4.2混凝土受弯计算
《混凝土结构设计原理》第4章 受弯构件斜截面承载力计算
计算剪力值的确定
《公路桥规》规定：取离支点中心线梁高一半处的剪力 设计值 V ；其中不少于60%由混凝土和箍筋共同承担； 不超过40%由弯起钢筋（按45º弯起）承担，并且用水平 线将剪力设计值包络图分割；
箍筋设计 假设箍筋直径和种类，箍筋间距为
箍筋可减小斜裂缝宽度，从而提高斜截面上的骨料咬力。
箍筋限制了纵向钢筋的竖向位移，阻止混凝土沿纵向 钢筋的撕裂，提高了纵向钢筋的销栓作用。
可见，箍筋对提高斜截面受剪承载力的作用是多方面的和 综合性的。
2、剪力传递机理（见下图）——桁架－拱模型：
拱I： 相当于上弦压杆 拱Ⅱ、拱Ⅲ： 相当于受压腹杆
否
是否通过 是
计算结束
§4.3 受弯构件的斜截面抗剪承载力
计算依据：以剪压破坏为基础 一般是采用限制截面最小尺寸防止发生斜压破坏； 限制箍筋最大间距和最小配箍率防止发生斜拉破坏
一、基本公式及适用条件 计算图式：
基本公式：（半经验半理论）
Vu Vc Vsv Vsb Vcs Vsb
抗剪能力：
斜截面受剪承载力主要取决于构件截面尺寸和混凝土抗 压强度，受剪承载力比剪压破坏高。
破坏性质：属脆性破坏
除上述三种主要破坏形态外，有时还可能发生局部挤压 或纵向钢筋锚固等破坏。
四、有腹筋简支梁斜裂缝出现后的受力状态
无腹筋梁斜截面受剪承载力很低，且破坏时呈脆性。 故《公桥规》规定，一般的梁内都需设置腹筋。配置腹筋是 提高梁斜截面受剪承载力的有效方法。在配置腹筋时，一般 首先配置一定数量的箍筋，当箍筋用量较大时，则可同时配 置弯起钢筋。
V fcbh00
0. 0. 0. 0. 0.1
混凝土梁受弯承载力计算方法
混凝土梁受弯承载力计算方法混凝土梁受弯承载力计算方法引言：混凝土梁受弯是结构工程中常见的一种荷载作用形式，其计算方法对于工程设计和施工至关重要。
本文将对混凝土梁受弯承载力的计算方法进行深入探讨，包括基本原理、假设条件以及计算公式等。
一、基本原理：混凝土梁受弯时，上部受拉，下部受压。
根据混凝土的强度和应力分布特点，可以将混凝土梁受弯的承载力分为两个部分：抗弯强度和承载力。
1.1 抗弯强度：抗弯强度是指梁截面上的混凝土能够抵抗弯曲破坏的能力。
在计算抗弯强度时，需要考虑混凝土的抗拉强度和受拉区混凝土的有效高度。
1.2 承载力：承载力是指梁截面上的混凝土能够承受的最大弯矩。
在计算承载力时，需要考虑混凝土的抗压强度和受压区混凝土的有效高度。
二、假设条件：计算混凝土梁受弯承载力时，需要满足以下假设条件：2.1 材料的弹性和破坏特性：假设混凝土材料的应力-应变关系符合线性弹性假设，并且到达极限弯矩时，混凝土达到极限弯曲破坏。
2.2 平截面假定：假设在梁的整个截面上，混凝土应力处于平衡状态，且内力分布呈线性分布。
2.3 剪切变形的忽略：忽略混凝土梁在受弯时的剪切变形，即假设梁截面内部的剪应力可以通过等效受力来计算。
三、计算公式：针对混凝土梁受弯承载力的计算，根据上述的基本原理和假设条件，可以使用以下公式：3.1 抗弯强度计算公式：抗弯强度计算公式包括混凝土的抗拉强度和受拉区混凝土的有效高度。
常用的计算公式为：M_rd = α_b * f_cd * b * d^2其中，M_rd 为混凝土梁的抗弯强度（设计值）；α_b为系数，考虑混凝土受弯破坏形态和假定条件（通常取为0.85）；f_cd为混凝土的抗拉强度设计值；b为梁截面宽度；d为受拉区混凝土的有效高度。
3.2 承载力计算公式：承载力计算公式包括混凝土的抗压强度和受压区混凝土的有效高度。
常用的计算公式为：M_rd = α_c * f_cd * b * z其中，M_rd 为混凝土梁的承载力（设计值）；α_c为系数，考虑混凝土受压破坏形态和假定条件（通常取为0.75）；f_cd为混凝土的抗压强度设计值；b为梁截面宽度；z为受压区混凝土的有效高度。
混凝土受弯构件正截面承载力计算
r As f y As a1 fcbx x a1 fc
bh0 bh0 f y bh0 f y h0 f y
令
x
h0
则
r
a1 fc
fy
令b为 = r max时的相对受压区高度，即
rmax
b
a1
f
fc
y
= r max时的破坏形态为受压区边缘混凝土达到极限压
c fc e0 e ecu
n
2
1 60
(
fcu,k
50)
2.0
各系数查表4-3
e0 0.002 0.5( fcu,k 50)105 0.002
ecu 0.0033 0.5( fcu,k 50)105 0.0033
4.钢筋应力—应变关系的假定（本构关系）
Ese e e y fy e ey
4.3钢筋混凝土受弯构件正截面试验研究
一、受弯构件正截面破坏过程
受弯构件正截面破坏分为三个阶段 • 第一阶段：裂缝开裂前 • 第二阶段：从开裂到钢筋屈服 • 第三阶段：从钢筋屈服到梁破坏
（1）第I阶段
当荷载比较小时，混凝土基本处 于弹性阶段，截面上应力分布为三 角形，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率 曲线基本接近直线。截面抗弯刚度 较大，挠度和截面曲率很小，钢筋 的应力也很小，且都于弯矩近似成 正比。
My
Mu
Failure”，破坏前
可吸收较大的应变
能。
0
f
2．超筋梁(Over reinforced)破坏
钢筋配置过多，将发生这种破坏。 破坏特征：破坏时钢筋没有达到屈服强度，破坏是由 于压区混凝土被压碎引起，没有明显预兆，为脆性破 坏。
钢筋混凝土深受弯构件计算
梁截面：b=800mm h=1000mm1400mmfy=360fc=14.3α1=1β1=0.8Es=2fcu.k=20.1N/mm*mmγo=1as=0.1*h=100mmM=525KN*M αcv=0.7n=4Asv1=79mm 2fyv=360N/mm*mm （砼4.2.3）Asv=n*Asv=316mm2s=100mm ft=1.43N/mm*mm二、计算：βc=10.8569792.64mm²X1=1738.318mmX2=61.68227mm εcu=0.00330.75862069682.7586mm180mm 693.36mm 2103.284489mm 20.262910561743.9999883mm1960.125479mm 20.245015685840mm 1736.111111mm 20.217013889V=2700KN1956240N=1956.24KN钢筋混凝土深受弯构件一、基本资料：N/mm*mm （砼6.2.6）M≤fy*As*Z 梁计算跨度： lo=类型（一）：当ho/b不大于4时，1、正截面受弯承载力计算：内力臂Z=ad*(ho-0.5*X)=类型（一）：当lo≥h时，（砼4.2.5）N/mm*mm（砼6.2.6）（砼4.1.（砼6.3.1）②当X≥0.2ho时ξb=β1/(1+fy/Es/εcu)=①当X<0.2ho时，X=0.2ho=内力臂计算：αd=0.8+0.04*lo/h=令：A=α1*fc*b*ad=则：X=（A*ho±√（A²*ho²-2*A*M））/A X≤ξb*ho=内力臂Z=ad*(ho-0.5*X)=％≥ρmin=0.200％ 满足要求属适筋情况，受压区满足要求。
As=M/(fy*z)*γo=配筋率：ρ=As/(b*h)=类型（一）：当ho/b不小于6时，2、受剪承载力计算：As=M/(fy*z)*γo=％≥ρmin=0.200％ 满足要求类型（二）：当lo<h时，内力臂Z=0.6*lo=配筋率：ρ=As/(b*h)=As=M/(fy*z)*γo=配筋率：ρ=As/(b*h)=V≤（10+lo/h）*βc*fc*b*ho/60=Z=ad*(ho-0.5*X)α1*fc*b*X=fy*As(砼6.2.10-2)M=fy*As*Z=fy*As*ad*(ho-0.5*X)=α1*fc*b*X*ad*(ho-0.5*X)％≥ρmin=0.200％ 满足要求1441440N=1441.44KN1023.84KN720.72KNV=Vc+Vs=1744.56KN3、箍筋计算（估算）：箍筋所抵抗的剪力为：Vs=fyv*Asv*h0/s=混凝土所抵抗的剪力为：V c=0.7*ft*b*h0=V≤（7+lo/h）*βc*fc*b*ho/60=需注意需修改计算结果分类1分类2需要结果2980KN*M 525KN*MV=ql=6750KN V=P=1500KN2、梁上为集中荷载时砼4.1.3）2<lo/h<5, 属于一般深受弯构件。
钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
为保证钢筋混凝土结构的耐久性、防火性以及钢
筋与混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层厚
５度、一配般筋不率小于2A 5msm% ； ....4...2()
bh0
用下述公式表示
As bh0
%
公式中各符号含义：
As为受拉钢筋截面面积； b为梁宽；h0为梁的有效 高度，h0=h-as；as为所有受拉钢筋重心到梁底面 的距离，单排钢筋as= 35mm ，双排钢筋as= 55~60mm 。
M/ M u
Mu
1.0
0.8 My
0.6
II
0.4
III III a II a
M cr I a
I
0
f cr
fy
fu f
加载过程中弯矩－曲率关系
说明：
对于配筋合适的梁，在III
阶段，其承载力基本保持不 变而变形可以很大，在完全
M/ M u
Mu
1.0
破坏以前具有很好的变形能 力，破坏预兆明显，我们把
0.8 My
通常采用两点对称集中加荷，加载点位于梁跨度 的1/3处，如下图所示。这样，在两个对称集中荷载间 的区段(称“纯弯段”)上，不仅可以基本上排除剪力的 影响(忽略自重)，同时也有利于在这一较长的区段上(L ／3)布置仪表，以观察粱受荷后变形和裂缝出现与开 展的情况。在“纯弯段”内，沿梁高两侧布置多排测 点，用仪表量测梁的纵向变形。
梁破坏时的极限弯矩Mu小于在正常情况下的开
裂弯矩Mcr。梁配筋率越小， Mcr -Mu的差值越大； 越大(但仍在少筋梁范围内)， Mcr -Mu的差值越小。
当Mcr -Mu =0时，它就是少筋梁与适筋梁的界限。这
时的配筋率就是适筋梁最小配筋率的理论值min。
混凝土梁受弯计算方法
混凝土梁受弯计算方法一、前言混凝土梁是建筑结构中常用的构件，其受弯计算是设计中的重要环节。
本文将介绍混凝土梁受弯计算的方法，包括弯矩计算、截面特性计算、受力分析等内容。
二、弯矩计算混凝土梁在受弯时，内部会产生弯曲应力，而弯曲应力大小与弯矩有关。
因此，弯矩的计算是混凝土梁受弯计算的基础。
1.计算公式混凝土梁弯矩的计算公式为：M = f * W * l^2 / 8其中，M表示弯矩，f表示混凝土抗弯强度设计值，W表示截面抵抗矩，l表示梁的长度。
2.参数解释（1）混凝土抗弯强度设计值混凝土抗弯强度设计值是指混凝土在受弯时能够承受的最大应力。
其计算公式为：f = α * 0.85 * fck / γc其中，α为弯矩增大系数，fck为混凝土的标准强度值，γc为混凝土的安全系数。
（2）截面抵抗矩截面抵抗矩是指截面内混凝土和钢筋共同抵抗弯矩时所产生的抵抗矩。
其计算公式为：W = bh^2 / 6 + As * (d - a / 2)其中，b为截面宽度，h为截面高度，As为钢筋面积，d为混凝土受压区高度，a为钢筋距混凝土受压区边缘的距离。
（3）梁的长度梁的长度是指梁的跨度。
三、截面特性计算截面特性计算是指对混凝土梁的截面进行分析，得出其截面特性参数。
这些参数包括混凝土受压区高度、钢筋面积、钢筋屈服应力等。
1.混凝土受压区高度混凝土受压区高度是指梁截面内混凝土受压区的高度。
其计算公式为：d = β1 * h - β2 * As / (b * fck)其中，β1为混凝土受压区高度系数，β2为钢筋对混凝土压应力的影响系数。
2.钢筋面积钢筋面积是指梁截面内钢筋的总面积。
其计算公式为：As = M / (0.95 * f * d)其中，f为钢筋的抗拉强度设计值，d为混凝土受压区高度。
3.钢筋屈服应力钢筋屈服应力是指钢筋在受力下达到屈服状态时所产生的应力。
其计算公式为：fy = As * fyk / (0.95 * b * d)其中，fyk为钢筋的屈服强度。
混凝土梁的受弯原理及计算
混凝土梁的受弯原理及计算一、引言混凝土梁是建筑结构中常用的承载构件，其作用是承受荷载并将其传递到支撑点。
了解混凝土梁的受弯原理及计算方法对于工程设计和施工至关重要。
本文将详细介绍混凝土梁的受弯原理及计算方法。
二、混凝土梁的受力状态混凝土梁在受荷载作用下，会出现弯曲变形，其受力状态可分为以下三种：1. 弯矩状态：混凝土梁在荷载作用下，产生弯矩，使其纵向受拉区域发生拉应力，纵向受压区域发生压应力。
2. 剪力状态：混凝土梁在荷载作用下，产生剪力，使其截面内部出现切应力。
3. 变形状态：混凝土梁在荷载作用下，产生弯曲变形和剪切变形，使其截面形态发生变化。
三、混凝土梁的受弯原理混凝土梁的受弯原理是基于梁的弯曲变形产生的。
在弯曲变形下，混凝土梁的纵向受拉区域发生拉应力，纵向受压区域发生压应力。
这种应力分布状态下，混凝土的强度不同，需要根据混凝土的受压强度和受拉强度进行计算。
混凝土梁在受弯作用下，其受力状态可分为以下两种情况：1. 单纯弯曲状态：在这种情况下，混凝土梁只有弯曲变形，没有产生剪力。
2. 弯曲和剪力状态：在这种情况下，混凝土梁除了弯曲变形外，还产生剪力。
四、混凝土梁的截面特性混凝土梁的截面特性是指混凝土梁在受弯作用下，截面内部的受力状态和应力分布状态。
混凝土梁的截面特性会影响混凝土梁的受力性能和承载能力。
混凝土梁的截面特性主要包括以下几个方面：1. 截面形状：混凝土梁的截面形状可以是矩形、T形、L形等，不同的截面形状会影响混凝土梁的受力性能和承载能力。
2. 纵向钢筋：混凝土梁中的纵向钢筋可以提高混凝土梁的承载能力和抗裂性能。
3. 混凝土强度：混凝土的强度会影响混凝土梁的承载能力。
4. 荷载类型：不同类型的荷载会对混凝土梁的受力性能产生不同的影响。
五、混凝土梁的计算方法混凝土梁的计算方法主要有以下几个方面：1. 弯矩计算：根据荷载和支座条件等确定混凝土梁受弯矩的大小和分布情况。
2. 应力计算：根据弯曲变形下混凝土梁截面内应力的分布情况，计算混凝土梁受拉区域和受压区域的应力。
混凝土结构设计原理第4章：钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
◆判别条件：f y As 1 fcb'f h'f
第一类T形截面
满足：
0M 1 fcb'f h'f h0 h'f 2 否则为第二类截面
混凝土结构设计原理
第4章
■第一类T形截面的计算公式及适用条件
图4.13 第一类T形截面计算简图
◆计算公式： 1 fcbf x f y As
0M
1
f cbf x(h0
由式（4-27）可得：
x h0
h02
M 2
fyAs(h0
1 fcb
as)
As
fyAs 1 fcbx
fy
…4－34 …4－35
混凝土结构设计原理 情形2：已知条件
第4章
M1
0M
f
' y
As'
h0
as'
x h0
h02
M1
0.51 fcb
x h0 b N
Y
x 2as'
按 A未s' 知，重新计算 和As' As
x) 2
◆适用条件： 1.防止超筋破坏： x bh0 2.防止少筋破坏 ： As minbh
按 bf h的单筋
矩形截面计算
混凝土结构设计原理
第4章
■第二类T形截面的计算公式及适用条件
图4.14 第二类T形截面计算简图
◆计算公式： 1 fcbx 1 fc (bf b)hf fy As
0M
② 由式（4-27）求 Mu
Mu
fyAs(h0 as) 1 fcbx(h0
x) 2
…4－37
③ 验算： Mu M ?
混凝土结构设计原理
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a1fc
a1 f cbx f y As
C=a1fcbx
M
x=b1xn
x x M M u a1 f cbx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
a1 f cb h0 f y As
M M u a1 f cbh02 (1 0.5 ) a s a1 f cbh02
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
C a1 f cbx k1 f cbxn
M = C· z
α1β1等效矩形应 力图系数
x 2( xn yc ) 2(1 k2 ) xn
表 4-5 混凝土受压区等效矩形应力图系数
a1 b1
≤C50 1.0 0.8
tu
a1fc
ft
C=a1fcbx
M u f yk As (h0 0.5 x) 2 f ykbh0 (1 0.5 )
近似取1-0.5 =0.98 h=1.1h0
M
x=b1xn
Ts=sAs
As f tk min 0.36 bh f yk
As f tk min 0.36 bh f yk
M u a1 fcbh0 as
2
4.5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
双筋矩形截面
Doubly Reinforced Section
双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。
Ü Ñ Ê ¹ ¸ Ö ½ î
A s'
As
一般来说采用双筋是不经济的，工程中通常仅在以下 情况下采用： ◆ 当截面尺寸和材料强度受建筑使用和施工条件（或 整个工程）限制而不能增加，而计算又不满足适筋截 面条件时，可采用双筋截面，即在受压区配置钢筋以 补充混凝土受压能力的不足。 ◆ 另一方面，由于荷载有多种组合情况，在某一组合 情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯 矩，这时也出现双筋截面。 ◆ 此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此， 在抗震结构中要求框架梁必须必须配置一定比例的受 压钢筋。
x h0
—— 相对受压区高度
N 0, M 0,
fy
a1 f cb h0 s As
M u a1 f cbh02 (1 0.5 )
相对受压区高度 不仅反映了
钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ），也反映了钢筋与混凝土的材 料强度比，是反映构件中两种材 料配比本质的参数。
1 1 2a s
1 1 2a s s 2
s = 10.5
, as, s之间存在一一对应的关系, 可预先制
成表待查, 因此对于设计题：
M as 2 a1 f cbh0 As
a1 f cbh0
fy
对于校核题：
As f y
a1 f cbh0
as (1 0.5 )
C55 0.99 0.79
C60 0.98 0.78
C65 0.97 0.77
C70 0.96 0.76
C75 0.95 0.73
C80 0.94 0.74
a1fc
M
x=b1xn
C=a1fcbx
基本方程
N 0,
M 0,
Ts=sAs
a1 f cbx s As
x M u a1 f cbx(h0 ) 2
b
★超筋梁的判别条件 本质是
b
> max > b, x > xb a > asb
M > Mmax
这几个判别条件是等价的
4.3.5 最小配筋率
c c =Ecc
h/3 h/4
Mcr=Mu
hh h 7 M cr f tk b f tk bh2 2 4 3 24
防止少筋脆性破坏
minh / h0
As minbh
◆材料选用：
● 适筋梁的Mu主要取决于fyAs，
因此RC受弯构件的 fc 不宜较高。
现浇梁板：常用C15~C25级混凝土 预制梁板：常用C20~C30级混凝土
● 另一方面，RC受弯构件是带裂缝工作的，
由于裂缝宽度和挠度变形的限制，高强钢筋的强度也不能得 到充分利用。
Cs=s’As’
M
x
Cc =a1 fcbx
T=fyAs
◆ 双筋截面在满足构造要求的条件下，截面达到Mu的标
志仍然是受压边缘混凝土达到cu。
◆ 在受压边缘混凝土应变达到cu前，如受拉钢筋先屈服
，则其破坏形态与适筋梁类似，具有较大延性。
◆ 在截面受弯承载力计算时，受压区混凝土的应力仍可
按等效矩形应力图方法考虑。
已知：弯矩设计值M 求：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc 未知数：受压区高度x、 b，h(h0)、As、fy、fc
基本公式：两个
没有唯一解
设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用
要求等因素综合分析，确定较为经济合理的设计。
★截面复核
已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc 求：截面的受弯承载力 Mu>M
Ts=sAs
f y As h0 (1 0.5 ) f y As s h0
截面抵抗矩系数
a s (1 0.5 )
◆适用条件
防止超筋脆性破坏
x b h0 或 b As a1 f c max b bh0 fy M M u ,max a s ,max a1 f cbh02 或 a s a s ,max
ftk /fyk=1.4ft/1.1fy=1.273ft/fy
min
As ft 0.45 bh fy
◆ 同时不应小于0.2% ◆ 对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋
率不应小于0.15%。
4.4单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 单筋矩形截面 Singly Reinforced Section
对于适筋梁，受拉钢筋应力s=fy。
fy As a1 f c bh0 a1 f c
4.3.4 适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率
cu
xnb h0
xnb
cu y
cu
h0
y
b1 cu xb b1 xnb b cu y h0 h0
b1
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
M = C· z
在极限弯了。
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
fy
相对界限受压区高度仅与材 料性能有关，而与截面尺寸 无关
b1 cu b cu y
1
cu Es
表 5-3 相对界限受压区高度b 和as,max
混凝土强度等级
≤C50 0.550 0.399 0.518 0.384
C60 0.531 0.390 0.499 0.375
梁常用Ⅱ~Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ~Ⅱ级钢筋。
给定M时
越小， 但混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度； ● 反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大， 增大。
ì ¼ Ô Û
● 截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少，
Ü Ô × ì ¼ Û ì Ä » ý Í Á Ö ¸
¼ ¾ Ã Å ä ½ î Â Ê
fc C
a1fc
M
xn
yc
M z
x=b1xn
C
yc
z
Ts
Ts
M = C· z
M = C· z
在极限弯矩的计算中，仅需知道 C 的大小和作用位置yc 就足够了。
可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土应力图
等效矩形应力图的合力大小等于C，形心位置与yc一致
4.3.3 等效矩形应力图Equivalent Rectangular Stress Block
2 0 b
2 0
a s,max b (1 0.5b )
★适筋梁的判别条件
b max b
af c
fy
max b x xb
2 M Mu,max as,max afcbh0 2 as M / afcbh0 as,max asb
这几个判别条件 是等价的 本质是
a1fc
M
x=b1xn
C=a1fcbx
基本方程
N 0,
M 0,
Ts=sAs
a1 f cbx s As
x M u a1 f cbx(h0 ) 2
x h0
—— 相对受压区高度
N 0, M 0,
a1 f cb h0 s As
M u a1 f cbh02 (1 0.5 )
未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu
基本公式：
a1 f cbx f y A
x x M u a1 f c bx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
x≥bh0时， Mu=？
2 Mu,max as,max a1 fcbh0
这种情况在施工质量出现问题，混凝土没有达到设计强度 时会产生。
4.3 正截面受弯承载力计算原理