离散数学例题整编

第一章定律证明:(1) A⋃B=B⋃A (交换律)证∀x x∈A⋃B⇒ x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ⇒ x∈B⋃A得证A⋃B⊆B⋃A.同理可证B⋃A⊆A⋃B.(2) A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) (分配律) 证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇒ x∈A或(x∈B且x∈C )⇒(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C)⇒x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)得证A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).类似可证(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C). (3) A⋃E=E (零律)证根据并的定义, 有E⊆A⋃E.根据全集的定义, 又有A⋃ E⊆E. (4) A⋂E=A (同一律)证根据交的定义, 有A⋂E⊆A.又, ∀x x∈A,根据全集E的定义,x∈E, 从而x∈A且x∈E,⇒x∈A⋂E得证A⊆A⋂E.例4 证明A⋃(A⋂B)=A（吸收律）证利用例3证明的4条等式证明A⋃(A⋂B)= (A⋂E)⋃(A⋂B) (同一律)= A⋂(E⋃B) (分配律)= A⋂(B⋃E) (交换律)= A⋂E (零律)= A (同一律)例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂~C⋂ C) (分配律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂~C⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A –B) –C (补交转换律)例6 证明(A⋃B)⊕(A⋃C)= (B⊕C) - A证(A⋃B)⊕(A⋃C)=((A⋃B) - (A⋃C))⋃((A⋃C) - (A⋃B))=((A⋃B)⋂~A⋂~C)⋃((A⋃C)⋂~A⋂~B)= (B⋂~A⋂~C)⋃(C⋂~A⋂~B)=((B⋂~C)⋃(C⋂~B))⋂~A=((B-C)⋃(C-B))⋂~A= (B⊕C) - A例7 设A,B为任意集合, 证明:若A⊆B, 则P(A)⊆P(B)证∀x x∈P(A) ⇔x⊆A⇒x⊆B (已知A⊆B)⇔x∈P(B)例8 证明A⊕B=A⋃B-A⋂B.A⊕B=(A⋂~B)⋃(~A⋂B)=(A⋃~A)⋂(A⋃B)⋂(~B⋃~A)⋂(~B⋃B)=(A⋃B)⋂(~B⋃~A)=(A⋃B)⋂~(A⋂B)=A⋃B-A⋂B直接法若n是奇数, 则n2也是奇数.假设n是奇数, 则存在k∈N, n=2k+1.于是n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.间接法若n2是奇数, 则n也是奇数.只证:若n是偶数, 则n2也是偶数.假设n是偶数, 则存在k∈N, n=2k.于是n2 = (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.归谬法若A-B=A, 则A⋂B=∅证用归谬法, 假设A⋂B≠∅, 则存在x,使得x∈A⋂B ⇔x∈A且x∈B⇒x∈A-B且x∈B(A-B=A)⇔ (x∈A且x∉B)且x∈B⇒x∉B且x∈B, 矛盾构造性对每正整数n, 存n个连的正合数. 证令x=(n+1)! +1考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…, x+n，对于i（i=1,2,3,…,n），x+i=(n+1)! +(1+i),此式含有因子1+i，而1+i不等于1也不等于x+i，因此x+i是合数。

所以x+1, x+2,…,x+n是n个连续的正合数。

非构造性对每个正整数n, 存在大于n的素数.令x等于所有小于等于n的素数的乘积加1,则x不能被所有小于等于n的素数整除.于是, x或者是素数, 或者能被大于n的素数整除.因此,存在大于n的素数.数学归：对所有n≥1, 1+3+5+ …+(2n-1)=n2归纳基础. 当n=1时, 1=12, 结论成立.归纳步骤. 假设对n(n≥1)结论成立,则考虑n+1的情况有1+3+5+ …+(2n-1)+(2n+1)=n2 +(2n+1) = (n+1)2得证当n+1时结论也成立.第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积证归纳基础. 对于2, 结论显然成立.归纳步骤. 假设对所有的k(2≤k≤n)结论成立, 要证结论对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2≤a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.命题为假的证明——举反例例11 证明下述命题不成立:若A⋂B=A⋂C, 则B=C.证明反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d},有A⋂B=A⋂C = {a,b}但B≠C, 故命题不成立.第二章例3 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨⌝q)∨r（结合律）⇔⌝(p∧q)∨r（德摩根律）⇔ (p∧q) →r（蕴涵等值式）(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解(p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1该式为重言式.⌝(p→q)∨⌝r 的析取范式与合取范式解⌝(p→q)∨⌝r⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝r析取范式⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r) 合取范式⌝(p→q)∨⌝r 的主析取范式主合取范式解(1) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝rp∧⌝q⇔ (p∧⌝q)∧1 同一律⇔ (p∧⌝q)∧(⌝r∨r) 排中律⇔ (p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r) 分配律⇔m4∨m5⌝r ⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧⌝r 同一律, 排中律⇔ (⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r) ⇔m0∨m2∨m4∨m6 分配律得⌝(p→q)∨⌝r⇔m0∨m2∨m4 ∨m5 ∨m6可记作⇔∑(0,2,4,5,6)(2) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r)p∨⌝r⇔p∨0∨⌝r 同一律⇔p∨(q∧⌝q)∨⌝r 矛盾律⇔ (p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)分配律⇔M1∧M3⌝q∨⌝r⇔ (p∧⌝p)∨⌝q∨⌝r 同一律, 矛盾律⇔ (p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r) 分配律⇔M3∧M7得⌝(p→q)∨⌝r⇔M1∧M3∧M7可记作⇔∏(1,3,7)快速求A ⇔ (⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨r的主析取范式(1) ⌝p∧q⇔ (⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m2∨m3⌝p∧⌝q∧r⇔m1r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7得A⇔m1∨m2∨m3∨m5∨m7 ⇔∑(1,2,3,5,7) (2) 求B⇔⌝p∧(p∨q∨⌝r)的主合取范式解⌝p⇔ (⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r)⇔M4∧M5∧M6∧M7p∨q∨⌝r⇔M1得B⇔M1∧M4∧M5∧M6∧M7 ⇔∏(1,4,5,6,7)例3 用主析取范式判断公式的类型:(1) A⇔⌝(p→q)∧q (3) C⇔ (p∨q)→rA⇔⌝(⌝p∨q)∧q ⇔ ( p∧⌝q)∧q ⇔ 0 矛盾式(2) B⇔p→(p∨q)B⇔⌝p∨(p∨q) ⇔ 1 ⇔m0∨m1∨m2∨m3重言式(3) C⇔ (p∨q)→rC ⇔⌝(p∨q)∨r ⇔ (⌝p∧⌝q)∨r⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m0∨m1∨m3∨m5∨m7非重言式的可满足式用主析取范式判断下面2组公式是否等值:(1) p与(⌝p∨q)→(p∧q)解p ⇔p∧(⌝q∨q) ⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3 (⌝p∨q)→(p∧q) ⇔⌝(⌝p∨q)∨(p∧q)⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3故p ⇔ (⌝p∨q)→(p∧q)(2) (p∧q)∨r 与p∧(q∨r)解(p∧q)∨r⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r) ∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m1∨m3∨m5∨m6∨m7p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m5∨m6∨m7故(p∧q)∨r 不等于p∧(q∨r)例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件:(1) 若A去, 则C必须去;(2) 若B去, 则C不能去;(3) A和B必须去一人且只能去一人.问有几种可能的选派方案?解记p:派A去, q:派B去, r:派C去(1) p→r, (2) q→⌝r, (3) (p∧⌝q)∨(⌝p∧q)求下式的成真赋值A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))求A的主析取范式A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ (⌝p∨r)∧(⌝q∨⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(r∧⌝r)) ∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝r)∧(p∧⌝q)) ∨((r∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝q)∧(⌝p∧q))∨((⌝p∧⌝r)∧(⌝p∧q))∨((r∧⌝q)∧(⌝p∧q)) ⇔ (p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)成真赋值:101,010结论: 方案1 派A与C去方案2派B去A=(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)的主合取范式解 A ⇔m1∨m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6第二章判断若今天是1号, 则明天是5号.今天是1号. 所以, 明天是5号.解设p: 今天是1号, q: 明天是5号推理的形式结构为(p q)p q证明用等值演算法(p q)p q((p q)p)q((p q)p)qp q q 1得证推理正确判断若下午气温超过30度, 则小燕必去游泳，若她去游泳她就不去看电影了. 所以若小燕没去看电影, 下午气温必定超过了30度. m1解设p: 下午气温超过30度, q: 小燕去游泳，r: 小燕去看电影.推理的形式结构为((p q)q r)r p)证明主析取范式法((p q)q r)r p)p rm1∨m3∨m4∨m5∨m6 ∨m7主析取范式中缺少m0，m2，不是重言式，不正确。