第三章内积空间2012解析
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证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V ,有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
由Schwarz不 等 式,当 , 不 是 零 向 量 时
( , )
1,
即
1 ( , ) 1
定 义 内 积 空 间V中 任 意 两 个 向 量和的 夹 角 arccos ( , )，且 [0, ]
对两个不为零的向量, ,若(, ) 0, 则称和是正交的,记为 .
前述三种空间关系
线性空间
(,)
|| ||
内积 空间
赋范线性空间
1
(,)2 || ||
三、内积空间中的正交系
第三章 内积空间、等距变换
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间 线性空间 + 赋内积 = 内积空间 一、内积空间 二、内积范数 三、内积空间中的正交系
四、正交多项式
一. 内积空间
定义:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V 都有一个实数记为(α,β)与其对应, 且满足以下条件, 则称实数(α,β)为向量α,β的内积.
n
( A, B) aijbij i, j1
几种线性空间中内积的定义:
3. C[a, b],f ( x), g( x) C[a, b],
对于给定的权函数( x) 0, x [a, b]
b
( f , g) a ( x) f ( x)g( x)dx
称为在C[a, b]中带权( x)的内积.
若( x) 1,则
(2)( x) 1
1 x2
1 x 1
(3)( x) ex 0 x
(4)( x) ex2 x
二、内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： (, )
(1)x Rn , x x, x x12 x22 xn2 ,
称 x 为n 维向量 x的内积范数. (2)x Rn , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为
所 以 等 号 不 成 立,矛 盾.
在不同的空间中,Cauchy Schwarz 不等式有
不同的表达形式.
(1)Rn中,x, y Rn ,
n
n
21 n
21
( x, y) xi yi ( xi )2 ( yi )2 x y
i 1
i 1
i 1
(2)C[a, b]中,f ( x), g( x) C[a, b]
①对称性(α,β) (β,α) ②可加性(α β, γ) (α, γ) (β, γ); ③齐次性(kα,β) k(α,β),k R; ④正定性(α,α) 0,且当且仅当α 0时才有
(α,α) 0 定义了内积的线性空间称为内积空间
内积的基本性质:
(1)(, k ) k(, )
证 : ( , k ) (k , ) k( , ) k( , )
(2)(, ) (, ) (, )
(3)(,0) (0, ) 0
几种线性空间中定义的内积: x1
1. Rn中, x, y Rn ,
x
பைடு நூலகம்
x2
,
定义内积
xn
n
(1) ( x, y) xT y xi yi i 1
y1
y
y2
,
yn
2. Rnn , A, B Rnn ,定义内积
定理1
若1,2,
,
是一组两两正交的非零向量,
r
则1,2, ,r线性无关.
证明 设有 1 , 2 ,, r 使 11 22 rr 0
用1 与上式作内积, 得
(1, 11 rr ) 1(1,1 ) 0
由1 0 (1,1) 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
数值分析
内积空间 Vn中的标准正交基
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v2 , , vn }
若
0 i j (vi , v j ) 0 i j
则称基S是V n中的正交基.
定义 在内积空间V n中取一组基 {1, 2 ,
若
0 i j
( i , j ) ij 1 i j
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式,有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , )
当 k (k R,非 零),显 然 定 理 中 等 号 成 立;反 之,如 果 等 号 成 立,则 , 必 线 性 相 关.因 为 若 , 线 性 无 关,则k R, 非 零,都 有 k 0.从 而( k , k ) 0
1
f
f
(
x),
f
(
x)
b
a
(
x)
f
( x)2
2
称 f 为[a, b]上连续函数f ( x)的带权( x)的内积范数。
定理 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当 和 是线性相关时才成立.
证明: 任取实数k, 考虑内积
b
f ( x)g( x)dx (
b
2
1
f ( x) dx)2 (
b
1
g( x) 2 dx)2
a
a
a
思考 : ( f , g)
b
( x) f ( x)g( x)dx
a
用 内 积 范 数 表 示Schwarz不 等 式 的 形 式 是
( , ) 由Schwarz不 等 式 可 以 证 明 内 积 范数 公 理 中 的 三 角 不 等 式.
n
x xT Ax A
xiaij x j
i , j1
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为
n
x xT Ax A
aii xi2
i 1
数值分析
(3) f ( x) C[a,b],
1
f
f
(
x),
f
(
x)
b
a
f
(
x)2
2
称 f 为[a, b]上连续函数f ( x)的内积范数。
(4) f ( x) C[a,b],
b
( f , g) a f ( x)g( x)dx
定义 设[a, b]是有限或无限区间, ( x)是定义
在[a, b]上的非负可积函数, 若其满足
b
b
(1) ( x)dx 0, (2) xn( x)dx存在, n 0,1...
a
a
则称( x)是[a, b]上的一个权函数.
常见的权函数有 :
(1)( x) 1 1 x 1
证：在内积空间V中, , V ,有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
由Schwarz不 等 式,当 , 不 是 零 向 量 时
( , )
1,
即
1 ( , ) 1
定 义 内 积 空 间V中 任 意 两 个 向 量和的 夹 角 arccos ( , )，且 [0, ]
对两个不为零的向量, ,若(, ) 0, 则称和是正交的,记为 .
前述三种空间关系
线性空间
(,)
|| ||
内积 空间
赋范线性空间
1
(,)2 || ||
三、内积空间中的正交系
第三章 内积空间、等距变换
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间 线性空间 + 赋内积 = 内积空间 一、内积空间 二、内积范数 三、内积空间中的正交系
四、正交多项式
一. 内积空间
定义:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V 都有一个实数记为(α,β)与其对应, 且满足以下条件, 则称实数(α,β)为向量α,β的内积.
n
( A, B) aijbij i, j1
几种线性空间中内积的定义:
3. C[a, b],f ( x), g( x) C[a, b],
对于给定的权函数( x) 0, x [a, b]
b
( f , g) a ( x) f ( x)g( x)dx
称为在C[a, b]中带权( x)的内积.
若( x) 1,则
(2)( x) 1
1 x2
1 x 1
(3)( x) ex 0 x
(4)( x) ex2 x
二、内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： (, )
(1)x Rn , x x, x x12 x22 xn2 ,
称 x 为n 维向量 x的内积范数. (2)x Rn , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为
所 以 等 号 不 成 立,矛 盾.
在不同的空间中,Cauchy Schwarz 不等式有
不同的表达形式.
(1)Rn中,x, y Rn ,
n
n
21 n
21
( x, y) xi yi ( xi )2 ( yi )2 x y
i 1
i 1
i 1
(2)C[a, b]中,f ( x), g( x) C[a, b]
①对称性(α,β) (β,α) ②可加性(α β, γ) (α, γ) (β, γ); ③齐次性(kα,β) k(α,β),k R; ④正定性(α,α) 0,且当且仅当α 0时才有
(α,α) 0 定义了内积的线性空间称为内积空间
内积的基本性质:
(1)(, k ) k(, )
证 : ( , k ) (k , ) k( , ) k( , )
(2)(, ) (, ) (, )
(3)(,0) (0, ) 0
几种线性空间中定义的内积: x1
1. Rn中, x, y Rn ,
x
பைடு நூலகம்
x2
,
定义内积
xn
n
(1) ( x, y) xT y xi yi i 1
y1
y
y2
,
yn
2. Rnn , A, B Rnn ,定义内积
定理1
若1,2,
,
是一组两两正交的非零向量,
r
则1,2, ,r线性无关.
证明 设有 1 , 2 ,, r 使 11 22 rr 0
用1 与上式作内积, 得
(1, 11 rr ) 1(1,1 ) 0
由1 0 (1,1) 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
数值分析
内积空间 Vn中的标准正交基
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v2 , , vn }
若
0 i j (vi , v j ) 0 i j
则称基S是V n中的正交基.
定义 在内积空间V n中取一组基 {1, 2 ,
若
0 i j
( i , j ) ij 1 i j
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式,有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , )
当 k (k R,非 零),显 然 定 理 中 等 号 成 立;反 之,如 果 等 号 成 立,则 , 必 线 性 相 关.因 为 若 , 线 性 无 关,则k R, 非 零,都 有 k 0.从 而( k , k ) 0
1
f
f
(
x),
f
(
x)
b
a
(
x)
f
( x)2
2
称 f 为[a, b]上连续函数f ( x)的带权( x)的内积范数。
定理 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当 和 是线性相关时才成立.
证明: 任取实数k, 考虑内积
b
f ( x)g( x)dx (
b
2
1
f ( x) dx)2 (
b
1
g( x) 2 dx)2
a
a
a
思考 : ( f , g)
b
( x) f ( x)g( x)dx
a
用 内 积 范 数 表 示Schwarz不 等 式 的 形 式 是
( , ) 由Schwarz不 等 式 可 以 证 明 内 积 范数 公 理 中 的 三 角 不 等 式.
n
x xT Ax A
xiaij x j
i , j1
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为
n
x xT Ax A
aii xi2
i 1
数值分析
(3) f ( x) C[a,b],
1
f
f
(
x),
f
(
x)
b
a
f
(
x)2
2
称 f 为[a, b]上连续函数f ( x)的内积范数。
(4) f ( x) C[a,b],
b
( f , g) a f ( x)g( x)dx
定义 设[a, b]是有限或无限区间, ( x)是定义
在[a, b]上的非负可积函数, 若其满足
b
b
(1) ( x)dx 0, (2) xn( x)dx存在, n 0,1...
a
a
则称( x)是[a, b]上的一个权函数.
常见的权函数有 :
(1)( x) 1 1 x 1