初三数学 平行线分线段成比例定理、重心(无锡)数学必考类型
数学素材：教材梳理第一讲二平行线分线段成比例定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2—1所示，a∥b∥c,则EF DE BC AB =.图1—2—13。
定理的证明:若BCAB 是有理数,则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围,其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。
4。
定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交,即被平行线a 、b 、c 所截。
平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图121）:如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆. 二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示：如图1-2-2所示,a∥b∥c,则BC DE AC AE AB AD ==（1） （2）图1—2—23.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好。
误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线,此时要注意正确识别图形，如图123.图1—2—3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点。
探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF ）.图1-2-4 图1-2—5平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
九年级数学上册知识点---- 平行线分线段成比例
BC = 4 cm，EF 长
(A)
A. 1cm C. 3cm
B. 4 cm 3
D. 2cm
A EF
B
C
2.填空题:
如图:DE∥BC,
已知: AE 2 AC 5
则
AD AB
2 5
.
ED A
B
C
AE 3.在△ABC中，ED//AB，若 EC
4 3
，
则
BD DC
4 ___3____
BD BC
4 ___7____
B.
AC BD AE BF
C. CE DF D. AE BD
AE BF
BF AC
A
C E
B l1
D l2 F l3
平行线分线段成比例定理的推论
观察与思考
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例
的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右
任意平移，这些线段
A1
依然成比例. A2
F
G
A
D
E
B
C
例2：如图：在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、
AC、BC上，且DE//BC、EF//AB.若AD=2BD.
(1)求证：AD DE (2)求 CF 的值.
AB BC
BF
A
解：∵DE//BC，EF//AB
AD DE AE , AE BF . AB BC AC AC BC
D B
又AD=2BD
E FC
BF AE 2 . BC AC 3
CF 1 . BF 2
练习
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( D )
平行线分线段成比例定理
D
E
C B B F C F C AB AC AC BC AB AC BC = = = = AD AE AE BF AD AE DE
推论2.平行于三角形一边， 推论 平行于三角形一边，并且和其他两边 平行于三角形一边 或两边延长线） （或两边延长线）相交的直线所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 角形的三边与原三角形的三边对应成比例
DB EC
AD AE = AB AC
……
平行线分三角形两边成比例定理: 平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边, 平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例. 所得的对应线段成比例.
A D E
B
C
思 考： 平行于三角形一边 E 的直线截其他两边 A 的延长线,所得的 的延长线, B 对应线段成比例. 对应线段成比例. C D
l1 AP = P B = BP = P P = P C. 1 1 2 2 3 3 ' l1 ' ' DP1' = P' E = EP2 = P2P3' = P3' F 1 l2 ' ' 因为 DE = 2DP EF = 3DP1' 1 l2 ' ' AB DE l3 DE 2DP1 2 = = = ∴ ' BC EF l3 EF 3DP1 3
EF n = DE m源自l1 l2EF + DE n + m = DE m
l3
即
DF m+ n = DE m
∴
DE m = DF m + n
AB BC AC = = 已知：如图， 求证： 。 已知：如图，1 // l2 // l3 ， 求证： l DE EF DF 证明： 证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D = 比例定理）。 BC EF 比例定理）。 AB BC B E = DE EF F C BC EF （平行线分线段成 因为 = 比例定理）。 AC DF 比例定理）。 BC AC = EF DF 上 下 全
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件3.2平行线分线段成比例
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC.
BC 3
2
3
由于
AD
DB
1 2
AB
，
BE
EF
FC
1 3
BC.
因此 AD DB BE EF FC .
知识讲解
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1 D1 2 .
第3章 图形的相似
第3章 图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
学习目标
1 了解平行线等分线段成比例的基本事实. 2 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 3 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 4 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决
相关的计算和证明问题.（难点）
知识回顾
1.比例线段的概念
解: ∵ 两条直线被三条平行线所截，
∴
,
即 4x ＝ 3×7 ,
.
随堂训练
5.如图，已知直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A，C，E， B，D，F，AC = 4，CE = 6，BD = 3，求 BF 的长.
解：∵a / /b / /c
AC BD CE DF
即4 3 6 DF
4DF 36 DF 18 = 9
∴ 2 AC 1.8 ,
3
AC
∴ 2AC 3( AC 1.8).
解得 AC 5.4.
随堂训练
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ D ）
A. —ACCE—＝ —BDDF— B. A—C—＝ —BD—
AE BF C. C—E—＝—D—F
AE BF D. A—E—＝—BD—
课件2：二 平行线分线段成比例定理
解 (1)证明：∵平面 PBD∩α＝AC，平面 PBD∩β＝BD. 又 α//β，∴AC//BD.
(2)∵AC//BD，∴APAB＝CPCD，∴45＝C3D. ∴CD＝145. ∴PD＝PC＋CD＝3＋145＝247. 即 PD 的长为 6.75 cm.
再见
求证：BACB＝DEFE.
【证明】 在直线 l2 上取一点 G，过点 G 作 l3//l1，设 l3 与平面 α，β，γ 分别相交于 P，Q，R.则 l1 与 l3 确定平面 π1，l2 与 l3 确 定 平 面 π2. 在 平 面 π1 中 ， 连 接 AP ， BQ ， CR ， 则 AP//BQ//CR，∴BACB＝PQQR.
提示 利用比例性质可以得到多条平行线截两条直线所得 对应线段成比例．平行线等分线段定理在空间仍成立．
思考探究2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长 线)所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线是否平 行于三角形的第三边？
提示 平行．
思考探究3 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交 的直线，所截得的三角形与原三角形三边是否对应成比例？
求证：EF FD＝CA CB.
【证明】 证法一：如图，过 D 作 DK//AB 交 EC 于点 K， 则FEDF＝BEKB，ACDA＝BBCK，即CBCA＝ABDK.
∵AD＝BE，∴CBCA＝BBKE，∴FEDF＝CCAB.
证法二：如图，过 E 作 EP∥AB，交 CA 的延长线于点 P.
∵AB//EP，∴CBEB＝CAPA， 即CCAB＝ABPE. 在△DPE 中，∵AF//PE， ∴FEDF＝AADP. ∵AD＝BE，∴BAEP＝AADP，∴CCAB＝FEDF.
3．平行线分线段成比例定理的空间推广 推广：三个平行平面截两条直线，所截得的对应线段成比 例．如下图所示，平面α∥β∥γ，l1分别交α，β，γ于A，B， C，l2分别交α，β，γ于D，E，F，则有BACB＝DEFE.
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
专题11平行线分线段成比例(2个知识点2种题型1种中考考法)(原卷版)-九年级数学上册学练(北师大)
专题11平行线分线段成比例（2个知识点2种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论。
2.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。
数学表达式：如图：,,.a b c AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AB DE∴=== ，简单记为：.===上上上上下下，，下下全全上上平行线分线段成比例速记口诀！！！平行线分线段，成比例是关键。
先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。
【例1】如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别截直线l 4于点A 、B 、C ，截直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3．（1）如果AB ＝4，BC ＝8，EF ＝12，求DE 的长．（2）如果DE ：EF ＝2：3，AB ＝6，求AC的长．【变式】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12 B.2 C.25 D.35知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的对应线段成比例。
数学表达式：如上图1,,.DE BC AD AE AD AE DB EC AB AC DB EC AB AC∴=== ，【例2】如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，23AE EC =∶∶，DE BC =∶．【变式】如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，AC ＝6，求EC ．【例3】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC的值．【变式】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．A DC B EF【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值1.如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．AB CD EF2.如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1、l 2、l 3所截．若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，EF ＝4cm ．（1）求DE 、DF 的长；（2）如果AD ＝40cm ，CF ＝80cm ，求BE的长．题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明3.如图，DE ∥BC ，EF ∥CG ，AD ：AB ＝1：3，AE ＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．4.如图，P为ABCDY对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS⋅=⋅．5.如图，ABCDY中，过D的直线交AC，AB及CB的延长线于E，F，G．求证：2=⋅．DE EF EG6.如图：△ABC中，MD AB，MN AE．求证：CDCB＝CN CE．7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．8.如图，在ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，点H为AD中点，延长BH交AC边于点E，求证：AE BD CE BC=．9.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：12OG CF =．【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A．B．C．D．3．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．124．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．5．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，且AB ＝BC ＝CD ．为使其更稳固，在A ，D 1间加绑一条安全绳（线段AD 1）量得AE ＝0.4m ，则AD 1＝m ．6．（2022•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，△ABC 的角平分线AE 交BD 于点F ，若BF ：FD ＝3：1，AB +BE ＝3，则△ABC 的周长为．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，D 在AC 边上，:1:2AD DC ==，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，若1BE =，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．42．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BE 上的点，若:1:3BF FD =，12AD =，则EC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在ABC 中，DE AB ∥，且23CD BD =，则CE CA 的值为（）A ．25B ．23C ．45D ．324．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，DE BC ∥交AC 边于点E ，若:2:3AD BD =，10AC =，则线段CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（）A ．BD DF AD AC =B ．BF AE FC EC =C ．BF DF FC AC =D ．BF CE FC AE=6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在ABC 中，D 、E 分别为AB AC 、边的中点，连接DE ，点F 为BC 边上一点，2BF FC =，连接AF 交DE 于点N ，则下列结论中错误的是（）A ．12AN AF =B ．23DN DE =C ．12AD AC =D ．12NE FC =7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB CD EF ∥∥，:1:2BD DF =，那么下列结论中，正确的是（）A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB EF =8．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）已知123l l l ∥∥，35AB BC =，9DE =，则DF =（）A ．12B ．18C ．24D ．269．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线PQ 是矩形ABCD 的一条对称轴，点E 在AB 边上，将ADE V 沿DE 折叠，点A 恰好落在CE 与PQ 的交点F 处，若43DEC S =△，则AD 的长为（）A ．4B ．2C ．43D ．2310．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =．点F 是AB 中点，连接CF ，把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE ，点D 在AC 上．则线段CF 在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是()A ．16，6B ．18，18C ．16.12D ．12，16二、填空题11．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，AB CD EF ∥∥，如果2AD =，1DF =，5BE =，那么CE =．12．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在ABC 中，10,8,AB AC BC D ===是BC 的中点，G 是AD 的中点，则AE 的长为．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM AB ∥交AD 于点M ，若3OM =，4OB =，则BC 的长为．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，且13DC BC =，DE AC ∥，交AB 于点E ．若3DE =，则BE 的长是．15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，AB CD ，AC 、BD 相交于点E ，1AE =，2EC =，3DE =，则BD 的长．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，CG 平分ACB ∠，过点A 作AH CG ⊥交BC 于点H ，且H 是BC 的中点．若4AH =，6CG =，则AB 的长为．17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D E ，分别在边AB AC ，上，且23DB AD AE EC ==，，连接BE CD ，，相交于点O ，则ABO 面积最大值为．18．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE BE AC 、、，AE BE =，BE 交AC 于点F ，若2180CFE ACB ∠+∠=︒，3EF =，则BC 边长为．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P 为ABCD Y 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS ⋅=⋅．20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．21．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，已知直线1l 、2l 、3l 分别截直线4l 于点A 、B 、C ，截直线5l 于点D 、E 、F ，且123l l l ∥∥．如果:2:3DE EF =，6AB =，求AC 的长．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．23．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE AD ⊥于点,E CF AD ⊥于点F ．(1)求证：BE CF =．(2)若90,2BAC AD DE ︒∠==，求BAE ∠的度数．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN CP ∥．若6cm AB =，求PN 的长．25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在ABC 中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ AB ∥，当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．26．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD CE =，EB 的延长线交AD 于点F ．(1)求AFE ∠的度数；(2)延长EF 至点G ，使FG AF =，连接CG 交AD 于点H ，依题意补全图形，猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．。
平行线分线段成比例定理的定理定义
平行线分线段成比例定理的定理定义
在几何学中，平行线分线段成比例定理是关于平行线和线段的一个重要定理。
根据这个定理，当一条线段被两条平行线分割时，所得到的线段长度之比与其对应的平行线长度之比相等。
具体来说，我们假设有两条平行线l₁和l₂，它们分别与一条线段AB相交于点C和D。
根据平行线分线段成比例定理，我们可以得出以下结论：
如果AC:CB = AD:DB，那么线段AB被平行线l₁和l₂分割成的两个线段AC和CD的长度之比等于线段AB与平行线l₁和l₂的长度之比。
这个定理可以用于解决一些几何问题，例如计算线段的长度、证明一些图形的相似性等。
它在实际应用中也具有一定的重要性。
比如在工程测量中，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算难以直接测量的距离，从而提高测量的准确性。
总结一下，平行线分线段成比例定理是几何学中关于平行线和线段的重要定理。
它指出，当一条线段被两条平行线分割时，所得到的线段长度之比与其对应的平行线长度之比相等。
这个定理在几何问题的解决以及实际应用中有着重要的作用。
了解和掌握这个定理对于学习几何学和解决相关问题都是非常有帮助的。
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E D
A
F E D C B
A 初三数学 线段成比例及重心 姓名_____________
1. 如图，若DE ∥BC, D 在AB 上，E 在AC 上，AD : DB=3:5， BC=40，求DE 长。
2．如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD
3.如图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ，求证：EF
BD AC 111=+ 。
4. 如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
求证：AF EF =。
5. G为△ABC的重心，AG=3，BG=4，CG=5，求△ABC得面积。
A
G
B C
6.如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．
P E D C B A
初三数学 线段成比例及重心 姓名_________
1. 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD 。
求证：AB AE ＋CD
CG ＝1。
2.G 为△ABC 的重心，且AD 垂直于BE ，AC=6，BC=7，求AB 的长。
3.如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，
求证:AP=3AB 。
4.如图，BD:DC=5：3，E 为AD 的中点，求BE ：EF 的值.
A
B
C
D F
E A B C D E G。