数学期望在生活中的应用

数学期望在生活中的应用王小堂保亭中学摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。

通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。

关键词：随机变量，数学期望，概率，统计数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。

本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

随机变量的数学期望值：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。

（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。

期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

）单独数据的数学期望值算法：对于数学期望的定义是这样的。

数学期望E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。

在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

1 决策方案问题决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。

它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。

具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

1.1投资方案假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。

买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。

如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。

试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。

在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

1.2面试方案设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。

估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。

由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。

对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。

先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。

那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。

这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。

第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。

期望值为:E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。

这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。

这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。

故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。

2 生产和销售利润问题在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。

但供应量和需求量又不是预先知道的。

理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。

假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。

估计出售一件产品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损失n元，另外，该公司预测产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p(χ)，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。

假设该公司每年生产该产品χ件，尽管χ是确定的，但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益Ｙ是一个随机变量，它是Ｘ的函数：公司收益的数学期望为：Eζ=pmX+(1-p)n(x-X)问题转化为,当χ为何值时,期望收益可以达到最大值。

这个问题的解决,就是求目标函数期望的最大最小值。

3 彩票问题3.1设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。

每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），兑奖规则如下：如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元(中奖概率为0.001);兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;兑奖号与中奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。

另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。

所以彩民的每张彩票的售价数学期望所得为:Eζ=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.00000 1=3.5那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民，其余150万元则可用于福利事业及管理费用。

因此，彩票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期望所得也是设计一种彩票的基础。

3.2还有一种玩法和设奖方法：彩票的玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票，每一张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写0、1、……、9这10个数字中的一个。

每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号--一个6位数号码另加一个特别号码。

中奖号码情况如下所示(假设一等奖号码是123456，特别号码是7)：奖级中奖号码每注奖金特等奖123456+7 不一定一等奖123456 不一定二等奖12345△、△23456 不一定三等奖1234△△、△2345△、△△3456 300元四等奖123△△△，△234△△、△△345△、△△△456 20元五等奖12△△△△、△23△△△、△△34△△、△△△45△、△△△△56 5元§3.1中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率：特等奖P0 = 1/10000000 = 0.0000001一等奖P1 = 1/1000000 = 0.000001二等奖P2 = 20/1000000 = 0.00002三等奖P3 = 300/1000000 = 0.0003四等奖P4 = 4000/1000000 = 0.004五等奖P5 =50000/1000000 = 0.05合起来，每一注总的中奖概率为：P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211这就是说每1000注彩票约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)§3.2彩票中奖的期望值从理论上讲彩票奖金的返还率50%，所以每一注彩票的期望值应该是1元。

现在，我们来实际计算一下，看是否如此。

体育彩票各奖级的概率、奖金数额列如下：奖级中奖概率每注奖金特等奖00000001 2500000(元)一等奖0000001 50000(元)二等奖000002 5000(元)三等奖00003 300(元)四等奖0004 20(元)五等奖005 5(元)期望值Eζ=0.0000001×2500000+0.000001×50000+0.0002×5000+0.0003×300+0.004×20 +0.05×5≈0.82(元)即每一注体育彩票中奖的期望值约为0.82元。

这与理论值1元相差不大，误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够精确。

4 医疗问题在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？我们先把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这说明k个人的血液全为阴性，因而这k 个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验的结果是阳性，为了明确k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人检验的总次数为k+1次，检验的工作量反而有所增加，显然，这时k个人需要的检验次数可能只要1次，也可能要检验k+1次，是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也是平均检验次数）。

在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（如果这种病不是传染病或遗传吧遗传病），并且每个人是阳性结果的概率为p，就是阴性结果的概率为q=1-p，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为kq,呈阳性结果的概率则为1－k q,现在令η为k个人一组混合检验时每人所需的检验次数，由上述讨论可知η的分布列为：Eη=1k.k q+（1+1k）（1-k q）=1-k q+1 k而按原来得老方法每人应该检验1次，所以当1-k q+1k＜1，即q时，用分组的办法（k个人一组）就能减少检验的次数，如果q是已知的，还可以从Eη=1-k q+1k中选取最合适的整数k，使得平均检验次数Eη达到最小值，从而使平均检验次数减少。