三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值
2.
角度制与弧度制
设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)
角度与弧度的换算
①360°=2π rad ②1°=π/180rad
③1 rad=
180°/π=57° 18′≈57.3°
弧长公式 l a R =
扇形的面积公式 12
s lR =
3.
诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）
所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：
①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）
①：
三角函数
x y sin = x y cos =
x y tan = cot y x
=
函 数 图 象
定义域 R R 2
x k π
π≠+
x k π
≠
值域 [-1,1]
[-1,1]
R
R
周期 2π
2π
π
π
奇偶性 奇
偶
奇
非奇非偶
单 调 性 2,222k k ππππ⎡
⎤-+↑⎢⎥⎣
⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦
[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓
,22k k ππππ⎡
⎤-+↑⎢⎥⎣⎦
[],k k πππ+↓
对 称 性 :2
x k π
π=+
对称轴
对称中心:(,0)k π
:x k π
=对称轴
:
对称中心(+
,0)
2k π
π
:
对称中心(
,0)2
k π
零值点 πk x =
2
π
π+
=k x
πk x =
2
π
π+
=k x
最 值 点
2
π
π+
=k x ,1max
=y
2
π
π-
=k x ,1min
-=y
πk x 2=，1max =y ；
2y k ππ=+，1min -=y
②：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：
（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π2=T
（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π=T
5.三角函数尺度变换
sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）
的步骤（先平移后伸缩）： 1
sin sin sin sin y x y x y x y x ϖ
ϕ
ϖ
ϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍
向左或向右纵坐标不变
平移个单位
纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
（）A （）
6.三角函数的对称变换：
① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局
部翻动）
7.反三角函数的图像与性质：
名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx
定义y=sinx
((,))
22
x
ππ
∈-的
反函数，叫做反
正弦函数
y=cosx
((0,))
xπ
∈的反
函数，叫做反余
弦函数
y=tanx
((,))
22
x
ππ
∈-的反
函数，叫做反正切
函数
y=cotx((0,))
xπ
∈
的反函数，叫做反
余切函数
性质图像
定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)
值域［-
2
π
，
2
π
］［0，π］(-
2
π
，
2
π
) (0，π) 单调性[]
1,1
-增函数[]
1,1
-减函数()
,
-∞+∞增函数()
,
-∞+∞减函数奇偶性arcsin()arcsin
θθ
-=-
arccos()arccos
θπθ
-=-
arctan()arctan
θθ
-=-
arccot()arccot
θπθ
-=-
周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数
7.三角函数公式：
（1）倒数关系： （2）平方关系：
tan cot 1
sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅= 22
22
22
sin cos 1
1tan sec 1cot csc αααααα
+=+=+=
（3）三角和与差公式：
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
αβαβαβαβ
αβαβ
+=++=-++=
- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+
（4）二倍角公式：
()22222
sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααα
αααααααα
==-=-=-=-升幂公式 22
2
21cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫
=
⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （5）三角函数的和差化积公式 （6）三角函数的积化和差公式
sin sin 2sin cos
22sin sin 2cos sin
22cos cos 2cos cos
22cos cos 2sin sin
22
αβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅ []
[]
[]
[]
1
sin cos sin()sin()21
cos sin sin()sin()2
1
cos cos cos()cos()21
sin sin cos()cos()2
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+-- 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个
顶点的三角函数值的乘积。

” 8.正、余弦定理： ①正弦定理： 在ABC ∆中有:
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪
=⎪⎩
面积公式：1
11sin sin sin 222
ABC S abs C ac B bc A ∆=== ②余弦定理： 在三角形ABC ∆中有:
222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=
⎨⎪⎪+-=
⎪⎩。