初中数学中最短路径问题专题教学设计(推荐)
课题学习最短路径问题教学设计人教版数学八年级上册
高新技术产业开发区XX中学备课日志1.两点之间的所有连线中，什么线最短？2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？【课堂引入】已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣【探究新知】1．问题1如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．2思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).追问2对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．问题2你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在∴AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即AC ＋BC 最短．师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．2．仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∴b，N为直线b上的一个动点，MN∴b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问4：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问5：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问6：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′∴a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.师生活动：教师可引导学生分析，对于有疑问的地方进行讲解说明．归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.重难点突破【典型例题】例1如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)A．A点B．B点C．C点D．D点例2如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∴l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．解：如图所示．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．进一步巩固学生对最短路径问题的解决方法的掌握【课堂检测】1．如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是(A)A B C D2．如图，在Rt∴ABC中，∴A＝90°，∴C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是4．3．如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
初中数学_最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《最短路径问题》专题学习教学设计三、组织活动：(一)问题驱动,探究新知问题1.如图,要在燃气管道上修建一个泵站,分别向A、B两生活小区供气,泵站C修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？①实际问题→数学问题，互动中得到即出示两点一线图。
②师:你是怎么找的,请说出你的思考，为什么?生:连接AB,两点之间,线段最短.③几何画板演示: 取一点C' a.直观感受数量关系b.借助三角形的三边说明(点拨这是一种证明方法)问题2.将军每天从军营A出发，先到河边C处饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短呢？①理解题意，明确探究什么？实际问题→数学问题，互动中得到即出示两点一线图(黑板)。
②探究:独思,合作交流，教师巡视、关注、指导小组进行有效活动。
（怎么做？为什么？）③展示汇报：初步的思考、分析，达到初步感知。
（评价：思路展示非常完美，很有逻辑性。
）④画板演示，直观感受并说明：a作对称实现了线的相等关系即C'A= C' A'。
b距离之和的转化：即C'A+ C'B= C'A'+ C' B，在寻求最短，即是问题1.c连接BA'，得到点C，三角形的三边关系实现证明。
⑤夯实作图和步骤：优化从尺规作图到三角板作图方法，如何规范作图找到C点，找小组展示，教师适当点拨规范作图，夯实知识。
学生独立思考,积极回答,通过问、答、评互动，带动知识的复习，感悟简单的最短路径问题，通过几何画板演示直观感受最短，并明确证明方法。
学生独立思考,小组合作交流.教师巡视关注小组合作的有效性,进行帮扶与指导.1.学生展示自己的认识与理解,能有效汇报小组探究思路和结果.2.教师演示几何画板的动态过程,让学生结合自身认识和直观演示加深对知识的理解和掌握.3.展示作图和证明,教师板演对称作图和证明过程.帮助学生理解知识,夯实知识.并把知识体现的思想和方法让学生纳入到自己的知识体系中.⑥实现证明：反思最短，强调知识基础夯实的重要，反思，一环扣一环，实现知识的螺旋式上升，让学生知其然、知其所以然。
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计最短路径问题（第一课时） 在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。
思考以下两个问题：复习1：如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短 复习2：点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。
通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。
lC PA B D教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。
引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
教师：（1）点C是直线l上的一个动点。
我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。
（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB 最短。
依据是：两点之间，线段最短。
作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。
总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。
教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。
例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAl练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B 的路径在地面上爬行。
小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。
问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解最短路径问题的背景和应用，知道其在现实生活中的重要性。
2.掌握图形中两点间线段最短的性质，能够运用这一性质解决实际问题。
3.学会使用三角形两边之和大于第三边的原理，解决最短路径问题。
4.掌握运用数学符号和表达式来描述最短路径问题，并能运用相关公式进行计算。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，提供适当的引导和帮助。同时，注重启发式教学，激发学生的兴趣和思考，引导学生主动探究，培养他们解决问题的能力。通过师生互动、生生互动，促进学生之间的交流与合作，使他们在探索最短路径问题的过程中，不断提高自己的数学素养和思维能力。
三、教学重难点和教学设想
5.能够运用所学的最短路径知识，解决一些简单的实际问题。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养解决问题的能力：
1.通过观察和分析实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活中发现数学问题的意识。
2.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生从简单问题入手，逐步深入，掌握解决最短路径问题的方法。
c.教师介绍三角形两边之和大于第三边的原理，并解释其在解决最短路径问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同探究解决最短路径问题的方法。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的最短路径问题，要求学生分组讨论。
b.学生在小组内分享思路，共同寻找解决问题的方法。
c.教师巡回指导，给予提示和建议，帮助学生解决问题。
五、作业布置
为了巩固学生对最短路径问题的理解，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
2022年数学精品初中教学设计《最短路径问题》特色教案
13.4 课题学习 最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间, 线段最短〞问题． 教学过程 一、探索新知问题1 相传, 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者, 名叫海伦．有一天, 一位将军专程拜访海伦, 求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发, 到一条笔直的河边l 饮马, 然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索, 利用轴对称的知识答复了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题〞．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗？ 〔1〕从A 地出发, 到河边l 饮马, 然后到B 地；〔2〕在河边饮马的地点有无穷多处, 把这些地点与A , B 连接起来的两条线段的长度之和, 就是从A 地到饮马地点, 再回到B 地的路程之和；〔3〕现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点, 上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小〔如图〕．问题2 如图, 点A , B 在直线l 的同侧, 点C 是直线上的一个动点, 当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小？追问1 对于问题2, 如何将点B “移〞到l 的另一侧B ′处, 满足直线l 上的任意一点 C , 都保持CB 与CB ′的长度相等？ 追问2 你能利用轴对称的有关知识, 找到上问中符合条件的点B ′吗？问题2 如图, 点A , B 在直线l 的同侧, 点C 是直线上的一个动点, 当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小？ 作法： 〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B ′；〔2〕连接AB ′, 与直线l 相交于点C ． 那么点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？ B ¡¤ ¡¤ A l B A lB ¡¤ l A ¡¤ B ′C证明：如图, 在直线l 上任取一点C ′〔与点C 不重合〕, 连接AC ′, BC ′, B ′C ′.由轴对称的性质知,BC =B ′C , BC ′=B ′C ′．∴ AC +BC= AC +B ′C = AB ′,AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′．追问1 证明AC +BC 最短时, 为什么要在直线l 上任取一点C ′〔与点C 不重合〕, 证明AC +BC ＜AC ′+BC ′？这里的“C ′〞的作用是什么？ C 不重合〕与A , B 两点的距离和都大于AC +BC , 就说明AC + BC 最小．追问2 回忆前面的探究过程, 我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？二、练习 如图, 一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客, 然后将游客送往河岸BC 上, 再返回P 处, 请画出旅游船的最短路径．根本思路：由于两点之间线段最短, 所以首先可连接PQ , 线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC , 这样问题就转化为“点P , Q 在直线BC 的同侧, 如何在BC 上找到一点R , 使PR 与QR 的和最小〞．三、归纳小结1、本节课研究问题的根本过程是什么？2、轴对称在所研究问题中起什么作用？四、布置作业教科书P93复习题13第15题.第一课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程, 通过与分数加减法法那么的类比, 开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行同分母的分式加减法的运算.A BCP Q山 河岸大桥【重、难点】熟练地进行同分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、分式是怎样通分的？与分数的通分有区别吗？2、看谁做的又对又快. (1) 41＋42= (2)21＋31= (3)61＋81= (4) 22xy 与y x 23通分后的分式为与 (5) 92-a a 与9612++a a 通分后的分式为 与二、学习新知〔一〕考考你〔1〕甲、乙两捆相同型号的电线, 质量分别为m 千克和n 千克, 如果这种电线每米的质量为a 千克, 那么这两捆电线的总长度为 米.〔2〕如果这两捆电线的型号不同, 质量分别为p 千克和q 千克, 甲捆电线每米质量为a 千克, 乙捆电线每米质量为b 千克, 那么这两捆电线的总长度为米.〔二〕交流与发现〔1〕与同学交流说明一下分数的加法法那么, 下面的题目你一定会做： ①x x 31+= ②xyxy xy 542-+= 归纳一下同分母分式加减法法那么：例1、计算 〔1〕x y 3 +x y 35 〔2〕mn n m 22-+mnn m 22+ [分析] 第〔1〕题是同分母的分式减法的运算, 分母不变, 只把分子相减, 〔2〕是多项式要变号的问题, 应引起注意.例2、计算〔1〕3283322--+-+a a a a 〔2〕x y y y x x -+-22 [分析]此题是同分母的分式加减法的运算, 强调分子为多项式时, 应把多项式看作一个整体加上括号参加运算, 结果也要约分化成最简分式.注意：最后结果一定要化为最简公式.三、学以致用计算：(1) x y x y 232+ (2) 23223+++a a a a (3) 3y y x x+ (4) m n m n m n m n n m -+---+22 四、课堂小结谈谈你的收获.五、教学反思。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
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最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。