《基本体的投影》
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第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
第2(3)章 基本体的投影
➢2.3 基本立体的投影
根据立体表面几何性质的不同，基本立 体可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面都是由平面围成的立体，称为平面 立体；
表面由平面和曲面或者曲面围成的立体， 称为曲面立体。
平
常面
棱柱
棱锥
体立
体
圆球
圆环
➢立体的投影
立体的投影，实质上是构成该立体的所有 表面的投影总和。
平面立体的投影
是平面立体各表面(点、线、面) 投影的集合：
----由直线段组成的封闭图形。
平面立体是由若干平面多边形围成，所以平面立 体的投影，可以看作组成平面立体的所有多边形顶 点和边的投影。并且规定投影可见的线画成粗实线， 不可见的线画成虚线，粗实线和虚线重合时，画成 粗实线。
1.棱柱 (1) 六棱柱
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面
后半面 不可见
曲面的可见 性的判断。
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
•圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
左半面 可见
右半面 不可见
（3）圆锥表面上的点
a
辅助素线法 辅助圆法
如何取圆的半径？
A a
例：圆锥表面上特殊位置的点
b
c
d
a
13
（2）五棱柱的投影
2.棱锥
⑴ 棱锥的组成
由一个底 面和若干侧棱 面组成。侧棱 线交于有限远 的一点——锥 顶。
(2)棱锥的三投影图
S
s
s
b
a
c
b
b(c)
c
s
a
B
C
a
A
棱锥处于图示位置 时,其底面ABC是水平 面，在水平投影图上 反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
根据立体表面几何性质的不同，基本立 体可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面都是由平面围成的立体，称为平面 立体；
表面由平面和曲面或者曲面围成的立体， 称为曲面立体。
平
常面
棱柱
棱锥
体立
体
圆球
圆环
➢立体的投影
立体的投影，实质上是构成该立体的所有 表面的投影总和。
平面立体的投影
是平面立体各表面(点、线、面) 投影的集合：
----由直线段组成的封闭图形。
平面立体是由若干平面多边形围成，所以平面立 体的投影，可以看作组成平面立体的所有多边形顶 点和边的投影。并且规定投影可见的线画成粗实线， 不可见的线画成虚线，粗实线和虚线重合时，画成 粗实线。
1.棱柱 (1) 六棱柱
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面
后半面 不可见
曲面的可见 性的判断。
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
•圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
左半面 可见
右半面 不可见
（3）圆锥表面上的点
a
辅助素线法 辅助圆法
如何取圆的半径？
A a
例：圆锥表面上特殊位置的点
b
c
d
a
13
（2）五棱柱的投影
2.棱锥
⑴ 棱锥的组成
由一个底 面和若干侧棱 面组成。侧棱 线交于有限远 的一点——锥 顶。
(2)棱锥的三投影图
S
s
s
b
a
c
b
b(c)
c
s
a
B
C
a
A
棱锥处于图示位置 时,其底面ABC是水平 面，在水平投影图上 反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
基本体的投影—平面体的投影(建筑构造)
正棱柱的画法
• 画积聚的水平投影—多边形。
高
• 画其他两投影，先画上下两平行面，再求出
平
顶点，连棱线。
齐
画图规律：
长对正
6
5
宽相等△y
可不画投影轴，但各点的三面投影仍遵守点的 三个投影规律。
• 长对正
1 2
4
宽 相
等
△y
3
• 高平齐 • 宽相等
注意: 当图形对称时，应用细点画线画出其对称中心线。
平面体的投影
C
？？
a′ b′
m
d′
c′
(a) 直观图
a(d) m b(c)
(b) 投影图
m
点的可见性判别：
若点所在平面的投影可
见，点的投影可见；若平
面的投影积聚成直线，点
的投影也可见。
棱锥体的投影
(1)棱锥表面的组成
棱锥表面组成: 底面为多边形 若干个棱面为三角形 所有的侧棱线都交于一点
在三面投影体系中，棱锥一般按如下位置放置： 底面为投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置的平面。
平面体的投影
s
s
(2)正棱锥的投
影分析及画法
b
c
a
b (c)
b
c
s
a
a
图中正三棱锥底面△ABC为水平面， △SAB、△SAC 为一般位置平面， △SBC 为侧垂面。
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a”。
(2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根 据YH=YW,由b和b`求出b``。
平面体的投影
例1：已知六棱柱ABCD侧表面上点M 的V 面投影m’，求该点的H 面投影m 和W 面投影m″。
基本体的投影
复习
一、 正投影的基本特征 真实性 积聚性 类似性
真实性 物体上的平面(或直线)，
与投影面平行时，它的投
影反映实形(或实长)。
积聚性 物体上的平面(或直线)，
与投影面垂直时，它的投
影积聚为一直线(或一点)。
类似性 物体上的平面(或直线)，
与投影面倾斜时，它的投
影缩小(或缩短)。
二、三个视图之间的投影规律为：
b
A B
C
b
练习棱锥投影
⑵棱锥表面取点
例：根据三棱锥表面上A点的正面投影a'，求出A点的另两投影。
S
A B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
s
s
a a
k n (n) b c a(c) b c s k n
b
k
棱锥表面点的投影
二、回转体的投影及其表面取点
1.圆柱体 ⑴圆柱体的投影
圆柱体由上下底两个圆平面和一圆柱面组成。
主视图和俯视图都反映了物体的长度，而且长对正；
主视图和左视图都反映了物体的高度， 而且高平齐；
俯视图和左视图都反映了物体的宽度， 而且宽相等。
上一次作业
第三章 基本体
任何复杂的形体均可看作是由基本形体按一定方式 组合而成，本章主要分析常见基本体及截交线的投 影。 基本体分为平面立体和曲面立体。 平面立体—表面是由平面围成的立体。 曲面立体—表面由曲面或曲面和平面围成的立体。
把物体放到 投影体系中
分别向三面投影
把投影展开
练习
⑵ 棱柱表面取点
a
(
a b)
b
b a
练习点的投影
一、 正投影的基本特征 真实性 积聚性 类似性
真实性 物体上的平面(或直线)，
与投影面平行时，它的投
影反映实形(或实长)。
积聚性 物体上的平面(或直线)，
与投影面垂直时，它的投
影积聚为一直线(或一点)。
类似性 物体上的平面(或直线)，
与投影面倾斜时，它的投
影缩小(或缩短)。
二、三个视图之间的投影规律为：
b
A B
C
b
练习棱锥投影
⑵棱锥表面取点
例：根据三棱锥表面上A点的正面投影a'，求出A点的另两投影。
S
A B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
s
s
a a
k n (n) b c a(c) b c s k n
b
k
棱锥表面点的投影
二、回转体的投影及其表面取点
1.圆柱体 ⑴圆柱体的投影
圆柱体由上下底两个圆平面和一圆柱面组成。
主视图和俯视图都反映了物体的长度，而且长对正；
主视图和左视图都反映了物体的高度， 而且高平齐；
俯视图和左视图都反映了物体的宽度， 而且宽相等。
上一次作业
第三章 基本体
任何复杂的形体均可看作是由基本形体按一定方式 组合而成，本章主要分析常见基本体及截交线的投 影。 基本体分为平面立体和曲面立体。 平面立体—表面是由平面围成的立体。 曲面立体—表面由曲面或曲面和平面围成的立体。
把物体放到 投影体系中
分别向三面投影
把投影展开
练习
⑵ 棱柱表面取点
a
(
a b)
b
b a
练习点的投影
形体的三面正投影(基本体)
图3-3 4种工程形体的投影
2 棱锥
•正棱锥——底面为正 多边形，顶点过底面 中心垂线的棱锥体。
视图特征： 1)反映底面实形的视图 为多边形（三角形的组 合图形）； 2)另两视图均为三角形。
三棱锥的投影图
s
s
b
a c
c
a
b
(b)
c
s
B
a
S C A
3 棱台
•棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形 成的形体，上、下底面为各对应边相互平行的相似多边形， 侧面为梯形。
【例3.4】如图所示，已知立体表面上的点K的正面投影k'，求其 另外两面的投影k、k"。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.5】如图所示，已知圆柱表面上线段AB的正面投影a'b'， 求其另外两面上的投影。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.6】如图所示，已知圆锥上点K的正面投影k'，求其另两面 上的投影。
【例3.2】如图所示，已知立体表面上直线MK的正面投影m'k'， 试作直线MK的水平投影mk和侧面投影m"k"。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.3】如图所示，已知立体表面点K的正面投影k'，试求其水 平与侧面投影k、k"。
(a) 已知条件
(b) 一般位置直线作为辅助线 求k点的投影
(c) 特殊位置直线作为辅助线 求k点的投影
视图特征： 1)反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的 几个梯形; 2)另两视图均为梯形(或梯形的组合图形)。
2 曲面体的投影
常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
《基本体的作图投影》教案
何特点？生：讨论师：平面体的每个表面都是平面，例如长方体，棱柱和棱锥等，曲面体至少有一个表面是曲面，如圆柱、圆锥和球二、圆球13min师：展示模型（球）引导学生思考日常生活见到实例？生：思考回答（篮球、乒乓球、跳棋的溜溜珠子、佛珠等等）师：展示上述并补充说明讲：（1）圆球的形成展示模型（球）圆球的表面可看做是由一条圆母线绕其直径回转而成。
简单来说球的表面无直线。
（2）圆球的放置在三投影面体系中展示篮球（3）圆球的作图1、视图分析正面投影的圆是球体正面投影的转向轮廓线，也是前后两半球可见与不可见的分界线，水平面投影的圆是球体水平面投影的转向轮廓标识正面投影圆的三面投影，形象直观，为下面学生的练习起好示范和铺垫作用。
言传身教，规范作图。
讲练结合，激发学生参与热情。
体现了教为主导，学为主体的教育理念。
在绘图的过程中，不仅使学生的逻辑思维得锻炼，更有助于提高其自信心，对其他学生也有很好的榜样作用。
线，也是上下两半球可见与不可见的分界线，侧面投影的圆是球体侧面投影的转向轮廓线，也是左右两半球可见与不可见的分界线。
2、作图步骤1）、绘制定位基准线、对称中心线及反映圆的视图2）、根据“三等”关系绘制其他视图，检查，整理，加深师：圆的投影是与圆球直径相等的三个圆，这三个圆分别是三个不同方向球的轮廓素线圆的投影，不能认为是球面上同一圆的三个投影。
师：让学生对照模型想象三视图如何绘制并讲解引导。
学生互动找一名同学在黑板上画圆球三视图，其余同学在本子上画师：巡回指导，现场指正讲评：1.该生作图，完成较好应该掌声鼓励（此处应该有掌声）2.其他同学完成情况，进一步强调作图正确性和规范问题教师：将自己事先绘制的圆球三视图展示并张贴在黑板上。
三、六棱柱15min师：展示摆放好的模型（六棱柱），学生通过模型想象三视图投影讲：（1）分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。
正六棱柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。
直观图投影图（2）作图步骤1、绘制对称中心线、轴线和底面等作图基准线，确定各视图的位置2、绘制反映底面实形的视图即俯视图的正六边形，按长对正的投影关系及六棱柱的高度绘制主视图3、根据高平齐宽相等的投影关系画出左视图，检查，整理加深师：边画边讲解生：跟着老师一起画师：现场指导发现问题：1、共性问题分析2、个性问题分析板书设计基本体的投影作图一、形体的分类二、圆球三、六棱柱（1）圆球的形成展示模型（球）（1）结构组成平面体（2）圆球的作图方法（2）作图步骤曲面体图略图略。
基本体的投影
基本体的投影
今天要学习的有平面体和回转体
一．平面体表面都是平面，平面与平面的交线都是直线。
因此画平面体的实质就是画给定位的平面和直线的投影。
（1）棱柱的平面作图
首先将棱柱摆放在一个合适的位置。
画对称面投影用细点画线画出立体对称面有集聚性的投影。
画顶、底面得投影先画反映实形的H面，在画有集聚性的V面和W面。
画六个棱面的投影
检查加粗线
说明画立体三面体投影时不必画出投影轴
特点一面投影为多边形，多边形的投影是各棱面投影的集聚，另外两个面都是有一个或多个矩形拼成的矩形。
（2）棱锥的投影
首先也是将其摆放在一个合适的位置
画顶心线的投影过椎体与地面垂直的直线为顶心线，用细点画线画出顶心线的三面投影
画地面投影与棱柱的地面投影类是。
根据五棱锥的高确定锥顶的三面投影
将锥顶与底面各角点相连的五个棱面得三面投影。
检查加粗线。
特点一面投影是共顶点三角形拼成的多边形，另两面投
影均为共顶点且底边重合于一条线的三角形拼合的三角
形。
（3）棱台的投影
与棱锥类似。
二．回转面前面已经讲了一部分了，现在主要介绍一下常见回转体的投影。
基本体(棱柱)的投影
复习：
1.三视图作图步骤： （1）画对称中心线、轴线、基准线； （2）作“特征视图”； （3）根据“三等规律”作其它两面视图。 2.“三等规律” 长对正 高平齐 宽相等
3.平面的投影特性 平面平行于投影面时，投影原形线 平面垂直于投影面时， 投影聚成 平面倾斜于投影面时，投影面积变 线
基本体的投影作图
六棱柱 圆台 圆锥 圆台 圆柱 圆柱 圆球 圆环
基本体
基本体
平面体 曲面体
平面体：表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。 曲面体：表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如 圆柱、圆锥、圆球等。
平面体
1、棱柱
棱柱由两个底面和若干侧面组成， 如图所示为一正六棱柱，由上、 侧面与侧面的交线称为棱线，棱线互 下两个底面（正六边形）和六个侧 相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为 面（长方形）组成。 正棱柱。
小组讨论：
分析正六棱柱的8个面与投影面 的相对位置。 上下两个面是水平面 ； 前后两个面是 正平面 ； 其他的四个侧面是
铅垂面 。
棱柱的三视图Z源自上、下两底面为水平面 它们的水平投影重合并 反映实形，正面及侧面 投影积聚为两条相互平 行的直线。
Y
X
正六棱柱的投影
棱柱的三视图
Z
前、后两个面为正平面
练习：
1.根据棱柱的立体图，作出其三视图。
作棱柱的三视图时，一般 先画有积聚性并能反映棱柱特 征的视图，然后再按视图间的 投影关系完成其它两面视图。
棱柱表面上取点
A (B)
点的可见性判断： 由于棱柱的表面都是平 点所在表面的投影可见, 面，所以在棱柱的表面上 点的投影也可见；若点所在 取点与在平面上取点的方 法相同。 表面的投影不可见，点的投 影也不可见；若点所在表面 的投影积聚成直线，点的投 影视为可见。
1.三视图作图步骤： （1）画对称中心线、轴线、基准线； （2）作“特征视图”； （3）根据“三等规律”作其它两面视图。 2.“三等规律” 长对正 高平齐 宽相等
3.平面的投影特性 平面平行于投影面时，投影原形线 平面垂直于投影面时， 投影聚成 平面倾斜于投影面时，投影面积变 线
基本体的投影作图
六棱柱 圆台 圆锥 圆台 圆柱 圆柱 圆球 圆环
基本体
基本体
平面体 曲面体
平面体：表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。 曲面体：表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如 圆柱、圆锥、圆球等。
平面体
1、棱柱
棱柱由两个底面和若干侧面组成， 如图所示为一正六棱柱，由上、 侧面与侧面的交线称为棱线，棱线互 下两个底面（正六边形）和六个侧 相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为 面（长方形）组成。 正棱柱。
小组讨论：
分析正六棱柱的8个面与投影面 的相对位置。 上下两个面是水平面 ； 前后两个面是 正平面 ； 其他的四个侧面是
铅垂面 。
棱柱的三视图Z源自上、下两底面为水平面 它们的水平投影重合并 反映实形，正面及侧面 投影积聚为两条相互平 行的直线。
Y
X
正六棱柱的投影
棱柱的三视图
Z
前、后两个面为正平面
练习：
1.根据棱柱的立体图，作出其三视图。
作棱柱的三视图时，一般 先画有积聚性并能反映棱柱特 征的视图，然后再按视图间的 投影关系完成其它两面视图。
棱柱表面上取点
A (B)
点的可见性判断： 由于棱柱的表面都是平 点所在表面的投影可见, 面，所以在棱柱的表面上 点的投影也可见；若点所在 取点与在平面上取点的方 法相同。 表面的投影不可见，点的投 影也不可见；若点所在表面 的投影积聚成直线，点的投 影视为可见。
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S
一点绕轴线旋转轨迹都 是垂直于轴线的圆,图示 圆锥轴线为铅垂线,故过 K点的辅助纬圆为水平圆,
K
其水平投影是圆。
M
例四 已知圆锥面上的折线SABC的正面投影 s`a`b`c`,求其它两面投影。
S
s`
a` d` e`
c` b`
c
s
a
b
e
d
(a``)
d`` e`` c`` b``
A
C
B
解题分析
线段SA过锥顶,空间为直线;线段AB为曲线;线段 BC平行底为一水平圆。如立体图所示。
(c``) (2``) b`` 1``
a``
2. 圆 锥
s`
s``
(1) 圆锥的投影
s` S
最左素线
a`
a` a``
A
M
s
a
s a
m
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特 性(2) 圆锥的投 影(3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
2. 圆
锥(1) 圆锥的投影
(2) 圆锥表面上的点和线
例三 如图所示，已知圆锥面上一点K的正
的前方,B点在圆柱的最 前素线上。 (3) 作图
利用积聚性直接求 出a``,再由a`和a`` ; a
b和b``直接投影到圆柱 最前素线的同面投影上。
b` C`
C b
YH
a``
( C`` )
b``
YW
例二 如图所示,已知圆柱表面上的线
ABC的正面投影,试求其余两面投影。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
c`
2`
圆柱面的水平投影有积聚
性(2) 分析线的位置及投影
b`
1`
线ABC位于前半个圆 a`
柱面上,空间为一段曲线,
点A在圆柱面的最左素线上,
点B在最前素线上
(3) 作图
·1· 利用积聚性直接
求出ABC的水平投影,再求其 a
侧面投影;
c
·2· 求曲线上一般点 1 b 2
的投影 ;
·3· 判别可见性,光滑连
作图
(1) 投影 (2) 影 (3)
(4)
辅助线法求出直线另一端点A的水平及侧面
确定圆弧BC的半径,求出它的水平及侧面投 描点求曲线AB的投影(特殊点D、一般点E) 判别可见性,依次光滑连线
3. 圆 球(1) 圆球的投影
侧子午线
赤道圆
如图所示,圆球的三面投影都是与 球的直径相等的圆.这三圆分别为球面上 平行于正面、水平面、和侧面的最大圆周 的投影,分别称为主子午线、赤道圆、侧
一 平面立体
1. 棱 柱 (1) 棱柱的投影
空间分析
V YW
W
作图时，先画反映特征的水平投影， 再按投影规律完成其它两个投影。
YH
1. 棱 柱
a’’
(1) 棱柱的投影 (b’ a’)
b’’
(2) 棱柱表面上的点
如图所示，已知前
棱面上的点A的正面投影a`， b 左前棱面上的点B的正面投
YH
影b`，求它们的水平投影
面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。
s`
s``
解体分析
k`
由于圆锥面的三面投
影均无积聚性，且K点也不在
特殊位置素线上，故必须通
s
过作辅助线的方法求解。
s`
k` m`
s k m
s``
作图
(1) 辅助素 (k``) 线法 锥顶S与锥面上
任一点的连线都是直线, 如图中SK , 交底圆于M
m`` 点。 (2) 辅助纬 圆法 由于母线上任
b``
M、N两点的其余投影。 a
c
s
b
s` k`
（n`）
s`` k`` n``
m`
m``
c`
a`
b`
a``（c``）
a
c
YW
n ks
YH
m
b``
s`
S
m`
C
i`
M
A
b
I
B
（1）棱面△SAC为侧垂面,利用积 聚性可直接求出n``，再由n``、n`求得 n。 （2） M点所在棱面△SAB为一般
s m i
1. 圆 柱(1) 圆柱的投影
(2) 圆柱表面上的点和线
例一 如下图所示,已知圆柱表面上点A 和点B的正面投影a`和b`,试求出a和a``及b和b``。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
主要分析是否
有积聚性表面,图示圆 a`
柱面为侧垂面,其侧面 投影积聚为圆周。 (2) 判定点的空间位置
A点在上半圆柱面
表5 · 1 圆柱面
回转轴
圆锥面
回转轴
圆球面
素线
母线
素线 母线
回转轴
素线
母线
二
曲面立体
最左素线的正面投影
1. 圆
柱(1) 圆柱的投影
a`
a``
a`
a``
A
a1` a1``
A1
最左素线
a(a1) a1`
a1`` 空间分析
1. 圆柱各表面的投影特性
a (a1)
2. 圆柱的投影
3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线
先确定 球心的三面投影, 再画出三个与球 的直径相等的圆.
3. 圆
球(1) 圆球的投影
(2) 圆球表面上的点和线
如图所示,已知球面上点A的正面投影
a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.
R1
解题分析
a`
a``
圆球的三面投影均无
积聚性,故球面上的取点通常采
用辅助纬圆法 , A点在球的左、
前、上方。 作
S
c’ C
a’
b’
b’’
A
cB
s
a
b
分析:
锥底面△ABC为水平面,棱面 △SAC为侧垂面,另外两棱面为一般位
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投
影(2) 棱锥表面上的点和 s`
s``
线 如图所示，已知
（n`）
棱面△SAB上点M的正面
m`
投影m`和棱面△SAC上的
点N的正面投影n`，求作 a`
b`
ca``Байду номын сангаас（c``）
第三章 基本体的投影
圆锥
圆柱 圆锥 圆柱
基本体——按一定规律形成的简单几何体。 组合体——由多个基本体按一定方式组合而成的物体。
第一节 平面立体的投影及其表面取点和 线
一 平面立体
平面立体：各表面均为平面的几何体， 如棱柱、棱锥等。
二 曲面立体
曲面立体：各表面均为曲面或由平面与 曲面共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆 球等。
和侧面投影。
作图分析:
b a
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直 接求出a和a``。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚 性求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投 影
s’
s’’
作图:
一般先画出底面的各 个顶点的投影,再定出锥顶S 的投影,并将锥顶与底面各顶 点的同面投影相连即可。
图
(1) 过点A作一水平辅助圆 ,
位置平面，可作辅助线的方法求解。
s`
n`
h` m`
a`
b`
a
h
sn
m b
s``
( n`` )
h``
c` c``
a``
c
m`` b``
二 曲面立体
工程上常用的曲面立体一般为回转体。回 转体由回转面或回转面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直 线作回转运动所形成的曲面称为回转面。
形成回转面的动线称为母线，定直线称为 回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。
一点绕轴线旋转轨迹都 是垂直于轴线的圆,图示 圆锥轴线为铅垂线,故过 K点的辅助纬圆为水平圆,
K
其水平投影是圆。
M
例四 已知圆锥面上的折线SABC的正面投影 s`a`b`c`,求其它两面投影。
S
s`
a` d` e`
c` b`
c
s
a
b
e
d
(a``)
d`` e`` c`` b``
A
C
B
解题分析
线段SA过锥顶,空间为直线;线段AB为曲线;线段 BC平行底为一水平圆。如立体图所示。
(c``) (2``) b`` 1``
a``
2. 圆 锥
s`
s``
(1) 圆锥的投影
s` S
最左素线
a`
a` a``
A
M
s
a
s a
m
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特 性(2) 圆锥的投 影(3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
2. 圆
锥(1) 圆锥的投影
(2) 圆锥表面上的点和线
例三 如图所示，已知圆锥面上一点K的正
的前方,B点在圆柱的最 前素线上。 (3) 作图
利用积聚性直接求 出a``,再由a`和a`` ; a
b和b``直接投影到圆柱 最前素线的同面投影上。
b` C`
C b
YH
a``
( C`` )
b``
YW
例二 如图所示,已知圆柱表面上的线
ABC的正面投影,试求其余两面投影。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
c`
2`
圆柱面的水平投影有积聚
性(2) 分析线的位置及投影
b`
1`
线ABC位于前半个圆 a`
柱面上,空间为一段曲线,
点A在圆柱面的最左素线上,
点B在最前素线上
(3) 作图
·1· 利用积聚性直接
求出ABC的水平投影,再求其 a
侧面投影;
c
·2· 求曲线上一般点 1 b 2
的投影 ;
·3· 判别可见性,光滑连
作图
(1) 投影 (2) 影 (3)
(4)
辅助线法求出直线另一端点A的水平及侧面
确定圆弧BC的半径,求出它的水平及侧面投 描点求曲线AB的投影(特殊点D、一般点E) 判别可见性,依次光滑连线
3. 圆 球(1) 圆球的投影
侧子午线
赤道圆
如图所示,圆球的三面投影都是与 球的直径相等的圆.这三圆分别为球面上 平行于正面、水平面、和侧面的最大圆周 的投影,分别称为主子午线、赤道圆、侧
一 平面立体
1. 棱 柱 (1) 棱柱的投影
空间分析
V YW
W
作图时，先画反映特征的水平投影， 再按投影规律完成其它两个投影。
YH
1. 棱 柱
a’’
(1) 棱柱的投影 (b’ a’)
b’’
(2) 棱柱表面上的点
如图所示，已知前
棱面上的点A的正面投影a`， b 左前棱面上的点B的正面投
YH
影b`，求它们的水平投影
面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。
s`
s``
解体分析
k`
由于圆锥面的三面投
影均无积聚性，且K点也不在
特殊位置素线上，故必须通
s
过作辅助线的方法求解。
s`
k` m`
s k m
s``
作图
(1) 辅助素 (k``) 线法 锥顶S与锥面上
任一点的连线都是直线, 如图中SK , 交底圆于M
m`` 点。 (2) 辅助纬 圆法 由于母线上任
b``
M、N两点的其余投影。 a
c
s
b
s` k`
（n`）
s`` k`` n``
m`
m``
c`
a`
b`
a``（c``）
a
c
YW
n ks
YH
m
b``
s`
S
m`
C
i`
M
A
b
I
B
（1）棱面△SAC为侧垂面,利用积 聚性可直接求出n``，再由n``、n`求得 n。 （2） M点所在棱面△SAB为一般
s m i
1. 圆 柱(1) 圆柱的投影
(2) 圆柱表面上的点和线
例一 如下图所示,已知圆柱表面上点A 和点B的正面投影a`和b`,试求出a和a``及b和b``。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
主要分析是否
有积聚性表面,图示圆 a`
柱面为侧垂面,其侧面 投影积聚为圆周。 (2) 判定点的空间位置
A点在上半圆柱面
表5 · 1 圆柱面
回转轴
圆锥面
回转轴
圆球面
素线
母线
素线 母线
回转轴
素线
母线
二
曲面立体
最左素线的正面投影
1. 圆
柱(1) 圆柱的投影
a`
a``
a`
a``
A
a1` a1``
A1
最左素线
a(a1) a1`
a1`` 空间分析
1. 圆柱各表面的投影特性
a (a1)
2. 圆柱的投影
3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线
先确定 球心的三面投影, 再画出三个与球 的直径相等的圆.
3. 圆
球(1) 圆球的投影
(2) 圆球表面上的点和线
如图所示,已知球面上点A的正面投影
a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.
R1
解题分析
a`
a``
圆球的三面投影均无
积聚性,故球面上的取点通常采
用辅助纬圆法 , A点在球的左、
前、上方。 作
S
c’ C
a’
b’
b’’
A
cB
s
a
b
分析:
锥底面△ABC为水平面,棱面 △SAC为侧垂面,另外两棱面为一般位
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投
影(2) 棱锥表面上的点和 s`
s``
线 如图所示，已知
（n`）
棱面△SAB上点M的正面
m`
投影m`和棱面△SAC上的
点N的正面投影n`，求作 a`
b`
ca``Байду номын сангаас（c``）
第三章 基本体的投影
圆锥
圆柱 圆锥 圆柱
基本体——按一定规律形成的简单几何体。 组合体——由多个基本体按一定方式组合而成的物体。
第一节 平面立体的投影及其表面取点和 线
一 平面立体
平面立体：各表面均为平面的几何体， 如棱柱、棱锥等。
二 曲面立体
曲面立体：各表面均为曲面或由平面与 曲面共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆 球等。
和侧面投影。
作图分析:
b a
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直 接求出a和a``。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚 性求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投 影
s’
s’’
作图:
一般先画出底面的各 个顶点的投影,再定出锥顶S 的投影,并将锥顶与底面各顶 点的同面投影相连即可。
图
(1) 过点A作一水平辅助圆 ,
位置平面，可作辅助线的方法求解。
s`
n`
h` m`
a`
b`
a
h
sn
m b
s``
( n`` )
h``
c` c``
a``
c
m`` b``
二 曲面立体
工程上常用的曲面立体一般为回转体。回 转体由回转面或回转面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直 线作回转运动所形成的曲面称为回转面。
形成回转面的动线称为母线，定直线称为 回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。