋1≠0)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知a ＋1≠0，即a ≠－1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零， 此时a ＝2，即方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，将方程化为截距式：x a －2a ＋1＋ya －2＝1.∵截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∵直线不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，∴a ≤－1. 即a 的取值范围是(－∞，－1].1．已知直线的一般式方程为2x ＋y －4＝0，且点(0，a )在直线上，则a ＝________. ★★答案★★ 42．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的斜截式方程为________，一般式方程为________． ★★答案★★ y ＝3x －43x －y －4＝03．直线3x －4y ＋m ＝0在两坐标轴上截距之和为2，则实数m ＝________. ★★答案★★ －24解析 直线方程3x －4y ＋m ＝0可化为x －m 3＋ym 4＝1，则－m 3＋m4＝2，得m ＝－24.4．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋3＝0的斜率相同，则m ＝________. ★★答案★★ 3解析 易知m ≠±2.直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，即m 2－5m ＋6＝0，所以m ＝3. 5．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 的取值范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠2.(2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，得m ＝0.1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷． 2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，求得直线在y 轴上的截距b 和在x 轴上的截距a ；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.一、填空题1．已知直线(2＋m －m 2)x －(4－m 2)y ＋m 2－4＝0的斜率不存在，则m 的值是________． ★★答案★★ －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝0，2＋m －m 2≠0，解得m ＝－2.2．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为____________． ★★答案★★ x ＋y －1＝0解析 因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)两点，所以由直线方程的两点式得直线的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0.3．当A ·C >0，B ·C <0时，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0必不过第________象限． ★★答案★★ 四解析 令x ＝0，得直线在y 轴上的截距为－C B ；令y ＝0，得直线在x 轴上的截距为－CA .因为A ·C >0，B ·C <0，所以－C B >0，－CA <0，所以该直线过第一、二、三象限，故该直线不过第四象限．4．若直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________. ★★答案★★ 23解析 由题意知，斜率存在，且倾斜角为45°， 则斜率k ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，a 2－9≠0，解得a ＝－23.5．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．★★答案★★ 2解析 因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.6．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ＋b ＝________. ★★答案★★ －3－1解析 ∵ax ＋by －1＝0在y 轴上截距为－1，∴1b ＝－1，b ＝－1.又3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴直线ax ＋by －1＝0的斜率－ab ＝tan 120°，∴a ＝－ 3.∴a ＋b ＝－3－1.7．直线l 经过点P (2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为____________．★★答案★★ x －y ＋1＝0或x ＋y －5＝0 解析 依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为y －3＝x －2或y －3＝－(x －2)， 即直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －5＝0.8．已知直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______________．★★答案★★ (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，当过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；当过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.9．对于直线l ：ax ＋ay －1a＝0 (a ≠0)，下列说法正确的是________．(填序号) ①无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；②无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限；③无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；④当a 取不同数值时，可得到一组平行直线．★★答案★★ ①②④解析 对③中当a >0时，直线l ：ax ＋ay －1a＝0(a ≠0)的斜率小于0，则直线l 必经过第四象限，故③是错误的．10．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． ★★答案★★ (2，－1)解析 直线方程可化为y ＋1＝k (x －2)，它是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．11．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是________．(填序号)★★答案★★ ③解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式，得y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可知图③正确．二、解答题12．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1 (a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，又因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝125，b ＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ， 得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.13．直线x －y ＋1＝0上一点P 的横坐标是3，把已知直线绕P 点逆时针方向旋转90°后得直线l ，求直线l 的方程．解 把x ＝3代入直线方程x －y ＋1＝0中，得y ＝4，∴P (3,4)．∵直线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴该直线的倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角应为135°，可知其斜率为－1.由点斜式得直线l 的方程为y －4＝－(x －3)，即x ＋y －7＝0.三、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． ★★答案★★ 3解析 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A(1,2)，则得斜率k＝2，即y＝2x；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1或xa＋y－a＝1.∵直线过点A(1,2)，则得a＝3或a＝－1.即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.这样的直线有3条：y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 习题课 直线与方程
常用的结论 设直线l：Ax＋By＋C＝0，则： (1)l关于x轴对称的直线是Ax＋B(－y)＋C＝0. (2)l关于y轴对称的直线是A(－x)＋By＋C＝0. (3)l关于原点对称的直线是A(－x)＋B(－y)＋C＝0. (4)l关于直线y＝x对称的直线是Bx＋Ay＋C＝0. (5)l关于直线y＝－x对称的直线是A(－y)＋B(－x)＋C＝0.
第2章 平面解析几何初步
习题课 直线与方程
学习目标
1.掌握与直线有关的对称问题. 2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
1.点关于直线对称
对称问题
设l的对称点为点
解析
x－2 5－3 由中点坐标公式，得 2 ＝1 且 2 ＝y，解得 x＝4，y＝1，
所以点P的坐标为(4,1)，
则点 P(x，y)到原点的距离 d＝ 4－02＋1－02＝ 17.
解析
答案
命题角度2 关于直线对称问题 (－2,5) 例2 点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是________. 解析 设对称点坐标为(a，b)，由题意，
上，反过来，l2上任意一点关于点 P的对称点必在 l1上.②若l1∥l2 ，则点P
到直线l1，l2的距离相等.③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则
点P是线段AB的中点.
跟踪训练1
已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，
17 y)到原点的距离是______.
a－3 b＋4 ＋ 2 －2＝0， 2 得 b－4 a＋3＝1， a＝－2， 解得 即 Q(－2,5). b ＝5 ，
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。