第18讲 方程的意义(培优课程讲义例题练习含答案)

方程的意义（提高）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．（秋•盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（ ）A.3245x += B.m+2n=0 C.x=-3 D.4y ＞3【思路点拨】根据方程的定义进行判断. 【答案】D 【解析】解：A 、含有未知数且是等式，故本选项是方程； B 、含有未知数且是等式，故本选项是方程； C 、含有未知数且是等式，故本选项是方程； D 、含有未知数但不是等式，故本选项错误． 故答案为D.【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式，但等式不一定是方程．2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )． A ．2x-1＝3 (2，-1) B ．5118x x +=- (3，-3) C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D ．2(y-2)-1＝5 (5，4) 【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解． 举一反三： 【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1．类型二、一元一次方程的相关概念3．已知下列方程：①210x +=；②x ＝0；③13x x +=；④x+y ＝0；⑤623xx =-；⑥0.2x ＝4．其中一元一次方程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）． 举一反三：【变式】(1)已知关于x 的一元一次方程32105m x +=，求得m ＝________． (2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x 的一元一次方程，则m 的取值范围是________． (3)若||1(2)5m m x--=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．-2C ．2D ．4【答案】(1)13m =-(2)m ≠4 (3)B 类型三、等式的性质4．（春•建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（ ） A ．若a=b ，则a+c=b+c B ．若2x=a ，则x=a ﹣2 C ．若6a=2b ，则a=3b D ．若a=b+2，则3a=3b+2 【思路点拨】根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可． 【答案】A.【解析】解：A 、正确，符合等式的基本性质（1）； B 、错误，若2x=a ，则x=； C 、错误，若6a=2b ，则a=b ；D 、错误，若a=b+2，则3a=3b+6． 故选A ．【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质．（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 举一反三：【变式】（•河北模拟）已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y ﹣3； ②=；③=；④2x+2y=0，其中一定正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B解：①③正正确；类型四、等式或方程的应用5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式． 【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3 【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系． 举一反三：【变式】某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A.()22891256x -= B.()22561289x -= C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A.方程的意义（提高）巩固练习【巩固练习】1．下列各式是方程的是( ) A ．533x y + B ．2m-3＞1 C ．25+7＝18+14 D ．73852t t -=+ 2. 若x ＝1是方程2x-a ＝0的解，则a 为( )．A ．1B ．-1C ．2D ．-23．（春•卧龙区期中）已知（3﹣2a ）x+2=0是关于x 的一元一次方程，则|a ﹣|一定（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定 4．（•秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（ ）A. a•c=b•d，a÷c=b÷dB. a•d=b÷d，a÷d=b•dC. a•d=b•d，a÷d=b÷dD. a•d=b•d，a÷d=b÷d （d≠0）5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的方程应是( )． A ．2x+(70-x)＝196 B ．2x+4(70-x)＝196 C ．4x+2(70-x)＝196D ．2x+4(70-x)＝19626.已知关于y 的方程324y m +=与41y +=的解相同，则m 的值是 （ ） A ．9 B ．-9 C ．7 D ．-87. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的108）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．x ·40%×108=240B ．x （1+40%）×108=240C ．240×40%×108=xD ．x ·40%=240×1088. 将103.001.05.02.0=+-xx 的分母化为整数，得( )． A ．1301.05.02=+-x x B ．1003505=+-xx C ．100301.05.020=+-x xD ．13505=+-xx 二、填空题 9.（春•浦东新区期中）若关于（k ﹣2）x|k ﹣1|+5=0是一元一次方程，那么k= ．10．(2015春.山西期中)已知方程2x m-3+3=5是一元一次方程，则m=________. 11.若0)2(432=-+-y x ，则=+y x . 12.将方程63242-=+x x 的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)这种变形的根据是13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是x ，求原数，则可列方程为____________________. 14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________． 三、解答题15.（1）若关于x 的方程22(2)10()a a x x ---+=是一元一次方程，求a 的值. （2）若关于x 的方程5413524n x -+=是一元一次方程，求n 的值. 16. （秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3． （2）由7x=﹣4，得x=．（3）由，得y=2．（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3．17.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 请你为解决此题建立方程模型．18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．【答案与解析】 一、选择题1.【答案】D.【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A 、B 不是等式；C 中没有未知数． 2.【答案】C.【解析】把x ＝1代入方程得2×1-a ＝0，解得a ＝2． 3.【答案】A.【解析】解：由题意得，3﹣2a ≠0，解得，a ≠， 则|a ﹣|＞0，故选：A ．4.【答案】D .5.【答案】B【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196． 6.【答案】A【解析】由41y +=得3y =-，将其代入324y m +=可得：9m =．7.【答案】B【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率． 8.【答案】D【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．二、填空题9. 【答案】0【解析】解：由关于（k ﹣2）x|k ﹣1|+5=0是一元一次方程，得|k ﹣1|=1且k ﹣2≠0． 解得k=0． 故答案为：0．10.【答案】4 . 11.【答案】411 【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得：043=-x ，02=-y ，即可求出．12.【答案】12, 等式的性质2；13.【答案】x x +=++40098)410(3【解析】 原数应表示为：104x +，再根据题意即可得出答案 ．14.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表示自然数，把第一个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．三、解答题15.【解析】（1）∵ 22(2)10()a a x x ---+=是一元一次方程∴ 20a -=，且(2)0a --≠，可得：2a =-∴ a 的值为2-． （2）∵5413524n x -+=是一元一次方程 ∴ 541n -= 可得：1n =∴ n 的值为1．16.【解析】 解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确， ∵方程左边减3，方程的右边加3， ∴变形不正确； （2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确； （3）由，得y=2，变形不正确，∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确；（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确， ∵左边加x 减3，右边减x 减3， ∴变形不正确．17.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水超过了20吨．设老李家六月份用水x 吨，根据题意得 0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．18.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，首起数字是n ，第2个数的分子是n ，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份．如图所示：555566⨯=-． (2)11n n n n n n ⨯=-++。