指数函数及其性质

第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
1.在同一直角坐标系画出函数y=2x,y=
1
x的图象。
2
并观察：两个函数的图象有什么关系？
用描点法画出函数
y
2
x和
y
1
x
的图象.
2
表1：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y =2x
…
0.125 0.25
0.5
1
2
48
…
表2：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
题型三 与指数函数有关的定义域与值域问题 多维探究型
求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝2x－4； (2)y＝122x－x2； (3)y＝5 3x－2.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
解析： (1)要使函数有意义，必须 x－4≠0，
∴x≠4，
故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}.
1
1
∵x≠4，x－4≠0，∴2x－4≠1，
…
…
84
2
1
0.5 0.25 0.125
y
y (1)x
2
4
3 2
1
y=2x
-3 -2 -1
01
23
x
-1
观察两：个两函个数函图数像的关图于象y有轴什对么称关系？
2．(2016·浙江省台州中学高一上期中)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝12x
的图象之间的关系是( )
A．关于 y 轴对称
B．关于 x 轴对称
1Biblioteka Baidu
2
(7)y＝xx；(8)y＝(6a－3)xa>2，且a≠3.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
◎ 变式训练
1.(1)下列函数中：
①y＝2·( 2)x；②y＝2x－1；③y＝π2 x；
1
1
④y＝3－x；⑤y＝x3.
是指数函数的是
(填序号).
(2)若函数 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数，求 a 的值.
设 t＝ 3x－2，则 t≥0，y＝5t，∴y≥50＝1.
∴所求函数的值域为[1，＋∞).
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
课堂小结
1.通过本节课，你对指数函数有什么认识？
➢ 指数函数的定义 ➢ 指数函数的图象和性质
2.这节课主要通过什么方法来学习指数函数性质？
➢ 数形结合思想方法
➢ 从具体的到一般的学习方法
故函数的值域为{y|y>0，且 y≠1}.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
(2)定义域为 R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴122x－x2≥121＝12.
故函数 y＝122x－x2的值域为yy≥12.
2 (3)要使函数有意义，必须且只需 3x－2≥0，即 x≥3，
2
∴函数的定义域为3，＋∞.
3.记住两个基本图形 y (1)x
2
y
y 2x
2
1
-2 -1
o 12
y=1
x
栏目导
◎ 变式训练 2.(1)已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx 的图象为( )
(2)若 a>1，－1<b<0，则函数 y＝ax＋b 的图象一定在( )
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、四象限
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
例题剖析
例1已知指数函数 f x ax a 0, a 1 的图像经 过点3, , 求 f 0、f 1、f 3 的值.
(0,1)
0
x
0
x
定义域：
R
性 值域：
（0，+∞）
质 （1）过定点（0，1），即x=0时,y=1
（2）在R上是减函数 （3）在R上是增函数
课本58练习第1题
1.在同一平面直角坐标系中画出下 列函数的图象：
(1) y 3x
(2) y (1)x 3
题型二 指数函数的图象问题 多维探究型
(1)如图 2.1－1 所示是下列指数函数的图象，
C．关于原点对称
D．关于直线 y＝x 对称
解析： 由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对
称，故选A.
答案： A
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
指数函数在底数0 a 1及 a 1这两种情况下的
图象和性质：
0 a 1
a 1
y=ax
y
y
y=ax
(0<a<1)
(a>1)
图 象
(0,1)
y=1 y=1
2.1.2指数函数及其性质
马山中学 蓝小鲜
问题引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂 成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y 2x(x N*)
……
细胞 2个 4个 8个 16个
总数 21
22
①y＝ax；②y＝bx；
③y＝cx；④y＝dx.
则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )
A．a<b<1<c<d C．1<a<b<c<d
B．b<a<1<d<c D．a<b<1<d<c
图2.1－1
(2)当 a>0 且 a≠1 时，函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点________．
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
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2x
问题2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰 剩余量y关于x的函数关系式？
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2
4
8
16
(1)x尺 2
y 2x
y (1)x 2
当a=0时,若x>0，则ax=0x=0,无研究价值；
若x≤0，则ax=0x无意义；
1
当a<0时，ax不一定有意义，如
-2
2
为了便于研究，规定：a>0 且a≠1
题型一 指数函数的概念 自主练透型
指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝3x；(2)y＝x2；
(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x；
(5)y＝πx；(6)y＝(4x)2；
以上两个函数有什么特点？
1.均为幂的形式
2.底数是一个正的常数
3.自变量x在指数位置
指数函数定义：
一般的，函数 ya x(a0，且a1) 叫做指数函
数，其中x是自变量，定义域为R.
新课探究
1.y=ax中a的范围为什么要规定a>0 且a≠1?
当a>0时,ax有意义；
当a=1时,y=1x=1,是常数，无研究价值；