实验设计与分析-误差分析

1).若有残余误差 v1 , v2 ,
, vn ，其残余误差差值 (vi
vi 1 ) 符号出现周期性正
负号变化，则为周期性系统误差。 2).统计准则判别 这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用 效果。否则，差值的符号变化将主要取决于随机误差，而不能判断出周期性系 统误差。此时，可采用下列判断准则 令 若
§3-4.函数误差的合成
一． 函数误差（间接测量误差） 1． 函数系统误差 间接量是由若干直接测量的结果综合而成，函数关系已知：
y
f ( x1 , x2 ,
, xn )
(3-7)
这是一个多元函数，其增量的全微分为：
dy
f dx1 x1
f dx2 x2
f dxn xn
(3-8)
当直接量的系统误差 则上式可近似为
vi2
2 i
i
即算术平均值的误差
将（3－2）式平方后相加 （
2 i
2vi
x
2 x
）
vi2
n2 x2源自xvivi2
n
2 x
（3－3）
将式
x
1 n
2 x
i
的 两边平方
(
1 n
i j
i
)2
1 ( n2
2 i
2
1 i j
2 x
i j
)
2 i
当 n 足够大时，
2 i
认为趋于零，将
1 n2
，代入（3－3）式
vi2
, xn ， 若可疑 x j 为可疑数据， 将其剔除后计算平均值 （不
x
1 n 1i
n
xi
1 i j
n
并计算标准差（也不含 v j
xj
x） ，
vi2 (n 2 )
i 1
根据测量次数 n 和选取置信度
，查 t 分布的检验系数 K (n, )
xj
x
K (n, )
则认为 x j 为粗大误差，剔除 x j 是正确的，否则应予以保留。 上例中，首先怀疑第八测试值含有粗大误差，若将其剔除，将剩下的 14 个测量值计算 平均值和方差，得
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量次数的增加而趋于零。 ）
k n
( li
x)
k 1
( lj
x)
1
2
若两部分差值显著不为零，则有理由认为存在线性系统误差，这种方法又叫 马利科夫准则。它能有效地发现线性系统误差。 有时系统误差有，但系统误差的平均值等于零，此时 也为零，所以对这种 情况要注意。 b. 用于发现周期性误差
u
v 1 v 2
v 2 v 3
2
n
v
1 n
v
i
v i v1
u
n 1
（
2
1 vi 2 ） n 1
则认为含有周期性系统误差。这种校核方法又称阿碑－赫梅特准则。 还有一些校核方法：如标准差比较法、数据比较法、秩和检验法、t 检验法等。 四．系统误差的减小和消除 1． 从根源上消除 要分析测量系统的各个环节，最好测量前就将误差从根源上加以消除。如仪器的零 位在测量开始和结束时都要检查。如果误差是有外界条件引起的，则应在外界条件 稳定时再测量。 2． 用修正方法消除。 已知误差表或误差曲线，可取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值。
x 20.411
0.016
选取显著度 0.05, 已知 n=15,查表得 k (15,0.05) 2.24 ，则
k 2.24 0.016 0.036
x8 x 20.30 20.411 0.111 0.036
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故第八个测量值中含有粗大误差，应予以剔除。
xn : xn1 , xn 2 ,
, xnn
按上式(3-8)有
y1 f x11 x1 f x21 x2 f xn1 xn
(3-9)
yn f x1n x1 f x2 n x2 f xnn xn
将(3-9)两边平方：
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§3-2.系统误差
一．原因同上。 二．特点：在同一条件下，多次测量同一量值时，按一定规律变化的误差。 如：不变的系统误差：符号和大小固定不变的系统误差，如量块 10mm，实测为 10.001mm,则 0.001 始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。 又如周期变化：指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，
2 i
1 n
2 i
由（3－1）式可知
n
2
n
2
vi 2
2
(
vi2 )
(n 1)
（3－4）
式（3－4）称为 Bessel 公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 （根据我国《通用计量名词及定义》 ，对一列有限次 n 个测量值，应视为测量总体的 取样，所求得的标准差估计值用代号 s 表示，以区别于总体标准差 。这里对标准差估计 值仍用 ，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号 s.）
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例：已知进行了 15 次等精度测量值如表所示，测量值中已消除了系统误差，试判别测 量列中是否含有粗大误差的测量值。 15 次等精度测量值 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 l 20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 v 0.016 0.026 -0.004 0.026 0.016 0.026 0.014 -0.104 -0.004 0.026 0.016 0.006 -0.014 -0.014 -0.004
1
li ln
x
x
L0 L0
展开：
n
x
x
令
x
x
L0 为算术平均值的误差
vi
li
1
nx ＝0（当 x
v1 vn
i
x
li
n
代入时）
上式又为
n x
(3－2)
所有项相加：
vi
1 n
i
n
x
x
1 n
vi
其中：
vi ＝0 ， （ vi li nx li n li / n 0 ）
x
1 n
3
（3－5）
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若系统误差显著大于随机误差， vi （不含系统误差的残差）可予忽略，则得到：
vi
li
x
说明测量值残余误差，近视等于系统误差与测量值系统的平均值之差。 也可将测量列的残余误差列表或作图，直观判断有无系统误差。 若残余误差大体上是正负相间，则无根据怀疑有系统误差 若残余误差值有规律地递增或递减，且在测量开始和结束是符号相反，则存在 系统误差。 若残余误差符号循环交替变化，则存在周期性系统误差。 若存在图所示的变化规律时，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误 差。
v′²(*10-³) 0.081 0.361 0.121 0.361 0.081 0.361 0.441 -0.121 0.361 0.081 0.001 0.441 0.441 0.121
x
li
i 1
n
20.404
v
i 1
15
i
0
v
i 1
15
2
i
0.01496
v
i 1
§3-3.粗大误差
特征：数值比较大，对测量值产生显著的歪曲，一般应予以剃除。 判定准则： 一． 3 准则 对一测量列，若各测得值只含有随机误差，则按随机误差的正态分布规律，其残 余误差落在 因此 vi 即在 370 次测量中只有一次的残余误差 vi 3 之外的概率为 0.3%，
3 ，
3 即认为是粗大误差。
其算术平均值： x
x x 1 1 1 ' ' 这里： x li , x li , x li n n n 其残余误差： vi li x vi li x ，将两式相减 vi vi ( li x) , x li l x ） （ vi vi li x l x ） ， （ li i x
§3-1.随机误差
同一测量值在等精度情况下的多次重复， 有可能会得一系列不同的测量值， 每个值均有 一定的误差，且无规律（但有一定的统计规律） ，这样的误差称为随机误差。 产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等） 环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等） 人为因素： （素质、技能） 随机误差一般不能消除，但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分 布情况，即：
n
vi －
i 1
vj
j k 1
（3－6）
将（3－5）代入
k n k n
( li
i 1
k
x)
i k 1
n
( lj
x)
i 1
vi
i k 1
vj
当 n 足够大时，
vi
vj
0 ， （这是因为 vi li x, 是不含系统
误差的测量值与其本身的平均值之差， 只有随机误差， 但随机误差的均值随着测
x ' 20.411
'
v
i 1
14
'2
i
/(n 1) 0.003374 /13 0.016
3 ' 3 0.016 0.048
因此说明，剩下的 14 个测得值的残余误差均满足 ∣ vi ∣<3
'
'
二．t 分布检验 设已测数据序列 x1 , x2 , 含 xj ）