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北京市2019_2020学年上学期九年级各区期末数学考试卷试题分类：《解三角形》

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【精选】2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)

【精选】2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）2122【分析】先利用直角作出BD ，再用勾股定理求出BD ，再用锐角三角函数求出AB ，AD ，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD ⊥l 于点D ，在Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，∴cos C ＝cos α＝，∴CD ＝BC •cos C ＝13×＝5，BD＝＝12， 在Rt △ABD 中，BD ＝12，sin A＝，∴tan A ＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB 和AD ．24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，∠DCE ＝∠B ．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，23∴sin B ＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF ＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；24（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，25∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；26②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t ＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．2728【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，根据三角形的中位线的性质得到EM ∥OC ′，EM＝OC ′，根据相似三角形的性质得到∠AOM ＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C ′D ′∥AB ，∴∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，∵∠ABO ＝∠C ′D ′O ＝60°，∴∠OBD ′+∠BD ′O ＝60°，∴∠BOD ′＝120°，∴∠BOC ′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM ⊥BD ′；故答案为：150，垂直；（2）OM ⊥BD ′，OM＝BD ′，证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，∵AC ′的中点M ，∴EM ∥OC ′，EM ＝OC ′，∴∠OEM +∠AOC ′＝180°，∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′+′AOC ′＝180°，∴∠OEM ＝∠BOD ′，∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）29。

2019-2020北京市各区九年级上数学期末数学试卷27题

2019-2020北京市各区九年级上数学期末数学试卷27题

（东城）27．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图2（西城）27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有1MP AP，并说明理由．=2图1 备用图（海淀）27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，且43BD 时, 求证：PD=PQ；（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）（朝阳）27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图 1QCBAD备用图图1（石景山）27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明．（门头沟）27．如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ． （1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明； （3）连接AP ，设APk OQ=，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值；若不存在，请说明理由．备用图（房山）27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .FEP DC BA（2）连接MN ，若MN 与⊙B 相切，则∠BMC 的度数为________________. （3）连接BN ，则BN 的最小值为___________；BN 的最大值为___________图27-1 备用图 备用图（大兴）27.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角 △ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2)用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.（顺义）27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．（备用图）ED CB AED CB A（昌平）27.已知等边△ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD .（1）若点E 是AC 上一点，且CE ＝BD ，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出△APE 的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明.图1 图2（密云）27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接E C ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上．① 依据题意补全图1；② 求∠MCE 的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．ABDCDCBA图1图2（平谷）27．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求∠BAE的度数；（2）连结BD，延长AE交BD于点F．①求证：DF=EF；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．。

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是，MN平移到PQ 扫过的阴影部分的面积是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00 y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00 y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵∠A是锐角，tan A＝1，∴∠A的度数是：45°．故选：C．3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角得到∠BOD和∠BOC的度数，从而得到∠COD的度数．解：∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标；解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（2，1），∴向右平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（3，2）的对应点坐标为（4，3），故选：B．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，故选：A．7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，从而得出线段AB和点C是绕着P点逆时针旋转90°，据此可得答案．解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°，∴点C逆时针旋转90°后所得对应点C′落在4区，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标的求法即可判断；②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴方程为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故选：C．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝2．【分析】把点（0，2）代入y＝x2+c即可得到结论．解：∵抛物线y＝x2+c，过点（0，2），∴0+c＝2，∴c＝2，故答案为：2．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．【分析】把B（2，2）代入y＝即可得到结论．解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，∴把B（2，2）代入y＝得，k＝4，∴满足条件的k值的范围是0＜k≤4，故k＝1（答案不唯一），故答案为：k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为3π．【分析】连接OB，CO，根据弧长公式即可求解．解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，∴的弧长为π×6＝3π，故答案为3π．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长20tanα．【分析】直接利用正切的定义求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，所以BC＝AC tan A＝20tanα．故答案为20tanα．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为2．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA ＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．解：连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为（1，2）．【分析】根据位似变换的性质解答．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为25m．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是（1，5），MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是16．【分析】由抛物线解析式求得点M、N的坐标，然后根据平移的性质来求点P的坐标；阴影部分的面积＝平行四边形PMNQ的面积．解：如图，连接PM，QN，MQ、PN．由y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，知M（﹣1，1），N（1，﹣3）．∵点Q的横坐标是3，点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣2上，∴y＝32﹣2×3﹣2＝1．∴Q（3，1）．∴线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ．∴点P的坐标是（1，5），∴PN⊥MQ，且PN与MQ相互平分，∴平行四边形PMNQ是菱形．根据平移的性质知，S阴影部分＝S菱形PMNQ＝PN•MQ＝×4×8＝16．故答案是：（1，5）；16．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．解：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°＝，＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）﹣3＜x＜1．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用圆周角定理证明∠OAP＝∠OBP＝90°即可．解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．【分析】（1）按题意画出图形即可；（2）分两种情况，由勾股定理求出BC，AB，则可得出答案．解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（+2）cm．情况Ⅱ，如图2：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（﹣2）cm．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？【分析】（1）根据选择的坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．解：当选择甲同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），，解得，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择乙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，10），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，10），P点坐标为（0，2），解得．∴主索抛物线的表达式为y＝x2+2；（2）x＝4时，y＝×42+2＝，此时吊索的长度为m，由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝x2+2＝4，此时吊索的长度为4m，x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，8），设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0）162×a＝8，解得a＝，∴主索抛物线的表达式为y＝x2；（2）x＝4时，y＝×42＝，此时吊索的长度为（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82＝2，此时吊索的长度为2+2＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图，连接OD．根据已知条件得到∠AOD＝∠BOD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD．推出FC⊥OC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为 4.54．【分析】（1）通过取点、画图、测量可求解；（2）根据题意作图即可；（3）由题意可得PD＝AD，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．解：（1）通过取点、画图、测量，可得m＝1.73，（2）如图（3）∵当AD＝2PD，∴PD＝AD，在（2）中图象中作出y＝x的图象，并测量两个函数图象交点得：AD＝4.54，故答案为：4.54．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是直线x＝1；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）①A与B关于对称轴x＝1对称；②A（0，c）向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），代入解析式即可求得；（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有1个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）方法一：如图1，若a＞0，∵A（0，c），B（2，c），∴区域内（不含边界）恰有1个整点D的坐标为（1，c﹣1），则理另一个整点E（1，c ﹣2）不在区域内，∵把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c＝﹣a+c，∴根据题意得，解得1＜a≤2，如图2，若a＜0，同理可得，解得﹣2≤a＜﹣1综上，符合题意的a的取值范围为﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．方法二：∵AB＝2，点A是整点，∴点C到AB的距离大于1并且小于等于2．∵点C到AB的距离表示为c﹣a，减去c的差的绝对值，∴1＜|c﹣a﹣c|≤2，即1＜|a≤2，∴﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，根据三角形的外角的性质得到∠APE ＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．根据旋转的性质得到AF＝AD，∠DAF＝120°．根据全等三角形的性质得到AQ＝QE，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAP＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是P2，P3；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一）．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；分别判断点P1，P2，P3的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）分别求出直线y＝x+b与圆C，圆D相切时，b的值，即可求解；（3）线段AB的正可视点的定义，可得线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点，将点的坐标代入可求解．解：（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；∵点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）∴P1C＝＞＝AC，则点P1在圆C外，则∠AP1B＜45°，P2D＝＝AC，则点P2在圆D上，则∠AP2B＝45°，P3G＝＝BG，点P3在圆G上，则∠AP3B＝90°，∴线段AB的可视点是P2，P3，故答案为：P2，P3；②由图1可得，点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标y p范围：≤y p≤6）．（2）如图2，设直线y＝x+b与圆C相切于点H，交x轴于点N，连接BH，∵∠HNB＝∠HBN＝45°，∴NH＝BH，∠NHB＝90°，且NH是切线，∴BH是直径，∴BH＝5，∴BN＝10，∴ON＝7，∴点N（﹣7，0）∴0＝﹣7+b，∴b＝7，当直线y＝x+b与圆D相切同理可求：b＝﹣8∴﹣8≤b≤7（3）如图3，作AB的中垂线，交⊙C于点Q，交⊙D于点W，∵直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，∴线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点．∵点C（，），点D（，﹣），点Q（，+），点W（，﹣﹣）分别代入解析式可得：∴m＝3，m＝+3，m＝﹣2，m＝﹣2﹣，∴m的取值范围：或．。

2019-2020学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数是（）A．40°B．80°C．100°D．120°2．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x﹣2）2﹣1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣13．（2分）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（）A．5πB．10πC．20πD．25π4．（2分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60°B．65°C．72.5°D．115°5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为（）A．3B．C．2D．26．（2分）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2的说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向下B．抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）C．当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧D．对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点7．（2分）A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y18．（2分）如图，AB＝5，O是AB的中点，P是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B 可以重合），连接P A，过P作PM⊥AB于点M．设AP＝x，AP﹣AM＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是．10．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是．11．（2分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．12．（2分）如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°．13．（2分）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为米．14．（2分）我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P6＝6R，计算π＝3；圆内接正十二边形的周长P12＝24R sin15°，计算π＝3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长P24＝，计算π≈．（参考数据：sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.130）15．（2分）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：x……12345678……y＝ax2+bx+c……﹣3.19﹣3.10﹣2.71﹣2.05﹣1.100.14 1.47 3.48……根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）计算3tan30°+4cos45°﹣2sin60°．18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图象回答：当x取什么值时，y＜0．19．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．20．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若EF＝4，则△DEF的面积为．21．（5分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．（1）求证：OE＝AC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．23．（6分）图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tanα＝．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0），图2记录了x与y的相关数据（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．25．（6分）下面给出六个函数解析式：y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2．（1）若该抛物线与直线y＝2交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作G1（不含A，B两点），直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝﹣x﹣2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．27．（7分）△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC＝AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP＝AP，并说明理由．28．（7分）对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE 关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝100°，故选：C．2．【解答】解：抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，得：y＝（x﹣2）2；再向上平移1个单位长度，得：y＝（x﹣2）2+1．故选：A．3．【解答】解：圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长＝＝10π．故选：B．4．【解答】解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°；故选：B．5．【解答】解：∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．故选：C．6．【解答】解：A、由于y＝x2+bx﹣2中a＝1＞0，所以该抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．B、令x＝0，则y＝﹣2，所以抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2），故本选项不符合题意．C、当b＞0时，与a的符号相同，则抛物线的对称轴位于y轴的左侧，故本选项不符合题意．D、由于△＝b2+8＞0，所以该抛物线与x轴有两个公共点，故本选项符合题意．故选：D．7．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（﹣，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，由x＝﹣，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，故选：B．8．【解答】解：连接BP，∵AB为圆的直径，∴∠APB＝90°，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°，∴∠APB＝∠AMP，又∠A＝∠A，∴△AMP∽△APB，∴＝，即＝，解得，AM＝x2，∴y＝x﹣x2（0≤x≤5），故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为﹣1；故答案为：﹣1．10．【解答】解：添加条件为∠AED＝∠B，理由如下：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB；故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．11．【解答】解：如图所示：△A′B′O即为所求．12．【解答】解：∵A（3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠OAB＝，∴∠OAB＝30°，∠BCO＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．13．【解答】解：由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，△ACB∽△ADE，故＝，则＝，解得：ED＝15（m），即这个学校教学楼的高度为15米．故答案为：15．14．【解答】解：圆内接正二十四边形的周长P24＝48•R•sin7.5°，π≈≈3.12，故答案为48sin7.5°，3.12．15．【解答】解：由表格可知，当x＝5时，y＝﹣1.10＜0，当x＝6时，y＝0.14＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8，故答案为：5.8．16．【解答】解：如图，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵PD＝DG＝x，∴AP＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴＝，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5≤x＜6；故答案为：x＝或5≤x＜6．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．【解答】解：3tan 30°+4 cos45°﹣2 sin 60°＝3×+4×﹣2×＝2．18．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣1）．当y＝0时，即，x2﹣4x+3＝0．解得x1＝1，x2＝3，因此抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）当x＝0时，y＝3，因此与y轴的交点（0，3），列表得：描点、连线得到y＝x2﹣4x+3的图象，如图所示：（2）由图象可知，当y＜0时，就是图象位于x轴下方的所对应的自变量的取值范围，即：当1＜x＜3时，y＜0．19．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE．∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴．∵BE＝BD＝1，CD＝2，∴．20．【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF＝∠DAB＝90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE＝DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠ADE＝∠CDF．∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝EF＝×4＝4，∴△DEF的面积＝×4×4＝8．故答案为8．21．【解答】解：（1）×4×3＝6（场）．故答案为：6．（2）设有x支球队参加比赛，依题意，得：x（x﹣1）＝36，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．22．【解答】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．∴PO⊥BC，BE＝CE．∵OB＝OA，∴OE＝AC；（2）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°．由（1）可得∠BEO＝90°，OE＝AC＝3．∴∠OBP＝∠BEO＝90°．∴tan∠BOE＝＝，在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，∴BE＝4．∴PB＝．23．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，tanα＝，BC＝3，∴AC＝6．∴点B的坐标为（6，3）．∵B（6，3），E（4，4）在抛物线y＝ax2+bx上，∴解得∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x2+2x．（2）当x＝2时，y＝﹣×22+2×2＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．24．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD，如图1．∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∴DE是⊙O的切线．（2）如图2，BD与AC交于点H，∵DE∥AC，∴∠BHC＝∠BDE＝90°．∴BD⊥AC．∴AH＝CH．∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．∵∠F AD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，∴△F AD∽△FCB．∴．∴CF＝2AF．设AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴（2x﹣2）2＝22+x2．解得：x1＝，x2＝0（舍）．∴AF＝．25．【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．（2）图象如图1所示．（3）观察图象可知：①函数图象关于y轴对称，正确；②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小，正确；④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．故答案为①③．（4）观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为﹣1，0．故答案为﹣1，0．26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴﹣2m﹣2＝2．∴m＝﹣2．∴抛物线的表达式为y＝x2+4x+2．∵A，B两点关于直线x＝﹣2对称，∴点A的坐标为（﹣4，2）．如图1：（2）①y＝x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）．②∵解得x1＝﹣1，x2＝2m，∴C、D两点的坐标分别为：（﹣1，﹣1）、（2m，﹣2m﹣2）对于任意的实数m，抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝﹣x﹣2总有一个公共点（﹣1，﹣1）．当m≤﹣1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为﹣3，﹣2，如图2．∴∴﹣2≤m＜﹣．当m＞﹣1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3．∴∴＜m≤1．综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是﹣2≤m＜﹣或m≤1．27．【解答】解：（1）如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，又∵PC＝AC，∴∠P AC＝∠APC，∵∠ACB＝∠P AC+∠APC＝60°，∴∠P AC＝∠APC＝30°，∴∠BAP＝90°，当BQ∥AP时，∠PBQ＝∠APC＝30°，连接CQ，由旋转的性质得：PC＝PQ，∴PQ＝PC＝AC＝BC，∴∠CBQ＝∠CQB＝30°，∴∠BCQ＝120°，∴∠ACB+∠BCQ＝180°，∴A、C、Q三点共线，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，即n＝60；（2）n＝120．理由如下：延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN，AN，QN，如图2所示：∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN＝PQ．∴∠NBP+∠CPQ＝180°，∴∠NBP＝180°﹣∠CPQ＝60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠ABN＝∠ACP＝120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ＝PC．∴BN＝PC．在△ABN和△ACP中，，∴△ABN≌△ACP（SAS）．∴∠BAN＝∠CAP，AN＝AP．∴∠NAP＝∠BAC＝60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN＝AP．又MP＝PN，∴MP＝AP．28．【解答】解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠C＝∠B＝45°，∵CD＝1，∴BD＝2﹣1＞CD，∴D到AC的距离小于到AB的距离，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝，即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，∴BD＝BC＝，同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，∵直线OF：y＝x∴∠FOE＝30°由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．∴当R＝1 时，t的取值范围是t≥3．iii）当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，∴∠OEP＜30°，∴OM＜1，当R＝时，如图6，过P作P A⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，∴EN＝＝＝，Rt△OP A中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，∴P A＝﹣t，∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，∴△EMN∽△EP A，∴，即＝解得：t＝﹣，∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．。

2019-2020年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-精华版

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北京市西城区第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35 B. 45 C. 34 D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．ABACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线k y x =（≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（，b 为常数，≠0）中，= ，b= ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。

2019-2020学年北京市大兴区九年级上期末数学试卷(有答案)【推荐】.doc

2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=（用含a的式子表示）；y1=（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：．2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为3cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2x，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+4﹣4）+3=（x=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x1）（x ﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=x，在Rt△CDB中，CD=BD=x，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+x=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=x，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=x，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+x=，解得x=21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，由题意得出y=x2+（x﹣2）2=2（x ﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，因为2＞0于是，当x=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y2=x2﹣mx+4≤0，当x=4时，y2=x2﹣mx+4＞0即可求得m的取值；【解答】解：（1）∵y2=x2﹣mx+4=（x﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣ +4）…（2）①当m=5时，y1=x﹣1，y2=x2﹣5x+4．…（4分）如图，当y1=0时，x﹣1=0，x=2，∵A（2，0），当y2=0时，x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4，∴B（1，0），C（4，0），因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．…（5分）②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，∴x=3，当x=3时，y2=32﹣3m+4≤0，解得m≥，当x=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=cosα（用含a的式子表示）；y1=sinα（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：1＜y1+y2≤．．【分析】（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，∴x1=cosα，y1=sinα，故答案为cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，。

2019 2020北京市西城区九年级上期末数学试卷有答案推荐

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1RtABCACB90AC3AB5sinB等于（＝＝°，如果＝，那么．如图，在，△）中，∠DABC．．．．y3yA1yByy2＝（，，（图象上的两点，那么），，的大小关）是反比例函数．点2121系是（）AyyByyCyyD．不能确定．＞．＝．＜2112212543yx的顶点坐标和开口方向分别是（＝（﹣﹣）．抛物线）A45B45），开口向下．（．（，﹣，﹣），开口向上545C4D），开口向下），开口向上，﹣．（﹣，﹣．（﹣46012的扇形的面积等于（．圆心角为）°，且半径为A48B24C4D2．．．．ππππ5ABOCDOACD34BAD等于（如图，如果∠＝．）是的直径，°，是那么∠的弦，⊙⊙A34B46C56D66°°°．．°．．2+4xmyxxm6的取值范围是（＝轴有公共点，那么﹣）的图象与．如果函数Am4Bm4Cm4Dm4＞﹣≤．．＜．≥﹣．7PABCACABPACB，那在△的边∽△上，如果添加一个条件后可以得到△．如图，点么以下添加的条件中，不正确的是（）12DAPABCCABACAABPCBAPB．?．∠．．∠＝∠＝∠＝22+axbxx1axx+bx+3a08y的方程＝≠，如果关于（．如图，抛物线）的对称轴为直线＝80a04，那么该方程的另一个根为（＝）的一个根为（≠）﹣A4B2C1D3．．﹣．﹣．二、填空题（本题共16分，每小题2分）2+3y 9yx 与．抛物线．＝轴的交点坐标为ACBCABDEACDE10ABC＝，＝两点分别在，，如果边上，．如图，在△，中，∥EC 10．＝，那么11xOyPxyA22）在同一中，第一象限内的点（（，，．如图，在平面直角坐标系）与点PCyCPDxDODPC的面积，轴于点⊥个反比例函数的图象上，，那么矩形⊥轴于点．等于2+bx+cayax0A100+y12kxnk），≠）分别交于，（（≠）与抛物线＝（﹣＝．如图，直线21B23yyx ．时，（，﹣）两点，那么当＞的取值范围是21213O4AB120OAB到弦．如图，所对的圆心角等于的半径等于°，那么圆心，如果弦⊙的距离等于．142019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级．工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏12的主桥通长江大桥（如图所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图BDE，最长的示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为CE577mCECEDCE的长和长与大桥主梁所夹的锐角∠，那么用，记斜拉索为ααBDBD m）．＝（的三角函数表示主跨长的表达式应为2+bx+ca0yC15yaxxAB两点，其中点，与（，．如图，抛物线≠＝轴交于）与轴交于点BB40xDCEAB，并与抛物线的对称的坐标为轴于点（∥，），抛物线的对称轴交，Ea0b04a+2b+c0AD+CE4．其中；＜轴交于点；．现有下列结论：＝＞；＞④③①②．所有正确结论的序号是ABAPBBOOtan316OAP⊥在，内，．如图，＝的半径为，∠，两点在上，点⊙⊙⊙APOBOPOB 的长为．如果⊥．，那么三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、324题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）245+costan60172sin30°．°﹣°．计算：18ABCDACBDEABEACB．．如图，∥的交点为，＝∠与，∠1ABEACB；（∽△）求证：△2AB6AE4ACCD的长．）如果＝＝，求，（，2C3CCC，并直接回答：个单位得到抛物线（，）将抛物线向上平移，请画出抛物线2112CxCx轴的两交点之间距离的多少倍．轴的两交点之间的距离是抛物线与抛物线与1220ABCABAC2BAC45ABCA0＜＝．在△度（中，°．将△＝＝逆时针旋转，∠绕点αα180ADEBCDEBDCEF．，，，两点的对应点分别为点所在直线交于点，＜，）得到△1ABC1CAD BFC的（用（的代数式表示），∠）当△旋转到图位置时，∠＝α度数为°；2452ADEABE的距离．到直线＝（）当时，在图中画出△，并求此时点α421．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的htmtsh的几组对应值如下）与它的飞行时间）满足二次函数关系，（（飞tt1h的取值范围）；）求之间的函数关系式（不要求写与（s23时的高度；）求小球飞行（m322？请说明理由．）问：小球的飞行高度能否达到（aAky0y22xOy，≠的交点为）与直线如图，．在平面直角坐标系（中，双曲线＝＝（xPB1PA21BbP轴的交点分﹣，直线），（的横坐标为，与）两点，双曲线上一点，ANMN．别为点，，连接k1a的值；）直接写出（，PNPM2PMPN．（）求证：，＝⊥ABCCBcos1323BCC．锐角△为一边的∠．如图，线段满足长为，以＝为顶点，ααABABCsinlAABD边的长，的另一边的顶点落在∠上，且满足＝．求△的高及α5BDAB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）及并结合你的计算过程画出高24ABOABACDE，点．如图，的垂线，与弦是半圆的直径，过圆心的延长线交于点作ODDCEB．在＝∠上，∠1CE是半圆的切线；）求证：（B10tan2CD＝（，）若，求半圆的半径．＝22ax+a125Gyxa为常数）．﹣．已知抛物线﹣：（＝1a3G的顶点坐标；＝（时，用配方法求抛物线）当2GPpq）．）若记抛物线（的顶点坐标为，（apq；的代数式表示分别用含，①pq；的基础上继续用含的代数式表示请在①②PaP 总落在由可得，顶点的位置会随着的图的取值变化而变化，但点①②③象上．A B C．二次函数．反比例函数．一次函数322GH：）小明想进一步对（）中的抛物线）中的问题进行如下改编：将（改为抛物线（22ax+NaNaHyx满足：﹣为常数），其中＝的代数式，从而使这个新抛物线为含（a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写无论H a的代数式表示），出一个符合以上要求的新抛物线（用含的函数表达式：ykx+bkbk0k ≠，）中，＝它的顶点所在的一次函数图象的表达式＝（，为常数， b ．＝62+bx+ca0A1026xOyMyax），且≠（﹣：＝）经过．在平面直角坐标系，中，抛物线（B01）．（顶点坐标为，1M的函数表达式；（）求抛物线2Ft0xMF180M．）设轴正半轴上一点，将抛物线（旋转，绕点）为（°得到抛物线1M抛物线①B 的坐标为；的顶点11M当抛物线②ABt的取值范围．有公共点时，结合函数的图象，求与线段12771RtAOBAOB90OAB30COB上，中，∠＝＝．（在线段分）如图°，∠，在°，点△OC2BCAODOCD30OCDO90°（＝逆时针旋转＝°．将△，度边上的一点满足∠绕点α180OCDCDCDAC′，′，′，＜＜，°）得到△′，连接′两点的对应点分别为点αBDACMOM．′的中点′，取，连接12CDAB OMBD′之间的位置关系°，此时，当′和′∥时，＝（）如图α为；2OMBD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．（和）画图探究线段28xOyABA22B22）．对于两点的坐标分别为（（，．在平面直角坐标系中，，﹣，），ABPQQABQ′落及点关于，，给出如下定义：若点给定的线段所在直线的对称点ABPQPAB的内称点．在△是点的内部（不含边界），则称点关于线段1P41）．）已知点，﹣（（Q在①11Q11PAB 关于线段；（，﹣的内称点的是），（，）两点中，是点21 MPABMxMyx1上，﹣若点求点且点是点关于线段的内称点，的横坐标在直线＝②M的取值范围；72C33CrD40EDAB的（，关于线段），若点是点（）已知点（，），的半径为，点⊙DECr的取值范围．相切，求半径内称点，且满足直线与⊙82019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1RtABCACB90AC3AB5sinB等于（°，如果，那么＝．如图，在△，中，∠）＝＝DBCA．．．．sinB的值．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出RtABCACB90AC3AB5，＝，°，＝【解答】解：∵在＝△中，∠Bsin＝．∴＝A．故选：【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．yB3yyyy2A1的大小关（图象上的两点，那么，，＝），）是反比例函数．点，（2112）系是（DyyByCyyAy．不能确定．．．＝＞＜211221AB点坐标代入反比例函数解析点和【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把yy，从而可判断它们的大小．，式可计算出21yyyB3A1＝），）是反比例函数（【解答】解：∵，（，图象上的两点，212yy6，＝﹣∴，＝﹣＝﹣＝﹣21yy．＜∴21C．故选：k0yk为常数，【点评】（本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数≠＝）kxyxyk；双曲线是的图象是双曲线，图象上的点（，即，）的横纵坐标的积是定值＝关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．25x3y4）．抛物线＝（﹣）﹣的顶点坐标和开口方向分别是（9A45B45），开口向下，﹣，﹣），开口向上．（．（5CD544），开口向下），开口向上．（﹣．（﹣，﹣，﹣2+kah0a0yax时图象开口向下，顶点坐标）＞﹣【分析】根据＜＝，（时图象开口向上，hkxh，可得答案．，＝是（），对称轴是25x4y，得﹣【解答】解：由﹣＝（）开口方向向上，45）．顶点坐标（，﹣A．故选：2+kha0yax时图象开口向上，在）﹣【点评】本题考查了二次函数的性质，利用，＝（＞yxyxa0时随的增大而减小，在对称轴的右侧，的增大而增大；随对称轴的左侧，＜yxyx的增图象开口向下，在对称轴的左侧，的增大而增大，在对称轴的右侧，随随hkxh，大而减小，顶点坐标是（），对称轴是，＝46012的扇形的面积等于（．圆心角为°，且半径为）A48B24C4D2．．．．ππππ【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得2cm24S）．＝（＝πB．故选：【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．BAD34CD5ABOOACD）等于（＝°，那么∠．是的直径，是的弦，如图，如果∠⊙⊙A34B46C56D66°°．°°．．．ABOADB90°，又是＝的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠【分析】由⊙ACD34ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．＝°，可求得∠由∠ABO的直径，是【解答】解：∵⊙ADB90°，＝∴∠10ACD34°，＝∵∠ABD34°＝∴∠BAD90ABD56°，＝＝°﹣∠∴∠C．故选：【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．2+4xmxxmy6的取值范围是（轴有公共点，那么﹣）．如果函数的图象与＝Am4Bm4Cm4Dm4＞﹣．．．≤＜≥﹣．2+4xm00x，求出不等式的解集＝【分析】根据已知得出方程有两个的实数解，即△≥﹣即可．2+4xxmxy轴有公共点，﹣＝的图象与【解答】解：∵函数2241m0+4xm0x4，﹣﹣×（﹣＝×有两个的实数解，即△＝）≥∴方程m4，解得：≥﹣C．故选：x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，本题考查了二次函数与能得出关【点评】m'的不等式是解此题的关键．于7PABCACABPACB，那的边．如图，点∽△在△上，如果添加一个条件后可以得到△么以下添加的条件中，不正确的是（）2DACAPABABPCBAPBABCCA．＝∠＝．∠．＝∠．∠?【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．AABPCAAABPACB，故此选项错误；＝∠【解答】解：、当∠∽△＝∠，∴△时，又∵∠BAPBABCAAABPACB，故此选项错误；、当∠＝∠，∴△时，又∵∠∽△＝∠2AAAPACABPACBCAB，故此选项错误；?，∴△即时，又∵∠＝∽△＝∠、当＝DABPACB，故此选项正确．∽△、无法得到△D．故选：【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．1122+bx1xax+bx+3a08yaxx的方程，如果关于）的对称轴为直线．如图，抛物线（＝＝≠80a04，那么该方程的另一个根为（（）≠﹣）的一个根为＝A4B2C1D3．．．﹣．﹣x轴的另一个交点可得答案．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与2+bx8axx04，【解答】解∵关于的方程﹣，有一个根为＝x40），∴抛物线与，轴的一个交点为（x1，＝∵抛物线的对称轴为x20），∴抛物线与，轴的另一个交点为（﹣x2．∴方程的另一个根为＝﹣B．故选：【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）2+3y039yx）．抛物线＝（．与，轴的交点坐标为x0yy轴上点的坐标特征解答即可．代入解析式求出，根据【分析】把＝x0y3，【解答】解：当时，＝＝2+3y0yx3），则抛物线＝轴交点的坐标为（，与03），故答案为：（y0是解题轴上点的横坐标为掌握【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，的关键．12ACACDEBC10ABCDEAB＝边上，．如图，在△，如果中，∥，，两点分别在＝，4EC10．＝，那么ACDEBCEC，由此即可解决问题．＝【分析】由＝∥＝，可得，推出BCDE，∥【解答】解：∵，∴＝＝AC10，＝∵10EC4，＝＝×∴4．故答案为【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11xOyPxyA22）在同一中，第一象限内的点（（，，．如图，在平面直角坐标系）与点PCyCPDxDODPC的面积，轴于点⊥个反比例函数的图象上，，那么矩形⊥轴于点4．等于AkODPC的面积．【分析】根据点的值，进而得出矩形的坐标可得出y2A2的图象上，可得：【解答】解：设点，（，＝）在反比例函数4k，解得：＝22xPyA）在同一个反比例函数的图象上，因为第一象限内的点（（，）与点，4ODPC，所以矩形的面积等于4故答案为：kkA的值．的坐标可得出【点评】此题考查反比例函数系数的几何意义，关键是根据点132+bx+ca00yaxA10y12kx+nk），）与抛物线（＝（﹣（≠≠．如图，直线，＝）分别交于21B23yyx1x2．＜（的取值范围是，﹣）两点，那么当﹣＞＜时，21【分析】根据图象得出取值范围即可．2+bx+ca0A1ykx+nk0yax，≠【解答】解：因为直线＝（﹣＝）（≠（）与抛物线分别交于210B23）两点，），，﹣（yy1x2，时，﹣所以当＜＞＜211x2＜故答案为：﹣＜【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13O4AB120OAB到弦，如果弦的半径等于°，那么圆心．如图，所对的圆心角等于⊙2．的距离等于AOB120AOBOCAB，再利用含°，可得△⊥【分析】由圆心角∠＝是等腰三角形，又由30OC的长．°角的直角三角形的性质，可求得AOB120OAOB，°，【解答】解：如图，∵圆心角∠＝＝OAB是等腰三角形，∴△OCAB，⊥∵ACO90A30°，∴∠＝＝°，∠OC＝∴．2故答案为：1430°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形【点评】此题考查了垂径定理、含是关键．142019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级．工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏12的主桥所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图通长江大桥（如图BDE，最长的的中点为示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨CE577mCECEDCE的长和长与大桥主梁所夹的锐角∠，那么用，记为斜拉索ααBDBD1154cosm）．的三角函数表示主跨（长的表达式应为＝α【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD2CEcos2577cos1154cos，＝×＝×＝?ααα1154cos．故答案为：α【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．2+bx+ca0y15yaxCxAB两点，其中点（．如图，抛物线，与＝≠）与，轴交于点轴交于BB40xDCEAB，并与抛物线的对称（，，），抛物线的对称轴交∥的坐标为轴于点Ea0b04a+2b+c0AD+CE4．其中＝；＞＜；轴交于点．现有下列结论：＞；④②③①所有正确结论的序号是．②④xy轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【分析】根据图象的开口方向、与和a0，错误；该函数图象的开口向下，＜【解答】解：①0b0a0，正确；＞∵，∴＜＞，﹣②x24a+2b+c0，错误；＞＝把代入解析式可得③15ADDBCEODAD+ODDB+ODOB4AD+CE4，正确．∵＝＝＝，＝＝，可得：，∴＝④故答案为：②④2+bx+yaxc系数符号判【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数＝yx轴交点的个数．轴的交点抛物线与断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与ABtanAPBOBO16O3AP⊥上，点∠．如图，在的半径为＝，内，，，两点在⊙⊙⊙APOBOPOB1．的长为．如果⊥，那么OAAMOBOBMPNMAMA的延长线交⊥的延长线于【分析】如图，连接，作交⊥，作NPOMNOMBM即可解决问题；是矩形．想办法求出于．则四边形、OAAMOBOBMPNMAMA的延的延长线于【解答】解：如图，连接⊥，作，作⊥交交NPOMN是矩形．长线于．则四边形POBPAB90°，∵∠＝＝∠POBA四点共圆，、、、∴AOBAPB，＝∠∴∠AM4kOMAPBtanAOMtan3k，∴＝∠，＝∠＝，设＝＝22233OMA4kk+Rt，中，（＝）在△（）k＝（负根已经舍弃），解得AMOMMNANAM＝＝＝＝，∴，﹣MAB+ABM90MAB+PAN90°，∵∠＝∠∠＝°，∠ABMPANAMBPNA90°，＝∠，∵∠＝＝∠∴∠AMBPNA，∽△∴△16，∴＝＝，∴BM，∴＝1BMOBOM．＝∴＝﹣1故答案为【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．、235分，第21、22题每小题三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第 5分）27、28题每小题5分，第25、26题每小题5分，第24题每小题2tan6045172sin30+cos°．．计算：°﹣°【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．2+2﹣×（【解答】解：原式＝）1+﹣＝．﹣＝【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．ACBEABEBD18ABCDAC．．如图，，∠∥的交点为，与＝∠ACB1ABE；）求证：△∽△（CDAC6AE42AB的长．＝，，（）如果，求＝1）根据相似三角形的判定证明即可；【分析】（2）利用相似三角形的性质解答即可．（AACBABEA1，，∠＝∠＝∠【解答】证明：（）∵∠ACBABE；∴△∽△172ABEACB，（∽△）∵△∴，2ACAEAB，＝∴?AB6AE4，，∵＝＝AC＝∴，CDAB，∥∵ABECDE，∽△∴△，∴．∴ABE∽【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ACB．△2+2xyx19xOyC．＝﹣．在平面直角坐标系：中，抛物线11）补全表格：（xy轴交点坐轴交点坐标抛物线顶点坐标与与标2+2x1100yx2000）（（，，（，））（，）＝﹣2C3CCC，并直接回答：向上平移个单位得到抛物线（，）将抛物线，请画出抛物线2211CxCx轴的两交点之间距离的多少倍．与轴的两交点之间的距离是抛物线抛物线与121）利用待定系数法即可解决问题；【分析】（2）利用描点法即可解决问题；（2+2xx002x1y0）与）和（轴的交点为（，【解答】解：（）＝﹣，0020）；，故答案为（，）和（182CCCxCx轴（与）抛物线与，轴的两交点之间的距离是抛物线如图所示，抛物线11222倍的两交点之间距离的x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键【点评】本题考查抛物线与是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20ABCABAC2BAC45ABCA0＜＝逆时针旋转，∠绕点．在△＝中，度（＝°．将△αα180ADEBCDEBDCEF．两点的对应点分别为点，，＜所在直线交于点）得到△，，，1ABC1CAD45BFC的代数式表示），∠位置时，∠＝（）当△旋转到图α45°；的度数为2452ADEABE的距离．时，在图，并求此时点中画出△（到直线）当＝α11BADCAEABADAEAC，则∠＝）如图＝，利用旋转的性质得∠＝∠，＝，【分析】（αCAD45ABDACE，所以＝﹣＝∠°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠αBFCBAC45°．∠＝＝∠22ADEBEACGDC重合，为所作，，利用旋转的性质得点与与点（）如图相交于，△2BEAB45AEAB2ABECAE，再°，＝＝＝＝为等腰直角三角形，所以，则△＝∠AGAGBE的长即可．⊥证明，然后根据等腰直角三角形的性质求出101ABCA180ADE，）得到△【解答】解：（，如图）∵△绕点度（逆时针旋转＜＜ααBADCAEABADAEAC，，∴∠＝＝∠＝，＝αBAC45°，＝而∠CAD45°；＝﹣∴∠α19ABADAEAC，，∵＝＝ACEAEC180ABDADB90180BAD＝∠∴∠＝∠（°﹣＝（°﹣°﹣∠）＝，∠）＝αα90180°﹣）＝＝（，°﹣ααABDACE，∴∠＝∠BFCBAC45°．＝∠∴∠＝4545°；°；故答案为﹣α22ADEBEACG，为所作，（相交于）如图与，△ABCA45ADE，绕点度得到△∵△逆时针旋转ABACBAC45°，，∠而＝＝DCCAE45AEAB2，＝＝°，∴点＝与点重合，∠ABE为等腰直角三角形，∴△2ABBE，＝＝∴AGBAE，平分∠而AGBE，∴⊥BEAG＝＝∴，BEA的距离为即此时点．到直线【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的hmtsth的几组对应值如下与飞行高度（）与它的飞行时间（）满足二次函数关系，表所示．20211.500.5st…（）2001518.758.75mh…（）tht1的取值范围）；与）求（之间的函数关系式（不要求写s23时的高度；（）求小球飞行m322？请说明理由．（）问：小球的飞行高度能否达到2t0+bta1hthat），然后再根据表格代入【分析】（≠）设＝与（之间的函数关系式为ba20ab1h15t2h的值，时，可得关于＝的方程组，再解即可得到；＝、时，、＝＝进而可得函数解析式；h32t的值；）根据函数解析式，代入（可得＝3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．（0ht01，＝＝【解答】解：（时，）∵20bthtata+h），＝（∴设≠与之间的函数关系式为202hh15t1t，＝时，时，；＝∵＝＝，∴，解得2t5t+20hth；与之间的函数关系式为∴＝﹣2m35h315+20t233s）．×＝×），此时（＝﹣）小球飞行秒时，（＝（153s米；答：小球飞行时的高度为22+2025+20ttth35，﹣＝﹣（）∵＝﹣）（m20，∴小球飞行的最大高度为2022，∵＞m22．∴小球的飞行高度不能达到【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．21Aa022xOyyyk，）中，双曲线与直线的交点为＝（（≠＝．如图，在平面直角坐标系1B2bP1PAPBx轴的交点分﹣的横坐标为），，（，直线，）两点，双曲线上一点与MNAN．，别为点，连接1ak的值；）直接写出（，2PMPNPMPN．）求证：＝⊥（，Aa1yB21ybk0）），＝【分析】（的交点为）依据双曲线，（＝（≠（）与直线，﹣ABak的值；与点，两点，可得点关于原点对称，进而得到P1Py122），进而得到直，可得点＝上一点，的横坐标为（）根据双曲线的坐标为（PAPByx+1yx+3PAPBx轴的交点线＝﹣，，的函数表达式分别为，＝与，求得直线M10N30PMPNPMPN．坐标分别为，（﹣），即可得到，，），＝（⊥Aa1Bk0y21y，≠），）与直线的交点为（＝【解答】解：（（）∵双曲线，﹣＝（b）两点，BA关于原点对称，与点∴点1a2b，∴，＝﹣＝2k1A2y；＝）代入双曲线，可得∴把＝（﹣，﹣P12y，（＝）证明：∵双曲线上一点的横坐标为P12），的坐标为（∴点，PAPByx+1yx+3，∴直线，，的函数表达式分别为＝﹣＝PAPBxM10N30），（﹣（，∴直线），，与，轴的交点坐标分别为2MNPM42PN，＝，，∴＝＝222MN+PNPMPNPM，＝＝∴，22MPN90°，∴∠＝PMPN．∴⊥【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．ABCcosCCB23BC13．锐角△为顶点，＝．如图，线段为一边的∠长为满足，以ααABCBDAABAlsin边的长，的顶点．求△落在∠的另一边＝上，且满足及的高αBDAB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）及并结合你的计算过程画出高BDBDABAD，，再用勾股定理求出，，再用锐角三角函数求出【分析】先利用直角作出即可得出结论．BDlD，【解答】解：如图，作于点⊥RtCBDCDB90BC13，△°，中，∠＝＝在cosCcos＝∴＝，α13cosCBD12CDBC5×＝＝?，∴＝＝＝，AsinABDBD12Rt＝中，，△＝，在Atan＝，∴9ADAB15，∴＝＝＝＝，D9lAAB，，连接作图，以点为圆心，为半径作弧与射线交于点23【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题ADAB．的关键是求出和EACDABOAB24，点是半圆的直径，过圆心的垂线，与弦．如图，作的延长线交于点BDCEOD．上，∠＝∠在CE1是半圆的切线；（）求证：B10tanCD2，求半圆的半径．，）若＝（＝90+BCEBCO1BBCO°，（利用同角的余角相等判断出∠）∠＝∠＝，进而判断出∠【分析】即可得出结论；BD2sinB即可得出结论．（）先求出，再利用同角的余角相等判断出∠＝∠OC1，）连接【解答】解：（ACAB是半圆的弦，∵是半圆的直径，90ACB°，∴∠＝ACD的延长线上，在弦∵点90ACBDCB180°，∴∠＝°﹣∠＝24DCE+BCE90°，＝∠∴∠OCOB，＝∵BCOB，＝∠∴∠DCEB，∵∠＝∠BCO+BCE90°，∠∴∠＝OCE90°，即：∠＝CEOC，∴⊥C在半圆上，∵点CE是半圆的切线；∴21，（）解：如图BtanRtABC＝△在，中，kAB3kAC2kBC，＝＝＝设，则，根据勾股定理得，Bsin，∴＝＝ODAB，⊥∵D+A90°，＝∠∴∠AB是半圆的直径，∵ACB90°，∴∠＝B+A90°，∠∴∠＝DB，∴∠＝∠BsinsinD＝，∴＝DsinRtCDF＝△＝，在中，Bcos＝∴222CDm2DECFmDFCF，，＝＝设﹣＝，根据勾股定理得，22100m413m，﹣＝∴mm＝∴＝﹣，（舍）或25CF＝∴，BFBOFkRt＝中，△＝，在+kBC3kBF+CF＝，＝＝∴8k，∴＝4OBk＝∴＝【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的BCOB．＝∠关键是判断出∠22ax+a1a25Gyx为常数）．﹣＝．已知抛物线（：﹣1a3G的顶点坐标；＝（时，用配方法求抛物线）当2GPpq）．（（）若记抛物线，的顶点坐标为apq；的代数式表示，分别用含①pq；的基础上继续用含的代数式表示请在①②PaPC的图象的位置会随着总落在的取值变化而变化，但点由可得，顶点①②③上．A B C．二次函数．一次函数．反比例函数322GH：）中的问题进行如下改编：将（（改为抛物线）小明想进一步对（）中的抛物线22ax+NayxNaH满足：为含＝（的代数式，从而使这个新抛物线﹣为常数），其中a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写无论22+aa+2axayHx的代﹣的函数表达式：＝（用含出一个符合以上要求的新抛物线ykx+bkbk0）为常数，（中，，它的顶点所在的一次函数图象的表达式数式表示），≠＝k1b0，．＝＝1a1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；）将＝【分析】（2apq；、将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含（）的代数式表示①26根据中的结果可以解答本题；①②根据可以解答本题；①②③3）答案不唯一，只要符合要就即可．（22273+2xx6x1a3yx+36x1，）当＝（＝﹣时，﹣＝）【解答】解：（＝﹣﹣﹣37）；∴此时抛物线的顶点坐标为（，﹣222+axa1x2ya2ax+a1，）﹣＝﹣﹣﹣）（＝（﹣①GPpq），的顶点坐标为，（∵抛物线2+a1aqap；，∴﹣＝＝﹣由可得，①②2+p1qp；﹣＝﹣PaP总落在二次函数图象的位置会随着的取值变化而变化，但点由可得，顶点①②③上，C；故答案为：22+aax+Hyxa23，的函数表达式：）符合以上要求的新抛物线﹣（＝222+ax+aa+yxa2ax，＝﹣﹣＝（∵）aa），∴顶点坐标为（，yx，＝∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式k1b0，＝＝，∴22+a1+ayx02ax．﹣故答案为：，＝，【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．2+bx+caax0A10xOy26My），且≠（﹣中，抛物线）经过：，＝（．在平面直角坐标系B01）．，顶点坐标为（1M的函数表达式；）求抛物线（2Ft0xMF180M．）为旋转轴正半轴上一点，将抛物线（绕点）设（°得到抛物线，1M抛物线①B2t1），﹣的顶点的坐标为（；11M当抛物线②ABt的取值范围．有公共点时，结合函数的图象，求与线段1271）根据待定系数法，可得答案；【分析】（FBB2点对称，根据中点公式，可得答案；与′关于（根据旋转的性质，可得）①BA点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．根据图象过，②2+1ax01y1MB，，＝【解答】解：（（）由抛物线），设抛物线的解析式为的顶点坐标为20a1+1A12，×（﹣＝将）代入解析式，得（﹣），1a，解得＝﹣2+1yx，∴抛物线的解析式为＝﹣2由旋转的性质，得（）①0t1FBxyB0）对称，（）关于，，）与（（，10t，＝＝，1tyx2，，解得＝﹣＝12tB）；（，﹣112t）；故答案为：（，﹣1，如图②11B2t，（，﹣由题意，得顶点是），二次项系数为120 1 yx2ttM），＝（﹣（∴抛物线的解析式为﹣）＞12010t1MA1，﹣﹣），时（﹣）当抛物线经过（﹣＝，101tt．＝﹣，＝解得2110MB）时，当抛物线，经过（1212t1，（）﹣＝28t＝解得，t0，结合图象分析，∵＞t0ABtM≤有公共点时，．∴当抛物线的取值范围与线段＜11）的关键；利用【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（BBF2AB点得出点的坐标点对称是解（旋转得出，与）′关于的关键，利用象过①的坐标符合解析式是解关键．②271RtAOBAOB90OAB30COBOC＝＝°，点°，∠上，．如图，在＝△在线段中，∠2BCAODOCD30OCDO90°度（满足∠绕点＝逆时针旋转，°．将△边上的一点α180OCDCDCDAC′，′，′，，＜＜′，连接°）得到△两点的对应点分别为点′αBDACMOM．′的中点，连接′，取12CDABOMBD150°，＝，当′之间的位置关系为′′∥垂时，（此时）如图和α直；2OMBD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．（和）画图探究线段1ABD+CDB180°，【分析】（′）根据平行线的性质得到∠′＝∠′根据周角的定义即可得到结论；2AOEMEMOBDN，根据三角形的中位线的性质得的中点交，连接′于，延长（）取OCAOMEM2OCEM，＝得到∠∠形根据相似三角的到∥性′，质＝′，，根据垂直的定义即可得到结论．1CDAB，′′∥【解答】解：（）∵ABD+CDB180°，∠＝′∴∠′′ABOCDO60°，′∵∠＝∠＝′OBD+BDO60°，＝∴∠′∠′29BOD120°，∴∠′＝BOC3609090120150°，′＝°﹣°﹣°＝°﹣∴∠150OMBD′；°，此时，⊥∴＝α150，垂直；故答案为：BDOMOMBD2′，⊥）＝（′，AOEMEMOBDN，，连接交证明：取，延长的中点′于ACM，∵′的中点OCOCEMEM′，′，∥∴＝OEM+AOC180AOBCOD90°，∠＝∠′＝′＝°，∵∠∴∠′BOD+AOC180°，′∴∠′＝′OEMBOD′，∴∠＝∠OABOCD30°，∵∠′＝∠′＝＝＝∴，＝∴，EOMOBD′，∽△∴△2AOM，∴∠＝∠，BDOM′，即＝AOB90°，∵∠＝AOM+3180AOB902+390°，°﹣∠＝＝°，∴∠∴∠∠∠＝OMBD′．∴⊥30【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28xOyABA22B22）．对于（（，．在平面直角坐标系，﹣中，），，两点的坐标分别为ABPQQABQ′落及点关于，所在直线的对称点，给出如下定义：若点给定的线段ABPQPAB的内称点．是点在△关于线段的内部（不含边界），则称点1P41）．（（）已知点，﹣Q在①11Q11PABQ点，﹣；），关于线段（的内称点的是，（）两点中，是点112 MPABMxMyx1上，的内称点，求点在直线的横坐标﹣且点若点是点＝关于线段②M的取值范围；2C33CrD40EDAB的）已知点，（，是点），），若点的半径为关于线段，点（（⊙DECr的取值范围．与内称点，且满足直线相切，求半径⊙1）【分析】（利用内对称点的意义即可得出结论；①OABP'yx1上，即可判断出结论；关于直线的对称点＝﹣在直线先判断出点②2DECC最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．（与圆）判断出相切时，圆1）【解答】解：（PABQ，关于线段的内称点的是作出图形，由内对称点的意义得，点1Q；故答案为12，如图②31x'y01PABP41P'﹣，﹣点恰好在直线（（，﹣）关于），此时，点所在直线的对称点＝1上，ABPM的内对称点，是点∵点关于线段ABP'MABM内部（不含边界），关于∴点所在直线的对称点落在△1xMy上，在直线∵点﹣＝'P1AByxGMP'G，与直线﹣上（点∴点为线段应在线段＝的交点），且不与两个端点G重合，2x0，∴＜＜M32，（）如图ABDE的内称点，关于线段∵点是点ABDEEAB'内部（不含边界），∴点关于所在直线的对称点应在△32DABO，∵点所在直线的对称点为原点关于EABO的内部（不含边界），应在△∴点A22C33D40），），（（，∵（，，），CDAD2AC＝＝，＝∴，，222CD+ACAD，＝∴CAD90°，＝∴∠ACAD，⊥∴ACCDAAC＝此时，直线相切，半径与以，为半径的⊙。

北京市大兴区2019-2020学年九年级上期末考试数学试题(含答案)

2019-2020学年大兴区上学期期末试卷初三数学一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 已知35(0)x y y =≠,则下列比例式成立的是 A ．53x y = B.53x y = C. 35x y = D. 35x y = 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5,则cosA 的值是 A ．35B ．45 C ．34 D ．433. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 A ．2(2)3y x =+- B ．2(2)3y x =++ C ．2(2)3y x =-+ D ．2(2)3y x =-- 4. 如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，AD ∶AB =1∶3，若△ADE 的面积等于3，则△ABC 的面积等于 A ．9 B ．15 C ．18 D ．27 5. 当m< -1时,二次函数2(1)1y m x =+-的图象一定经过的象限是A ．一、二B ．三、四C ．一、二、三6.已知矩形的面积为10，它的一组邻边长分别x,y,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是7. 如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在以AB 为直径的半圆形纸 片上,使其一边经过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点D , E.现度量出半径OC =5cm,弦DE =8cm,则直尺的宽度为A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm 8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°,AB =4cm,若以点C为圆心,以2cm 为半径作⊙C ,则AB 与⊙C 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交9. 如图，A,B,C 是⊙O 上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是 A. ∠OBA =∠OCA B. 四边形OABC 内接于⊙O C.. AB=2BC D. ∠OBA +∠BOC =90°10.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，那么一元二次 方程ax 2+bx +c =m (a ≠0, m 为常数且m ≤4)的两根之和为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11.已知扇形的圆心角为60°，半径是2，则扇形的面积为_________. 12.二次函数22(2)1y x =+-的最小值是_________.13.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式 _________. 14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BAD=110°,则∠C 的度数 是_________.15.已知抛物线221y x x =--，点P 是抛物线上一动点，以点P 为圆心， 2个单位长度为半径作⊙P. 当⊙P 与x 轴相切时，点P 的坐标为________. 16.在数学课上，老师提出如下问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，AC ,BC 分别与⊙O 交于点D ,E ,请你作出△ABC 中BC 边上的高.小文说：连结AE ,则线段AE 就是BC 边上的高. 老师说：“小文的作法正确.” 请回答：小文的作图依据是_________.三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）︒+︒-︒17. 计算：cos30tan602sin4518.已知：如图，矩形ABCD中，E，F分别是CD,AD上的点，且BF⊥AE于点M.求证：AB﹒DE=AE﹒AM19.已知抛物线的顶点坐标为（3，-4），且过点（0，5），求抛物线的表达式.20.某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方楼AB的顶部点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，在点D测得点A的仰角为60°，且B, C, D三点在一条直线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的高度.21．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示：图1 图2（1）根据图2填表：x (min)0 3 6812 …y（m ）54 …（2）变量y 是x 的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.22.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C = 45°，AB =2,求⊙O 的半径.23. 已知:如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1my x的图象与一次函数y 2=kx +b 的图象交于 点A （-4，-1）和点B （1，n ）. （1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当y 1＞y 2时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）如果点C 与点A 关于y 轴对称，求△ABC 的面积．24.已知：在四边形ABCD 中,90,60,ABC C ∠=︒∠=︒,AB=1BC =+2.CD =（1）求ABD ∠tan 的值； （2）求AD 的长.25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y =﹣2x +80（20≤x ≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？26.已知：如图，在△ABC 中，AC=BC,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E .（1）求证：DE ⊥BC ； （2）若⊙O 的半径为5，cos B =35,求AB 的长.27．阅读下面材料：小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tan α=12，求tan2α的值．小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含 锐角α的直角三角形：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =α.她通 过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α方法1：如图1，作线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ,连结AD.方法2：如图2，以直线BC 为对称轴，作出△AB C 的轴对称图形△A ，BC ． 方法3：如图3，以直线AB 为对称轴，作出△AB C 的轴对称图形△ABC ，．图1图2 图3请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）28.已知：抛物线y = ax 2 + 4ax + 4a （a > 0） （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A （m ，y 1），B （n ，y 2），其中– 4 <m ≤– 3，0 < n ≤1，则y 1_____y 2（用“<”或“>”填空）；（3）如图，矩形CDEF 的顶点分别为C （1，2），D （1，4），E （– 3，4），F （– 3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a 的取值范围.备用图29.已知：△ABC 中，AC =6，BC =8，AB =10,点D 是边AB 上的一点，过C ，D 两点的⊙O 分别与边CA ，CB 交于点E ，F .（1）若点D 是AB 的中点，①在图1中用尺规作出一个．．符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）； ②如图2,连结EF ，若EF ∥AB ,求线段EF 的长; ③请写出求线段EF 长度最小值的思路.（2）如图3，当点D 在边AB 上运动时，线段EF 长度的最小值是_________.大兴区2018~2019学年度第一学期期末检测试卷初三数学答案及评分标准一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17. 计算：cos30tan602sin 45︒+︒-︒ 解：原式=22⨯ ………………………3分=2……………………………5分 18.证明：如图∵ 四边形ABCD 是矩形∴∠BAD =∠D=90º， ∴∠BAE +∠EAD =90º. ∵BF ⊥AE ，∴∠AMB =90º. ∴∠BAE +∠ABM =90º∴∠EAD =∠ABM ……………………………2分 ∵∠D =∠AMB =90º，…………………………3分 ∴△ADE ∽△BMA ………………………………4分 ∴AMDEAB AE = ∴AB·DE=AE·AM …………………………………5分19. 解: 设二次函数的表达式为y =a (x - h )2 + k (a ≠0) ……………1分 ∵抛物线的顶点坐标是(3,-4),∴y =a (x -3)2-4………………………………………………2分 又∵抛物线经过点(0,5) ∴5=a (0-3)2-4 ………3分 ∴a =1………………………………………………………4分 ∴二次函数的表达式为y =(x -3)2－4……………………5分 化为一般式y =x 2-6x +520. 解：如图，由已知，可得∵∠ADB =60º，∠ACB =30º,∴∠CAD =30º. …………1分∴∠CAD =∠ACD ∴CD = AD . ∵CD =20, ∴AD =20. … …………2分 ∵∠ADB =60º,∠ABD =90º∴sin ∠ADB =AB AD = …………3分∴AB =…… ………4分答：教学楼的高度为.…………………………5分 21.(1)分 (2)变量y 是x 的函数.因为在这个变化的过程中，有两个变量x , y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它相对应…………………………………4分（3）65米…………………………………………………………………5分 22. 解：连结OB ,OA ………………………………………1分∵ ∠BCA =45º，∴∠BOA =90º，…………………………………………2分 ∵ OB =OA ， ……………………………………………3分 ∴ ∠OBA =∠OAB = 45º，………………………………4分∵AB =2 ∴OB =OA =2……………………………………………5分 23. 解：（1）∵函数1my x=的图象过点A （-4，-1），∴m =4， ∴y 1=x4，又∵点B （1，n ）在y 1=x 4上，∴n =4， ∴B （1，4）又∵一次函数y 2=kx +b 过A ,B 两点，即，411k b k b -+=-⎧⎨+=⎩ 解之得13k b =⎧⎨=⎩．∴y 2=x +3．综上可得y 1=x4，y 2=x +3．…………………………………2分 （2）要使y 1＞y 2，即函数y 1的图象总在函数y 2的图象上方，∴x ＜﹣4 或0 ＜ x ＜1．……………………………………4分 (3)作BD ⊥AC 于点D ∵AC =8，BD =5，∴△ABC 的面积S △ABC =12AC ·BD =12×8×5=20．…………………………5分∴tan∠ABD=1. ……………3分25.解：（1）w =（x﹣20）∙y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；………………………………1分（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，…………………………………2分∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．…………………………………3分答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．解得x1=25，x2=35．……………………………………………………………4分∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．………5分26.（1）如图连结OD………1分∵过点D作⊙O的切线交BC于点E∴OD⊥DE于E ∴∠ODE=90°∵OA=OD∴∠A=∠1∵AC=BC∴∠A=∠B∴∠B=∠1 ∴OD∥BC∴∠ODE=∠DEB=90°∴DE⊥BC……………2分（2）连结CD…………………3分∵AC为⊙O的直径∴∠ADC=90°∴CD⊥AB∵AC=BC∴AD=BD,∠A=∠B∴cos A =cos B =53=ACAD ………… ………4分 ∵⊙O 的半径为5∴AC=BC=10 ∴AD =6∴CD=8∴AB =12………… ………………5分 27. 解：方法1：∵线段AB 的垂直平分线BC 交于点D ，AD =BD , ……… …………1分∴∠1=∠B∵∠B =α ∴∠2=∠1+∠B =2α… ……3分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12 ∴12AC BC =设,,2,AC k DC x AD BD k x ====-则……………………………4分在Rt △ADC 中，∠C =90°，由勾股定理得，222(2),k x k x +=-…… ……………5分 解得：3,4kx =……… ………………6分 ∴4tan 2.334AC k k DC α===……… ………………7分 方法2：过A 作AD ⊥A ＇B 于点D . …………………………………………1分 ∵△AB C 、△A ＇BC 关于BC 对称， ∴∠1=∠ABC =α∴∠A ＇BA =∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12∴12AC BC =设',2,',AC A C k BC k AB A B =====则…………………………3分 ∵'11''22ABA S AA BC A B AD ∆=⨯⨯=⨯⨯∴22k k AD ⋅⋅………………………………………………………4分∴AD =5分在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，,AB AD =∴BD =6分∴4tan 2.3AD BD α==………………………………………………7分 方法3：延长C ＇A 交BC 的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△AB C 、△ABC ’关于直线AB 对称， ∴∠1=∠ABC = α，BC ＇= BC∴∠C ＇BC =∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分 ∵tan α=12∴设AC = k ,则BC = 2k ，BC ＇= 2k ……………………………………………………………………3分设CD = x∵∠ACB =90°,∴∠ACD =90°,∴△ACD ∽△BC ’D ………………………………………………………4分 ∴,DCDC ,BC AC = ∴D 'C xk k =2 ∴C ＇D = 2 x ∴AD =2x -k 在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，由勾股定理得，222)2(k x x k -=+ ……… ………5分k x 34=………… ……………6分∴3423422tan ,,=⨯==k k BC D C α…… ………7分28. 解：（1）y = a ( x 2 + 4x + 4 ) = a ( x + 2 ) 2 ……………1分抛物线的顶点为：（– 2，0）………………………2分 （2） y 1 < y 2…………………………………………4分 （3）对于y = a ( x + 2 ) 2代入点C （1，2），得a =92………………………5分 代入点F （– 3，2）得a = 2，………………………6分∴92< a < 2…………………………………………7分29. （1）①…………………………………2分②如图,连结CD，FD∵AC=6，BC=8，AB=10∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∴EF是⊙O的直径……………………………3分∵D是AB中点∴DA=DB=DC=5∴∠B=∠DCB，∵EF∥AB∴∠A=∠CEF∵∠CDF=∠CEF∴∠A=∠CDF∵∠A+∠B=90°∴∠CDF+∠DCB=90°∴∠CFD=90°∴CD是⊙O的直径∴EF=CD=5………………4分③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°,所以，EF是⊙O的直径.由于CD是⊙O的弦,所以，有EF≥CD，图1图2所以，当CD 是⊙O 的直径时，EF 最小…………6分 （2）524.………………………………………………8分图3。

2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-最新推荐

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB= 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2019-20209月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 h （m ） 0 8.75 （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段 AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

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